CÁC DANG TOÁN TRONG HHKG

CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1/
Lập
phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
Chọn điểm đi qua là A và VTPT là
[ , ]n AB AC
→
=
uuur uuur

2/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) qua M(x
0
;y
0
;z
0
) và vuông góc đường thẳng d cho trước.
Mặt phẳng (
α
) qua M và nhận vtcp
d
a
→
của đt(d) làm VTPT.
3/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) qua M(x
0

;y
0
;z
0
) và chứa đường thẳng d cho trước.
+ Đt(d) đi qua điểm A ( x
1
;y
1
;z
1
) và có VTCP
a
→
+ Khi đó
;n AM a
 
=
 
r uuuur r
là VTPT của mặt phẳng (
α
) và mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M
4/ Lậpphương trình mặt phẳng (
α
) qua M(x
0
;y

0
;z
0
) và song song với mp( β ) cho trước .
Mặt phẳng (
α
) qua M và nhận VTPT
n
β
→
của mp(β) làm VTPT
5/ Lậpphương trình mặt phẳng (
α
) qua M(x
0
;y
0
;z
0
) và vuông góc với hai mặt phẳng (
β
) ; (
γ
)
Mặt phẳng (α) đi qua M và nhận
n
→
=
;n n
β γ

→ →
 
 
 
làm VTPT.
6/ Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB
Mặt phẳng trung trực nhận
AB
uuur
làm VTPT và đi qua trung điểm I của AB ⇒ phương trình Mp (
α
)
7/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) qua 3 điểm A(a;0;0) B(0;b;0), C(0;0;c).
Mặt phẳng này là mặt phẳng theo đoạn chắn. Phương trình là::
+ + =
1
x y z
a b c
.
8/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) qua hai điểm A;B và vuông góc với mp( β ):
Mặt phẳng (
α
) qua A nhận
[ , ]n AB n
β
→

=
uuur r
làm VTPT.
9/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) qua M(x
0
;y
0
;z
0
) song song với đt(d) và vuông góc với
mp( β ):
Mặt phẳng (
α
) qua M nhận
[ , ]
d
n a n
β
→
=
r r
làm VTPT.
10/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) chứa đt (d) và song song đt( ∆ ).
• Ta tìm điểm đi qua M và VTCP
d
a

uur
của (d), VTCP
a
∆
uur
của ∆ .
• Mặt phẳng (
α
) qua M nhận
[ , ]
d
n a a
→
∆
=
r r
làm VTPT
11 / Lập phương trình mặt phẳng (
α
) chứa đtd
1
và đtd
2
:
Mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M của đtd
1 và
nhận
1 2

,
[ ]
d d
n a a
→
=
r r
làm VTPT.
12/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) qua M(x
0
;y
0
;z
0
) và song song với 2 đtd
1
và d
2
Mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M và nhận
1 2
,
[ ]
d d
n a a
→
=

r r
làm VTPT.
13/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) chứa đt ∆ và vuông góc với mp ( β ) .
1
CHÚ Ý: Nếu mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) và có VTPT
( )
; ;n A B C
→
=
thì
phương trình mặt phẳng (
α
) là: A ( x – x
0
) + B ( y – y
0
) + C ( z – z
0
) = 0
CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN

• Ta tìm điểm đi qua M và VTCP
a
∆
→
của (∆ ), VTPT
n
β
→
của (β) .
• Mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M và nhận
[ , ]n n a
β
→
∆
=
r r
làm VTPT
15/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A vuông góc với trục Ox
Mặt phẳng (
α
) đi qua điểm Avà nhận
( )
1;0;0i
→
=
làm VTPT.

