Tiểu luận môn phương pháp nghiên cứu khoa học PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRONG TIN HỌC QUY HOẠCH ĐỘNG

Đại học Công Nghệ Thông Tin
Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

BÁO CÁO:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRONG TIN HỌC:
QUY HOẠCH ĐỘNG
Môn học: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
GVHD : GS.TSKH. Hoàng Kiếm
Học viên: Trần Ngọc Huy – CH1301027
TP.HCM, tháng 5 năm 2014
Mục lục
1. Mở đầu
Để giải quyết một bài toán tối ưu trong tin học, ta có thể sử dụng nhiều cách khác
nhau [3]. Trong đó, phương pháp quy hoạch động được nhiều người quan tâm vì tính
hiệu quả về mặt lưu trữ cũng như thời gian xử lý kết quả. Về cơ bản, quy hoạch động
2
chia nhỏ bài toán lớn về các bài toán con có phạm vi nhỏ hơn, tiếp tục như vậy đến khi
bài toán nhỏ “đủ dễ” để có thể giải quyết. Như vậy, việc tổng hợp lời giải từ các bài toán
con là bước đi tìm lời giải cho bài toán lớn hơn. Có thể nói quy hoạch động là phương
pháp giải toán trong tin học ứng dụng nguyên lý sáng tạo “phân nhỏ” và “kết hợp”. Nội
dung được đề cập trong bài luận này là khái niệm cơ bản và phương pháp để giải một bài
toán quy hoạch động, lần lượt được giới thiệu trong phần 2 và 3. Đồng thời giới thiệu hai
cách tiếp cận bài toán quy hoạch động: một là cách tiếp cận bottom-up, hai là cách tiếp
cận top-down trong phần 4. Cuối cùng, phần 5 sẽ tóm tắt nội dung toàn bộ bài luận.
2. Khái niệm
Một trong các hướng giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong tin học là ứng dụng
quy hoạch động. Đây là một phương pháp thường dùng để giải quyết các bài toán tối ưu
có cấu trúc phức tạp (khó có thể giải được bằng phương pháp trực tiếp). Nền tảng của
phương pháp này được xây dựng dựa trên nguyên lý tối ưu của Richard Bellman
(Bellman’s Principle of Optimality, 1940) :
“Nếu một dãy các lựa chọn là tối ưu thì mọi dãy con của nó cũng tối ưu”

Bản chất của quy hoạch động là chia để trị [1, 4]. Thế nên, nhiều bài toán phức tạp
trong thực tế không thể dễ dàng tìm được lời giải tối ưu một cách trực tiếp (dưới dạng
một công thức toán học tường minh), mà phải biểu diễn lời giải tối ưu đó của một bài
toán lớn dưới dạng tổ hợp các lời giải tối ưu, được thể hiện qua công thức truy hồi, của
các bài toán con đơn giản hơn. Như vậy, việc tìm lời giải cho bài toán lớn là quá trình tìm
lời giải cho các bài toán con có phạm vi nhỏ hơn. Tương tự, các bài toán con này cũng
được chia ra thành các bài toán con nhỏ hơn nữa, đến khi “đủ dễ” có thể cho lời giải trực
tiếp. Quá trình này áp dụng nguyên lý “phân nhỏ” bài toán. Khi đã có lời giải cho tất cả
các bài toán con, chúng ta sẽ tổng hợp các lời giải này theo công thức truy hồi đã xác
3
định để xây dựng lời giải cho bài toán lớn. Nguyên lý sáng tạo được sử dụng ở giai đoạn
này là nguyên lý “kết hợp”.
3. Phương pháp phân tích bài toán quy hoạch động
Một bài toán tối ưu bằng quy hoạch động được giải quyết dựa trên cấu trúc tối ưu
của nó [4]. Cấu trúc tối ưu, hay còn gọi là công thức quy hoạch động, chính là cách
biểu diễn một bài toán lớn dưới dạng tổ hợp của các bài toán con. Để chỉ ra được cấu
trúc tối ưu của bài toán, chúng ta cần phải xác định tập các trạng thái biểu diễn của
bài toán và các bài toán con của nó, hay nói cho chính xác là chúng ta phải xác định
không gian của bài toán.
Việc xác định không gian biểu diễn cho bài toán có thể nói là vấn đề cốt lõi của
quy hoạch động. Đó là công đoạn khó nhất, đòi hỏi kinh nghiệm và tính sáng tạo rất
cao. Xác định trạng thái biểu diễn như thế nào cho hợp lý và hiệu quả chính là nghệ
thuật giải quyết vấn đề. Cụ thể, khi giải một bài toán F, chúng ta cần xác định họ bài
toán con F[w] với w là một vector tham số sao cho khi thay w = w
0
thì ta thu được bài
toán ban đầu F = F[w
0
]. Các tiêu chí tối thiểu để đánh giá tính khả thi cho không gian
biểu diễn của bài toán là :

