PHUONG TRÌNH LOGARIT - LTĐH

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Phương trình mũ cơ bản có dạng :
x
a m
=
, trong đó
0, 1
a a
> ≠
và m là số

đ
ã cho.

●
N
ế
u
0
m
≤
, thì ph
ươ
ng trình
x
a m
=
vơ nghi

ệ
m.
●
N
ế
u
0
m
>
, thì ph
ươ
ng trình
x
a m
=
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
log .
a
x m
=


Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x 1 x x 1
5 6.5 3.5 52

+ −
+ − =
2)
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2
3 3 3 9.5 5 5
+ + + + +
+ + = + +

3)
x x 1
3 .2 72
+
=
4)
x 1 x 2
3 2.3 25
+ −
− =

5)
x 1 x 2 x x 2
3.2 2.5 5 2
+ − −
+ = +
6)
x 3x 1
4 7 16
0
7 4 49
−

   
− =
   
   
.
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình logarit cơ bản có dạng : log
a
x m
=
, m là số đã cho.
● ðiều kiện :
0
0 1
x
a



<
< ≠

● Phương trình có nghiệm :
m
x a
=
.

Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)

(
)
3
log x x 2 1
+ =
2)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0
− − − + =

3)
(
)
(
)
log x 15 log 2x 5 2
+ + − =
4)
(
)
x 1
2
log 2 5 x
+
− =

5)
( )( )
2 2
x 1
log log x 1 x 4 2
x 4
−
+ − + =
+
6)
2
x
x
log 16 log 7 2
− =
.
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Sử dụng cơng thức :
a a
β
α
α β
= ⇔ =
.

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
2 3x

3
x x x 3
1
9 27 . 81
3
−
+
 
=
 
 
2)
x 1 2x 1
4.9 3 2
− +
=
.
CHUYÊN ĐỀ 1.



PHƯƠNG

TRÌNH

MŨ – LOGARIT
Biờn son : GV HUNH C KHNH 0975.120.189
B PHNG TRèNH LOGARIT.
S dng cụng thc :
(

)
0 0
log log
b c
b c
a a
b c





> >
=
=
.

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau :
1)
(
)
(
)
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3
+ + + + + = +
2)
( )
( )

( )
2 2
x 3
1
log 3x 1 2 log x 1
log 2
+
+ = + +

3)
( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log x 3
2 2

+ = +

4)
(
)
( )
2
2
4 4 4
log x 1 log x 1 log x 2
=

5)
( ) ( )
2 3
4 8
2
log x 1 2 log 4 x log 4 x
+ + = + +

6)
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + =
.

DAẽNG 3. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ
A PH

NG TRèNH M

.
Ph

ng trỡnh d

ng :
2
. . 0
x x
a a

+ + =
.



t :
0
x
t a
>
=
.

Khi
ủ
ú ta
ủ
c ph

ng trỡnh b

c hai :
2
0

t t

+ + =
.

Bi 1.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau :
1)
2 2
x x 2 x 1 x 2
4 5.2 6 0
+ +
=

2)
3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0
+ +
=

3)
3x x
3x x 1
8 1
2 6 2 0
2 2

=


.

Ph

ng trỡnh d

ng :
. . 0
x x
a a


+ + =
.
t :
0
x
t a
>
=
. Suy ra :
1
0
1
x

x
a
a t

= = >
.

Khi
ủ
ú ta
ủ
c ph

ng trỡnh b

c hai :
2
1
0 0
t
t t t

+ + = + + =
.

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
(
)

(
)
(
)
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+ + + − − =

2)
2 2
sin x cos x
9 9 10
+ =
.

Phương trình dạng :
. . 0
x x
a b
α β γ
+ + =
. Với
. 1
ab
=
.
● ðặt :
0
x
t a

>
=
. Suy ra :
1
x
b
t
=
.
●
Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai :
2
1
0 0
t
t t t
α β γ α γ β
+ + = ⇔ + + =
.

Bài 3. Giải các phương trình sau :
1)

(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4
− + + =

2)
(
)
(
)
x x
4 15 4 15 8
− + + =
.
Ph
ươ
ng trình d
ạ
ng :
( )
2 2
. . 0
x
x x
a ab b
α β γ
+ + =

.
●
Chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho :
2
x
a
( ho
ặ
c
2
x
b
)
●
Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai :
2
0
x x

b b
a a
α β γ
   
   
   
+ + =
.
ðặ
t :
0
x
b
t
a
 
 
 
= >
.

