de thi HSG truong mon Toan 10, 2011

TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 3 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN 10 – Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1. (4 điểm)
Cho hàm số
2
4 3y x x= − +
có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
số. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình:
2
4 3 2 1x x m
− + = +
có đúng 2 nghiệm.
Câu 2. (3 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
( ) ( )
2
2 1 3 2 0mx m x m− − + − =
có hai
nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn:
1 2
2 1x x+ =
.
Câu3. (4 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
7 2 5
2 1
x y x y

x y x y

+ + + =


+ + − =


2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
4 4
1 1x x x x m+ + − + − =
.
Câu 4. (7 điểm)
1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm bất kì. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2
3MA MB MC MG GA GB GC+ + = + + +
. Khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, tìm vị trí của M để
2 2 2
MA MB MC+ +
đạt giá trị bé nhất.
2) Cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
. . . 0
MBC MCA MAB
S MA S MB S MC+ + =
uuur uuur uuur r
.
3) Trong hệ trục Oxy cho ∆ABC có
( )
2; 1 ,B −

đường cao hạ từ A và phân giác góc C
lần lượt có phương trình
3 4 27 0 x y− + =
và 2 5 0x y+ − =
. Tìm tọa độ điểm A và
điểm C. Phân giác góc C nói trên là phân giác trong hay phân giác ngoài?
Câu 5. (2 điểm) Cho ba số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
3a b c+ + =
.Chứng minh rằng:
3 3 3
3
2
a b c
a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +
********HẾT********
Họ và tên học sinh:………………………………………………………….Lớp:……
ĐỀ CHÍNH THỨC