Hướng dẫn giải Đề thi học sinh giỏi Tỉnh - Môn Toán năm 2011

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN: TOÁN – THPT
CâuI.
1. Tự làm
2. Có
2 2
' 3 2( 1) (4 )y x m x m= − + − −
.
( )
m
C
có hai tiếp tuyến vuông góc với hệ số góc lần lượt là
k
và
1
k
−
.
Khiđó các phương trình:
2 2
3 2( 1) (4 ) 0x m x m k− + − − − =
và
2 2
1
3 2( 1) (4 ) 0x m x m
k
− + − − + =
đều phải có
nghiệm đối với
x

. Tức là
2 2
2 2
2 2 13 3 0 2 2 13 3 0 (1)
3 3
2 2 13 0 2 2 13 0 (2)
m m k m m k
m m m m
k k
 
− + + + ≥ − − − ≤
 
⇔
 
− + + − ≥ − − + ≤
 
 
.
( )I
(ẩn
m
)
(1) có
1
' 27 6k∆ = +
; (2) có
2
6
' 27
k

∆ = −
. Khi
1 2
' 0; ' 0∆ < ∆ <
thì hệ
( )I
vô nghiệm.
Khi
1
2
9
' 0
2
2
' 0
9
k
k

∆ = ⇒ = −



∆ = ⇒ =



1
2
m⇒ =

thoả mãn (cho tương ứng cả của (1) và của(2)) .
Khi
1
2
9
0
' 0
2
2
' 0
9
k
k

− < <

∆ >

⇔


∆ >


>


thì (1) có tập nghiệm là
1 27 6 1 27 6
;

2 2
k k
 
− + + +
 
 
; (2) có tập nghiệm là
6 6
1 27 1 27
;
2 2
k k
 
− − + −
 
 
 
 
 
, hệ
( )I
có nghiệm
9 2
;0 ;
2 9
k
   
∀ ∈ − ∪ +∞
 ÷  ÷
   

Xét
9
0
2
k− < <
thì tập nghiệm của
( )I
là
1 27 6
2
k− +
1 27 6
2
k
m
+ +
≤ ≤

1 3 3 1 3 3
2 2
m
− +
⇒ < <
Xét
2
9
k >
thì tập nghiệm của
( )I

là:
6 6
1 27 1 27
1 3 3 1 3 3
2 2 2 2
k k
m m
− − + −
− +
≤ ≤ ⇒ < <
Vậy
1 3 3 1 3 3
2 2
m
− +
< <
là giá trị cần tìm.
Câu II. 1. Giải phương trình:
cos 2 cos3 sin cos4 sin 6x x x x x
+ − − =
Giải:
cos2 cos3 sin cos4 sin 6 cos2 cos4 sin 6 cos3 sin 0x x x x x x x x x x+ − − = ⇔ − − + − =
2sin 3 .sin 2sin 3 .cos3 cos3 sin 0x x x x x x
⇔ − + − =
sin cos3
(sin cos3 )(2sin 3 1) 0
1
sin 3
2
x x

x x x
x
=


⇔ − − = ⇔

=

Bạn đọc tự giải ra nghiệm của phương trình
2. Giải bất phương trình:
2 4 2
6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤
(*)
4 2 2
(*) 1 6( 3 1)x x x x⇔ + + ≤ − − +
2
4 2 2 2
2
4 3 2
2
3 5 3 5
3 5 3 5
( 3 1) 0
2 2
2 2
1 1
1 6( 3 1)
5( ) 36( ) 5 0
5 36 5 36 5 0

x
x x
x
x x x x
x x
x x x x
x x

− +

− +
≤ ≤


− + ≤
≤ ≤
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ + ≤ − +


 
+ − + + ≥
− + − + ≥



2
1

2
5 36 5 0
t x
x
t t

= + ≥

⇒


− − ≥

giải ra
t x⇒
3. Tìm số thực
a
để phương trình
9 9 3 cos( ) (*)
x x
a x
π
+ =
có nghiệm thực duy nhất.
Đặt
3 ( 0)
x
t t= >
(*) trở thành
2

cos( ) 9 0 (1)t a x t
π
− + =
có
2 2
cos ( ) 36a x
π
∆ = −
. Dễ thấy (1) nếu có 2
nghiệm đối với
t
thì 2 nghiệm đó cùng dấu, như vậy (*) có nghiệm duy nhất thì (1) cũng phải có nghiệm kép
dương.
2 2
cos( ) 6
cos ( ) 36 0
cos( ) 6
a x
a x
a x
π
π
π
=

∆ = − = ⇔

= −

khi đó

3
cos( )
3 0
2
t
a x
t
t
π
=

= ⇒

= − <

cos( ) 6
1
6
3 3
x
a x
x
a
t
π
=
=


⇒ ⇒

 
= −
= =


Thử lại thấy thoả mãn
CâuIII Tính
2
3
0
sin
(sin 3cos )
x
dx
x x
π
+
∫
5 5
6 62 2
3 3
3
3
0 0
3 3
1 3
sin( )
sin cos
sin sin
3

2 2
8sin 8sin
(sin 3cos )
8sin ( )
3
t
t t
x x
I dx dx dt dt
t t
x x
x
π π
π π
π π
π
π
−
−
= = = =
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
5 5
6 6
2 3
3 3
1 3 sin
16 sin 16 sin
dt d t

t t
π π
π π
= −
∫ ∫
rồi cho kết quả.
CâuIV
1.
Do (DMN) vuông góc với (ABC) và tứ diện ABCD đều nên
MN luôn qua trọng tâm H của tam giác ABC.
0
1 3
. .sin 60
2 4
AMD
S AM AD x= =
0
1 3
. .sin 60
2 4
AND
S AN AD y= =
2 3 2
3 3 3
AH AP HD= = ⇒ =
M
A
D
C
B

