Tiểu luận môn Toán cho khoa học máy tính LÝ THUYẾT TẬP THÔ & ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1005.11 KB, 63 trang )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BÀI THU HOẠCH
TOÁN
NGUYỄN HẢI TOÀN CH1301110
HUỲNH THANH VIỆT CH1301114
TRỊNH NAM VIỆT CH1301115
TP HCM, tháng 10 năm 2014
NHẬN XÉT CỦA GVHD
LÝ THUYẾT TẬP THÔ
&
ỨNG DỤNG
Lý thuyết tập thô và ứng dụng

2
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
LỜI CẢM ƠN
Nhóm em xin chân thành cảm ơn thầy TS.Dương Tôn Đảm đã truyền đạt kiến
thức cũng như giới thiệu các tài liệu quí báu và tạo điều kiện thuận lợi để cho nhóm em
thực hiện xong bài thu hoạch này.
Nhóm học viên CH-08
3
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
LỜI MỞ ĐẦU
Hiện nay, Lý thuyết tập thô cung cấp cho nhiều nhà nghiên cứu và phân tích dữ
liệu với nhiều kỹ thuật trong khai phá dữ liệu như là các khái niệm đặc trưng bằng cách
sử dụng một số dữ kiện. Nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng lý thuyết tập thô trong các ứng
dụng như phân biệt thuộc tính, giảm số chiều, khám phá tri thức, và phân tích dữ liệu thời
gian.
Lý thuyết tập thô đã chứng minh được tiềm năng lớn trong suy diễn, do đó.
Bài thu hoạch này, nhóm em thực hiện thuật toán tìm tập rút gọn của một bảng
quyết định từ đó chọn được các thuộc tính cần thiết đưa vào xây dựng cấu trúc cây quyết
định để chọn thuộc tính phân nhánh tối ưu, làm cho cây có chiều cao nhỏ nhất.
4
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
MỤC LỤC
5
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Chương 1
CÁC

KHÁI

NIỆM

CƠ

BẢN
1.1 Hệ thống thông tin và tập thô
1.1.1

Hệ

thống

thông

tin
Một

tập

dữ

liệu

có

thể

biểu

diễn

dưới

dạng

một

bảng,

trên

đó

mỗi

hàng

biểu

diễn
thông

tin

ứng

với

một

đối

tượng,

mỗi

cột

biểu

diễn

một

thuộc

tính

có

thể

đo

được
của

mỗi

đối

tượng

(do

các

chuyên

gia

hay

người

sử

dụng

cung

cấp).

Bảng

này
được

gọi

là

một

hệ

thống

thông

tin.

Hình

thức

hơn,

hệ

thống

thông

tin

là

một

cặp

S
=

(U,

A),

U

là một

tập

hữu

hạn

khác

rỗng

các

đối

tượng

gọi

là

tập

vũ

trụ

hay

là

tập
phổ

dụng,

A

là

một

tập

hữu

hạn

khác

rỗng

các

thuộc

tính.

Với

mỗi

u ∈U

và

a∈A,
ta

ký

hiệu

u(a)

là

giá

trị

của

đối

tượng

u

tại

thuộc

tính

a.

Nếu

gọi

I
a

là

tập tất

cả

giá
trị

của

thuộc

tính

a,

thì

u(a)

∈

I
a

với

mọi

u∈U.

Bây

giờ,

nếu

B

=

{b
1
,

b
2
,

,b
k
}

⊆

A,
ta

ký

hiệu

bộ

các

giá

trị

u(b
i
)

bởi

u(B).

Như

vậy,

nếu

u

và

v

là

hai

đối

tượng,

thì

ta
sẽ

viết

u(B)

=

v(B)

nếu

u(b
i
)

=

v(b
i
),

với

mọi

i

=1,

2,

,

k.
1.1.2

Quan

hệ

không

phân

biệt

được
Xét

hệ

thống

thông

tin

S

=

(U,

A),

với

mỗi

tập

thuộc

tính

B

⊆

A

tạo

ra một

quan
hệ

hai

ngôi

trên

U,

ký

hiệu

IND(B)
IND(B)

=

{(u,v) ∈U

×U

|

u(a)

