Bai giang chuyen de (tu bien soan)

Nhiệt liệt chào mừng
Các THầY giáo, cô giáo về Dự
SINH HOạT CHUYÊN Đề
CHàO MừNG 80 NĂM NGàY
THàNH LậP ĐOàN TNCS Hồ CHí MINH
Đức hợp, ngày 24 tháng 3 năm 2011
CHUYÊN ĐỀ
Biên soạn: Tổ Toán – Tin học trường THPT Đức Hợp

CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP
ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH
CHUYÊN ĐỀ
1. TÌM GTLN, GTNN
BẲNG PP HÀM SỐ
THÍ DỤ 1
THÍ DỤ 2
THÍ DỤ 3
THÍ DỤ 4
THÍ DỤ 5
THÍ DỤ 6
THÍ DỤ 7
THÍ DỤ 8
2. ƯD GTLN, NN VÀO GIẢI
PT, BPT,
THÍ DỤ 1
THÍ DỤ 2
THÍ DỤ 3
THÍ DỤ 4
Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về
Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về
cùng một đại lượng giống nhau

cùng một đại lượng giống nhau
Đặt ẩn phụ là đại lượng chung đó
Đặt ẩn phụ là đại lượng chung đó
Tìm điều kiện ràng buộc cho ẩn t, giả sử
Tìm điều kiện ràng buộc cho ẩn t, giả sử
t
t


D
D
Xét hàm số f theo biến t khi đó ta hình thành
Xét hàm số f theo biến t khi đó ta hình thành
được bài toán tương đương sau:
được bài toán tương đương sau:
“
“
Tìm Max, Min h/s f(t) với t
Tìm Max, Min h/s f(t) với t


D ”
D ”
(Dùng đạo hàm để tìm Max, Min của hàm f(t)
(Dùng đạo hàm để tìm Max, Min của hàm f(t)
với t thuộc tập D)
với t thuộc tập D)
1.TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ:

CHUYÊN ĐỀ:


TÌM GTLN, GTNN
TÌM GTLN, GTNN
BẲNG PP HÀM SỐ
BẲNG PP HÀM SỐ
Điểm mấu chốt trong cách giải này là xây
Điểm mấu chốt trong cách giải này là xây
dựng hàm số
dựng hàm số
f(t) với t
f(t) với t


D
D
Trong tr/h không tìm được hàm f(t) thỏa
Trong tr/h không tìm được hàm f(t) thỏa
mãn P = f(t) ta đi tìm hàm f(t) thỏa mãn:
mãn P = f(t) ta đi tìm hàm f(t) thỏa mãn:
P
P
≥ f(t)
≥ f(t)
( với bài toán tìm GTNN)
( với bài toán tìm GTNN)
P ≤ f(t)
P ≤ f(t)
( với bài toán tìm GTLN)

( với bài toán tìm GTLN)
+ +
1 1 1
x y z
Thí dụ 1: (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z =1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x + y + z +
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Lời giải:
Theo BĐT Côsi ta có:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ≥ 10.
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =1/3
Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1/3
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Thí dụ 2:
Lời giải:
P =
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Thí dụ 3:
Lời giải:
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Lời giải:
Thí dụ 4: Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa
mãn a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức
3 3
1 1
F
a b ab
= +
+
Biến đổi và xét hàm số
1 1 1
( ) ,0
1 3 4
f t ab
ab ab
= + < ≤
−
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
( )
3 3
inf t =4+2 3,
6
inF=4+2 3
M t
M
−

=
⇒
1 2 3 3
1
2 3
1 2 3 3
1
2 3
a
b

 
−

= +
 ÷
 ÷

  

 

−
= −
 ÷

 ÷

 


Khi
1 2 3 3
1
2 3
1 2 3 3
1
2 3
a
b

 
−

= −
 ÷
 ÷

  
∨

 

−
= +
 ÷

 ÷

 


CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Lời giải:
Thí dụ 5: Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa
mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức
1 1
x y
A
x y
= +
− −
Từ giả thiết ta có: x, y  (0;1)
( )
, 0, 0
a b
a b a b
b a
+ ≥ + > >
Theo BĐT:
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1
1 ,
1
x x
A x x
x x
−
= + ≥ + −
−

Xét hàm số
( )
[ ]
= + − ∈1 , 0;1f x x x x
( )
1 1 1
' 0
2 2 1 2
f x x
x x
= − = ⇔ =
−
Lập bảng biến thiên
( )
( )
0;1
1
Maxf x 2
2
x
x
∈
= ⇔ =
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Thí dụ 6. Tìm GT:N, GTNN của hàm số
Lời giải.
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Lời giải.
Thí dụ 7. Với hai số thực x và y.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
( ) ( )
= − + + + + + −
2 2
2 2
A x 1 y x 1 y y 2
( ) ( )
+ + + ≥ + + +
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d
Từ BĐT
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ad-bc=0
Ta có đánh giá sau:
( ) ( )
( ) ( )
= − + + + + + −
≥ − + + + + + − = + + −
2 2
2 2
2 2
2
A x 1 y x 1 y y 2
1 x x 1 y y y 2 2 1 y y 2
( )
≥ + + − =
2

A 2 1 y y 2 f y
hay
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
( )
≥ = + + −
2
A f y 2 1 y y 2
Xét hai trường hợp với hàm số f(y)
( )
 
= + =
 ÷
 
1
MinA 2 3 khi x;y 0;
3
Chú ý:
Có thể tìm hàm số f(y) bằng PP tọa độ trong mpOxy
M(x-1;-y); N(x+1;y), O(0;0)
Ta có: OM+ON≥MN
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Lời giải.
Thí dụ 8. Cho các số thực đôi một khác nhau
thuộc đoạn [0;2]. Tìm GTNN của biểu thức
( ) ( ) ( )
= + +
− − −
2 2 2

1 1 1
T
a b b c c a
Ta giả sử: 0 ≤ a < b < c ≤ 2, Ta có các đánh giá:
Vì 0< c-a ≤ 2 nên có:
( )
≥
−
2
1 1
4
c a
Vì 0< c-b ≤ 2-b nên có:
( ) ( )
≥
− −
2 2
1 1
c b 2 b
Vì 0< b-a ≤ b nên có:
( )
≥
−
2 2
1 1
b
b a
(1)
(2)
(3)

CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Từ các BĐT (1), (2), (3) ta có:
( )
( )
≥ + + ∈
−
2 2
1 1 1
T ,b 0;2
4
b
2 b
( )
( )
= + + ∈
−
2 2
1 1 1
f(b) ,b 0;2
4
b
2 b
Đặt
Khảo sát hàm số f(b), có: f(b)≥ 9/4
Vậy T ≥ f(b)≥ 9/4. MinT = 9/4 khi
(a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị của nó
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2. ỨNG DỤNG TÌM GTLN, NN

VÀO GIẢI PT, BPT
Lời giải.
Thí dụ 1.
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