Chuyên đề bất đẳng thức năm 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.2 MB, 143 trang )
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Thư viện tài liệu trực tuyến
123cbook.com
Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
1
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
MỤC LỤC
!"#$%&"'()*"+,- ))+/
&"'0)*"+,-12#3
&"'()*"+,-4)+35-67#83
9&"'()*"+,-54-+:
&"'()*"+,-;<5-=#>?
&"'()*"+,-@A=%B=#C7?
!"#$%&"'()*"+,-7+D'E'BF--+,)*G3)+HI'J)*?
K-L)+-+&"->%M)?
K-83N)"+,-<OL)+-+&"-P5"QHR"+,-S
K-83N)"+,-<O"6T'!<U-">S
VWVX
+B>)*7+K7YZ5<I6'[)+)*+\5<I-K-7+C7%3N)']3"B>)*"B>)*'B>)*X
+B>)*7+K7;^_D)*%&"'()*"+,-4)+35-17#8:<I-K-%&"'()*"+,-7+D9
+B>)*7+K79&"'()*"+,-1#:S
+B>)*7+K7&"'()*"+,-4)+35-67#83->%M)<IG`@!)*a
+B>)*7+K7 &"'()*"+,-@A=%B=#C7
+B>)*7+K7?&"'()*"+,-U@)64H3
+B>)*7+K7S;^_D)*%&"'()*"+,-54-+:
+B>)*7+K7X+,)*G3)+%b)*7+M)-+,)*X
+B>)*7+K7a;^_D)*L)+-+&"%c- 49
+B>)*7+K7dYe)*L)+-+&"-P5"f#$99
+B>)*7+K7+B>)*7+K7HIG"@!39
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
2
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
+B>)*7+K7+B>)*7+K7HBF)**3K-9?
+B>)*7+K79+B>)*7+K7-+,)*G3)+g43)T7d
+B>)*7+K7+B>)*7+K7K7_D)*-K-L)+-+&"-P5-K-_E:"Q#$%b)*)+54?
+B>)*7+K7 Ye)*%&"'()*"+,-"@6)*"5G*3K-X
+B>)*7+K7?;^_D)*+h)++i-<I"i5'!a
+B>)*7+K7S+B>)*7+K7#^_D)*"5G"+,-%j-+53 d
+B>)*7+K7X+B>)*7+K7_e)*L)+-+&"%c- 4
+B>)*7+K7a]3%3N)#$
+B>)*7+K7d+B>)*7+K7_e)*-K-%&"'()*"+,-"@6)*"5G*3K- X
+B>)*7+K7;^_D)*8+53"@3k))+["+,-Ul"6)?9
+B>)*7+K7;^_D)*L-+7+m)?
no!"#$%I3"j7)m)*-56?
9Ypq?a
YT)*Ye)*'krG<I?a
YT)*Ye)*'k*3M37+B>)*"@h)+<I+R7+B>)*"@h)+S
YT)*9Ye)*'k*3M37+B>)*"@h)+)*+3RG)*4:A)Sa
YT)*)*_D)*<U-">"@6)*%I3"6K)-+,)*G3)+%&"'()*"+,-X
studdvuX?
u
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
3
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
LỜI NÓI ĐẦU
Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và
Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Bất
Đẳng thức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự
thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ
thông.
Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những
vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học
tương đương.
Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối
với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương
pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình
làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn.
Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị
Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh.
Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng
dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà
giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng.
Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình
phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với
bộ tài liệu này.
Các tác giả
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
4
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. Một số bất đẳng thức cần nhớ:
2
0; 0;a a b b b
≥ ≥ − ≤ ≤
1. Bất đăng thức Cô – si:
Cho n số không âm
1 2
, , ,
n
x x x
. Ta có:
1 2
1 2
n
n
n
x x x
x x x
n
+ + +
≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
n
x x x= = =
.
Với
2n =
, ta có:
1 2
1 2
2
x x
x x
+
≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
x x=
.
Với
3n =
, ta có:
1 2 3
3
1 2 3
3
x x x
x x x
+ +
≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2 3
x x x= =
2. Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho hai bộ
( ) ( )
1 2 1 2
, , , , , ,
n n
x x x y y y∧
Ta có:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
. . .
n n n n
x y x y x y x x x y y y+ + + ≤ + + + + + +
Dấu bằng xảy ra
1 2
1 2
n
n
x x x
y y y
⇔ = = =
.