• Tồn tại cấu trúc tối ưu giữa các bài toán.
• Kích thước của không gian các bài toán phải đủ nhỏ để có thể lưu trữ trong quá
trình xử lý.
Để xác định cấu trúc tối ưu cho không gian F[w] của các bài toán, ta cần phải xây
dựng một hệ thức truy toán (công thức quy hoạch động) biểu diễn mối liên quan giữa
một bài toán bất kỳ F[w] với các bài toán liên quan có kích thước nhỏ hơn :
4
F[w] = Q{F[w’], F[w’’], …} (*)
Việc tìm công thức, phương trình truy toán hoặc tìm cách phân rã bài toán để xây
dựng cấu trúc tối ưu nhiều khi đòi hỏi sự phân tích tổng hợp rất công phu, dễ sai sót,
khó nhận ra như thế nào là thích hợp, đòi hỏi rất nhiều thời gian suy nghĩ.
Một điểm cần lưu ý nữa khi ta xác định không gian biểu diễn cho bài toán (hay
còn gọi là trạng thái quy hoạch động) là đồ thị biểu diễn sự chuyển tiếp giữa các trạng
thái quy hoạch động phải là đồ thị có hướng không chu trình. Nói cho đơn giản, giả sử
đồ thị biểu diễn đó tồn tại một chu trình A
1
, A
2
, …, A
N
, A
1
thì khi tính giá trị cho hàm
quy hoạch động tại A
1
ta sẽ dựa trên A
2
và A
2
lại dựa trên A

3
… và cuối cùng thì khi
tính A
N
ta lại phải dựa trên A
1
trong khi giá trị tại A
1
chính là cái chúng ta đang tìm !
Để có thể hiểu rõ hơn về bản chất của phương pháp quy hoạch động, chúng ta xem
xét những ví dụ sau :
Ví dụ 1 : Xét trò chơi gồm một bảng kích thước N * N (N 100), trên mỗi ô của
bảng được quy định một điểm số nhất định. Ban đầu, người chơi xuất phát tại một ô
bất kỳ nằm trên cột đầu tiên bên trái của bảng. Mỗi khi đi tới một ô trên bảng thì
người chơi sẽ được thưởng số điểm quy định cho ô đó. Tại mỗi nước đi, người chơi
bắt buộc phải di chuyển qua cột tiếp theo bên phải nhưng được quyền chọn một trong
ba hướng : đi chéo lên, đi thẳng hay đi chéo xuống. Hỏi nếu người chơi đi tối ưu thì
tổng số điểm thưởng anh ta thu được là bao nhiêu ?
5
Giải pháp : Gọi A[x, y] là điểm số quy định cho ô (x, y) và F[x, y] là điểm số tối đa
mà người chơi thu được để đi tới ô (x, y). Như thế, điểm số tối đa mà người chơi có
thể thu được là F[x, N]
Ở đây, dễ thấy là khi ta đưa ra định nghĩa cho F[x, y] như trên cũng tức là ta đã
khẳng định cách lựa chọn đối với không gian của bài toán. Việc tiếp theo chúng ta cần
làm là xác định cấu trúc tối ưu của bài toán. Trước hết, chúng ta có nhận xét là để đến
được ô (x, y) thì trước đó người chơi phải đứng ở một trong các ô trước đó (x – 1, y –
1), (x, y – 1), (x + 1, y – 1). Như thế, chúng ta có 3 lựa chọn khi tính giá trị F[x, y] :
• F[x, y] = F[x – 1, y – 1] + A[x, y]
• F[x, y] = F[x – 1, y] + A[x, y]
• F[x, y] = F[x – 1, y + 1] + A[x, y]