=

v(a),∀a ∈ B}
IND(B) được gọi là quan hệ B_không phân biệt được. Dễ kiểm chứng đây là một
quan hệ tương đương trên U. Với mọi đối tượng u U, lớp tương đương của u
trong quan hệ IND(B) được kí hiệu bởi [u]B. Tập thương xác định bởi quan hệ
IND(B) được ký hiệu U/IND(B) hay U/B, tức là U/IND(B) = U/B = {[u]B |
u U}
6
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Ví

dụ

1.1

Xét

hệ

thống

thông

tin

cho

ở

bảng

1.1
U
Đau

đầu
Đau

cơ
Nhiệt

độ
Cúm
x
1
Không Có Cao Có
x
2
Có Không Cao Có
x
3
Có Có Rất

cao Có
x
4
Không Có Bình

thường Không
x
5
Có Không Cao Không
x
6
Không Có Rất

cao Có
Bảng

1.1

Bảng

dữ

liệu

bệnh

cúm
Trong

đó:

U

=

{x
1
,

x
2
,

x
3
,

x
4
,

x
5
,

x
6
}.
A

=

{Đau

đầu,

Đau

cơ,

Nhiệt

độ,

Cúm}.
Trong

bảng,

các

bệnh

nhân

x
2
,

x
3

và

x
5

không

phân

biệt

được

đối

với

thuộc

tính
Đau

đầu,

bệnh

nhân

x
3

và

x
6

không

phân

biệt

được

đối

với

thuộc

tính

Đau

cơ,
Cúm

và
b
ệnh

nhân

x
2
,

x
5

không

phân

biệt

được

đối

với

thuộc

tính

Đau

đầu,

Đau
cơ

và

Nhiệt

độ.
Do

đó:
IND({Đau

đầu})

=

{{x
1
,

x
4
,

x
6
},{x
2
,

x

3
,

x
5
}}
IND({Đau

cơ})

=

{{x
1
,

x
3
,

x
4
,

x
6
},

{x
2

,

x
5
}},
IND({Nhiệt

độ})

=

{{x
1
,

x
2
,

x
5
},

{x
3
,

x
6
},

{x
4
}},
7
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
IND({Cúm})

=

{{x
1
,

x
2
,

x
3
,

x
6
},

{x
4
,

x
5
}},
IND({Đau

đầu,

Đau

cơ})

=

{{x
1
,

x
4
,

x
6
},

{x
2
,

x

5
},

{x
3
}}.
Xét

hệ

thống

thông

tin

S
=

(U,

A),

một

quan

hệ

bộ

phận

p

xác

định

trên

họ

{U/B|

B
⊆

A}
đ
ược

định

nghĩa:

nếu

và

chỉ

nếu

∀P

∈U

/ P,∃Q
j

∈U

/ Q :

P

⊆

Q
j

.

Khi

đó

ta

nói

Q

là

thô hơn

P

hay

P

là

mịn

hơn

Q.
1.1.3

Tập

thô
Lý thuyết tập thô (Rough set) được đề xuất vào năm 1982 bởi Z.Pawlak. Lý
thuyết này xây dựng phương pháp luận liên quan đến sự phân loại và
phân tích không chắc chắn, thông tin và tri thức không đầy đủ và được coi là một
trong những phương pháp tiếp cận đầu tiên không dựa trên thống kê trong phân

tích dữ liệu.Khái niệm cơ bản của lý thuyết tập thô là xấp xỉ dưới và trên của một
tập, sự xấp xỉ của không gian là hình thức phân loại tri thức liên quan đến miền
quan tâm.
Tập con được tạo ra bởi xấp xỉ dưới mô tả bởi các đối tượng là những thành
phần chắc chắn của một tập, trong khi xấp xỉ trên được đặc trưng bởi các đối
tượng có khả năng thuộc tập quan tâm. Mỗi tập con xác định thông qua xấp xỉ
dưới và xấp xỉ trên được gọi là tập thô.
Gần đây, lý thuyết tập thô trở thành một công cụ đánh giá trong xử lý các vấn đề
khác nhau như trình bày tri thức không chắc chắn hoặc không chính xác, phân
tích tri thức, đánh giá chất lượng và tính khả dụng của thông tin đối với tính nhất
quán và sự có mặt các mẫu không theo thời gian, nhận dạng và đánh giá sự phụ
thuộc thời gian, suy luận dựa trên sự không chắc chắn và thiếu thông tin dữ liệu.
8
i i
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Trong

lý

thuyết

tập

thô,

để

biểu

diễn

một

tập

hợp

bằng

tri

thức

được

cho

xác
định

bởi

một

tập

thuộc

tính,

người

ta

định

nghĩa

hai

phép

xấp

xỉ:
Cho

một

hệ

thống

thông

tin

S
=

(U,

A),

với

mỗi

tập

con

X

⊆

U

và

B

⊆

A,

ký

hiệu R
=

IND(B),

ta

có

2

tập

con

sau:
(X), (X)lần lượt gọi là R-xấp xỉ dưới và R- xấp xỉ trên của tập X.
Tập (X) bao gồm tất cả các phần tử của U chắc chắn thuộc vào X.
Tập (X) bao gồm các phần tử của U có khả năng được phân loại vào những phần tử
thuộc X ứng với quan hệ R.
Từ

hai

tập

xấp

xỉ

người

ta

định

nghĩa

các

tập:
Ký

hiệu

tập

thương

của

IND(B)

trên

U

là

U/B,

các

xấp

xỉ

trên

và

dưới

của

X

có
thể
v
iết

lại:
Trong

trường

hợp

BN
B
(X)

≠

∅,

X

được

gọi

là

tập

thô,
ngược

lại

X

được

gọi

là

tập

rõ.
9
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Hình 1.1 Minh họa tập thô
Đối

với

một

hệ

thống

thông

tin

S

=

(U,

A),

B,

D

⊆

A,

ký

hiệu

R

=

IND(B),

người ta
gọi

B-miền

khẳng

định

dương

của

D

là

tập

được

xác

định

như

sau:
Rõ

ràng

POS
B
(D)

là

tập

tất

cả

các

đối

tượng

u

sao

cho

với

mọi

v∈U
mà u(B)

=

v(B)

ta

đều

có

u(D)

=

v(D) .
Nói

cách

khác,

POS
B

(D)

={u ∈U

|

u

B

⊆

u

D
}.
1.1.4

Các

tính

chất

của

xấp

xỉ
Định

lý

1.1.

[34]

Cho

một

hệ

thống

thông

tin

S

=

(U,

A),

∀X,

Y

⊆

U

và

B

⊆A,

đặt
R

=

IND(B).

Khi

đó:
10
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Tính

chất

(3L),

(4L)

và

(8L)

là

những

tính

chất

đặc

trưng

cho

phép

xấp

xỉ

dưới,
điều

đó

có

nghĩa

là

những

tính

chất

khác

của

phép

xấp

xỉ

dưới

có

thể

suy

dẫn

từ
ba

tính

chất

này.

Tương

tự,

(3H),

(4H)

và

(8H)

là

những

tính

chất

đặc

trưng

của
phép

xấp

xỉ

trên.
11
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
1.1.5

Độ

chính

xác

của

xấp

xỉ
Cho

một

hệ

thống

thông

tin

S

=

(U,

A),

với

mỗi

tập

con

X

⊆

U

và

B

⊆

A,

đặt R

=
IND(B),

đại

lượng

đo

sự

chính

xác

của

tập

xấp

xỉ

X

đối

với

phân

hoạch

trên

B

là
giá

trị :
Trong

đó

card(X)

=

|X|

là

lực

lượng

(số

phần

tử)

của

tập

X.

Rõ

ràng

0
≤
α
R

(X )

≤1.

Nếu

α
R

(X )

=1,

ta

nói

X

là

chính

xác

đối

với

R,

còn

α
R

(X )

<1,
X được

gọi

là

thô

đối

với

R.
1.1.6

Bảng

quyết

định
Bảng

quyết

định

là

một

hệ

thống

thông

tin

có

dạng

T
=

(U,

A),

trong

đó

tập
thuộc

tính

A

được

chia

thành

hai

tập

thuộc

tính

rời

nhau

C

và

D,

C

được

gọi

là
tập

thuộc

tính

điều

kiện,

còn

D

là

tập

thuộc

tính

quyết

định.
Tức

là

T

=

(U,

C∪D),

với

C∩D

=

∅.