3. Bất đẳng thức Cauchy.
ho n số không âm
1 2
, , ,
n
x x x
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
5
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Ta có:
1 2 1 2
.
n
n n
x x x n x x x+ + + ≥
Dấu bằng xảy ra
1 2
n
x x x⇔ = = =
.
4. Bất đẳng thức Svac-sơ.
( )
2
2 2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
n
n
n n
x x x
x x x
y y y y y y
+ + +
+ + + ≥
+ + +
với
( )
1 2 3
, , , 0, 2
n
y y y y n> ≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
1 2
1 2
.
n
n
x x x
y y y
= = =
5. Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
Nếu
≤≤
≤≤
CBA
cba
⇒
3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++
≥
++
Nếu
≥≥
≤≤
CBA
cba
⇒
3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++
≤
++
Dấu bằng xảy ra khi
==
==
CBA
cba
II. Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng.
o
xyyx 2
22
≥+
o
xyyx
≥+
22
dấu( = ) khi x = y = 0
o
( )
xyyx 4
2
≥+
o
2
≥+
a
b
b
a
o
2
1 1 4
( , 0)
1
2 ( 0)
1 4
( , 0)
( )
Khi b c
b c b c
b khi x
b
Khi x y
bc b c
+ ≥ >
+
+ ≥ >
≥ >
+
III. Các tính chất cơ bản.
Tính chất 1: a > b <=> b < a
Tính chất 2: a > b và b > c => a > c
Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
6
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Hệ quả : a > b <=> a - c > b – c
a + c > b <=> a > b – c
Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d
a > b và c < d => a - c > b – d
Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd
a > b và c < 0 => ac < bd
Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
a > b > 0 => a
n
> b
n
a > b <=> a
n
> b
n
với n lẻ .
IV. Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức.
, ,
, , ,
a a
a b c R
a b a b c
a c a a c c
a b c d R
b d b b d d
+
+
> ∀ ∈
+ + +
+
> ⇒ > > ∀ ∈
+
V. Các kiến thức về toạ độ vec tơ.
Cho hai véctơ
,a b
r r
(Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có
| | | | | | (1)a b a b+ ≤ +
r r r ur
Dấu “=” xảy ra
*
:a b k a kb
+
⇔ ⇔ ∃ ∈ =
r r r r
Z Z ¡
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
.
Tổng quát:
*
1 1
| | | | ( )
n n
i i
i i
a a n
+
= =
≤ ∈
∑ ∑
ur ur
¢
| | | | | | (2)a b a b− ≤ +
r r r ur
Dấu “=” xảy ra
*
:a b k a kb
−
⇔ ⇔ ∃ ∈ =
r r r r
Z [ ¡
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
.
| |.| | . | |.| | (3)u v u v u v− ≤ ≤
r r r r r r
Dấu “=” thứ nhất xảy ra
*
:a b k a kb
−
⇔ ⇔ ∃ ∈ =
r r r r
Z [ ¡
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
. Dấu “=” thứ hai xảy ra
*
:a b k a kb
+
⇔ ⇔ ∃ ∈ =
r r r r
Z Z ¡
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
7
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương tương đương.
I. Phương pháp giải:
Đây là phương pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản
để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng
hoặc các bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Ở phần này các bạn chú ý đến các
hằng đẳng thức:
•
2 2 2
2 ( ) 0a ab b a b
+ + = + ≥
•
2 2 2 2
2 2 2 ( ) 0a b c ab ac bc a b c
+ + + + + = + + ≥
Lưu ý:
− Khi biến đổi tương đương ta cố gắng làm xuất hiện các điều kiện đã cho trong giả
thiết nhằm áp dụng được điều kiện của giả thiết để chứng minh được bất đẳng thức
đó là đúng.
− Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó (
0; 0; 0; 0 )≤ ≥ < >
− Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh
− Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét dấu các
thừa số đó
− Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để
được điều phải chứng minh.