Bài 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :

1)
2 2 2

x x x
15.25 34.15 15.9 0
− + =

2)
1 1 1
x x x
6.9 13.6 6.4 0
− + =

3)
x x x
27 12 2.8
+ =
.

Phương trình dạng :
( ) ( ) ( )
. .
f x g x h x
a
a a
α β αβ
+ − =
. Với
(
)
(
)
(

)
h x f x g x
= +
.
● ðặt :
( )
( )
( ) ( ) ( )
.
0

0
f x
h x f x g x
g x
v
u a
a a u
v a
+





= >
⇒ = =
= >

●

Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai :
(
)
(
)
. .
u v uv v u v
α β αβ α β α
+ − = ⇔ − = −

( )( )
.
0
u
v u
v
β
α β
α




=
− − = ⇔
=

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189
Bài 5. Giải các phương trình sau :
1)
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =

2)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
− + + + + +
+ = +

3)
( )
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+ −
+ = +

4)
x x x
8.3 3.2 24 6
+ = +
.
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình có chứa :
log , log , log
k
a a x
x x a
.
● ðặt :
log
a
t x
=
. Suy ra :
, .
1
log log
k k
x
x
a t a
t
= =

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x 3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
+ = + +
2)
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
− − =
−

3)
(
)
2 x 1
log x 1 log 16
+
+ =
4)
(
)
(
)

x 1 x
2 2
log 4 4 .log 4 1 3
+
+ + =

5)
2 2
2 x
log x.log (4x ) 12
=
6)
(
)
2
x 25
log 125x .log x 1
=
.
Ph
ươ
ng trình d
ạ
ng :
(
)
(
)
log log log log
a a

b b
x x
=
.
●

ðặ
t :
(
)
(
)
log log log log
a a
b b
x x A
= =
.
●
Khi
ñ
ó :
(
)
( )
( )
( )
1

2

log log log
log
log log
A
A
a
b
b
a
a
b
x A x a
x b
x A


 
⇔
 




= =
=
=
. Suy ra :
log
log
A

A
A
b
a
a
b
x
a
x b
 
= =
 
 


1

log log log log log
log
A A A
x x
b b b
a
a a a
b b b
x a x x a
x
     
⇔ = ⇔ = ⇔ =
     

     


( )

.
log log log
A
a
b b
b
a
a A a
b
 
⇔ =
 
 
⇔ =

● Từ (1) suy ra :
log log
.
b
a
b
a
A
a a
x b b

 
 
 
= =


Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1)
2 3
log log x
x
=
2)
(
)
(
)
2 3 3 2
log log log log
x x
=

3)
7 3
log x log ( x 2)

= +
4)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
.

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189
Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản.
● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp.
● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình.
● Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ độc lập đối với biến x.

Bài 3. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
(
)
2 2
2 2
log x x 1 3log x x 1 2
− − + + − =

2)
3

2 lgx 1 lgx 1
− = − −

3)

(
)
(
)
2 2
2 2
3 log x 4x 5 2. 5 log x 4x 5 6
+ − + + − − + =
.
DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
● Dạng 1 :
(
)
( )
0 1, 0

log .
f x
a
a b
a b
f x b






< ≠ >
= ⇔
=

●
D
ạ
ng 2 :
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
log log .lo
g

f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b
= ⇔ = ⇔ = .

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
(

)
4
4
3 log x 1
log x 2
x 2
−
−
=
2)
2 3
lg x lgx 3
2
x
1 1
1 1 1 1
x x
+ +
=
−
+ − + +

Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1)
x

log 5
6 5
x .5 5
−
−
=
2)
lgx 2
x 1000x
=

3)
x x
3 2
2 3
=
3)
2
x 2x x
2 .3 1,5
−
=

5)
2
x x
5 .3 1
=
6)
x

x
x 2
3 .8 6
+
=
.