16/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua hai điểm A;B và song song với trục Ox
Mặt phẳng (
α
) đi qua điểm Avà nhận
,n AB i
→
 
=
 
uuur r
làm VTPT
17/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A song song với mp(oxy) .
Khi đó (
α
) đi qua A và nhận
( )
0;0;1k
→
=
làm VTPT
18/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A, B và vuông góc với mp(oxy) .
Khi đó (
α
) đi qua A và nhận

,n AB k
→
 
=
 
uuur r
làm VTPT.
19/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) có VTPT
( )
; ;n A B C
→
=
và tiếp xúc mặt cầu (S)
• Mặt cầu (S) có tâm I ( a;b;c) và có bán kính R
• Mp (
α
) có VTPT
( )
; ;n A B C
→
=
nên phương trình mp(
α
) có dạng:Ax + By + Cz +m = 0
Sử dụng ĐK mp (
α
) tiếp xúc mặt cầu (S) nên:
( )

( )
;d I R
α
=
. Giải phương trình tìm m
• Viết phương trình mặt phẳng (
α
)
20/ Lập phương trình mặt phẳng (
α
) có VTPT
( )
; ;n A B C
→
=
và có khoảng cách từ điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (
α
) bằng a cho trước
• Mp (
α
) có VTPT
( )
; ;n A B C

→
=
nên phương trình mp(
α
) có dạng:Ax + By + Cz +m = 0
Do khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mp (
α
) bằng a nên:
( )
( )
;d M a
α
=
Giải pt tìm m
• Viết phương trình mặt phẳng (
α
)
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
2
CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
1/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.
Đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận
AB
uuur

làm VTCP.
2/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ .
Đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận VTCP
a
∆
uur
của đường thẳng ∆ làm VTCP.
3/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với mp(
α
) .
Đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận VTPT
n
α
uur
của mp(
α
) làm VTCP.
4 / Lập phương trình đt (d) là giao tuyến của 2 mp (
α
) và ( β ) .
• Trong phương trình của 2 mp (
α
) và (β) , ta cho x = 0 rồi giải hệ tìm y và z. Ta được điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) mà đt(d) đi qua

• Đường thẳng (d) nhận
[ , ]a n n
β
α
→
=
r r
làm VTCP.
• Lập phương trình đt (d)
5 / Lập phương trình đt (d) đi qua điểm A và song song với 2 mp (
α
) và ( β ) .
Đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận
[ , ]a n n
β
α
→
=
r r
làm VTCP.
6 / Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d
1,
d
2
.
• Lập phương trình mp (
α
) qua A và chứa đtd
1
.

• Lập phương trình mp (β) qua A và chứa đtd
2
.
• Khi đó đt(d) cần tìm chính là giao tuyến của (
α
) và (β) ⇒ phöông trình cuûa
Giải xong thử lại xem đt(d) có cắt d
1
, d
2
không?
7 / Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc với d
1
, và cắt d
2.
• Lập phương trình Mp (
α
) qua A và vuông góc đường thẳng d
1
.
• Tìm giao điểm M của d
2.
và mp (
α
) bằng cách giải hệ phương trình
2
( )
( )
ptmp
ptdt d

α




• Khi đó phương trình đt (d) cần tìm chính là phương trình đường thẳng qua A và M
8/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc với đt ∆ và cắt đt ∆
• Lập phương trình Mp (
α
) qua A và vuông góc đường thẳng ∆ .
• Tìm giao điểm M của ∆ và mp (
α
) bằng cách giải hệ phương trình
( )
( )
ptmp
ptdt
α


∆


• Khi đó phương trình đt (d) cần tìm chính là phương trình đường thẳng qua A và M
9/ Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mp (
α
) và cắt hai đường thẳng d
1,
d
2

.
• Tìm giao điểm A của d
1
và mp (
α
). Toạ độ A là nghiệm của hệ
1
( )ptmp
ptdtd
α



• Tìm giao điểm B của d
2
và mp (
α
). Toạ độ B là nghiệm của hệ
2
( )ptmp
ptdtd
α



• Khi đó phương trình đt (d) cần tìm chính là phương trình đường thẳng qua A và B.
10/ Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đt ∆ trên mp (
α
).
3