II. Một số ví dụ.
Ví dụ 1. ∀ x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z
2
≥
xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2
+ z
2
≥
2xy – 2xz + 2yz
c) x
2
+ y
2
+ z
2
+3
≥
2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu : x
2
+ y
2
+ z
2
- xy – yz – zx =
2
1
.2 .( x
2
+ y
2
+ z
2
- xy – yz – zx)
=
2
1
[ ]
0)()()(
222
≥−+−+− zyzxyx
đúng với mọi x;y;z
R∈
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
8
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Vì (x-y)
2
≥
0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)
2
≥
0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)
2
≥
0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2
≥
xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z
2
- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x
2
+ y
2
+ z
2
- 2xy +2xz –2yz
= ( x – y + z)
2
0
≥
đúng với mọi x;y;z
R∈
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2
≥
2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
R∈
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z
2
+3 – 2( x+ y +z ) = x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(z-1)
2
≥
0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
2
22
22
+
≥
+ baba
; b)
2
222
33
++
≥
++ cbacba
c) Hãy tổng quát bài toán
Giải:
a) Ta xét hiệu
2
22
22
+
−
+ baba
=
( )
4
2
4
2
2222
bababa ++
−
+
=
( )
abbaba 222
4
1
2222
−−−+
=
( )
0
4
1
2
≥−ba
Vậy
2
22
22
+
≥
+ baba
. Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
2
222
33
++
−
++ cbacba
=
( ) ( ) ( )
[ ]
0
9
1
222
≥−+−+− accbba
.Vậy
2
222
33
++
≥
++ cbacba
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
2
21
22
2
2
1
+++
≥
+++
n
aaa
n
aaa
nn
Tóm lại các bước để chứng minh A
≥
B theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D)
2
hoặc H=(C+D)
2
+….+(E+F)
2
Bước 3:Kết luận A ≥ B
Ví dụ 3: Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có : m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1≥ m(n+p+q+1)
Giải:
01
4444
2
2
2
2
2
2
2
≥
+−+
+−+
+−+
+−⇔ m
m
qmq
m
pmp
m
nmn
m
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
9
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
01
2222
2222
≥
−+
−+
−+
−⇔
m
q
m
p
m
n
m
(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi
=−
=−
=−
=−
01
2
0
2
0
2
0
2
m
q
m
p
m
n
m
⇔
=
=
=
=
2
2
2
2
m
m
q
m
p
m
n
⇔
===
=
1
2
qpn
m
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có :
)(
444
cbaabccba ++≥++
Giải: Ta có :
)(
444
cbaabccba ++≥++
,
0,, >∀ cba
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0)2(
)2()2(
0222
222
0222222
0
222
2
22
2
22
2
22
22222
2222222222
2
22
2
22
2
22
222
22
2
2222
2
2222
2
22
222444
222444
≥−+−+−+−+−+−⇔
≥−++
−++−++−+−+−⇔
≥−−−
+−++−++−⇔
≥−−−++⇔
≥−−−++⇔
acabacbcbcabaccbba
abaacba
abcaccbacbcbbaaccbba
abcacbbca
caaccbcbbaba
abcacbbcacba
abcacbbcacba
Đúng với mọi a, b, c.
Ví dụ 5: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)
ab
b
a ≥+
4
2
2
b)
baabba ++≥++ 1
22
c)
( )
edcbaedcba +++≥++++
22222
Giải:
a)
ab
b
a ≥+
4
2
2
abba 44
22
≥+⇔
044
22
≥+−⇔ baa
( )
02
2
≥−⇔ ba
(BĐT này luôn đúng). Vậy
ab
b
a ≥+
4
2
2
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)
baabba ++≥++ 1
22
)
)(21(2
22
baabba ++>++⇔
012122
2222
≥+−++−++−⇔ bbaababa
0)1()1()(
222
≥−+−+−⇔ baba
Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy
baabba ++≥++ 1
22
. Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)
( )
edcbaedcba +++≥++++
22222
⇔
( ) ( )
edcbaedcba +++≥++++ 44
22222
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
044444444
22222222
≥+−++−++−++− cacadadacacababa
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
10
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
02222
2222
≥−+−+−+− cadacaba
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa ++≥++
Giải:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa ++≥++
⇔
128448121210221012
bbabaabbabaa +++≥+++
⇔
( ) ( )
0
22822228
≥−+− abbababa
⇔
a
2
b
2
(a
2
-b
2