6
Khi đó, để tối ưu hóa F[x, y] ta chỉ đơn giản là lấy giá trị tối ưu trong số các giá trị
ứng với các lựa chọn nói trên :
F[x, y] = max{F[x – 1, y – 1], F[x, y – 1], F[x + 1, y – 1]} + A[x, y]
Cuối cùng, chúng ta cần xác định khi nào bài toán F[x, y] là đủ “nhỏ” để giải
quyết một cách trực tiếp : x và y = 1 : F[x, y] = A[x, y].
Qua ví dụ này, chúng ta có thể rút ra nhận xét sau : Bản chất của phương pháp quy
hoạch động là nhằm xác định một chuỗi các chuyển tiếp với chi phí tối ưu từ các trạng
thái khởi đầu, ứng với các bài toán đủ “nhỏ” để giải trực tiếp, qua một số trạng thái
trung gian, ứng với các bài toán con trung gian, và đến trạng thái đích, ứng với bài
toán lớn cần giải.
Ví dụ 2 : Xét bảng kích thước M * N (M, N 100) với một con cờ đặt ở ô trên trái
của bảng. Tại mỗi nước đi, con cờ chỉ có thể đi thẳng xuống hay đi sang phải một ô.
Hỏi có bao nhiêu cách di chuyển khác nhau để con cờ di chuyển từ vị trí ban đầu đến
ô phải dưới của bàn cờ.
Giải pháp : Bài toán nêu ra trong ví dụ này về bản chất là một bài toán đếm chứ
không phải một bài toán tối ưu. Tuy nhiên, đối với các dạng bài toán đếm như vậy
chúng ta vẫn có thể áp dụng được nguyên tắc “chia để trị” : Thay vì tìm công thức
tính trực tiếp, chúng ta xây dựng công thức truy hồi biểu diễn hàm giá trị (đáp số) của
bài toán lớn dưới dạng tổ hợp các hàm giá trị của các bài toán con có quy mô nhỏ
hơn.
7
Ta có nhận xét, để đến được một ô (x, y) bất kỳ trên bảng thì trước đó con cờ phải
ở một trong hai ô (x – 1, y) và (x, y – 1). Như vậy, tương tự như ở ví dụ trên, chúng ta
có hai trường hợp :
• Nếu trước khi đến ô (x, y) ta ràng buộc là con cờ phải đến ô (x – 1, y) trước thì ta
có tất cả F[x – 1, y] cách di chuyển khác nhau để đến ô (x, y).
• Tương tự, nếu ràng buộc con cờ phải đến ô (x, y – 1) trước khi đến (x, y) thì ta có
tất cả F[x, y – 1] cách di chuyển khác nhau.
Khi đó, để xác định F[x, y] ta lấy tổng các cách đi khác nhau của hai trường hợp

nói trên : F[x, y] = F[x – 1, y] + F[x, y – 1]. Cuối cùng, vấn đề còn lại là xác định “lời
giải” cho các bài toán đủ “nhỏ” :
• F[1, 1] = 1.
• F[1, x] = 1 (x > 1).
• F[x, 1] = 1 (x > 1).
Ví dụ 3 : Xét ma trận M * N trong đó mỗi ô của ma trận chứa một số nguyên dương
bất kỳ. Ban đầu một con cờ được đặt ở ô (x
0
, y
0
) và nó cần phải được di chuyển tới ô
(x
1
, y
1
) sau tối đa K bước. Tại mỗi bước con cờ chỉ có thể di chuyển qua một trong
bốn ô xung quanh. Chi phí của một bước đi được xác định bằng độ chênh lệch giữa
hai số thuộc ô đầu và ô đích của bước đi đó. Hãy xác định chi phí tối thiểu để đưa con
cờ về ô (x
1
, y
1
).
Giải pháp : Để xây dựng không gian trạng thái quy hoạch động, ta định nghĩa lớp bài
toán con sau đây :
8
“Hãy xác định chi phí tối thiểu để đưa con cờ từ ô (x
0
, y
0