CHÚ Ý: Nếu đường thẳng (d) đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) và có VTCP
( )
1 2 3
; ;a a a a
=
r
thì
phương trình đường thẳng (d) là:
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
• Lập phương trình mp (β) chứa đt ∆ và vuông góc với mp (

α
) .
• Khi đó phương trình đt (d) cần tìm chính là giao tuyến của mp (
α
) và mp (β)
( )
( )
ptmp
ptmp
α
β




11/ Lập phương trình đường thẳng (d) song song với d
1
cắt d
2
và d
3
.
• Lập phương trình mp (
α
) chứa d
2
và song song với d
1.
• Lập phương trình mp (β) chứa d
3

và song song với d
1.
• Khi đó phương trình đt (d) cần tìm chính là giao tuyến của mp (
α
) và mp (β)
( )
( )
ptmp
ptmp
α
β



12/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của mp (
α
) và ∆ ,(d) nằm trong (
α
)
và (d) vuông góc với ∆ .
• Tìm giao điểm A của ∆ và (
α
). Tọa độ gđ A là nghiệm của hệ
( )
( )
ptmp
ptdt
α



∆

• Lập phương trình mp (β) đi qua A và vuông góc với ∆.
• Khi đó phương trình đt (d) cần tìm chính là giao tuyến của mp (
α
) và mp (β)
( )
( )
ptmp
ptmp
α
β




13 / Lập phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mp (
α
) và cắt d
1
, d
2
.
• Lập phương trình mp (β) chứa d
1
và vuông góc với mp(
α
) .
• Lập phương trình mp (γ ) chứa d
2

và vuông góc với mp(
α
).
• Khi đó phương trình đt (d) cần tìm chính là giao tuyến của mp (
α
) và mp (β)
( )
( )
ptmp
ptmp
α
β



14/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với 2 đường thẳng d
1
và d
2
.
Khi đó đt(d) cần tìm đi qua M và nhận
1 2
[ , ]
d d
a
a a
→
=
r r
làm VTCP

15/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M song song với mp(
α
) và vuông góc với đt ∆
Khi đó đt(d) cần tìm đi qua M và nhận
[ , ]
a
n a
α
→
∆
=
r r
làm VTCP
16/ Lập phương trình đt (d) là đường vuông góc chung của hai đt chéo nhau d
1
và d
2
.
• Đưa phương trình đt d
1
và d
2
về các phương trình tham số
• Đt d
1
có VTCP
( )
1 2 3
; ;a a a a
=

r
và Đt d
2
có VTCP
( )
1 2 3
; ;b b b b
=
r
• Gọi điểm A thuộc đt d
1
và điểm B thuộc đt d
2
sao cho AB vuông góc với đt d
1
và đt d
2

• Khi đó ta có
. 0
. 0
AB a
AB b

=


=



uuur r
uuur r
. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ A và B
•Khi đó phương trình đt (d) cần tìm chính là phương trình đường thẳng qua A và B.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG
1/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng ∆ .
4
CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
B1: Lập phương trình mp(
α
) đi qua M và vuông góc với đt∆ .
B2:Tìm giao điểm H của ∆ và mp(
α
) ⇒ H là hình chiếu vuông góc của M trên đt∆
2/ Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đt ∆ .
B1: Lập phương trình mp(
α
) đi qua M và vuông góc với đt∆ .
B2:Tìm giao điểm I của ∆ và mp(
α
).
B3: Do I là trung điểm của MM’ ⇒ tọa độ M’ là:
'
'
'
2
2
2
M I M
M I M

M I M
x x x
y y y
z z z
= −


= −


= −

3/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp(
α
) .
B1: Lập phương trình đt∆ đi qua M và vuông góc với mp(
α
). .
B2:Tìm giao điểm H của ∆ và mp(
α
) ⇒ H là hình chiếu vuông góc của M trên mp(
α
).
4/ Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp(
α
) .
B1: Lập phương trình đt∆ đi qua M và vuông góc với mp(
α
).
B2:Tìm giao điểm I của ∆ và mp(

