Tiểu luận môn Toán cho khoa học máy tính TÌM HIỂU LÝ THUYẾT LỌC KALMAN-BUCY

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
PHÒNG ĐT SĐH-KHCN&QHĐN
TIỂU LUẬN MÔN TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH

TÌM HIỂU LÝ THUYẾT LỌC KALMAN-BUCY
VÀ ỨNG DỤNG MINH HỌA

 TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
 ĐẶNG BẢO ÂN - CH1301077
TP. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2014
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
LỜI CẢM ƠN
 !"#$%&
'%()*)! +,*)- ./0!12*345*0&63
*)!()7%89:51;<*'=>'?9@3*)!@
<2*A/B9@!C DEC%89:FA()
,G2*5,EH<**?#
I7G.GCA*. +
.G -*0 <GH<**?#
JCK= LFA5AM'4.4N/% +
%*),AG O'G*? =30!G-5P -
2*A,GA2*A#
QD(/A !P/% +2*A !
H<**?FA#*)',G2*5,E0&<,50R/
CAC',PGC =30!;FA()54.#
Nhóm học viên thực hiện
Trang 2
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA GIÁO VIÊN
###############################################################################################################################

###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
###############################################################################################################################
Trang 3
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Điểm bằng số #####################################
Điểm băng chữ #####################################
ISTBQ')5UVWVXUY
ZJ[\]^

TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
PHẦN 1
MỤC LỤC
PHẦN 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN 7
V#U_*5,E:*#####################################################################################################################`
V#U#Ua52*5,E:*##############################################################################################`
V#U#VIG.2*5,E:*###############################################################################################b
V#U#c_*5,E9deCAHGA,)f####################################################################################################b
V#U#Y_*5,EQA,0G#################################################################################################################UX
V#U#g_*5,EA*CC####################################################################################################################Uc

V#U#h_*5,Eijj,##################################################################################################################Ug
Trang 4
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
V#VB=:*##################################################################################################################Uk
V#V#UB=:*&######################################################################################################Uk
V#V#V]=:*&##########################################################################################################Ub
V#cI%,E=:*################################################################################################VX
V#c#Ua5-=%,E=:*####################################################################VX
V#c#V"S.9*)PFA#########################################################################################VU
V#c#cI%,E=:**)!>########################################################################VV
PHẦN 3 LỌC NGẪU NHIÊN KALMAN-BUCY 28
c#UlD###########################################################################################################################################V`
c#Vm*###########################################################################################################################################V`
c#clDaAA##############################################################################################################################Vb
c#Y!0!4D#############################################################################################################################cV
c#gQ&EaAAnl*)##################################################################################################################ck
PHẦN 4 MINH HỌA THUẬT TOÁN KALMAN-BUCY BẰNG CHƯƠNG
TRÌNH MATLAB 41
Y#U]B9@Uo8%pM,BG*##################################################################################################YU
Y#V]B9@VqVn=*UnG*=*Yn,.5#####################################################################YY
DANH MỤC HÌNH ẢNH
Trang 5
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Hình 2-1 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn 14
Hình 4-2 Kết quả ước lượng vị trí 42
Hình 4-3 Kết quả ước lượng vận tốc 43
Hình 4-4 Trạng thái 1 và trạng thái 2 45
Hình 4-5 Trạng thái 3 và trạng thái 4 45
LỜI NÓI ĐẦU
Một số quá trình thu và xử lí tín hiệu để xác định quỹ đạo chuyển động như máy