)(a
6
-b
6
)
≥
0
⇔
a
2
b
2
(a
2
-b
2
)
2
(a
4
+ a
2
b
2
+b
4
)
≥
0
Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 7: cho x.y =1 và x
〉
y Chứng minh
yx
yx
−
+
22
≥
22
Giải:
yx
yx
−
+
22
≥
22
vì :x
〉
y nên x- y
〉
0
⇒
x
2
+y
2
≥
22
( x-y)
⇒
x
2
+y
2
-
22
x+
22
y
≥
0
⇔
x
2
+y
2
+2-
22
x+
22
y -2
≥
0
⇔
x
2
+y
2
+(
2
)
2
-
22
x+
22
y -2xy
≥
0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
⇒
(x-y-
2
)
2
≥
0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a/ P(x,y)=
01269
222
≥+−−+ yxyyyx
Ryx ∈∀ ,
b/
cbacba ++≤++
222
(gợi ý :bình phương 2 vế)
c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
++<++
=
zyx
zyx
zyx
111
1
Ví dụ 8: Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
zyx
111
++
)=x+y+z - (
0)
111
>++
zyx
(vì
zyx
111
++
< x+y+z theo gt)
⇒
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1
⇒
x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc
phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Ví dụ 9: Chứng minh rằng :
21 <
+
+
+
+
+
<
ca
c
cb
b
ba
a
Giải:
Ta có :
)1(
11
cba
a
ba
a
cbaba
cbaba
++
>
+
⇒
++
>
+
⇒++<+
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
11
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Tương tự ta có :
)2(
cba
b
cb
b
++
>
+
,
)3(
cba
c
ca
c
++
>
+
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
1>
+
+
+
+
+ ca
c
cb
b
ba
a
(*)
Ta có :
)4(
cba
ca
ba
a
baa
++
+
<
+
⇒+<
Tương tự :
)5(
cba
ba
cb
b
++
+
<
+
,
)6(
cba
bc
ac
c
++
+
<
+
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được :
2<
+
+
+
+
+ ca
c
cb
b
ba
a
(**)
Từ (*) và (**) , ta được :
21 <
+
+
+
+
+
<
ca
c
cb
b
ba
a
(đpcm)
III. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Cho a + b = 2. Chứng minh rằng:
4 4
2a b
+ ≥
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1 1 1
2
2
3 2 ( 1)n n
+ + + <
+
Bài 3: Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1≥ m(n + p + q +1)
Bài 4: Chứng minh rằng:
10 10 2 2 8 8 4 4
(a b )(a b ) (a b )(a b )
+ + ≥ + +
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức :
3
33
22
+
≥
+ baba
Trong đó : a > 0 , b > 0
Bài 6: Chứng minh rằng: Với mọi số dương a, b, c, d ta có:
2
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a
22
3
22
3
22
3
22
3
+++
≥
+
+
+
+
+
+
+
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
12
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ.
1. Phương pháp giải.
Đây là phương pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức. Chúng ta dựa vào
điều kiện đã cho ở đề bài để ta lựa chọn phương pháp cho thích hợp. Ngoài ra, ta cần phải
chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh. Khi áp dụng
các BĐT đã được chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành
các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để được BĐT cần chứng minh.
Sử dụng:
a)
xyyx 2
22
≥+
b)
xyyx
≥+
22
dấu( = ) khi x = y = 0
c)
( )
xyyx 4
2
≥+
d)
2
≥+
a
b
b
a
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 1: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a)
≥
8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:
( )
xyyx 4
2
≥+
Tacó
( )
abba 4
2
≥+
;
( )
bccb 4
2
≥+
;
( )
acac 4
2
≥+
⇒
( )
2
ba +
( )
2
cb +
( )
2
ac +
≥
( )
2
222
864 abccba =
⇒
(a+b)(b+c)(c+a)
≥
8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z ta có:
2 2 2
2 2 2
(
3 3
( )( ) 9
xyz x y z x y z
x y z xy yz zx
+ + + + +
+
≤
+ + + +
Giải
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
13
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
3( ) ( )
3(
3
3
x y z x y z
x y z x y z
x y z xyz
xy yz zx xyz
+ + ≥ + +
⇒ + + ≤ + +
• + + ≤
• + + ≥
Do đó ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
3
3
( ) (( 3 1) )
( )( )
( )(3
3 1 3 1 1 3 3
3 3 9
3
xyz x y z x y z xyz x y z
x y z xy yz zx
x y z xyz
xyz
xyz
+ + + + + + + +
≤
+ + + +
+ +
+ + +
≤ =
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
2000 2000 2000
1994 1995 1996 (1)+ <
Giải
2000 2000 2000
1994 1996 1
(1) ( ) 1 ( ) (1 )
1995 1995 1995
⇔ + < = +
Theo bất đẳng thức Becnuli ta có:
2000 2000
1 2000 1994
(1 ) 1 1 ( )
1995 1995 1995
> + > +
Vì:
2000
2000 1994
1 ( )
1995 1995
> >
Ví dụ 4: Cho
a b 2+ =
Chứng minh rằng:
4 4
a b 2+ ≥
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có:
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
(1.a 1.b) (1 1 )(a b )
(a b) 2(a b )
4 2(a b )
2 a b
+ ≤ + +
⇔ + ≤ +
⇔ ≤ +
⇔ ≤ +
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
14
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a
2
,b
2
ta có:
+ ≤ + +
⇔ ≤ + ≤ +
⇔ ≤ +
⇔ + ≥
2 2 2 2 4 4
2 2 4 4
4 4
4 4
(1.a 1.b ) (1 1 )(a b )
2 (a b ) 2(a b )
4 2(a b )
a b 2
Ví dụ 5: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
Giải
Ta có:
1 1 1 a a b b c c
(a b c)( ) 1 1 1
a b c b c a c a b
a b c a b c
3 ( ) ( ) ( ) 9
b a a c c b
+ + + + = + + + + + + + +
= + + + + + + ≥
Vì :
a b
2
b a
+ ≥
c a
2
a c
b c
2
c b
+ ≥
+ ≥
Nên:
a b c a b c
3 ( ) ( ) ( ) 9
b a a c c b
+ + + + + + ≤
Ví dụ 6: Cho 4 số dương a,b,c,d chứng minh rằng:
a b c d
2
b c c d a d a b
+ + + ≥
+ + + +
Giải
Áp dụng bất đẳng thức phụ:
2
1 1
(x,y>0)
xy (x y)
≥
+
Ta có:
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
15
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
2 2
2
a c a(d a) c(b c) a c ad bc
4
b c d a (b c)(d a) (a b c d)
+ + + + + +
+ = ≥
+ + + + + + +
Tương tự:
2 2
2
b d b d ab cd
4
c d a b (a b c d)
+ + +
+ ≥
+ + + + +
Cộng vế theo vế ta có:
2 2 2 2
2
a b c d a b c d ad bc ab cd
4
b c c d a d a b (a b c d)
+ + + + + + +
+ + + ≥
+ + + + + + +
Ta chứng minh:
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a b c d ad bc ab cd
4 2
(a b c d)
4a b c d ad bc ab cd 2(a b c d)
2a 2b 2c 2d 4ac 4bd 0
(a c) (b d) 0
+ + + + + + +
≥
+ + +
⇔ + + + + + + + ≥ + + +
⇔ + + + − − ≥
⇔ − + − ≥
3. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho x,y,z thoã mãn
4
x(x 1) y(y 1) z(z 1)
3
− + − + − ≤
Chứng minh rằng:
x y z 4
+ + ≤
Bài 2: Cho a>b>c>0 và
1
222
=++ cba
.Chứng minh rằng
3 3 3
1
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Bài 3: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx −+−
Chứng minh rằng : 3x + 4y
≤
5
Bài 4: Cho a, b, c
≥
0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
6
≤+++++
accbba
Bài 5:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác, p là nửa chu vi.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
16
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Chứng minh rằng:
3 (1)p p a p b p c p
< − + − + − ≤
Bài 6: Cho a, b,c là 3 số khác 0. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
Bài 7 Cho ba số
0,, >cba
.Thoả mãn
abccabcab
=++
Chứng minh rằng:
3
222
222222
≥
+
+
+
+
+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
(*)
Phương pháp 3: Bất đẳng thức Cô sy.
1. Phương pháp.
a/ Với hai số không âm :
0, ≥ba
, ta có:
abba 2≥+
. Dấu “=” xảy ra khi a=b
b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :
n
n
n
n
nn
n
aaa
aaa
aaanaaa
+++
≤⇔
≥+++
21
21
2121
Dấu “=” xảy ra khi
n
aaa ===
21
Chú ý: Ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm.
2. Một số ví dụ mẫu.
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
2
3
42
2
12
4
14
2
=
+
+
+
+
+
xx
x
x
x
x
x
Giải : Nếu đặt t =2
x
thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt
0,,
4
2
>
=
=
ba
b
a
x
x
Khi đó phương trình có dạng :
2
31
11
=
+
+
+
+
+ baa
b
b
a
Vế trái của phương trình:
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
17
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 3 3
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
3 1 1 3
1 1 1 1
a b a b a b a b
b a a b b a a b
a b c b a a b
b a a b b a a b
+ + + + + +
= + + + + + − = + + −
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
+ + + + + +
= + + + + − = + + + + + + + −
÷ ÷
+ + + + + +
( )( )( )
( )( )( )
2
3
3
11
3
.113
2
1
3
3
=−
+++
+++≥
baba
baba
Vậy phương trình tương đương với :
0142111 =⇔==⇔==⇔+=+=+ xbababa
xx
.
Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P =
111 +
+
+
+
+ z
z
y
y
x
x
Giải : P = 3- (
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ zyx
) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì
( )
3
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
3 3 9a b c abc a b c
a b c abc a b c a b c a b c
+ + ≥ ⇔ + + ≥ ⇒ + + + + ≥ ⇒ + + ≥
÷
+ +
Suy ra Q =
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ zyx
4
9
≥
⇒
-Q
4
9
−≤
nên P = 3 – Q
≤
3-
4
9
=
4
3
Vậy max P =
4
3
.khi x = y = z =
3
1
.
Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng:
abc
cba
abcacbbca
2
111
222
++
≤
+
+
+
+
+
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
+≤≤
++
⇒≥++
acab
bca
bca
bcabca
11
2
112
2
2
2
Tương tự :
2 2
2 2 2
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
2 2
2 2 2
2
b ac bc ab c ab ac bc
b ac c ab
a b c
a bc b ac c ab abc
≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ +
÷ ÷
+ + + +
+ +
⇒ + + ≤
+ + + + +
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC :
3≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bac
b
acb
a
(*)
Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :
)1(
))()((
3
3
cbabacacb
abc
cba
c
bac
b
acb
a
−+−+−+
≥
−+
+
−+
+
−+
Cũng theo bất đẳng thức Côsi :
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
18
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
)2()(
2
1
))(( cbacacbbacacb =−++−+≤−+−+
Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được
)3(1
))()((
))()((
≥
−+−+−+
→
≤−+−+−+
cbabacacb
abc
abccbabacacb
Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều .
Ví dụ 5:
Cho
<
≤≤<
zyx
cba
,,0
0
. Chứng minh rằng:
( )
( )
( )
2
2
4
zyx
ac
ca
c
z
b
y
a
x
czby ++
+
≤
++++
Giải: Đặt
0)()(
2
=++−= acxcaxxf
có 2 nghiệm a,c
Mà:
0)(0)(
2
≤++−⇔≤⇒≤≤ acbcabbfcba
( )
( ) ( )
( )( )
zyxca
c
z
b
y
a
x
aczcybxa
zcaycaxca
c
z
aczc
b
y
acyb
a
x
acxa
yca
b
y
acybca
b
ac
b
+++≤
+++++⇒
+++++≤++++
+⇒
+≤+⇔+≤+⇔
)()()(
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
)(
4
4
2
2
2
22
đpcmzyx
ac
ca
c
z
b
y
a
x
aczcybxa
zyxca
c
z
b
y
a
x
aczcybxa
zyxca
c
z
b
y
a
x
aczcybxa
++
+
≤
++++⇔
+++≤
++++⇔
+++≤
++++⇒
Phương pháp 4: Bất đẳng thức Bunhiacopski cơ bản và mở rộng.
1. Phương pháp.
Cho 2n số thực (
2≥n
):
nn
bbbaaa , ,,,, ,
2121
. Ta luôn có:
) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++++≤+++
Dấu “=” xảy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===⇔
2
2
1
1
Hay
n
n
a
b
a
b
a
b
===
2
2
1
1
(Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )
Chứng minh:
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
19
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Đặt
+++=
+++=
22
2
2
1
22
2
2
1
n
n
bbbb
aaaa
• Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.