α
).
B3: Do I là trung điểm của MM’ ⇒ tọa độ M’ là:
'
'
'
2
2
2
M I M
M I M
M I M
x x x
y y y
z z z
= −


= −


= −

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
1/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG:
Cho hai mặt phẳng :
5
CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
(
α

) : Ax + By + Cz + D = 0
(
'
α
) : A
/
x + B
/
y + C
/
z + D
/
= 0
•
Nếu (
α
) cắt (
α
′
) ⇔ A : B : C ≠ A’:B’:C’
•
Nếu (
α
) ≡ (
α
′
) ⇔
D
D
C

C
B
B
A
A
′
=
′
=
′
=
′
•
Nếu (
α
) // (
α
′
) ⇔
D
D
C
C
B
B
A
A
′
≠
′

=
′
=
′
2/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG:
B1: Đt d
1
có 1 VTCP
a
→
=(a
1
;a
2
;a
3
) và một điểm đi qua là M
1
(x
1
, y
1
, z
1
).
Đt d
2
có 1 VTCP
→
b

=(b
1
;b
2
;b
3
) và một điểm đi qua là M
2
(x
2
, y
2
, z
2
).
B2: Tính [
a
→
,
→
b
],
1 2
M M
→
* d
1
chéo d
2
⇔ [

a
→
,
→
b
].
1 2
M M
→
≠
0
* d
1
cắt d
2
⇔
1 2
1 2 3 1 2 3
[ , ].M M 0
: : : :
a b
a a a b b b
→
→ →


=


≠


* d
1
// d
2
⇔
= ≠ − − −
1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1
: : : : ( ):( ):( )a a a b b b x x y y z z
* d
1
≡ d
2
⇔
= = − − −
1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1
: : : : ( ):( ):( )a a a b b b x x y y z z
3/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT MẶT PHẲNG:
Cho đtd :
0 0 0
1 2 3
x-x y-y z-z
= =
a a a
vả mp(
α
) : Ax + By + Cz + D = 0
1/ d cắt (
α
) ⇔ Aa

1
+ Ba
2
+ Ca
3
≠ 0 (
a
→
⊥
n
→
)
2/ d //
α
⇔
1 2 3
o o o
A.a + B.a + C.a =0
A.x +B.y +C.z +D 0


≠

3/ d ⊂
α
⇔
1 2 3
o o o
A.a + B.a + C.a =0
A.x +B.y +C.z +D=0




4/ d ⊥
α
⇔ a
1
: a
2
: a
3
= A : B : C
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU
Dạng 1: Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu:
Phương pháp giải:
6
CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
• Cách I: Phương trình mặt cầu có dạng tổng quát :
(x – a )
2
+ ( y -b)
2
+ (z – c ) =R
2

⇒
mặt cầu có tâm I (a;b;c) bán kính R.
• Cách II: Phương trình mặt cầu có dạng khai triển : x
2
+y

2
+ z
2
+2Ax + 2By + Cz + D = 0. Tìm
A,B,C,D ( Với A
2
+B
2
+C
2
-D ≥ 0 )
⇒
mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C), bán kính R=
+ −
2 2 2
A +B C D
Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của một mặt phẳng (
α
) với một mặt cầu(S).
Phương pháp giải:
B1: Xác định tâm I và bán kính R của (S). Tính
( )
( )
;d I
α
.
B2: Xác định vị trí tương đối như sau:
• Nếu d(I,(
α
) ) = R

⇔
(
α
) tiếp xúc (S).
• Nếu d(I,(
α
) ) > R
⇔
(
α
) và (S) không có điểm chung.
• Nếu d(I,(
α
) ) < R
⇔
(
α
) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn
Dạng 3: Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mp(
α
) và một mặt
cầu (S)
Phương pháp giải:
• Lập phương trình đt ∆ qua I và vuông góc với Mp (
α
) .
• Tâm H của đường tròn giao tuyến là giao điểm của ∆ và mp (
α
) Tọa độ H là nghiệm của hệ
phương trình:

( )
( )
ptmp
ptmdt
α


∆

• Bán kính của đường tròn giao tuyến là: r =
2 2
R IH−

Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu
Phương pháp giải:
• C1 : Tìm tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu rồi lập phương trình tổng quát,
(x – a )
2
+ ( y -b)
2
+ (z - c)
2
=R
2
.
• C2 : Tìm A, B, C, D rồi lập phương trình dạng khai triển: x
2
+y
2
+z

2
+2Ax + 2By +2Cz + D = 0.
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
• Lập phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm M.
Bán kính chính là IM
7
CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
• Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A và B là hai điểm cho trước.
Tâm của mặt cầu là trung điểm I của AB và bán kính R= AI=
AB
2

• Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp(
α
) cho trước.
Bán kính mặt cầu là: R= d(I, (
α
) ).
• Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và tiếp xúc đt
∆
cho trước .
Bán kính mặt cầu là R= d(I, ∆ ).
• Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C,D ( Hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD).
CI/ Thay tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt vào phương trình:
x
2
+y
2
+z
2

+2Ax + 2By +2Cz + D = 0. Ta được một hệ phương trình 4 ẩn A, B, C, D. Dùng phương
pháp thế để giải hệ tìm A, B, C, D
⇒
phương trình mặt cầu
CII/ Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu, ta giải hệ
2 2
2 2
2 2
AI BI
BI CI
CI DI

=

=


=

⇒ tọa độ tâm I, bán kính R= AI ⇒ phương trình mặt cầu
• Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, Cvà có tâm I nằm trên mp (
α
) .
Phương trình Mặt cầu có dạng: x
2
+y
2
+z
2
+2Ax + 2By +2Cz + D = 0. (1)

Thay tọa độ các điểm A, B, C lần lượt vào phương trình (1) và thay tọa độ tâm I(-A,-B,-C) vào
phương trình mp(
α
) . Giải hệ tìm A, B, C, D
⇒
phương trình mặt cầu
• Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đt(d) tại A, B sao cho AB=l cho trước.
Bán kính của mặt cầu là: R=
2
2
[ ( , )]
2
l
d I
 
∆ +
 
 

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI
1/ Bài 1 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 1 , 2 , 2 ) , B ( 2 , 0 , -2 ) và
mp (P) : 3x + y + 2z – 1 = 0.
a/ Tìm toạ độ giao điểm M của đường thẳng AB với mp(P).
8
CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
b/ Viết phương trình đt(d) đi qua điểm A và vuông góc với mp(P).
c/ Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua mp(P).
d/ Viết phương trình mp(Q) đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mp(P).

e/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mp(P).
2/ Bài 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho :đt (D) :
2 5 0
2 3 0
x y z
x z
− + − =


− + =

và
mp (P) :x + y + z – 7 = 0.
a/ Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng (D) với mp(P).
b/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (D) lên mp(P).
c/ Viết phương trình đt(
∆
) đi qua điểm M (1 , -2 , 2 ) cắ trục Ox và cắt đt(D).
3/ Bài 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
(d) :
3 1 4
1 2 0
x y z− + −
= =
(d
/
) :
2 2 0
2 0
x y

x z
+ − =


− =

a/ Chứng tỏ (d) và (d
/
) chéo nhau . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d) và (d
/
).
b/ Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng (d) và song song đường thẳng (d
/
).
c/ Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d
/
).
4/ Bài 4 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 2y + 4z – 3 = 0
và hai đường thẳng :
1
( )∆
:
2 2 0
2 0

x y
x z
+ − =


− =


2
3 1 4
( ):
1 2 0
x y z− + −
∆ = =
a/ CMR
1
( )∆
và (
2
∆
) chéo nhau.
b/ Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết tiếp diện này song song với hai đường
thẳng
1
( )∆
và (
2
∆
).
5/ Bài 5 : Trong kg Oxyz cho bốn điểm A ( 1 , -1 ,2) , B ( 1 , 3 , 2 ), C ( 4 , 3 , 2 ), D ( 4 , -1 , 2 ).

a/ CMR bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng.
b/ Gọi A
/
là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mpOxy. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) qua
bốn điểm A
/
, B , C , D.
c/ Viết phương trình tiếp diện của (S) tại điểm A
/
.
6/ Bài 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A , B , C , D có tọa độ được xác định
bởi: A = ( 2 , 4 , -1) ,
4OB i j k= + −
uuur r r r
, C ( 2 , 4 , 3 ) ,
2 2OD i j k= + −
uuur r r r
.
a/ CMR AB
⊥
AC , AC
⊥
AD , AD
⊥
AB. Tính thể tích tứ diện ABCD
b/ Viết phương trình tham số đường vuông góc chung
( )
∆
của AB và CD . Tính góc giữa
( )

∆
và
mp(ABD).
c/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A , B , C , D. Viết phương trình tiếp diện
( )
α
của
(S) song song mp(ABD).
7/ Bài 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(P) : 2x - 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S) :
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3x + 4y - 5z + 6 = 0.
a/ Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).
b/ Tính khoảng cách tứ tâm I đến mp(P) . Từ đó suy ra mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn
ta ký hiệu là (C) . Xác định tọa độ tâm H và bán kính r của đường tròn (C).
8/ Bài 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , -2 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 3 ) .
a/ Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b/ Viết phương trình mp
( )
α
đi qua ba điểm A , B , C.
c/ Thí sinh tự chọn một điểm M ( khác A , B , C ) thuộc mp
( )
α
, rồi viết phương trình đường thẳng
(d) đi qua điểm M và vuông góc với mp

( )
α
.
9/ Bài 9 : Trong kg với hệ tọa độ Oxyz A ( -2 , 0 ,1) , B ( 0 , 10 , 3 ), C ( 2 , 0 , -1 ) , D ( 5 , 3 , -1 ).
9
CÁC DẠNG TOÁN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ VÕ THANH NGÂN
a/ Viết phương trình mp(P) đi qua ba điểm A , B , C.
b/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D và vuông góc với mp (P).
c/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc mp(P).
10 / Bài 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 1 , 4 , 0) ,B ( 0 , 2 , 1 ) , C ( 1 , 0 , -4 ).
a/ Viết phương trình tham số đường thẳng AB.
b/ Viết phương trình mp
( )
α
đi qua điểm C và vuông góc với AB. Xác định tọa độ giao điểm của
đường thẳng AB với mp
( )
α
.
11/ Bài 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
thoi, AC cắt BD tại O. Biết A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ) , S(0;0;
2 2
) . Gọi M là trung điểm cạnh
SC.
a/ Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b/ Giả sử mp (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S. ABMN.
( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 . Khối A ) .
12/ Bài 12 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( - 4 , - 2 , 4 ) và đt (d) :
3 2
1

1 4
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +

Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A cắt và vuông góc với đường thẳng (d)
(Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 . Khối B ) .
13/ Bài 13 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 2 , 0 ,1) , B ( 1 , 0 , 0 ) , C ( 1 , 1 , 1 )
và mp(P) : x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A , B , C và có tâm
thuôc mp(P)
(Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 . Khối D) .
14/ Bài 14 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đt (d)
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
Và mp (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0.
a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.

b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đt (d) với mp (P). Viết phương trình tham số đt
( )
∆
nằm trong (P) ,
biết
( )
∆
đi qua A và vuông góc (d).
(Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2005 . Khoái A ) .
15/ Bài 15 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
và
2
2 0
:
3 12 0
x y z
d
x y
+ − − =



+ − =

a/ CMR d
1
và d
2
song song nhau. Viết phương trình mp (P) chứa hai đường thẳng d
1
và d
2
.
b/ Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt tại các điểm A và B . Tính diện tích
tam giác OAB( Với O là góc tọa độ).
(Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2005 . Khoái B ) .
10