bay, tên lửa, tàu vũ trụ, để biết vị trị các tàu trên biển, để định hướng đi của các robot
tự hành Vì một hay nhiều nguyên nhân khác nhau mà các dữ liệu hay tín hiệu có
được trong quá trình thu nhận thông thường là bị “nhiễu”, nghĩa là kết quả thu nhận
Trang 6
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
được thường không chính xác. Yêu cầu đặt ra là trong quá trình xử lý làm sao để từ kết
quả thu nhận được ta ước lượng được một kết quả chính xác hơn?
Xuất phát từ yêu cầu đó cùng với việc giải quyết vấn đề liên quan đến sự
chuyển hướng của tàu vũ trụ trong chương trình Apollo - Hoa Kì (chương trình đưa
con người từ trái đất lên mặt trăng và ngược lại), Kalman đã nghiên cứu và vào năm
1960 ông đã công bố bài báo nổi tiếng về một giải pháp đệ quy để giải quyết bài toán
lọc tuyến tính thông tin rời rạc (lọc Kalman). Tên đầy đủ của bài báo là “A New
Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”. Năm 1961 Bucy cũng tham gia
vào lĩnh vực này và đã phát triển lý thuyết lọc - lọc tuyến tính thông tin liên tục (lọc
Kalman - Bucy).
Từ thực tế cho thấy hơn 50 năm trôi qua, lọc Kalman ngày càng trở nên phổ
biến và có nhiều ứng dụng rộng rãi. Do vấn đề lọc mà nó giải quyết là vấn đề cơ bản
trong rất nhiều lĩnh vực nên có thể nó sẽ còn có nhiều ứng dụng hơn nữa trong tương
lai. Nhận thấy được tầm quan trọng nên nhóm xin thực hiện tiểu luận “Tìm hiểu lý
thuyết lọc Kalman-Bucy và ứng dụng minh họa”.
Cuối cùng, nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Tôn Đảm đã tận tình
giảng dạy và hướng dẫn để nhóm hoàn tất bài tiểu luận này. Chúc Thầy được nhiều sức
khỏe.
Nhóm học viên thực hiện
PHẦN 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trang 7
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.1 Quá trình ngẫu nhiên
Hầu hết các hiện tượng xảy ra trong tự nhiên và xã hội đều có tính chất ngẫu
nhiên, điều đó phản ánh các mối ràng buộc phức tạp mà ta không biết trước được. Ta

đã biết các khái niệm biến ngẫu nhiên, vector ngẫu nhiên, đó là các biến nhận các giá
trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. Khi họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
vào thời gian ta có quá trình ngẫu nhiên.
Các tín hiệu truyền dẫn và nhiễu của một hệ thống viễn thông, quá trình sắp hàng
ở một tổng đài là các quá trình ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng
trong viễn thông là quá trình có tính Markov (memoryless) và quá trình dừng.
2.1.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên
Các tín hiệu của các hệ thống thông tin là các tín hiệu ngẫu nhiên vì ngoài thành
phần mang tin còn có sự tác động của giao thoa ngẫu nhiên và nhiễu của thiết bị.
Giả sử một tín hiệu nào đó mà tại mỗi thời điểm t chỉ xảy ra ứng với các biến cố
{ , }
i
E i N∈
của không gian mẫu. Tín hiệu này nhận giá trị
( , )
i
v t E
tại thời điểm
t
và khi
biến cố
i
E
xảy ra. Như vậy
( , )
i
v t E
là một mẫu của quá trình ngẫu nhiên
( )v t
. Quá trình

ngẫu nhiên
( )v t
vừa phụ thuốc thời gian
t
, vừa phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên
i
E
.
Một cách tổng quát một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên
{ ( , ); }X t t I
ω
∈
. Các quá trình này vừa phụ thuộc vào thời gian
t
và khi cố định tham số
t
thì
( , )X t
ω
là biến ngẫu nhiên theo
ω
. Tập chỉ số
I
thường biểu diễn tham số thời
gian.
Hầu hết các quá trình xảy ra trong tự nhiên và xã hội đều là quá trình ngẫu nhiên.
Các tín hiệu video, tín hiệu thoại, dữ liệu máy tính, nhiễu điện trong các thiết bị điện,
số khách hàng đến một điểm phục vụ, chỉ số chứng khoán trong thị trường chứng
khoán… là các quá trình ngẫu nhiên.
Để đơn giản trong cách viết người ta ký hiệu quá trình ngẫu nhiên

{ ( ); }X t t I∈
thay cho
{ ( , ); }X t t I
ω
∈
.
Trang 8
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.1.2 Phân loại quá trình ngẫu nhiên
Các yếu tố chính để phân biệt các quá trình ngẫu nhiên là không gian trạng thái,
tập chỉ số
I
và quan hệ độc lập giữa các biến ngẫu nhiên
( )X t
. Vì vậy ta có thể phân
loại quá trình ngẫu nhiên theo:
2.1.2.1 Tập trạng thái E
Ta ký hiệu
E
là tập các giá trị của
( )X t
và gọi là không gian trạng thái của quá
trình.
♦ Nếu
E
là tập đếm được thì
{ ( ); }X t t I∈
gọi là quá trình có trạng thái rời rạc.
♦ Nếu
E

là 1 khoảng của tập số thực
R
thì
{ ( ); }X t t I∈
là quá trình thực.
♦ Nếu
E
tập con của tập số phức C thì
{ ( ); }X t t I∈
là quá trình phức.
♦ Nếu
k
E R=
thì
{ ( ); }X t t I∈
là quá trình k-vector.
2.1.2.2 Tập các chỉ số I
Nếu
I Z∈
thì quá trình
{ ( ); }X t t I∈
được gọi là quá trình có thời gian rời rạc.
♦ Trường hợp này ta ký hiệu
( )x n
thay cho
( )x t
.
♦ Nếu
[0, )I = +∞
hoặc

I R=
thì
{ ( ); }X t t I∈
được gọi là quá trình có thời gian liên
tục.
2.1.3 Quá trình dừng (stationary)
Quá trình
{ ( ); }X t t I∈
,
, , ,I R R Z N
+
=
được gọi là:
♦ Dừng theo nghĩa chặt (strictly stationary):
Trang 9
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Nếu
1 2
0, , ,
n
h t t t I∀ > ∀ ∈
thì hàm phân bố đồng thời của
1 2
( ( ), ( ), X t h X t h+ +
, ( ))
n
X t h+
và
1 2
( ( ), ( ), , ( ))

n
X t X t X t
là như nhau.
♦ Dừng theo nghĩa rộng hay dừng hiệp phương sai (wide sense stationary or
covariance stationary) nếu:
-
( )Ex t m const= =
.
- Với mọi
,cov( ( ), ( )) [ ( ) , ( ) ]t X t X t E X t m X t m
π π
+ = − + −
chỉ phụ thuộc
π
.
Đặt
( ) cov( ( ), ( ))
x
K X t X t
π π
= +
và gọi là hàm tự tương quan của quá trình
{ ( ); }X t t I∈
.
2.1.4 Quá trình Markov
Quá trình
{ ( ); }X t t I∈
là quá trình Markov nếu với mọi cách chọn
1 2

n
t t t< < <
và với mọi cách chọn
1 2
, ,
n
a a a
thì:
1 1
{ ( ) | ( ) , , ( ) } { ( ) | ( ) }
n n n n
P a X t b X t a X t a P a X t b X t a< ≤ = = = < ≤ =
đúng với mọi
n
t t>
,
với mọi
a b<
.
2.1.4.1 Chuỗi Markov
Chuỗi Markov là quá trình Markov
{ ( ); }X t t I∈
có không gian trạng thái
E
đếm
được. Tuỳ theo tập chỉ số
{0,1,2, }I =
hoặc
(0, )I = +∞
ta có tương ứng chuỗi Markov

với thời gian rời rạc hoặc liên tục.
♦ Chuỗi Markov với thời gian rời rạc thuần nhất:
Quá trình
{ ( ), 0,1,2, }X n n =
với thời gian rời rạc được gọi là chuỗi Markov thời
gian rời rạc thuần nhất nếu:
- Không gian trạng thái
E
của mọi
( )X n
là tập đếm được.
- Hàm xác suất chuyển là thuần nhất theo thời gian, nghĩa là thoả mãn:
Trang 10
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
( , , , ) ( , , , )p s i t j p s h i t h j= + +
Ta nói tắt chuỗi Markov thay cho chuỗi Markov thời gian rời rạc thuần nhất.
2.1.4.2 Một số mô hình chuỗi Markov quan trọng
♦ Mô hình phục vụ đám đông:
Xét mô hình phục vụ đám đông (lý thuyết sắp hàng). Khách đến sắp hàng chờ
phục vụ theo nguyên tắc FIFO (first in first out) và trong mỗi chu kỳ cửa hàng chỉ phục
vụ một khách. Số khách đến trong chu kỳ thứ n là biến ngẫu nhiên
n
ξ
. Giả sử
1
ξ
,
2
ξ
,

là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố với biến ngẫu nhiên
ξ
có phân bố xác
suất.
1
{ } ; 0,1,2, ; 0; 1
k k k
k
P k a k a a
ξ
=
= = = > =
∑
Trạng thái của hệ (cửa hàng) tại thời điểm đầu của mỗi chu kỳ là số khách xếp
hàng chờ phục vụ. Nếu hiện tại hệ ở trạng thái
i
và sau 1 chu kỳ hệ rơi vào trạng thái
j
thì
1i
j
ξ
ξ
− +

=


nếu
1

0
i
i
≥
=
Ký hiệu
( )X n
là số khách hàng tại thời điểm đầu của chu kỳ thứ
n
thì
( 1) ( ( 1))
n
X n X n
ξ
+
+ = − +
trong đó
max(0, )X X
+
=
.
♦ Mô hình kiểm kê (Inventory Model):
Giả thiết phải dự trữ trong kho một loại hàng nào đó để đáp ứng nhu cầu liên tục
của khách hàng. Hàng được nhập kho tại cuối mỗi chu kỳ
0,1,2, n =
Giả sử tổng số
lượng hàng cần phải đáp ứng nhu cầu trong chu kỳ n là biến ngẫu nhiên
n
ξ
có phân bố