P
H
N
2 2
MN x y xy= + −
2 2
1 1
.
2
6
DMN
S DH MN x y xy⇒ = = + −
0
1 3
. .sin 60
2 4
AMN
S AM AN xy= =
2 2
3 3 3 6
4 4 4 6
tp
S x y xy x y xy= + + + + −
Không giảm tổng quát giả sử
1 2 2
; 1
2 3 3
x y x y≤ ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤
Xét tam giác đều ABC có các cạnh bằng 1 khi đó
2

' ' ; ' ' ; '
3
AM AN a IN IN NN y a MM a x= = = = = = − = −
'
2
a
MH HN= =
4
2
( ) 3 3 2
2 9
2
a
a x a
x y xy x y xy xy x y xy xy
a
y a
y a
−
⇒ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = + ≥ ⇒ ≥
−
+ −
2 2 2
3 3 3 6 3 6
( ) ( ) 3
4 4 4 6 4 6
tp
S x y xy x y xy x y xy x y xy= + + + + − = + + + + −
2
3 6

4 (3 ) 3
4 6
xy xy xy= + −
⇒
GTNN của
tp
S =
đạt tại
2
3
x y= =
2. Cho
: 5 0x y∆ − + =
và các Elíp
2 2 2 2
1 2
2 2
( ) : 1, ( ) : 1 ( 0)
25 16
x y x y
E E a b
a b
+ = + = > >
. Tìm M sao cho…
Giải
2 2
9a b− =
2 2
9a b⇒ = +
; M

( ; 5)x x +
là điểm cần tìm. Khi đó
2 2 2 2 2 2
2
( ) (2 9) 10 25 ( 9) 0M E a x a x a a a∈ ⇒ − + + − − =
có nghiệm đối với
x
.
2 2
' 2 ( 26 153) 0 26 153 0 9; 17t t t t t t t⇒ ∆ = − + ≥ ⇒ − + ≥ ⇔ ≤ ≥
(với
2
t a=
)
2
17a⇒ ≥
Ta được độ dài trục lớn
2a
của
2
( )E
đạt GTNN khi
17a =
khi đó
17 17 8
;
5 5 5
M
x M
 

= − ⇒ −
 ÷
 
3. Trong không gian
Oxyz
cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
1 2
1 2 3 2
: 2 2 : 1 2 ( , )
1
x t x s
y t y s t s
z t z s
= + = +
 
 
∆ = − ∆ = − − ∈
 
 
= − + =
 
¡
.
Giải:
Dễ thấy
1 2
/ /∆ ∆
và cùng thuộc mặt phẳng (Q): x-2z-3=0 , (Q) song song với Oy cắt Ox tại C(3;0;0) và Oz tại
D(
3

0;0;
2
) và M(0;2;0) không thuộc (Q). (P) qua M(0;2;0) song song với Ox cùng với (Q) và xOy đồng quy tại
E(3;2;0) . Mặt khác:
1
( ; )
2 5
3
E
d
∆
=
;
2
( ; )
3 5
3
E
d
∆
=
;
1 2
( ; )
5 5
3
d
∆ ∆
=
Giao tuyến của đường (P) với (Q) là đường thẳng (d)

B
C
A
'N
M
N
H
I
Qua E cắt
1 2
;∆ ∆
tại A và B theo thứ tự như hình vẽ.
Dễ có được EB =
3
5
AB =
3
5
. Ta chuyển sang tìm điểm A
trên đường
2
∆
sao cho EB=
3
5
sau đó viết phương trình
mặt phẳng (P) qua M, E và B
CâuV. Cho các số thực
, ,a b c
thoả mãn

2 2 2
6
3
a b c
ab bc ca

+ + =

+ + = −

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6 6 6
P a b c= + +
.
2 2 2
2 2 2 2
6
( ) 2( ) 0 0
3
a b c
a b c a b c ab bc ca a b c
ab bc ca

+ + =
⇒ + + = + + + + + = ⇒ + + =

+ + = −

6 6 6

P a b c= + +
=
3 3 3 2 3 3 3 3 3 3
( ) 2( )a b c a b b c c a+ + − + +
. Có:
( )
3 3 3 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) 3 3
2
a b c a b c a b b c c a abc abc+ + = + + − + − + − + =
( )
( )
2
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 3a b b c c a ab bc ca a b b c c a a b c abc abc+ + = + + + + − + + +
2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( )a b b c c a abc= − + + +
( )
2 2
3 ( ) 2 ( ) 3( )ab bc ca abc a b c abc= − + + − + + +
2
3( ) 27abc= −
Suy ra:
( )
2
6 6 6
3 54P a b c abc= + + = +
.
Từ

0a b c
+ + =
suy ra trong 3 số
, ,a b c
có hai số cùng dấu và số còn lại khác dấu. Giả sử
,b c
là hai số cùng
dấu và
a
là số trái dấu. Khi đó:

2
2
2 2
( )
( )
0
1 ( ) 4
3
3 ( ) ( ) 4
( ) 3 4
a b c
a b c
a b c
bc abc
ab bc ca
bc a b c b c bc
a b c bc

= − +

= − +
+ + =



⇒ ⇒ ≤ ⇒ ≤
  
+ + = −
+ = − + = + ≥



= + = + ≤

Vậy
( )
2
6 6 6
3 54P a b c abc= + + = +
3.4 54 66
≤ + =
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2; 1
1
2; 1
( )
b c
a b c
bc
a b c

a b c
=

= = = −


= ⇔


= − = =


= − +

hoặc tại các hoán vị của
, ,a b c
.
1
∆
2
∆
A
E
B