) về ô (x, y) trong đúng z
bước”
Dễ thấy trạng thái biểu diễn cho một bài toán con thuộc lớp bài toán nói trên là
một bộ ba (x, y, z). Ta gọi F[x, y, z] là lời giải cho bài toán tương ứng. Như vậy, khi
ta thay x = x
1
, y = y
1
thì lời giải cho bài toán lớn ban đầu là .
Để tính F[x, y, z] thì ta có xét bốn vị trí có thể có của con cờ ngay trước khi di
chuyển đến ô (x, y) ở nước đi z : (x – 1, y), (x, y – 1), (x + 1, y) và (x, y + 1). Khi đó,
công thức quy hoạch động tính F[x, y, z] có thể được viết như sau :
F[x, y, z] = max{F[x – 1, y, z – 1] + |A[x, y] – A[x – 1, y]|,
F[x, y – 1, z – 1] + |A[x, y] – A[x, y – 1]|,
F[x + 1, y, z – 1] + |A[x, y] – A[x + 1, y]|,
F[x, y + 1, z – 1] + |A[x, y] – A[x, y + 1]|}
Khi đặt z = 0, ta được lớp các bài toán con đủ “nhỏ” để có thể giải trực tiếp :
• F[x
0
, y
0
, 0] = 0.
• F[x, y, 0] = +oo. (xem như không thể đến được)
Ví dụ 4 : Cho hai chuỗi A
1
A
2
…A
M
và B

1
B
2
…B
N
(M, N 200). Hãy tìm dãy con
chung (không nhất thiết phải liên tiếp) dài nhất của hai chuỗi trên.
9
Giải pháp : Ta xây dựng không gian quy hoạch động qua việc định nghĩa lớp bài toán
con sau :
“Xác định dãy con chung dài nhất của hai chuỗi A
1
A
2
…A
i
và B
1
B
2
…B
j
”
Khi đó, trạng thái biểu diễn cho một bài toán con thuộc lớp này là một cặp (i, j).
Ta định nghĩa F[i, j] là lời giải của bài toán tương ứng. Như vậy, khi ta thay i = M và j
= N thì F[M, N] chính là lời giải của bài toán lớn ban đầu. Vấn đề còn lại là xác định
cấu trúc tối ưu cho F[i, j].
Ta xét hai trường hợp sau :
• A[i] = B[j] : Trong trường hợp này, dễ thấy là tồn tại ít nhất một dãy con chung
dài nhất của A

i
và B
j
sao cho ký tự cuối x = A[i] = B[j]. Ở trường hợp này, rõ ràng
F[i, j] = F[i – 1, j – 1] + 1.
• A[i] B[j] : Lúc này lại có hai khả năng có thể xảy ra là A[i] không thuộc dãy
con chung dài nhất hay B[j] không thuộc dãy con chung dài nhất. Ở trường hợp
này, F[i, j] sẽ có giá trị tương ứng là F[i – 1, j] hay F[i, j – 1] tùy theo việc ta chọn
A[i] hay B[j] thuộc dãy con chung dài nhất. Tất nhiên, để tối ưu hóa giá trị của F[i,
j] ta sẽ luôn chọn trường hợp tốt nhất : F[i, j] = max { F[i – 1, j], F[i, j – 1] }
Cuối cùng, ta giải trực tiếp các bài toán con đủ “nhỏ” : F[i, 0] = 0 và F[0, j] = 0.
10
Ví dụ 5 : Cho một valy có thể chứa W 10000 đơn vị trọng lượng. Có N 200 loại
đồ vật (số lượng mỗi đồ vật không hạn chế). Đồ vật i có trọng lượng A[i] và giá trị là
C[i]. Hỏi nên chọn mỗi loại đồ vật bao nhiêu để xếp vào valy để tổng giá trị hàng hóa
trong valy là lớn nhất ?
Giải pháp : Để xây dựng không gian quy hoạch động cho bài toán, ta định nghĩa họ
bài toán sau đây :
“Xác định xem với một valy có thể chứa x đơn vị trọng lượng và y loại đồ vật từ
1 đến y trong số N loại đồ vật nói trên thì ta có thể chất đồ vào valy để đạt tổng
giá trị hàng hóa lớn nhất là bao nhiêu ?”
Trạng thái quy hoạch động cho các bài toán trên được biểu diễn dưới dạng một
cặp tham số (x, y). Gọi F[x, y] là lời giải tối ưu cho bài toán tương ứng, ta sẽ lập hệ
thức truy toán cho F[x, y] như sau :
• Nếu ta quyết định bỏ đồ vật loại y vào trong valy (chỉ xét khi A[y] x) thì ta có
thể tính F[x, y] = F[x – A[y], y] + C[y].
• Nếu ta quyết định không bỏ thêm bất cứ đồ vật loại y nào vào trong valy nữa thì
F[x, y] = F[x, y – 1].
Như vậy, ta một thời điểm bất kỳ khi tính F[x, y] ta cần chọn quyết định tối ưu để
cực đại hóa giá trị của F[x, y] : F[x, y] = max { F[x – A[y], y] + C[y], F[x, y – 1] }

Cuối cùng, ta tiến hành giải các bài toán con đủ “dễ” để làm trực tiếp :
• F[x, 1] = C[1] * (x / A[1])
11
• F[0, x] = 0
Ví dụ 6 : Lan có N bình hoa và N bó hoa (N 16). Một bình hoa và một bó hoa bất
kỳ có thể hợp nhau mà cũng có thể không hợp nhau. Sự hợp nhau giữa bình hoa và bó
hoa được biểu diễn thông qua ma trận N * N :
• A[x, y] = 1 khi và chỉ khi bình hoa thứ x hợp với bó hoa thứ y.
• A[x, y] = 0 trong trường hợp ngược lại.
Hỏi Lan có tất cả bao nhiêu cách ghép cặp các bó hoa với các bình hoa. Một cách
ghép cặp ở đây được hiểu là một cách sắp xếp các bình hoa và bó hóa thành N cặp sao
cho với mọi cặp (x, y) ta có A[x, y] = 1.
Giải pháp : Trong ví dụ này ta lại xét một bài toán đếm khác. Cũng giống như ví dụ ở
trên, bài toán này có thể được giải bằng phương pháp quy hoạch động nhưng việc xác
định trạng thái bài toán con lại phức tạp hơn rất nhiều.
Cụ thể, ta định nghĩa lớp bài toán con sau đây :
“Đếm xem có bao nhiêu cách ghép cặp X bình hoa từ 1 đến X với một tập con
gồm X bó hoa bất kỳ của tập N bó hoa ban đầu.”
Dễ thấy khi cho X = N, ta thu được bài toán đếm ban đầu. Để áp dụng quy hoạch
động cho bài toán này, ta cần mô hình hóa lớp các bài toán con nói trên dưới dạng tập
các trạng thái. Cụ thể, với mỗi bài toán con ta biểu diễn nó dưới dạng một trạng thái
nào đấy.
12
Đầu tiên, ta thấy tham số của một bài toán con bất kỳ gồm một cặp (X, S) trong đó
S là một tập con có X phần tử của tập {1, 2, …, N}. Vấn đề đặt ra bây giờ là làm sao
biểu diễn cặp (X, S) một cách hiệu quả ? Ta có hai nhận xét sau đây :
• Thứ nhất, ta biết rằng X = |S| do vậy khi lưu trữ trạng thái của bài toán con (X, S)
ta chỉ cần lưu S.
• Thứ hai, S là một tập con của tập {1, 2, …, N} với N cố định nên dễ thấy là để lưu
trữ S ta cần N bit (bit thứ x bằng 1 ứng với việc x S và ngược lại)

Từ hai nhận xét trên ta thấy trạng thái của bài toán con (X, S) có thể được biểu
diễn trên máy tính dưới dạng một số nguyên N bit, trong đó có X bit 1. Như vậy,
không gian bài toán con của ta sẽ có kích thước 2
N
và với N 16 thì kích thước đó
hoàn toàn thích hợp cho việc lưu trữ.
Ở bước tiếp theo, ta cần xây dựng cấu trúc tối ưu / hàm quy hoạch động cho không
gian bài toán nói trên. Để dễ hình dung, ta gọi Q(S) là giá trị của số nguyên N bit biểu
diễn cho bài toán con (X, S) và định nghĩa F[Q(S)] là số cách ghép tương ứng. Ta xét
các bó hoa T có khả năng ghép với bình hoa X :
• A[X, T] = A[T, X] = 1.
• Q(S) & 2
T
= 2
T
(bit thứ T của Q(S) có giá trị bằng 1).
13
Nếu ta chọn ghép X với T, thì khi đó số cách ghép cho X – 1 bình hoa với tập hợp
S – {T} bó hoa còn lại là F[Q(S – {T})] = F[Q(S) – 2
T
]. Từ đó, ta rút ra công thức tính
F[Q(S)] như sau : F[Q(S)] = F[Q(S) – 2
T
]
Để rút ra đáp số cho bài toán đếm ban đầu, ta thay X = N : F[Q(S)] = F[2
N
– 1].
Lưu ý : Trong trường hợp này, các bài toán đủ “nhỏ” để có thể giải trực tiếp chính
là các bài toán (X, S) với X = |S| = 1.
Qua ví dụ này, chúng ta thấy tầm quan trọng của việc hoạch định không gian / xác

định trạng thái quy hoạch động cho bài toán con. Đó chính là yếu tố cốt lõi trong quá
trình giải quyết một bài toán quy hoạch động. Nói chung, chúng ta không có phương
pháp tổng quát nào để giúp xác định trạng thái quy hoạch động cho một bài toán bất
kỳ vì đó là một vấn đề đòi hỏi nhiều đến kinh nghiệm và tính sáng tạo.
4. Mô hình cài đặt
Đối với những bài toán giải bằng phương pháp quy hoạch động, ta có hai mô hình
cài đặt phổ biến : Top – Down và Bottom – Up. Mô hình Bottom – Up thường được
dùng trong những trường hợp công thức quy hoạch động đơn giản, không phân chia
rắc rối nhiều trường hợp. Mô hình Top – Down thường được dùng trong những
trường hợp hệ thức truy toán rối rắm, phức tạp dễ nhầm lẫn.
Về bản chất, mô hình cái đặt Bottom – Up bắt đầu bằng việc tính toán trực tiếp lời
giải cho các bài toán đủ “nhỏ” hay còn gọi là các trường hợp biên. Sau khi hoàn tất
việc xây dựng lời giải trực tiếp cho các trường hợp biên, mô hình Bottom – Up sẽ lần
14
lượt tổ hợp các kết quả đã tính được của các trường hợp con theo công thức quy
hoạch động, để thu được kết quả của các trường hợp lớn hơn. Quy trình này sẽ kết
thúc khi ta thu được kết quả của trường hợp tổng quát nhất – bài toán gốc cần giải. Dữ
liệu lưu trữ và xử lý không gian quy hoạch động của mô hình cài đặt Bottom – Up
thường được biểu diễn dưới dạng ma trận đa chiều trong máy tính.
Ngược lại với Bottom – Up, mô hình cài đặt Top – Down bắt đầu bằng việc xuất
phát từ bài toán gốc ban đầu và phân rã nó thành các bài toán con (theo công thức quy
hoạch động) và gọi đệ quy để giải quyết riêng từng bài toán con. Có thể nói, mô hình
cài đặt Top – Down là một minh họa sống động cho nguyên lý chia để trị.
Tuy nhiên, khi cài đặt theo mô hình này, một điểm tối quan trọng mà chúng ta cần
phải lưu ý là : cơ chế tính toán của quy hoạch động chỉ xem xét và tính toán mỗi
trạng thái duy nhất một lần ! Đây chính là đặc điểm giúp chúng ta phân biệt phương
pháp quy hoạch động với phương pháp đệ quy vét cạn.
Như chúng ta đã biết, không gian trạng thái quy hoạch động phải đủ nhỏ để có thể
lưu trữ toàn bộ trong bộ nhớ chính của máy tính khi xử lý nên khi cần truy xuất đến
giá trị của một trạng thái nào ta có thể truy xuất trực tiếp từ bộ nhớ chứ không cần

phải tính lại như ở các mô hình đệ quy vét cạn thường chỉ lưu trữ trạng thái hiện hành
đang xem xét.
Để minh họa cho hai phương pháp trên, chúng ta sẽ thử phân tích một số đoạn
code cài đặt cho ví dụ 2 ở trên :
\
Bottom – Up:
15
// Giải trực tiếp các trường hợp biên
for (int i = 1; i <= N; i++) F[1, i] = 1;
for (int i = 1; i <= M; i++) F[i, 1] = 1;
// Tổng hợp lời giải cho trường hợp lớn từ các trường hợp con
for (int i = 2; i <= M; i++)
for (int j = 2; j <= N; j++) F[i, j] = F[i – 1, j] + F[i, j – 1];
// Lời giải cho bài toán gốc
return F[M, N];
Top – Down :
// Giải quyết bài toán con (i, j)
int P(int i, int j)
{
// Nếu (i, j) đủ nhỏ thì giải trực tiếp
if (i == 1 || j == 1) return 1;
// Kiểm tra trong bộ nhớ xem (i, j) đã được giải chưa
if (F[i][j] >= 0) return F[i][j];
// Nếu chưa, giải (i, j) bằng cách đệ quy phân rã
F[i, j] = P(i – 1, j) + P(i, j – 1);
// Trả về lời giải tìm được
return F[i, j];
}
// Chương trình chính
int main()

16
{
// Đánh dấu tất cả các bài toán chưa được giải
memset(F, -1, sizeof(F));
// Gọi đệ quy giải quyết bài toán (M, N)
cout << P(M, N) << endl;
// Kết thúc
return 0;
}
Hai đoạn code trên cho ta thấy hai phong cách lập trình quy hoạch động khác
nhau. Đối với đoạn code theo phong cách Bottom – Up ưu điểm là dễ kiểm soát, dễ
debug nhưng đôi khi khó diễn đạt được những hệ thức truy toán phức tạp (chia nhiều
trường hợp). Đối với đoạn code theo phong cách Top – Down, ưu điểm là dễ cài đặt,
dễ nắm bắt nhưng khó debug.
Một điểm quan trọng cần lưu ý khi code theo phong cách Top – Down là ta phải
lưu lại lời giải của các bài toán đã được giải quyết để không phải tính lại lần thứ hai.
Ví dụ như trong đoạn code trên, nếu mỗi khi xét bài toán (i, j) ta không kiểm tra xem
nó đã được giải quyết trước đó chưa mà tiếp tục gọi đệ quy P(i, j) thì sẽ dẫn tới hậu
quả là bản thân (i, j) và các bài toán con của nó đều bị tính lại và như thế, độ phức tạp
của chương trình sẽ là O(e
MN
) thay vì O(MN).
Chú ý : Trên thực tế, kết quả của bài tập ở ví dụ 2 rất lớn và phải được xử lý bằng
chuỗi. Trong hai đoạn code trên, vì mục đích minh họa cho người đọc dễ hiểu nên
xem như kết quả nằm trong phạm vi số nguyên.
17
5. Tổng kết
Quy hoạch động là một phương pháp mạnh để giải quyết một bài toán tối
ưu. Phương pháp này áp dụng hai nguyên lý sáng tạo là “phân nhỏ” và “kết hợp”
để giải quyết bài toán. Quá trình chia nhỏ bài toán lớn về các bài toán có phạm vi

nhỏ hơn theo nguyên lý “phân nhỏ”. Sau đó, tổng hợp lời giải của các bài toán con
để tìm lời giải cuối cùng cho bài toán lớn sử dụng nguyên lý sáng tạo “kết hợp”.
Để giải quyết một bài toán bằng phương pháp quy hoạch động, trước hết ta phải
xác định không gian trạng thái của bài toán, sau đó áp dụng một trong hai phương
pháp bottom-up, hoặc top-down để cài đặt.
Tài liệu tham khảo
[1] Giải Thuật và Lập Trình, ĐHSP Hà Nội (1999 – 2002), Lê Minh Hoàng
[2] Phương pháp nghiên cứu khoa học trong tin học, GS.TSKH. Hoàng Kiếm.
[3] Giáo trình thuật toán thuật giải, GS.TSKH. Hoàng Kiếm.
[4] Introduction To Algorithm, 2
nd
Edition, Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson,
Ronald L. Rivest.
18