Trong

trường

hợp

không

sợ

bị

nhầm

lẫn
người

ta

còn

ký

hiệu

T
=

(U,C,

D).
Ví

dụ

1.2

Hệ

thống

thông

tin

S

=

(U,

A)

biểu

diễn

cơ

sở

tri

thức

về

bệnh

cúm
được

thể

hiện

trong

bảng

1.1

là

một

bảng

quyết

định
T
=

(U,

C∪D)
Trong

đó:

U

=

{x
1
,

x
2
,

x

3
,

x
4
,

x
5
,

x
6
}.
A

=

{Đau

đầu,

Đau

cơ,

Nhiệt

độ,

Cúm}.
Tập

thuộc

tính

điều

kiện

C

=

{Đau

đầu,

Đau

cơ,

Nhiệt

độ}

Tập

thuộc

tính

quyết

định

D

={Cúm}
U
Đau

đầu
Đau

cơ
Nhiệt

độ
Cúm
x
1
Không Có Cao Có
12
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
x
2
Có Không Cao Có
x

3
Có Có Rất

cao Có
x
4
Không Có Bình

thường Không
x
5
Có Không Cao Không
x
6
Không Có Rất

cao Có
Bảng 1.2 Bảng quyết định
Cho

một

bảng

quyết

định

T

=

(U,

C∪D),

giả

sử

U/C

=

{X
1
,

X
2
, ,

X
m
}

và

U/D

=
{Y
1
,

Y
2
, ,

Y
n
}.

Một

lớp

X
i
∈U/C

được

gọi

là

nhất

quán

nếu

u(d)

=

v(d),

∀u,v∈X
i
,
∀d∈D,

lúc

này

cũng

có

thể

viết

u(D)

=

v(D)

=

X
i
(D);

một

lớp

Y∈U/D

được

gọi

là
nhất

quán

ngược

nếu

u(a)

=

v(a),

∀u,v∈Y,

∀a∈C
Một

bảng

quyết

định

T

=

(U,

C∪D)

là

nhất

quán

nếu

mọi

lớp

X
i
∈U/C

là

nhất
quán,

ngược

lại

T

được

gọi

là

không

nhất

quán.

Dễ

thấy

nếu

U/C

U/D

thì

T

=
(U,C∪D)

là

nhất

quán.
Tương

tự,

nếu

U/D U/C,

thì

T
là

nhất

quán

ngược.
Có

thể

thấy

bảng

quyết

định

là

nhất

quán

khi

và

chỉ

khi

POS
C
(D)

=

U.
Trong

trường

hợp

bảng

không

nhất

quán

thì

POS
C
(D)

chính

là

tập

con

cực

đại

của
U

sao

cho

phụ

thuộc

hàm

C

→

D

đúng.
1.1.7

Rút

gọn

và

nhân
Xét

một

bảng

quyết

định

T

=

(U,

C∪D).
Tập

thuộc

tính

R

⊆

C

được

gọi

là

một

rút

gọn

của

C

nếu

POS
R
(D)=POS
C
(D).
Nhân

của

tập

thuộc

tính

điều

kiện

C

ký

hiệu

CORE

(C)

được

định

nghĩa
CORE(C)

=

∩RED(C)
Ở

đây,

RED(C)

là

tập

hợp

tất

cả

rút

gọn

của

C.
13
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Ngoài

ra,

người

ta

cũng

định

nghĩa

rút

gọn

C-miền

khẳng

định

dương

của

D:
Nếu

B

⊆

C

thỏa:
1.POS
B
(D)=

POS
C
(D)
2.∀a ∈ B, POS
C

(D)
≠

POS
C
−

{a}
(D)
B

được

gọi

là

rút

gọn

C-miền

khẳng

định

dương

của

D.
1.1.8

Ma

trận

phân

biệt

được

và

hàm

phân

biệt

được
Xét

bảng

quyết

định

T

=

(U,

C∪D),

với

U

=

{u
1
,

u
2
,

,

u
n
}.

Ma

trận

phân

biệt
được

của

T

ký

hiệu

M(
T
)

=

(m
ij
)
n
×
n

là

một

ma

trận

đối

xứng,

trong

đó

mỗi

phần

tử
của nó

là

một

tập

thuộc

tính

được

xác

định

như

sau
:
Hàm

phân

biệt

được

f
Τ

là

một

hàm

boole,

được

xác

định

từ

ma

trận

phân
biệt

M(
T
)

như

sau
:
trong

đó,

mỗi

thuộc

tính

được

đặt

tương

ứng

một

biến

logic

cùng

tên

và
1.1.9

Luật

quyết

định
Cho

T
=

(U,

C∪D)

là

một

bảng

quyết

định,

giả

sử

U/C

=

{X
1
,

X
2
,

,

X
m
}

và

U/D

=
{Y
1
,

Y
2
,

,

Y
n
}.

Nếu

X
i
∩Y
j
≠∅,

ký

hiệu

des(X
i
),

des(Y
j
)

lần

lượt

là

các

mô

tả

của

các
lớp

tương

đương

ứng

với

X
i
,

Y
j
.

Một

luật

quyết

định xác

định

bởi

X
i

,

Y
j

có

dạng:
14
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Độ

đo

độ

chắc

chắn

và

độ

hỗ

trợ

của

luật

quyết

định

Z
ij

được

định

nghĩa

như
sau
:
Ở đây |.| là bản số hay lực lượng của một tập hợp. Rõ ràng giá trị của
µ
(Z
ij
),s(Z
ij
) luật

quyết

định

Z
ij

rơi vào đoạn .Để thuận tiện trong trình bày ký hiệu ta
thay bằng .
1.1.10

Phụ

thuộc

độ

k
Cho

hệ

thống

thông

tin

S

=

(U,

A),

X,

Y

⊆

A.

Chúng

ta

nói

rằng

tập

thuộc

tính

Y
phụ

thuộc

độ

k∈[0,1]

vào

tập

thuộc

tính

X,

ký

hiệu

,

với

k

được

xác

định

như

sau
:
Khi , chúng ta viết và được viết .
Dễ

thấy

rằng

phụ

thuộc

độ

k

là

sự

tổng

quát

hóa

của

phụ

thuộc

hàm

và là
phụ thuộc hàm đã biết trong CSDL quan hệ.
15
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Chương 2
PHỦ TẬP THÔ
Chương

này

nhóm em tìm hiểu

sự

mở

rộng

tập

thô

theo

hướng

thay

đổi

phân
hoạch

bởi

phủ.

Phương

pháp

tiếp

cận

là

khảo

sát

tính

chất

toán

học

của

các

phép

xấp

xỉ
ứng

với

ba

loại

phủ

do

W.

Zhu

và

F.Y

Wang

đề

xuất

[37,

38,

40]

và

các

phép

xấp

xỉ
dựa

vào

phủ

được

tiếp

cận

bằng

công

cụ

toán

học

là

không

gian

topo

của

một

số

tác

giả
khác

[6,

18,

39,

44]

để

chỉ

ra

mối

quan

hệ

giữa

các

phép

xấp

xỉ.

Cuối

chương,

bài thu
hoạch

sẽ trình bày

thuật

toán

rút

gọn

tập

thuộc

tính

dựa

vào

họ

phủ

tập

thô

FC_Reduct

và
ứng

dụng.
Trong

các

bài

báo

công

bố

kết

quả

nghiên

cứu

của

mình

[37,

38],

W.

Zhu

và
F.YWang

đã

đưa

ra

hệ

tiên

đề

cho

phép

xấp

xỉ

phủ

dưới

và

khẳng

định

tính

mở

của

bài
toán

tìm

tính

chất

đặc

trưng

của

các

phép

xấp

xỉ

phủ

trên

(loại

1,

2,

3).

Kế

thừa,

phát
triển

những

kết

quả

này,

luận

án

đóng

góp

một

số

điều

kiện

để

hai

phủ

sinh

cùng

xác
định

một

phép

xấp

xỉ

phủ

loại

2.

Tính

chất

ánh

xạ

đóng

của

các

phép

xấp

xỉ

phủ

loại

1,
2,

3

cũng

được

khảo

sát

nhằm

có

thể

sử

dụng

các

kết

quả

ứng

dụng

của

ánh

xạ

đóng

vào
các

tập

cơ

sở

dữ

liệu.
16
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
2.1 Tính chất của xấp xỉ phủ loại 1, 2, 3
2.1.1
Xấp

xỉ

phủ

tập

thô

loại

1
a.

Sự

phụ

thuộc

xấp

xỉ

dưới

và

xấp

xỉ

trên

loại

1
W.

Zhu

và

F.Y.

Wang

[38]

đã

chỉ

ra

mối

quan

hệ

giữa

xấp

xỉ

phủ

dưới

và

xấp

xỉ
phủ

trên

loại

1

thông

qua

các

định

lý
Định

lý

2.1

[38]

Cho

C
1

và

C
2

là

hai

phủ

của

U,

C
1

và

C
2

sinh

ra

cùng

phép
xấp

xỉ

phủ

dưới

(loại

1,

2,

3)

nếu

và

chỉ

nếu

reduct(
C
1
)

=

reduct(
C
2
).
Định

lý

2.2

[38]

Cho

C
1

và

C
2

là

hai

phủ

của

U,

C
1

và

C
2

sinh

ra

cùng

phép
xấp

xỉ

phủ

trên

loại

1

nếu

và

chỉ

nếu

reduct(
C
1
)

=

reduct(
C
2
).
Định

lý

2.3

[38]

Cho

C
1
,

C
2

là

hai

phủ

của

U,

C
1

và

C

2

sinh

ra

cùng

phép

xấp
xỉ

phủ

dưới

loại

1

khi

và

chỉ

khi

chúng

cùng

sinh

ra

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

1.
b.

Tiên

đề

cho

phép

xấp

xỉ

phủ

dưới
Định

lý

2.4

[37,

40]

Cho

U

là

một

tập

khác

rỗng.

Nếu

tồn

tại

1

phép

toán

L:
17
Lý thuyết tập thô và ứng dụng

thì

tồn

tại

một

phủ

C

của

U

mà

phép

xấp

xỉ

phủ

dưới

CL

được

sinh

bởi

C

là

L.
Hơn

thế,

bốn

tính

chất

trên

của

phép

xấp

xỉ

phủ

dưới

là

độc

lập.

((1L)-(7L)

là

ký
hiệu

thứ

tự

các

tính

chất

của

phép

xấp

xỉ

phủ

dưới

được

viết

ở

1.1.4).
c.

Tiên

đề

cho

phép

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

1
Các

tính

chất

(1L)

đến

(9H)

trong

1.1.4

là

cơ

bản

và

đầy

đủ

cho

các

phép

xấp

xỉ

dưới,

phép

xấp

xỉ

trên

trong

tập

thô

cổ

điển.

Định

lý

2.4

chỉ

ra

rằng

các

tính

chất
(1L),

(2L),

(3L),

(7L)

cũng

là

đầy

đủ

đối

với

các

phép

toán

xấp

xỉ

phủ

dưới.
Tuy

nhiên,

các

tính

chất

(1H),

(2H),

(3H)

và

(5H)

chưa

đủ

để

đặc

trưng

cho

các
phép

xấp

xỉ

trên

loại

1.

Điều

này

có

thể

thấy

được

qua

ví

dụ
Ví

dụ

2.1

[38,

40]

Một

phép

toán

H
:

P
(U)



P
(U)

thỏa

các

tính

chất

(1H),(2H),

(3H)
và

(5H)

nhưng

không

tồn

tại

một

phủ

C

của

U

mà

H

là

một

phép

xấp

xỉ

phủ trên

loại

1
sinh

ra

bởi

C
.
Cho

U

=

{a,

b,

c}.

Định

nghĩa

H
:

P
(U)



P
(U)

như

sau
Hiển

nhiên

H

thỏa

các

tính

chất

(1H),

(2H),

(3H)

và

(5H),

nhưng

không

tồn

tại

phủ

C
nào

của

U

mà

H

là

phép

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

1

sinh

ra

bởi

C
.

Thật

vậy,

nếu

có

thì

phủ

C
phải

có

2

phần

tử

{a}

và

{b}.

Trong

trường

hợp

này,

FH({a,b})

=

{a,b}

≠{a,b,c}=
H
({a,b}).

Do

đó

H

không

là

phép

xấp

xỉ

phủ trên

loại

1

sinh

ra

bởi

C
.
Bài

toán

tìm

hệ

tiên

đề

cho

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

1

vẫn

còn

là

bài

toán

mở.
18
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
2.1.2
Xấp

xỉ

phủ

tập

thô

loại

2
Tương

tự

như

xấp

xỉ

phủ

tập

thô

loại

1,

các

tính

chất

quan

trọng

của

xấp

xỉ

phủ

tập

thô
loại

2

được

công

bố

trong

[37,

38,

40].

Định

nghĩa

xấp

xỉ

phủ

dưới

tập

thô

loại

2

có
cùng

định

nghĩa

với

xấp

xỉ

phủ

dưới

tập

thô

loại

1,

sự khác

biệt

là

ở

xấp

xỉ

phủ
trên.Mối

quan

hệ

giữa

xấp

xỉ

phủ

dưới

và

xấp

xỉ

phủ

trên

tập

thô

loại

2
Khái

niệm

rút

gọn

phủ

tỏ

ra

không

hữu

dụng

trong

mối

quan

hệ

giữa

xấp

xỉ

phủ

dưới và
xấp

xỉ

phủ

trên

loại

2.
19
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
2.1.3
Xấp

xỉ

phủ

tập

thô

loại

3
20
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
a.

Sự

phụ

thuộc

xấp

xỉ

phủ

dưới

và

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

3
Định

lý

2.6

[38,

40]

Cho

C

là

phủ

của

U

thì

C

và

reduct(
C
)

sinh

ra

cùng

các

phép
xấp

xỉ

phủ

dưới

và

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

3.
Định

lý

2.7

[38,

40]

Cho

C
1
,
C
2

là

hai

phủ

của

U,

nếu

reduct

(
C
1
)

=

reduct(
C
2
),

thì

C
1
và

C
2

sinh

ra

cùng

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

3.
Chú

ý

2.1:

Điều

ngược

lại

định

lý

trên

là

không

đúng,

ta

có

phản

ví

dụ
Phản

ví

dụ

2.3

Cho

U

=

{a,

b,

c},

K
1

=

{a,

b},

K
2

=

{b,

c},

K
3

=

{a,

c}, K
4
={a, b,
c},

C
1

=

{K
1
,

K
2
,

K
3
}

and

C
2

=

{K
4
}.

Nếu

X

=

∅

thì

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

3

sinh

ra

bởi

hai

phủ

C
1

và

C
2

đều

là

X
#

=

{a

,b,
c},

nhưng

reduct(
C
1
)

=

C
1

≠

reduct(
C
2
)

=
C
2
.
Định

lý

2.8

[38,

40]

Cho

C
1
,

C
2

là

các

phủ

của

U,

nếu

C
1

và

C
2

sinh

ra

cùng

xấp

xỉ
phủ

dưới

thì

chúng

cũng

sinh

ra

cùng

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

3.
b.

Tiên

đề

cho

các

phép

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

3
Cũng

giống

như

phép

phủ

xấp

xỉ

trên

loại

1

và

loại

2.

Phép

phủ

xấp

xỉ

trên

loại

3

chưa
thể

tiên

đề

hóa

do

nhiều

tính

chất

đặc

trưng

của

phép

phủ

xấp

xỉ

trên

không

thỏa.
Phản

ví

dụ

2.4

[40]

Một

phép

toán

thỏa

(1H),

(2H),

(3H),

(4H),

và

(7H)

nhưng
không

là

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

3.

Cho

U

=

{a,

b,

c}.

Định

nghĩa

H
:

H
:

P
(U)



P
(U)
như
sau:

H
(∅)

=

∅,

H
({a})

=

{a,

b},

H
({b})

=

{b,

c},

H
({c})

=

{c},

H
({a,

b})

=

U,
H
({b,

c})

=

{b,

c},

H
({a,

c})

=

U,

H
(U)

=

U.

Hiển

nhiên

H

thỏa

(1H),

(2H),

(3H)
21
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
2.2 Mối quan hệ giữa ba loại phủ tập thô

2.3 Một số tính chất về xấp xỉ phủ loại 2
Định

lý

2.13

Cho

C
1
,

C
2

là

các

phủ

của

U,

C
1

và

C
2

cùng

xác

định

xấp

xỉ
phủdưới

và

xấp

xỉ

phủ

trên

loại

2

nếu

chúng

thỏa

các

điều

kiện

sau:
1.

reduct(
C
1
)

=

reduct(
C
2
)
2.

C
1

và

C
2

là

các

phủ

nửa

thu

gọn
Hệ

quả

2.1

Cho

C
1
,

C
2

là

các

phủ

của

U,

C
1

và

C
2

sinh

ra

cùng

xấp

xỉ

dưới

và
xấp

xỉ

trên

phủ

loại

2,

nếu

chúng

thỏa

các

điều

kiện

sau
1.

reduct(

C
1
)

=

reduct(
C
2
)
2.

C
1

và

C
2

là

các

phủ

tựa

điểm
Chứng

minh:

Kết

quả

được

suy

dẫn

trực

tiếp

từ

định

lý

2.12

và

2.13.
Mệnh

đề

2.1

Cho

C

là

một

phủ

của

U,

C

và

reduct(
C
)

chưa

chắc

sinh

ra

cùng

xấp
xỉ

trên

loại

2

(ngay

cả

khi

reduct(
C
)

là

một

phân

hoạch).
Chứng

minh

Tính

chất

trên

có

thể

thấy

qua

phản

ví

dụ

sau
P
hản

ví

dụ

2.5

Cho

U

=

{a,

b,

c},

K
1

=

{a},

K
2

= {b},

K
3

=

{c},

K
4

=

{a, b, c},
C
=

{K
1
,
K
2
,

K
3
,

K
4
}.

Ta

có

reduct(
C
)

=

{K
1
,K
2
,K
3
}.

Nếu

X

=

{c},

thì

X

C

={a,b,c} ≠

X
22
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
reduct(
C
)

=

K
3
2.4 Tính chất ánh xạ đóng của ba phép xấp xỉ trên dựa vào phủ
2.4.1
Tính

chất

ánh

xạ

đóng

của

ba

phép

xấp

xỉ

phủ

trên

ứng

với

phủ

đơn

vị
Mệnh

đề

2.2

Cho

C

là

một

phủ

của

U,

nếu

C

là

(phủ)

đơn

vị

thì

FH

sinh

bởi

C

thỏa

tính

chất:

∀X,Y

⊆

U,

X

⊆

Y

⇒

FH(X)

⊆

FH(Y) (tính

đồng

biến)
và

TH

sinh

bởi

C

thỏa:

TH(TH(X))

=

TH(X) (tính

lũy

đẳng)
Chứng

minh

Từ

bảng

tổng

kết

2.1,

nếu

C

là

(phủ)

đơn

vị

thì

FH

=

TH.

Do

TH

thỏa

tính

đồng

biến,

FH

thỏa

tính

lũy

đẳng

(bảng

2.2),

nên

khi

C

là

(phủ)

đơn

vị

FH

thỏa

tính

đơn

điệu

và

TH

thỏa

tính

lũy

đẳng.

Tuy

nhiên,

SH

chưa

chắc

thỏa

tính

lũy

đẳng

nếu

C

là

(phủ)

đơn

vị.
Phản

ví

dụ

2.6

Cho

U

=

{a,

b,

c,

d},

K
1

=

{a,

b},

K
2

=

{a,

d,

c},

K
3

=

{a, b, d},
C

=

{K
1
,

K
2
,

K
3
}.

C

là

một

phủ

đơn

vị

của

U.

Với

X

=

{c},

chúng

ta

có

SH(X)

=

∪

{K

|

K∈
C
,

K∩X

≠

∅

}

=

{a,

d,

c}

≠

SH(SH(X))

=

{a,

b,

c,

d}.
2.4.2
Tính

chất

ánh

xạ

đóng

của

ba

phép

xấp

xỉ

phủ

trên

ứng

với

phủ

tựa

điểm
Mệnh

đề

2.3

Cho

C

là

một

phủ

của

U.

Nếu

C

là

phủ

tựa

điểm

thì

FH

sinh

bởi

C

thỏa

tính

chất:

∀

X,Y

⊆

U,

X

⊆

Y

⇒

FH(X)

⊆

FH(Y)

(tính

đồng

biến)
23
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
Chứng

minh

Từ

định

nghĩa

của

phủ

tựa

điểm

và

FH.

Nếu

C

là

một

phủ

tựa
điểm

chúng

ta

có

FH(X)

=

∪{Md(x)|

x

∈X}.

Dễ

dàng

thấy

rằng
24
Lý thuyết tập thô và ứng dụng
2.5 Mối quan hệ giữa các phép xấp xỉ phủ dựa vào không gian topo
Nhiều

tác

giả

trên

cơ

sở

lý

thuyết

không

gian

topo

đã

đề