độc lập với chu kỳ thời gian. Nghĩa là dãy
{ }
n
ξ
độc lập có cùng phân bố với
ξ
.
1
{ } ; 0; 1
k k k
k
P k a a a
ξ
=
= = > =
∑
Trang 11
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Mức hàng dự trữ được kiểm kê tại cuối mỗi chu kỳ. Cách nhập hàng căn cứ vào 2
chỉ số tiêu chuẩn
s
và
S
( )
s S<
như sau: Nếu ở cuối mỗi chu kỳ lượng hàng dự trữ
s≤
thì ngay tức khắc nhập hàng để có số hàng dự trữ bằng
S
; Nếu hàng hiện có

s>
thì
không cần nhập hàng.
Ký hiệu
( )X n
là lượng hàng hiện có tại cuối chu kỳ
n
và trước khi nhập hàng,
như vậy
1
1
( )
( 1)
n
n
X n
X n
S
ξ
ξ
+
+
−

+ =

−

nếu
( )

( )
s X n S
X n s
< ≤
≤
Các trạng thái của quá trình
( )X n
là các số lượng hàng dự trữ:
, 1, ,0, 1, 2, S S − − −
trong đó giá trị âm là nhu cầu chưa được phục vụ mà sẽ được đáp ứng ngay sau khi
nhập hàng
1
1
{ }
{ ( 1) | ( ) }
{ }
n
ij
n
P i j
P P X n j X n i
P S j
ξ
ξ
+
+
= −

= + = = =


= −

nếu
s i S
i s
< ≤
≤
Ví dụ: Xét mô hình kiểm kê phụ tùng thay thế, trong đó yêu cầu có thể là 0, 1
hoặc 2 đơn vị phụ tùng cần thay thế trong một chu kỳ bất kỳ với phân bố xác suất như
sau
{ 0} 0.5P
ξ
= =
,
{ 1} 0.4P
ξ
= =
,
{ 2} 0.1P
ξ
= =
và giả sử s = 0, S = 2.
Không gian trạng thái sẽ là E = { -1, 0, 1, 2 }.
Ta có
1, 1
{ ( 1) 1| ( ) 1} ( ) 0p P X n X n P
− −
= + = − = − = Φ =
1,0
{ ( 1) 0 | ( ) 1} ( 2) 0.1p P X n X n P

ξ
−
= + = = − = = =
1,1
{ ( 1) 1| ( ) 1} ( 1) 0.4p P X n X n P
ξ
−
= + = = − = = =

Trang 12
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.1.5 Quá trình Gauss
2.1.5.1 Phân phối Gauss
♦ Định nghĩa 1: cho
( ,, , )F PΩ
là một không gian xác suất. một biến ngẫu nhiên
:X RΩ →
là phân phối Gauss nếu phân phối của
X
có hàm mật độ được viết dưới
dạng:
2
2
1 ( )
( ) exp
2
2
x
f x
µ

σ
σ π
 
−
= −
 ÷
 
trong đó
0
σ
>
và
µ
là hằng số.
Khi đó:
( ) ( )
G
P X G f x dx∈ =
∫
với tất cả các tập Borel
G R⊂
Trong trường hợp này thì:
[ ] ( )
R
E X xf x dx
µ
= =
∫
và
2 2 2

var[ ] [( )] ( ) ( )
R
X E x x f x dx
µ µ µ
= − = − =
∫
Kí hiệu thường dùng để chỉ phân phối chuẩn là
2
( , )N
µ σ
. Phân phối chuẩn
( )
0,1N
được gọi là phân phối chuẩn tắc.
Trang 13
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Hình 2-1 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn
Đồ thị của hàm mật độ của phân phối chuẩn có hình cái chuông. Trung điểm của
cái chuông này chính là điểm
x
µ
=
, và độ cao của chuông chính bằng
1
2
σ π
.
Hình vẽ trên cho thấy hầu hết xác suất của một phân phối chuẩn nằm trong đoạn
[ ]
3 , 3

µ σ µ σ
− +
. Chỉ có không đến 0.3% nằm ngoài đoạn đó. Nói cách khác, nếu X là
một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với các tham số
,
µ σ
thì với xác suất 99.7%
có thể tin rằng giá trị của X nằm trong đoạn
[ ]
3 , 3 : ( 3 3 ) 99.7%P X
µ σ µ σ µ σ µ σ
− + − < < + =
.
Tổng quát hơn, một biến ngẫu nhiên
:X RΩ →
được gọi là chuẩn nhiều chiều
( , )N C
µ
nếu phân phối của X có hàm mật độ có dạng:
1
1 2
1
2
1 1
( , , , ) exp ( ) ( )
2
(2 ) | |
T
n
n

f x x x x x
µ µ
π
−
 
= − − ∑ −
 ÷
 
∑
trong đó
-
1
( , , )
n
R
µ µ µ
= ∈
là kì vọng của X.
-
[ ]
jk
c∑ =
là ma trận hiệp phương sai của X, trong đó.
-
[( )( )]
jk i j k k
c E x x
µ µ
= − −
.

Trang 14
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
♦ Định nghĩa 2: Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên
:
n
X RΩ →
là một hàm
:
n
X R C
ϕ
→
(trong đó
C
kí hiệu cho tập số phức) được xác định bởi:
,
1 1 1
( , , ) [exp( ( ))] ( )
n
i u x
n n n
R
X E i u X u X e f x dx
ϕ µ µ
< >
= = + + =
∫
,
trong đó
1 1

,
n n
u x u x u x< >= + +
,
( )f x
là hàm mật độ của X và i là đơn vị ảo trong số
phức
2.1.5.2 Quá trình Gauss
♦ Định nghĩa. Quá trình
{ , }
t
X X t T= ∈
được gọi là quá trình Gauss hay quá trình
chuẩn nếu các phân phối hữu hạn chiều của nó là Gauss, tức là phân phối của vectơ
ngẫu nhiên
1
( , , )
n
t t
X X
là Gauss đối với mọi tập con hữu hạn
1
( , , )
n
I t t T= ⊂
.
Như vậy, quá trình
{ , }
t
X X t T= ∈

là Gauss khi và chỉ khi mỗi tổ hợp tuyến tính
(hữu hạn) của nó là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trên R.
2.1.6 Quá trình Wiener
2.1.6.1 Định nghĩa quá trình Wiener
♦ Khái niệm về quá trình Wiener
Quá trình Wiener là quá trình ngẫu nhiên
(0 )
t
t
ξ
≤ < ∞
thoả:
-
0
0
ξ
=
- Với mọi
0 1
0
n
t t t≤ < < <
, các đại lượng ngẫu nhiên:
1 0 2 1 1
, , ,
n n
t t t t t t
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
−
− − −

là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Trang 15
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
- Đại lượng ngẫu nhiên
,0
t s
s t
ξ ξ
− ≤ ≤
có phân phối chuẩn, với kỳ vọng bằng
0 và phương sai bằng
2
( )t s
σ
−
.
-
t
ξ
là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo của
t
ξ
là hàm liên tục.
Chú ý:
- Một quá trình Wiener
t
ξ
với tham số phương sai
1
2

=
σ
được gọi là quá trình
Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown tiêu chuẩn.
- Nếu ta thay
0
0
=
ξ
bởi
x=
0
ξ
, ta sẽ có quá trình Wiener xuất phát từ x.
Ta ký hiệu quá trình Wiener bằng
t
W
hay
( )W t
.
Ta ký hiệu quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown tiêu chuẩn bằng
t
B
.
♦ Định nghĩa quá trình Wiener trong
m
R
Quá trình Wiener trong
m
R

là một quá trình ngẫu nhiên thuần nhất với số gia độc
lập sao cho nó có phân phối Gauss với hàm mật độ:
( )
2
( , )
( ) 2 exp
2
m
t
x x
f x t
t
π
−
 
= −
 
 
Hàm đặc trưng tương ứng với nó sẽ là:
[ ]
{ }
t
( ) exp ( , ) exp ( , )
2
t
t
z E i z z z
ϕ
 
= = −

 
 
W
Cho
m
a R∈
; C là một toán tử tuyến tính trong
m
R
,
t
W
là một quá trình Wiener m-
chiều. Khi đó:
1
( )
t
t ta C
ξ
= + W
sẽ là một quá trình Gauss thuần nhất với số gia độc lập. Hàm đặc trưng của
1
( )t
ξ
sẽ có
dạng:
Trang 16
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
[ ]
{ }

1
exp ( , ( )) exp ( , ) ( , )
2
t
E i z t it z a Bz z
ξ
 
= −
 
 
trong đó:
*.CCB =
, với
*C
là toán tử liên hợp với C.
-
a
được gọi là vector chuyển dịch.
- B được gọi là toán tử khuyếch tán.
2.1.6.2 Tính chất của quá trình Wiener
Bổ đề Borel – Cantelli
Giả sử
( )
n
X
là dãy biến cố bất kỳ.
- Nếu
1
( )
n

n
P X
∞
=
< ∞
∑
thì
( )
limsup 0
n
P X =
.
- Nếu
1
( )
n
n
P X
∞
=
= ∞
∑
và
( )
n
X
độc lập thì
( )
limsup 1
n

P X =
.
trong đó:
1
limsup
n m
n m n
X X
∞ ∞
= =
=
I U
2.2 Tích phân ngẫu nhiên
2.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô
♦ Định nghĩa :
Giả sử trên không gian xác suất
( , , )F PΩ
đã cho họ hàm không giảm các
σ
−
đại
số
, 0
t
F F t⊆ >
và quá trình Wiener
0
, 0; 0
t
W t W≥ =

với quỹ đạo liên tục tương thích với
họ
t
F
sao cho số gia
s
W
-
t
W
sau thời điểm
t
độc lập với
σ
−
đại số
t
F
. Cho T là một
số không âm, ta xét là lớp các hàm ngẫu nhiên
:[0, ]f T R× Ω →
thỏa các điều kiện:
Trang 17
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
-
2
0
| ( , ) |
T
E f t dt

ω
< ∞
∫
.
-
( , )f t
ω
là hàm đo được.
-
t
f
là tương thích đối với
t
F
, nghĩa là
t
f
là
t
F −
đo được.
Để xây dựng khái niệm tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT, trước
tiên ta xét các hàm sơ cấp, nghĩa là các hàm có dạng:
1
{0}
0
( , ) 1 ( )1
k
n
k A

k
t
φ ω µ µ ω
−
=
= +
∑
Trong đó
0 1 1
0 ;
n n
t t t t T
µ
−
= < < < < =
là biến ngẫu nhiên
0
F
đo được;
( )
k
µ ω
là
biến ngẫu nhiên
k
t
F
đo được với
0,1,2, , 1k n= −
và

1
( , )
k k k
A t t
+
=
.
Với các hàm sơ cấp dạng ta xác định tích phân Itô bởi:
1
1
0
0
( , ) : ( )( )
k k
T
n
t k t t
k
I t dW W W
φ φ ω µ ω
+
−
=
= = −
∑
∫
Với
T
f N∈
sẽ tồn tại dãy hàm sơ cấp

( , )
n
f t
ω
bị chặn sao cho
2
0
lim ( ( , ) ( , )) 0
T
n n
n
E f t f t dt
ω ω
→∞
− =
∫
Điều đó có nghĩa là
n
I
φ
là dãy Cauchy trong
2
( , , )L F PΩ
Từ đó ta có định nghĩa tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên theo hệ thức sau
0 0
( , ) : lim ( , )
T T
f t n t
n
I f t dW f t dW

ω ω
→∞
= =
∫ ∫
Vậy tích phân Itô là một ánh xạ
2 2 2
: ( ) ([0, ] , , ) ( , , )I L BF L T BF mes P L F P= × Ω × → Ω
♦ Tính chất quan trọng của tích phân Itô:
Trang 18
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
0
( , ) 0
t
s
E f s dW
ω
=
∫
2
2
0 0
( , )
t t
s
E f s dW E f ds
ω
 
=
 
 

∫ ∫
(tính đẳng cự Itô)
2.2.2 Vi phân ngẫu nhiên Itô
♦ Định nghĩa :
Ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên
t
X
có vi phân ngẫu nhiên Itô:
( , ) ( , )
t t
dX t dt t dW
α ω β ω
= +
(*)
nếu
0
0
( , ) ( , ) ,
t t s
X X s ds t dW t t T
α ω β ω
= + + < <
∫ ∫
hầu chắc chắn, trong đó
( , )t
α ω
và
( , )t
β ω
là các quá trình ngẫu nhiên

t
F
đo được sao cho:
0
0
: ( , ) 1;
: ( , ) 1
T
t
T
t
P t dt
P t dt
ω α ω
ω α ω
 
 
< ∞ =
 
 
 
 
 
< ∞ =
 
 
 
∫
∫
Quá trình ngẫu nhiên có vi phân là quá trình ngẫu nhiên liên tục trong

2
L
.
♦ Công thức Itô:
Cho
t
X
là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên Itô dạng (*) và
2
( , ) :g t x R C→
là một hàm một lần khả vi liên tục theo t, hai lần khả vi liên tục theo x.
Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t,Xt) có vi phân Itô tính theo công thức sau:
2
2
2
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2
t t t t t
g g g
dY t X dt t X dX t X t dt
t x x
β ω
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
Trang 19
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
2.3.1 Khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên

2.3.1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Xét hệ thức vi phân ngẫu nhiên
( , ) ( , ) W
t t t
dX b t X dt t Xt d
σ
= +
(1)
Trong đó
( , ), ( , ):[0, ]b t x t x T
σ
× →¡ ¡
là hàm hai biến đo được và
W
t
là quá trình
Wiener tiêu chuẩn.
Nếu xem
t
X
là quá trình ngẫu nhiên phải tìm hệ thức (1) được gọi là phương
trình vi phân ngẫu nhiên.
2.3.1.2 Lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên
Một quá trình ngẫu nhiên
( )
( ), [0, ]
t
X X t T
ω
= ∈

được gọi là lời giải của phương
trình (1) với điều kiện ban đầu
0
X Z=
(2)
Trong đó
Z
là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập đối với
(W , 0)W t t= ≥
sao
cho
2
( )E Z < ∞
và
X
thỏa các điều kiện sau:
-
t
X
thích nghi với
( )
W ,
x
t t s
F F s t
σ
= = ≤
và đo được đối với
σ
-trường tích

[0, ]T t
B F
×
.
-
2
0
, [0, ]
t
t
E X dt t T
< ∞ ∀ ∈
∫
.
-
t
X
thỏa mãn các hệ thức (1) và (2).
Trang 20
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của lời giải
2.3.2.1 Sự tồn tại và duy nhất của lời giải
♦ Định nghĩa 1: Giả sử
( )
, [0, ]
t
X X t T
= ∈
là một lời giải của phương trình (1) (2).
Ta nói lời giải đó là duy nhất nếu có điều kiện sau:

Nếu
( )
, [0, ]
t
Y Y t T= ∈
cũng là một lời giải của phương trình thì
{ }
0
sup 0 1
t t
t T
P X Y
≤ ≤
− = =
(3)
♦ Định lý 1: Giả sử tồn tại một hằng số
0K
>
sao cho với mọi
[0, ]t T
∈
và mọi
,x y
∈
¡
sao cho
( , ) ( , ) ( , ) ( , )b t x b t y t x t y K x y
σ σ
− + − ≤ −
(4)

2 2 2
2
( , ) ( , ) (1 )b t x t x K x
σ
+ ≤ +
(5)
Khi đó tồn tại một lời giải
( )
, [0, ]
t
X X t Y= ∈
của phương trình (1) với điều kiện
ban đầu (2) và đó là lời giải duy nhất theo nghĩa (3)
2.3.2.2 Tính Markov của lời giải
Định lý dưới dây cho thấy lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên bao
giờ cũng là một quá trình Markov.
♦ Định lý 2: Giả sử
( )
t
X X
=
là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn phương trình
(3.1):
( , ) ( , ) W
t t t t
dX b t X dt t X d
σ
= +
Trong đó các hệ số
( , )b t x

và
( , )t x
σ
thỏa mãn các điều kiện tồn tại và duy nhất
lời giải.
Khi đó
( )
t
X X=
là một quá trình Markov mà xác xuất chuyển được xác định bởi
Trang 21
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
{ }
( , ; , ) ( )
x
s
P x s t A P X t A
= ∈
,
Trong đó
( )
x
s
X t
là lời giải của phương trình (1) với điều kiện ban đầu
x
lấy tại
thời điểm ban đầu
s t<
, tức là

s
X x=
; nói cách khác
( )
x
s
X t
là lời giải duy nhất của
phương trình
( ) ( )
( ) , ( ) , ( ) W
t
x x t x
s s s u
s
X t x b u X u du s u X u d
σ
= + + −
∫ ∫
.
Chú ý: theo định nghĩa, lời giải của phương trình (1) đều là quá trình thích nghi
với
( )
W
W ,
t s
F s t
σ
= ≤
.

Định lý dưới đây cho ta biết điều kiện để lời giải của một phương trình vi phân
ngẫu nhiên là một Martingan.
♦ Định lý 3: Giả sử
( )
t
X
là một lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên
( , ) ( , ) W
t t t
dX b t X dt t X d
σ
= +
,
Trong đó
( , )t x
σ
liên tục và
2
0
( , )
T
E t X dt
σ
< ∞
∫
.
Khi đó quá trình
( )
t
X

là một Mactingan khi và chỉ khi
( , ) 0b t x ≡
.
2.3.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
2.3.3.1 Định nghĩa
Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính là phương trình có dạng
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] W
t t t t
dX a t X b t dt c t X d t d= + + +
(6)
Trong đó
( )a t
,
( )b t
,
( )c t
,
( )d t
là các quá trình thích nghi và liên tục theo t.
Chú ý: Ta dễ dàng kiểm chứng rằng đối với phương trình tuyến tính (6) thì các
điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm luôn được thỏa.
Trang 22
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.3.3.2 Quá trình mũ ngẫu nhiên
Cho
X
là một quá trình có vi phân ngẫu nhiên và
U
là quá trình thỏa
0

1
t t t
dU U dX
U
=
=
hay
0
1
t
t s s
U U dX
= +
∫
(7)
(7) là một dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên gọi là phương trình Doléans –Dade.
Ta chứng minh được quá trình
0
1
[ , ]
2
t t
X X X X
t
U e
− −
=
(8)
Thỏa mãn phương trình (7). Ta gọi quá trình này là quá trình mũ ngẫu nhiên của
X

và
kí hiệu là
( )
t
X
ε
. Vậy
0
1
[ , ]
2
( )
t t
X X X X
t
X e
ε
− −
=
. (9)
2.3.3.3 Phương trình vi phân mũ ngẫu nhiên
Trong phương trình tuyến tính (6), cho
( ) 0b t ≡
và
( ) 0d t ≡
ta được phương trình vi
phân mũ ngẫu nhiên:
( ) ( ) W
t t t t
dX a t X dt c t X d= +

(10)
Phương trình (10) có thể viết dưới dạng
t t t
dX X dY=
(11)
Trong đó
t
Y
là quá trình Itô xác định bởi
Trang 23
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
( ) ( ) W
t t
dY a t dt c t d= +
.
Từ (11) ta thấy
t
X
là một quá trình mũ ngẫu nhiên. Theo công thức (9) ta có
( )
t t
X Y
ε
=
0
1
[Y,Y]
2
t t
Y Y

e
− −
=
0 0
2
0
0 0 0
1
exp [Y,Y]
2
1
exp ( ) ( ) W ( ) )
2
t t
t t t
s
X Y Y
X a s ds c s d c s ds
 
= − −
 ÷
 
 
= + −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Trong đó vi phân biến phân bậc hai của quá trình Itô
t
Y

là
2
[ , ] ( ). ( ) ( )
t
d Y Y c t c t dt c t dt= =
.
Vậy lời giải của phương trình vi phân (10) là
2
0
0 0
1
exp ( ) ( ) ( ) W
2
t t
t s
X X a s c s ds c s d
 
 
= − +
 ÷
 
 
 
∫ ∫
(12)
Ví dụ 1: Giải phương trình
0
W
t t t
dX X d

X u
=


=

Giải
Ta thấy phương trình có dạng vi phân mũ với
( ) 0a t =
và
( ) 1c t =
. Phương trình có
lời giải
t
X
1
0 0
1
.exp (1 ) 1. W
2
t
s
u ds d
 
= − +
 ÷
 
∫ ∫
1
.exp W

2
t
u t d
 
= +
 ÷
 
.
Trang 24
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.3.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng quát
Xét phương trình vi phân tuyến tính tổng quát
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) W
t t t t
dX a t X b t dt c t X d t d
= + + +
.
Đặt
t t t
X U V=
,
Trong đó
( ) ( ) W
t t t t
dU a t U dt c t U d= +
Và
( ) ( ) W
t t
dV A t dt B t d= +

.
Đặt
0
1U =
và
0 0
V X=
. Theo (12) ta có lời giải cơ bản
2
0 0
1
exp ( ) ( ) ( ) W
2
t t
t s
U a t c s ds c s d
 
 
= − +
 ÷
 
 
 
∫ ∫
(13)
Bằng cách lấy vi phân của tích
t t
U V
ta có thể chọn
( )A t

và
( )B t
sao cho ta có hệ
thức
t t t
X U V=
. Các hệ số này thỏa các phương trình
( ) ( )
t
B t U d t=
,
( ) ( ) ( ) ( )
t
A t U b t d t c t= −
.
Dùng biểu thức (13) của
t
U
ta tìm được
( )A t
,
( )B t
và có
( ) ( ) ( ) ( )
W
t t
t t
b t c t d t d t
dV dt d
U U

−
= +
.
Ta có lời giải tổng quát
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
W
t t
t t s
s s
b s c s d s d s
X U X ds d
U U
 
−
= + +
 ÷
 
∫ ∫
Trong đó
t
U
xác định bởi công thức (13).
Trang 25