• Nếu a,b > 0:
Đặt:
( )
ni
b
b
a
a
i
i
i
i
, 2,1, ===
βα
, Thế thì:
22
2
2
1
22
2
2
1
nn
βββααα
+++=+++
Mặt khác:
( )
22
2
1
iiii
βαβα
+≤
Suy ra:
babababa
nn
nnnn
1) (
2
1
) (
2
1
2211
22
2
2
1
22
2
2
12211
≤+++⇒
≤+++++++≤+++
βββαααβαβαβα
Lại có:
nnnn
babababababa +++≤+++
22112211
Suy ra:
) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++++≤+++
Dấu”=” xảy ra
( )
n
n
nn
ii
b
a
b
a
b
a
dáucùng
ni
===⇔
=∀=
⇔
, ,2,1
2
2
1
1
11
βαβα
βα
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 1 :
Chứng minh rằng:
Rx ∈∀
, ta có:
8
1
cossin
88
≥+ xx
Giải: Ta có:
Rxxx ∈∀=+ ,1cossin
22
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 4 4 2 2
2
4 4 4 4
1 sin .1 cos .1 sin cos 1 1
1 1
sin cos sin cos
2 4
x x x x
x x x x
= + ≤ + +
⇔ ≤ + ⇒ ≤ +
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 4 8 8 2 2 4 4
1 1 1
sin .1 cos .1 sin cos 1 1 sin cos
4 4 8
x x x x x x⇔ ≤ + ⇔ ≤ + + ⇔ + ≥
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của:
ACCBBAP tan.tan1tan.tan1tan.tan1 +++++=
Giải:
* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm:
), ,2,1)(, ,,( micba
iii
=
Thế thì:
) )( )( () (
222111
2
212121
m
m
m
m
m
m
mmmmmm
mmm
cbacbacbacccbbbaaa +++++++++≤+++
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
20
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Dấu”=” xảy ra
∃⇔
bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì
∃
i
t
sao cho:
iiiiii
ctcbtbata === , ,,
, Hay
nnn
cbacbacba ::: ::: ::
222111
==
Ví dụ 1: Cho
≥∈
=+++
2,
3
22
2
2
1
nZn
aaa
n
Chứng minh rằng:
2
1
32
21
<
+
+++
n
a
aa
n
Giải:
*
Nk ∈∀
ta có:
+
−
=
−
<
2
1
2
1
1
4
1
11
2
2
kk
k
k
2
2 2 2
1 1 1
1 1
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
3 5 5 7 1 1 3 1
2 3 3
2 2 2 2 2
2 2 2
k
k k
n
n n n
⇒ < −
− +
÷
÷ ÷
⇒ + + + < − + − + + − = − <
÷
÷ ÷
÷
− + +
Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
2
3
2
3
1
3
1
2
1
1
32
222
22
2
2
1
21
<<++++++≤
+
+++
n
aaa
n
a
aa
n
n
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
222222
)()( dcbadbca +++≤+++
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd
≤
2222
. dcba ++
mà
( ) ( ) ( )
2222
22
2 dcbdacbadbca +++++=+++
( )
22222222
.2 dcdcbaba ++++++≤
⇒
222222
)()( dcbadbca +++≤+++
Ví dụ 3: Chứng minh rằng :
acbcabcba ++≥++
222
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có
( )
( )
2
222222
.1.1.1)(111 cbacba ++≥++++
⇒
3
( )
( )
acbcabcbacba +++++≥++ 2
222222
⇒
acbcabcba ++≥++
222
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 5: Bất đẳng thức Trê- bư-sép.
1. Phương pháp:
a)Nếu
≤≤≤
≤≤≤
n
n
bbb
aaa
21
21
thì
n
bababa
n
bbb
n
aaa
nnnn
+++
≤
++++++
.
22112121
.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
21
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
===
===
n
n
bbb
aaa
21
21
b)Nếu
≥≥≥
≤≤≤
n
n
bbb
aaa
21
21
thì
n
bababa
n
bbb
n
aaa
nnnn
+++
≥
++++++
.
22112121
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
===
===
n
n
bbb
aaa
21
21
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 1: Cho
∆
ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và
.
3
2
sinsinsin
2sin.sin2sin.sin2sin.sin S
CBA
CCBBaA
=
++
++
S là diện tích tan giác. chứng minh rằng
∆
ABC là tam giác đều.
Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư
.
2
0
π
<≤≤< CBA
Suy ra:
≤≤
≤≤
CBa
CBA
2sin2sin2sin
sinsinsin
Áp dụng BĐT trebusep ta được:
( )( )
( )
)2sin2sin2(sin
3
1
sinsinsin
2sin.sin2sin.sin2sin.sin
2sin.sin2sin.sin2sin.sin3
2sin2sin2sinsinsinsin
CBA
CBA
CCBBAA
CCBBAA
CBACBA
++≤
++
++
⇔
++≥
≥++++
Dấu ‘=’ xảy ra
dêuABC
CBA
CBA
∆⇔
==
==
⇔
2sin2sin2sin
sinsinsin
Mặt khác:
[ ] [ ]
)2(2sin sin).sin2)(sin2(
sinsinsin4sin.sin2.sin2
)cos()cos(sin2cos)cos(sin2
2sin)cos().sin(22sin2sin2sin
SCbaCBRAR
CBABAC
BABACCBAC
CBABACBA
===
==
+−−=+−=
+−+=++
Thay (2) vào (1) ta có
.
3
2
sinsinsin
2sin.sin2sin.sin2sin.sin S
CBA
CCBBaA
≤
++
++
Dấu ‘=’ xảy ra
∆⇔
ABC đều.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
22
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Ví dụ 2: Cho a>b>c>0 và
1
222
=++ cba
. Chứng minh rằng
3 3 3
1
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a
≥
b
≥
c
⇒
+
≥
+
≥
+
≥≥
ba
c
ca
b
cb
a
cba
222
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
+
+
+
+
+
++
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
acba
ba
c
c
ca
b
b
cb
a
a .
3
222
222
=
2
3
.
3
1
=
2
1
Vậy
2
1
333
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
3
1
Ví dụ 3: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
10
2222
≥+++++++++ acddcbcbadcba
Giải: Ta có
abba 2
22
≥+
cddc 2
22
≥+
Do abcd =1 nên cd =
ab
1
(dùng
2
11
≥+
x
x
)
Ta có
4)
1
(2)(2
222
≥+=+≥++
ab
abcdabcba
(1)
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
acddcbcba +++++
= (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
222
111
++≥
++
++
+
bc
bc
ac
ac
ab
ab
Vậy
( ) ( ) ( )
10
2222
≥+++++++++ acddcbcbadcba
3. Bài tập vận dụng.
a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:
9
111
≥++
cba
b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z
)1)(1)(1(4 zyx −−−≥
c/ Cho a>0 , b>0, c>0
Chứng minh rằng:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
d) Cho x
0≥
,y
0≥
thỏa mãn
12 =− yx
. CMR: x+y
5
1
≥
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
23
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
Phương pháp 6: Bất đẳng thức Bernouli.
1. Phương pháp:
a)Dạng nguyên thủy: Cho a
≥
-1,
∈≤ n1
Z thì
( )
naa
n
+≥+ 11
. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
=
=
1
0
n
a
b) Dạng mở rộng:
- Cho a > -1,
1
≥
α
thì
( )
naa +≥+ 11
α
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
- cho
10,1 <<−≥
α
a
thì
( )
naa +≤+ 11
α
. Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi
=
=
1
0
α
a
.
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng
0,,1 >∀>+ baba
ab
.
Giải
- Nếu
1
≥
a
hay
1
≥
b
thì BĐT luôn đúng
- Nếu 0 < a,b < 1
Áp dụng BĐT Bernouli:
( )
1
1 1
1 1 .
b b
b
b a
a a b a
a
a a a a a b
−
− +
= + < + < ⇒ >
÷ ÷
+
Chứng minh tương tự:
ba
b
b
a
+
>
. Suy ra
1>+
ab
ba
(đpcm).
Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
5
555
33
++
≥
++ cbacba
. (1)
Giải
( )
3
333
1
555
≥
++
+
++
+
++
⇔
cba
c
cba
b
cba
a
Áp dụng BĐT Bernouli:
( )
cba
acb
cba
acb
cba
a
++
−+
+≥
++
−+
+=
++
25
1
2
1
3
55
(2)
Chứng minh tương tự ta đuợc:
( )
cba
bac
cba
b
++
−+
+≥
++
25
1
3
5
(3)
( )
cba
cba
cba
c
++
−+
+≥
++
25
1
3
5
(4)
Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
24
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016
⇒≥
++
+
++
+
++
3
333
555
cba
c
cba
b
cba
a
(đpcm)
Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:
“Cho
.1;0, ,
21
≥> raaa
n
Chứng minh rằng
r
n
r
n
rr
n
aaa
n
aaa
+++
≥
+++
2121
.
Dấu ‘=’
n
aaa ===⇔
21
.(chứng minh tương tự bài trên).
Ví dụ 3: Cho
1,,0 ≤≤ zyx
. Chứng minh rằng
( )( )
8
81
222222 ≤++++
−−− zyxzyx
.
Giải
Đặt
( )
2,,12,2,2 ≤≤=== cbacba
zyx
.
( )( )
)1(3
2
023
02121
2
≤+⇒≤+−⇒
≤−−⇒≤≤
a
aaa
aaa
Chứng minh tương tự:
)3(3
2
)2(3
2
≤+
≤+
c
c
b
b
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được
( ) ( )
)(
111
)(
8
81
111
22
111
29
đpcm
cba
cba
cba
cba
cba
cba
côsi
⇒
++++≥⇒
++++
+++++≥
≥
Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này
“ Cho n số
[ ]
1,,, ,,
21
>∈ cbaxxx
n
Ta luôn có:
( )( )
( )
[ ]
ba
ba
x
xx
x
xx
c
ccn
cccccc
nn
+
−
−−
+
≤++++++
4
2
2121
Phương pháp 7: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
1. Phương pháp:
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi 123cbook.com
25