DẠNG 5. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Ph
ươ
ng pháp : Nh
ẩ
m nghi
ệ
m và s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u
để
ch
ứ
ng minh nghi
ệ

m duy nh
ấ
t.
Ta th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng các tính ch
ấ
t sau :
●
Tính ch
ấ
t 1: N
ế
u hàm s
ố

f
t
ă
ng ( ho
ặ
c gi
ả
m ) trong kho
ả
ng

(
)
;
a b
thì ph
ươ
ng trình :
(
)
f x C
=
có khơng q m
ộ
t nghi
ệ
m trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
. Do
đ
ó n
ế
u t
ồ
n t
ạ

i
(
)
0
;
x a b
∈

sao cho
(
)
0
f x C
=
thì
đ
ó là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
(
)
f x C
=
.

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189
● Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng
(
)
;
a b
và hàm
g là hàm m
ộ
t hàm gi
ả
m
trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
thì ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
f x g x
= có nhi
ề
u nh

ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m trong
kho
ả
ng
(
)
;
a b
. Do
ñ
ó n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
(
)
0
;
x a b
∈ sao cho
(
)

(
)
0 0
f x g x
= thì
ñ
ó là nghi
ệ
m
duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
f x g x
=
.

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x x x
3 4 5
+ =

2)
x x
4 3 1
− =

3)
(
)
(
)
x x
x
2 3 2 3 4
− + + =
.
Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :

1)
2
log x 3 x
= −
2)
x
3
2 2 log x

= −
3)
x
2 3 x
= −
4)
2
log x
x 2.3 3
+ =
.


BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
82
3log x
log x
2x 2x 5 0
−
+ − =
2)
3 3
2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4
4 2 4 2
+ + + + + −
+ = +

3)
(

)
(
)
2 2
3 3 3
log x 5x 6 log x 9x 20 1 log 8
+ + + + + = +
4)
(
)
2 4
log x log x 3 2
− − =

5)
( )
( )
2
8 8
4
2log 2x log x 2x 1
3
+ − + =
6)
x 27 3
3
log 3 3log x 2log x
4
− =
7)

2 2
x
log 2 log 4x 3
+ =
8)
(
)
(
)
x x
2 2
1 log 9 6 log 4.3 6
+ − = −

9)
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + +
10)
8
2
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x

=

11)
(
)
(
)
x 1
x
log cos x sin x log cosx cos2x 0
− + + =
12)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+ =

13)
( )
( )
( )
2
1 2
2
2
1
2
3

log x 1 log x 1 6
2
log x 1
2 log x 1
 
+ − + −
 
 
= +
+ +
14)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
=

15)
( ) ( )
2 3
4 2 2
1
log x 1 log x 2 2log 4 x 1
3
+ = + + − +
16)
2
2
3x
27x
16log x 3log x 0

− =

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189
17)
( )
{ }
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log x
2
 
 
+ + =
18)
(
)
1 1 2
2 4
log x 2log x 1 log 6 0
+ − + =

19)
( ) ( )
3
1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0
+ − − − − =
20)

x 2x
2x
log 2 2log 4 log 8.
+ =

21)
2 3 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0
− + + + =
22)
x
3
1 6
3 log 9x
log x x
 
+ = −
 
 

23)
4 2
2x 1
1 1
log (x 1) log x 2
log 4 2
+
− + = + +
24)

(
)
2
x 4 2
log 8 log x log 2x 0
+ =

25)
(
)
( )
2
2
2x 1 x 1
log 2x x 1 log 2x 1 4
− +
+ − + − =
26)
2 1
2
2log 2x 2 log 9x 1 1
+ + − =

27)
( )
x x
2 2
x
1
log 4 15.2 27 2log 0

4.2 3
+ + + =
−
28)
(
)
(
)
3
log logx log log x 2 0
+ − =

29)
( )
2
2
1 2
2
1 1
log 2x 3x 1 log x 1
2 2
− + + − =
30)
2
3
3
log (x 1) log (2x 1) 2
− + − =

31)

( ) ( )
2
2 4 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0
+ + − + =
32)
(
)
2
2 2
lg x lgxlog 4x 2log x 0
− + =

33)
(
)
(
)
2
2
2 2 2
log x x 1 log xlog x x 2 0
− + − − =
34)
4 3 2
lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
+ − − − =

35)

2
2 2 3 2 3
log x log x log x log xlog x 0
− + − =
36)
(
)
(
)
3 1
3
2log 4x 3 log 2x 3 2
− + + =
.
HẾT













Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189
22A – PH

ẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN.