Tiểu luận môn Toán học cho khoa học máy tính MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ, LOGIC VỊ TỪ VÀ LOGIC MỜ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (505.33 KB, 30 trang )
!"
1
#$%&'()*+,*,*-
TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ,
LOGIC VỊ TỪ VÀ LOGIC MỜ.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BÀI TIỂU LUẬN MÔN
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH
Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Phi Khứ
Họ tên học viên: Đặng Thị Mỹ Hạnh
Mã số học viên: CH1301012
!"
CHƯƠNG I
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ, LOGIC VỊ TỪ VÀ
LOGIC MỜ
I. LOGIC MỆNH ĐỀ
1. Khái niệm mệnh đề
Mệnh đề là một phát biểu có thể khẳng định tính ./ hoặc 0.
Mệnh đề sơ cấp là mệnh đề không thể tách nhỏ hơn, nói cách khác nếu ta bỏ đi một
phần của nó thì không còn là mệnh đề nữa.
Ví dụ: "123045" là một mệnh đề sơ cấp nhận giá trị "./" hay nói mệnh
đề sơ cấp này có giá trị chân lý là *.
"604789:;.<=0476:=" là một mệnh đề sơ cấp
nhận giá trị "./" hay giá trị *.
">?@A'>24 " không phải là một mệnh đề.
"-,,,23045>2B*, " không phải là một mệnh đề sơ cấp, vì nó
có thể tách thành hai mệnh đề đơn giản hơn.
2. Các kí hiệu
Các ký hiệu mệnh đề (propositional symbol) biểu thị các mệnh đề (proposition) hay
các phát biểu về thế giới thực mà giá trị của chúng có thể là đúng hoặc sai.
Khi thành lập mệnh đề phức hợp từ các mệnh đề đã có, ta thường dùng các liên từ
"hay", "và", "không", "nếu thì " các liên từ cũng dùng để biểu diễn các phép toán
logic.
Các mệnh đề sơ cấp ta kí hiệu bằng các chữ cái A, B, C, Các mệnh đề phức tạp
được xây dựng từ các mệnh đề sơ cấp gọi là công thức. Giá trị của công thức là giá trị
của các phép toán cho các trường hợp, sau khi các mệnh đề sơ cấp đã có những giá trị xác
định. Giá trị của công thức thường được mô tả dạng bảng, theo các trường hợp tương ứng
của các mệnh đề sơ cấp, bảng này còn gọi là bảng "CD" của công thức. Giá trị chân
lý của mệnh đề bao gồm: true (đúng) nhận giá trị 1, false (sai) nhận giá trị 0. Nếu các
mệnh đề được nối với nhau bằng liên từ: “và” sẽ được ký hiệu ∧, “hoặc” ký hiệu là ∨,
“không” ký hiệu là ¬, “nếu…thì” ký hiệu là ⇒, “khi và chỉ khi…” ký hiệu là
Hai công thức được gọi là .EFGH, nếu chúng cùng nhận giá trị như
nhau cho mọi trường hợp giá trị của các mệnh đề sơ cấp tương ứng.
Ví dụ: I)J2@K
IAGBGK
2
#$%&'()*+,*,*-
!"
Hai mệnh đề trên là hai mệnh đề sơ cấp, và đều nhận giá trị đúng.
I)J2@>2AGBGK
Mệnh đề trên là mệnh đề phức hợp, được tạo từ hai mệnh đề sơ cấp và được nối
với nhau bằng liên từ I>2K. Giá trị chân lý của mệnh đề phức hợp này 1.
3. Các phép toán trên mệnh đề
3.1. Phép phủ định
Phủ định của một mệnh đề là một mệnh đề, nhận giá trị ./ nếu mệnh đề đã cho
0 và nhận giá trị 0 nếu mệnh đề đã cho ./. Nếu A là mệnh đề, kí hiệu
A
là phủ
định của nó.
L
A
, *
* ,
Ví dụ:
A = “M=<” khi đó
A
sẽ là “M=<”
N= “>7O9P#')Q0C8CJ>R”,
B
= “>7O9P#')Q0C8CJ>R”
3.2. Phép “hoặc” hay còn gọi là phép cộng logic
Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết L $ B là một mệnh đề S nhận giá trị 0
nếu cả hai mệnh đề đã cho cùng 0, kí hiệu L
∨
N.
LN
L
∨
N
,, ,
*, *
,* *
** *
Ví dụ:
A= “23045”, B= “2304B+”
A∨B = “23045hoặcB+”
Khi đó với TU mệnh đề trên đúng, TV mệnh đề trên đúng, T1 mệnh đề trên
đúng, TW mệnh đề trên sai.
3
#$%&'()*+,*,*-
!"
3.3. Phép “và ” hay còn gọi là phép nhân logic
Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết L >2 N là một mệnh đề S nhận giá trị ./ nếu
cả hai mệnh đề đã cho cùng ./, kí hiệu L
∧
N.
LN
L
∧
N
,, ,
*, ,
,* ,
** *
Ví dụ:
A= “23045”, B= “2304B+”
A∧B =” 23045>2B+”
Khi đó với TU mệnh đề trên sai, TV mệnh đề trên sai, TW mệnh đề trên sai, T
1 mệnh đề trên đúng.
3.4. Phép cộng XOR
Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết LXYZN là một mệnh đề S nhận giá trị ./
nếu chỉ một trong hai mệnh đề đã cho ./, kí hiệu L
⊕
N.
LN
L
⊕
N
,, ,
*, *
,* *
** ,
Ví dụ:
L= “23045”, N= “2304[”, trong trường hợp này ta có thể định
nghĩa L
⊕
N = “\23045”
Khi đó với T+ , TU mệnh đề trên sai; TU;T1 mệnh đề trên đúng, TW;T+
mệnh đề trên đúng, TU;T+ mệnh đề trên sai.
Phép toán ⊕ thường được sử dụng để kiểm tra tính chẵn lẻ.
3.5. Phép kéo theo
Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết L ?A N (còn được phát biểu dạng BL
] N) là một mệnh đề S nhận giá trị 0 nếu L ./, N 0, kí hiệu L
→
N.
4
#$%&'()*+,*,*-
!"
LN
L
→
N
,, *
*, ,
,* *
** *
Ví dụ:
1. L= “23045”, N= “2304B-”,
L
→
N = “23045” suy ra “B-”
-L= “M230>7^S”, B= “M230>7J”,
L
→
N = Nếu “M230>7^S” thì ” M230>7J”
3.6. Phép tương đương (còn gọi là mệnh đề khi và chỉ khi)
Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết L 9:.9: N là một mệnh đề nhận giá trị
./ nếu cả hai mệnh đề đã cho cùng ./, hoặc cùng 0, kí hiệu L
↔
N.
LN
L
↔
N
,, *
*, ,
,* ,
** *
Ví dụ:
L= “23045”, N= “2304B-”,
L
↔
N = “23045” khi và chỉ khi “2304B-”
4. Các tính chất
- Các công thức sau được gọi là công thức De Morgan logic
NNNL ∨⇔∧∧⇔∨ A BA ,A
Để chứng minh các công thức này ta chỉ cần kiểm tra bảng chân lý sau:
LN
BA BA ∧∨
LN
BA BA ∨∧
** ,, ** ,,
*, ,, *, **
,* ,, ,* **
,, ** ,, **
5
#$%&'()*+,*,*-
!"
- Một số công thức biến đổi tương đương của các mệnh đề được cho dưới đây:
¬(¬P) P
(P∨Q) (¬P ⇒Q)
Luật tương phản: (P ⇒Q) (¬Q ⇒ ¬P)
Luật De Morgan: ¬(P ∨Q) (¬P ∧ ¬Q), và
¬(P ∧Q) (¬P ∨ ¬Q)
Luật giao hoán: (P ∧Q) (Q ∧P), và (P∨Q) (Q∨P)
Luật kết hợp: ((P ∧Q) ∧R) (P ∧(Q ∧R)),
((P ∨Q) ∨R) (P ∨(Q ∨R))
Luật phân phối: P ∨(Q ∧R) (P ∨Q) ∧(P ∨R),
P ∧(Q ∨R) (P ∧Q) ∨(P ∧R)
N∧⇔→ A BA
L
↔
N_L
→
N`
∧
_N
→
L`
L→⇔→ B BA
II. LOGIC VỊ TỪ
1. Khái niệm logic vị từ bậc nhất
- Tương tự như logic mệnh đề, nhưng ở logic vị từ có bổ sung các lượng từ như: Tất
cả (), tồn tại () để xác định các biến vị từ.
- Logic vị từ là một ngôn ngữ đặc tả có thể dùng diễn đạt một sự việc nào đó.
Ví dụ: nếu nói "Peter cao" thì ta có thể diễn đạt dưới dạng logic vị từ như sau:
X: (Cao X)
- Trong logic vị từ ta có thể suy ra giá trị đúng của mệnh đề bằng các luật suy diễn,
ví dụ như luật Modus Ponens
Ví dụ: Từ FQ9P.<aQB(Modus Ponens)
Và OA029P(mệnh đề)
Có thể suy ra rằng OA0aQB(mệnh đề)
2. Phép tính vị từ
6
#$%&'()*+,*,*-
!"
Trong phép tính mệnh đề, mỗi ký hiệu câu sơ cấp P, Q, … biểu thị một mệnh đề và
không thể tác động vào từng phần riêng lẻ của câu. Phép tính vị từ (predicate calculus)
cung cấp cho ta khả năng này.
Chẳng hạn, đặt mệnh đề “Hôm qua trời mưa” là P, từ đó ta có thể tạo ra một vị từ
chỉ thời tiết mô tả quan hệ giữa một ngày và thời tiết trong ngày ấy: thời_tiết (hôm_qua,
mưa). Thông qua các luật suy diễn, chúng ta sẽ có thể thao tác trên các biểu thức phép
tính mệnh đề, truy xuất và suy ra những câu mới.
3. Ký hiệu vị từ
Là tập hợp gồm các chữ cái, chữ số, ký hiệu “_”, và được bắt đầu bằng chữ cái.
Ví dụ: X3, tom_and_jerry
Ký hiệu vị từ có thể là:
- Ký hiệu chân lý: true, false
- Hằng: dùng để chỉ một đối tượng/thuộc tính trong thế giới. Hằng được ký hiệu bắt
đầu bằng chữ thường: helen, yellow, rain, …
- Biến: dùng để chỉ một lớp tổng quát các đối tượng/thuộc tính. Biến được ký hiệu
bắt đầu bằng chữ hoa: X, People, Students, …
- Hàm: dùng để chỉ một hàm trên các đối tượng. Hàm được ký hiệu bắt đầu bằng
chữ thường: father, plus, …
Mỗi ký hiệu hàm có một ngôi n, chỉ số lượng các đối số của hàm.
- Vị từ: dùng để định nghĩa một mối quan hệ giữa không hoặc nhiều đối tượng. Vị
từ được ký hiệu bắt đầu bằng chữ thường: likes, equals, part_of, …
3.1. Biểu thức hàm: là một ký hiệu hàm theo sau bởi n đối số.
Ví dụ: father(david) price(bananas) like(tom, football)
3.2. Mục (term) là một hằng, một biến hay một biểu thức hàm
3.3. Câu sơ cấp: là một hằng vị từ với n ngôi theo sau bởi n thành phần nằm trong
cặp dấu ( ), cách nhau bởi dấu ‘,’, và kết thúc với dấu ‘.’
- Trị chân lý true, false là các câu sơ cấp.
- Câu sơ cấp còn được gọi là: biểu thức nguyên tử, nguyên tử hay mệnh đề
Ví dụ: friends(helen, marry), Likes (hellen, mary), likes (helen, sister(mary)), likes
(X, ice-cream).
Ký hiệu vị từ trong các câu này là friends, likes.
Câu: được tạo ra bằng cách kết hợp các câu sơ cấp sử dụng:
- Các phép kết nối logic: ¬, ∧, ∨, ⇒, =
7
#$%&'()*+,*,*-
!"
- Các lượng tử biến:
+ Lượng tử phổ biến ∀: dùng để chỉ một câu là đúng với mọi giá trị của biến lượng
giá. Ví dụ: ∀X likes(X, ice-cream).
+ Lượng tử tồn tại ∃: dùng để chỉ một câu là đúng với một số giá trị nào đó của biến
lượng giá. Ví dụ: ∃Y friends(Y,tom).
Ví dụ: likes(helen, chocolat) ∧ ¬likes(bart, chocolat).
∃X foo(X,two,plus(two,three)) ∧ equal(plus(three,two),five)
(foo(two, two,plus(two,three))) ⇒ (equal(plus(three,two),five )= true
4. Ngữ nghĩa - Phép tính vị từ
Tương tự như phép tính mệnh đề, ngữ nghĩa của phép tính vị từ cung cấp một cơ sở
để xác định chân trị của các biểu thức dạng chuẩn. Chân trị của các biểu thức phụ thuộc
vào ánh xạ từ các hằng, các biến, các vị từ và các hàm vào các đối tượng và quan hệ
trong lĩnh vực được đề cập.
Sự thông dịch (cách diễn giải) của một tập hợp các câu phép tính vị từ: là một sự
gán các thực thể trong miền của vấn đề đang đề cập cho mỗi ký hiệu hằng, biến, vị từ và
hàm.
Giá trị chân lý của một câu sơ cấp được xác định qua sự thông dịch. Đối với các câu
không nguyên tố, sử dụng bảng chân lý cho cho các phép nối kết, và:
- Giá trị của câu ∀X <câu> là true nếu <câu> là True cho tất cả các phép gán có thể
được cho X.
- Giá trị của câu ∃X <câu> là true nếu tồn tại một phép gán cho X làm cho
<câu>có giá trị True.
Ví dụ 3: Cho trước một tập hợp các quan hệ gia đình như sau :
mother (eve,abel) mother(eve,cain)
father(adam,abel) father(adam,cain)
∀X, ∀Y father(X,Y) ∨mother(X,Y) ⇒parent(X,Y)
∀X, ∀Y, ∃Z parent(Z,X) ∧parent(Z,Y) ⇒sibling(X,Y)
Ta có thể suy luận:
parent(eve,abel) parent(eve,cain)
parent(adam,abel) parent(adam,cain)
sibling(abel,cain) sibling(cain,abel)
sibling(abel,abel) sibling(cain,cain) ! Không có nghĩa
8
#$%&'()*+,*,*-
!"
5. Phép tính vị từ bậc nhất (First – order predicate calculus)
Phép tính vị từ bậc nhất cho phép các biến lượng giá tham chiếu đến các đối tượng
trong miền của vấn đề đang đề cập nhưng không được tham chiếu đến các vị từ và hàm.
Thí dụ 1: Ví dụ không hợp lệ: ∀(Likes) Likes(helen, ice-cream)
Ví dụ hợp lệ:
Nếu ngày mai trời không mưa, Tom sẽ đi biển.
¬weather(rain, tomorrow) ⇒go(tom, sea)
Tất cả các cầu thủ bóng rổ đều cao.
∀X (basketball_player(X) ⇒tall(X) )
Có người thích coca-cola.
∃X person(X) ∧likes(X, coca-cola)
Không ai thích thuế.
¬ ∃X likes(X, taxes)
Hầu hết bất kỳ câu đúng ngữ pháp nào cũng có thể biểu diễn trong phép tính vị từ
bậc nhất bằng cách sử dụng các ký hiệu, các phép kết nối và ký hiệu biến.
6. Các luật suy diễn
Ngữ nghĩa của phép tính vị từ cung cấp một cơ sở cho lý thuyết hình thức về suy
diễn logic. Khả năng suy ra những biểu thức đúng mới từ một tập hợp các khẳng định
đúng là một đặc trưng quan trọng của phép tính vị từ. Logic vị từ dùng các luật suy diễn
sau :
6.1. Luật Modus Ponens (MP):
P
P ⇒Q
Q
Ví dụ: Nếu ta có quan sát sau đây “nếu trời mưa thì sân ướt” (P ⇒Q) và “trời đang
mưa” (P) thì ta dễ dàng suy ra được “sân ướt” (Q).
6.2. Luật Modus Tollens (MT):
P ⇒Q
¬Q
¬P
6.3. Luật triển khai phổ biến (Universal Instantiation):
9
#$%&'()*+,*,*-
!"
∀X P(X)
a thuộc miền xác định của X
P(a)
Ví dụ:
Cho trước: (1) ∀X (man(X) ⇒ mortal(X))
(2) man(socrates)
=> (3) man(socrates) ⇒mortal(socrates) từ (1),(2) bằng luật UI.
(4) mortal(socrates) từ (3) và (2) bằng luật MP.
III. LOGIC MỜ
- Logic mệnh đề và logic vị từ (hay còn gọi là logic truyền thống) chỉ quan tâm đến
2 giá trị tuyệt đối (đúng hoặc sai). Logic truyền thống luôn tuân theo 2 giả thuyết. Một là
tính thành viên của tập hợp: Với một phần tử và một tập hợp bất kỳ, thì phần tử hoặc là
thuộc tập hợp đó, hoặc thuộc phần bù của tập đó. Giả thiết thứ hai là định luật loại trừ
trung gian, khẳng định một phần tử không thể vừa thuộc một tập hợp vừa thuộc phần bù
của nó.
Ví dụ: Nếu nhiệt độ trên 35 độ C thì nóng, ngược lại là không nóng. Hình bên dưới
minh họa tập hợp “NÓNG” gồm tất cả các nhiệt độ từ 35 độ C trở lên
]N8 ab.3IcK
- Từ hình vẽ ta thấy logic truyền thống không thể hiện được sự khác biệt giữa các
thành viên trong cùng một tập hợp. Giữa hai nhiệt độ 45 và 55 độ C, logic này không thể
hiện được nhiệt độ nào nóng hơn nhiệt độ nào.
- Ngoài ra, logic này còn có một nhược điểm khác quan trọng hơn đó là chúng
không thể biểu diễn được các dữ kiện mang tính mơ hồ, không chính xác mà trong thực
tế lại có rất nhiều phát biểu bằng ngôn ngữ tự nhiên ở dạng này; chẳng hạn như:
Chiến sĩ công an thì khá cao => như vậy chiến sĩ công an có thuộc tập hợp những
người cao hay không?
Hoặc: Nữ an ninh thì rất cao => như thế nào là rất cao?
10
#$%&'()*+,*,*-
!"
- Vì vậy, logic truyền thống không thể hỗ trợ cho những suy luận trên những thông
tin mang tính mơ hồ, thiếu chính xác như vậy.
1. Khái niệm logic mờ
Để khắc phục khuyết điểm của logic truyền thống, Lotfi Zadeh đã đưa ra lý thuyết
mới về logic gọi là logic mờ (fuzzy logic).
Lý thuyết của Zadeh biểu diễn tính mờ hay tính thiếu chính xác trong các phát biểu
(như đã đề cập ở trên) theo cách định lượng bằng cách đưa ra một hàm tư cách thành viên
tập hợp (set membership function) nhận giá trị thực giữa 0 và 1.
1.1. Định nghĩa tập mờ
Tập mờ L được xác định trên không gian nền kinh điển X là một tập mà mỗi phần tử
của nó là một cặp
))x(,x(
A
µ
trong đó @
∈
X và
)x(
A
µ
là ánh xạ
[ ]
1,0X:
A
→
µ
Ánh xạ
A
µ
được gọi là hàm liên thuộc (hàm phụ thuộc) của tập mờ L
]aP
Giả sử tập mờ N các số tự nhiên nhỏ hơn nhiều so với 6. Xác định phụ thuộc hàm
)x(
B
µ
có dạng liệt kê sau:
NT{_*;*`;_-;*`;_+;,d`;_U;,W`}
Các số tự nhiên 1 và 2 có độ phụ thuộc
)1(
B
µ
= 1 và
)2(
B
µ
T* ; các số tự nhiên 3
và 4 có độ phụ thuộc nhỏ hơn 1:
)3(
B
µ
= 0,8 và
)4(
B
µ
= 0,07. Những số không được
liệt kê đều có độ phụ thuộc bằng ,. Sử dụng hàm liên thuộc để tính độ phụ thuộc của
phần tử @nào đó có ba cách: Tính trực tiếp (nếu
)x(
A
µ
cho trước dưới dạng công thức
tường minh) hoặc:
11
#$%&'()*+,*,*-
!"
- Tra bảng (nếu
)x(
A
µ
dưới dạng bảng)
- Tìm các giá trị tương ứng trên đồ thị (nếu
)x(
A
µ
được biểu diễn dạng đồ thị )
Trong nhiều tài liệu để biểu diễn tập mờ người ta cũng thường dùng ký hiệu sau:
∑
=
=
++++=
L
LL
LL
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
L
1
3
3
2
2
1
1
)()(
)(
)()(
µµµ
µµ
Cho các tập hữu hạn và
∫
=
@
@
L
L
)(
µ
cho tập vô hạn.
Phép cộng (+) được hiểu là phép hợp.
Ví dụ: Đồ thị hàm liên thuộc của tập mờ
1
m1 m2 m3 m4
)x(
A
µ
]#E%273eaP
Các hàm liên thuộc
)x(
A
µ
có dạng “trơn” như ở hình vẽ được gọi là hàm liên
thuộc kiểu S. Đối với hàm liên thuộc kiểu S do các công thức biểu diễn có độ phức tạp
lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lâu. Bởi vậy trong kỹ thuật điều
khiển mờ thông thường các hàm liên thuộc kiển S hay được thay gần đúng bằng một hàm
tuyến tính từng đoạn.
Một hàm liên thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm liên thuộc có
mức chuyển đổi tuyến tính. Hàm liên thuộc
)x(
A
µ
như ở hình vẽ với *T->2+TU
12
#$%&'()*+,*,*-
!"
chính là hàm thuộc của một tập kinh điển
1.2. Khái niệm hàm liên thuộc
Như trên đã trình bày, nếu L là một tập hợp trong không gian nền X, khi đó phần tử
@ bất kỳ của X, chỉ có thể có hai khả năng xảy ra, hoặc x
∈
L hoặc x
∉
L , như vậy để đánh
giá khả năng thuộc vào tập L của các phần tử @ trong không gian nền X, người ta có thể
xây dựng một ánh xạ hàm gọi là 273_AGAO0af`.
Hàm liên thuộc
)(@
L
µ
định nghĩa cho tập L trên không gian nền Xtrong khái niệm
tập hợp kinh điển chỉ có hai giá trị là * nếu @
∈
L hoặc , nếu @
∉
L.
)x(
A
µ
=
∉
∈
A x nÕu 0
A x nÕu 1
Ví dụ . LTg@
∈
Zh-i@i1j
Hình sau mô tả hàm thuộc của tập L :
-1
1.3. Một số khái niệm liên quan của tập mờ
Trong những ví dụ trên các hàm liên thuộc đều có độ cao bằng *. Điều đó nói rằng
các tập mờ đó đều có ít nhất một phần tử với độ phụ thuộc bằng *.
Trong thực tế không phải tập mờ nào cũng có phần tử có độ phụ thuộc bằng *.
Tương ứng với điều đó thì không phải mọi hàm liên thuộc đều có độ cao là *.
Định nghĩa 1: Độ cao của một tập mờ L trên không gian nền X là giá trị
)x(h
sup
Xx
µ
∈
=
.
Ký hiệu:
)x(
sup
Xx
µ
∈
chỉ giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị chặn trên của hàm
13
#$%&'()*+,*,*-
Miền U
Miền tin cậy
Miền xác định
!"
)x(
µ
. Một tập mờ với ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng * được gọi là tập mờ
chính tắc tức là T* ngược lại một tập mờ L với i* được gọi là tập mờ không chính
tắc.
Bên cạnh khái niệm về độ cao mỗi tập mờ L còn có hai khái niệm quan trọng khác
là: <@.% và <
Định nghĩa 2: Miền xác định của tập mờ L trên không gian nền Xđược ký hiệu bởi
là tập con của X thoả mãn
}0)x(/Xx{)x(SuppS
AA
>∈==
µµ
Ký hiệu supp viết tắt của từ tiếng Anh support đã chỉ rõ là tập con trong X chứa các
phần tử @ mà tại đó hàm
)x(
A
µ
có giá trị dương
Định nghĩa 3: Miền tin cậy của tập mờ tập mờ L trên không gian nền Xđược ký
hiệu bởi là tập con của X thoả mãn
}1)x(/Xx{T
A
=∈=
µ
Định nghĩa 4
: Miền biên của tập mờ tập mờ L trên không gian nền Xđược ký hiệu
bởi k là tập con của X thoả mãn
}1)x(0/Xx{U
A
<<∈=
µ
]<eaP
Định nghĩa 5: Tập cắt α (α∈ [0,1]) của tập mờ tập mờ L trên không gian nền X
được ký hiệu bởi L
α
là tập con của X thoả mãn
L
α
=g@h
µ
L
_@`
≤
α
j
và được gọi là tập cắt mạnh nếu L
α
+
=g@h
µ
L
_@`i
α
j
Định nghĩa 6: Tập mức, hay là tập các nhát cắt của tập mờ tập mờ L trên không gian
nền X được ký hiệu bởi Λ(L` là tập các tập con của X thoả mãn
14
#$%&'()*+,*,*-
!"
L
=g@h
µ
L
_@`T
α
jvới α∈ [0,1]
Định nghĩa 7: Tập mờ L trên không gian nền X tuyến tính được gọi là tập mờ lồi
nếu
µ
L
_@` thoả mãn
µ
L
_
λ
@
*
\_*l
λ
`@
-
`
≥
g
µ
L
_@
*
`;
µ
L
_@
-
`jmvới
∀
@
*
;@
-
∈
X;
∀
λ
∈
n,;*o
Định nghĩa 8: Lực lượng của tập mờ L trên không gian nền X được biểu diễn như
sau:
∑
∈
=
L@
L
@@L
L
)())(,(
µµ
1.4. Tính chất
- Hai tập mờ bằng nhau: A = B nếu ∀x ∈X, μA (x) = μB (x)
- Tập con: A ⊆B nếu ∀x ∈X, μA (x) ≤ μB (x)
- Một phần tử có thể thuộc về nhiều hơn một tập mờ. Một người đàn ông cao 1m60
có thể thuộc về cả hai tập “trung bình” và “cao”.
- Tổng các giá trị mờ của một phần tử khác 1:
μThấp(x) + μTrungbình(x) + μCao(x) ≠1
- Từ hàm thành viên cho trước, ta có thể suy ra được mức độ một thành viên thuộc
về một tập hợp, hay có thể xác định được giá trị mờ của nó đối với một tập mờ.
Ví dụ: Một hàm thành viên cho tập mờ thể hiện một người là “Trẻ”, “Trung niên”và
“Già”.
]N8 eaPIO[K;IO7K;I2K
- Từ hình trên, nếu cho biết tuổi của một người, ta có thể xác định mức độ người đó
thuộc về lớp người trẻ, trung niên và già. Chẳng hạn như:
+ An 28 tuổi => μTre(An) = 0.8 và μTrung niên(An) = 0.3
+ Bảo 35 tuổi => μTre(Bảo) = 0.3 và μTrung niên(Bảo) = 0.8
15
#$%&'()*+,*,*-
1
10 15 17 20
0.5
0.3
!"
+ Châu 23 tuổi => μTre(Châu) = 1.0
- Ta gọi các con số 0.8, 0.2, 1.0 là các giá trị mờ (fuzzy values). Vậy từ các giá trị
chính xác hay giá trị‘giòn’ (sốtuổi: 28, 35, 23…), ta đã suy ra các giá trị mờ tương ứng.
Thao tác này gọi là mờ hóa (fuzzification) các giá trị giòn.
1.5. Các ví dụ về tập mờ
Ví dụ: Tập đánh giá nhiệt độ của thời tiết
Lạnh =
>
≤≤+−
<<
20x nÕu 0
20x10 nÕu 210/x
10x45- nÕu 1
Ví dụ trên có thể được hiểu như sau:
- Nếu nhiệt độ thấp hơn *,
) ( lUpi@i*, ) tất cả mọi người đều đánh giá mức độ
lạnh là * (tương ứng với 100%).
- Nếu nhiệt độ đạt khoảng từ *,
) đến -,
)( *,q@q-,) thì số người đánh giá mức
độ lạnh khác nhau nằm trong khoảng từ , ( ,r) đến * (*,,r), đạt *p
) mức độ lạnh
được đánh giá ,p (tương ứng với việc có p,r số người cho là lạnh), nếu nhiệt độ là
*W
) mức độ lạnh được đánh giá ,+ (tương ứng với việc có +,r số người cho là lạnh).
Ta có đồ thị sau:
]#E%.
Ví dụ. Đánh giá nhiệt độ của thời tiết
Lạnh =
>
≤≤+−
<<
20x nÕu 0
20x10 nÕu 210/x
10x45- nÕu 1
Mát =
≤≤+
≤≤−
≥≤
30x20 nÕu 3x/10-
20x10 nÕu 110/x
30x hoÆc 10x nÕu 0
16
#$%&'()*+,*,*-
1
10 20 30 40
lạnh
mát
ấm
nóng
!"
Ấm =
≤≤+
<≤−
≥≤
40x30 nÕu 4x/10-
30x20 nÕu 210/x
40x hoÆc 20x nÕu 0
Nóng =
≤
≤≤−
≥
30x nÕu 0
40x30 nÕu 310/x
40x nÕu 1
]#E%.b.3
2. Các phép toán trên tập mờ
Những phép toán cơ bản trên tập mờ là phép hợp, phép giao và phép bù giống như
định nghĩa về tập mờ các phép toán trên tập mờ cũng sẽ được định nghĩa thông qua các
hàm liên thuộc được xây dựng tương tự như các hàm thuộc của các phép hợp, giao, bù
giữa hai tập hợp kinh điển. Nói cách khác việc xây dựng các phép toán trên tập mờ được
hiểu là việc xác định các hàm liên thuộc cho phép hợp L
∪
N, giao L
∩
N, bù L …từ những
tập mờ L;N.
Một nguyên tắc cơ bản trong việc xây dựng các phép toán trên tập mờ là không
được mâu thuẫn với những phép toán đã có trong lý thuyết tập hợp kinh điển. Mặc dù
không giống tập hợp kinh điển, hàm liên thuộc của các tập mờ L
∪
N, giao L
∩
N , bù L…
được định nghĩa cùng với tập mờ, song sẽ không mâu thuẫn với các phép toán tương tự
của tập hợp kinh điển nếu như chúng thoả mãn những tính chất tổng quát được phát biểu
như “tiên đề” của lý thuyết tập hợp kinh điển. Đó là các “tiên đề” cho phép giao L
∩
N,
phép hợp và phép bù.
2.1 Phép hợp hay toán tử OR
Hợp của hai tập mờ (A∪B) thể hiện mức độ một phần tử thuộc về một trong hai tập
là bao nhiêu.
Công thức: μ
A
∨
B
(x) = max (μA(x) , μB(x) )
Ví dụ: μ
Tre
(An) = 0.8 và μ
Trung niên
(An) = 0.3
=> μ
Tre
∨
Trung Niên
(An) = max( 0.8, 0.3) = 0.8
17
#$%&'()*+,*,*-
!"
2.2 Phép giao hay toán tử AND
Giao của hai tập mờ (A∩B) thể hiện mức độ một phần tử thuộc về cả hai tập là bao
nhiêu.
Công thức: μ
A
∧
B
(x) = min (μA(x) , μB(x) )
Ví dụ: μ
Tre
(An) = 0.8 và μ
Trung niên
(An) = 0.3
=> μ
Tre
∧
Trung Niên
(An) = min( 0.8, 0.3) = 0.3
2.3 Phép bù hay toán tử NOT
Bù của một tập mờ thể hiện mức độ một phần tử không thuộc về tập đó là bao
nhiêu.
Công thức: μ
¬A
(x) = 1 - μ
A
(x)
Ví dụ: μ
Trẻ
(An) = 0.8
μ
¬Trẻ
(An) = 1 – 0.8 = 0.2
Nhận xét: Logic mờ không tuân theo các luật về tính bù của logic truyền thống:
μ
¬A
∨
A
(x) ≡1 và μ
¬A
∧
A
(x) ≡0
Ví dụ: μ
¬A
∨
A
(x) = max (0.8, 0.2) = 0.8
μ
¬A
∧
A
(x) = min( 0.8, 0.2) = 0.2
18
#$%&'()*+,*,*-
!"
3. Suy luận xấp xỉ dựa trên logic mờ
Suy diễn xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ đó là quá trình suy ra những kết luận
dưới dạng các mệnh đề mờ trong điều kiện các quy tắc, các luật, dữ liệu đầu vào cho
trước cũng không hoàn toàn xác định.
Trong công trình của mình Zadeh đưa ra khái niệm lập luận xấp xỉ như sau:
Bảng Suy luận xấp xỉ
Tiền đề 1 B2esQ22.=2.J]sQ2.=2
Điều kiện 2e2t2OF.J
Kết luận tQ2tOF
Chúng ta thấy lược đồ này tương tự như luật Modus ponens trong logic kinh điển: L
⇒
N, có L cho phép ta rút ra kết luận N. Tuy nhiên ở lược đồ trên trong giả thiết (tiền đề)
ta không có L mà có A' =' ZF.J' một biến tướng của L, khi đó ta có thể rút ra kết luận
nào đó @Fa@SN là NuTuZFu chẳng hạn. Vấn đề là cần xây dựng phương pháp luận
cho phép lựa chọn kết luận Nu như thế nào phù hợp với quy luật thực tiễn.
Nhờ tính mềm dẻo của phương pháp lập luận mờ chúng ta sẽ có nhiều phương pháp
suy diễn xấp xỉ. Xét lược đồ lập luận mờ đa điều kiện sau:
Bảng điều kiện suy diễn xấp sỉ
Tiên đề 1 vXTL
*
AwTN
*
Tiên đề 2 vXTL
-
AwTN
-
:
:
:
:
Tiên đề n vXTL
AwTN
Tiên đề n+1 vXTL
\*
AwTN
\*
Kết luận wTN
,
19
#$%&'()*+,*,*-
Input A0
Phương pháp lập luận và suy diễn xấp xỉ
Output B0
!"
Trong đó L
và N
là các điều kiện mờ, mô hình này mô tả quan hệ phụ thuộc giữa
hai đại lượng L và N. Giá trị XTL
,
được gọi là Input còn wTN
,
gọi là Output.
Phương pháp lập luận xấp xỉ tính wTN
,
gồm các bước sau:
Bước 1: Qxb.<.<b Chúng ta xem các khái niệm mờ L
, N
là
các nhãn của tập mờ biểu thị ngữ nghĩa của L
, N
. Để cho tiện ta ký hiệu hàm giá trị chân
lý tương ứng L
_`và N
_>` trên không gian tham chiếu k và .
Một cách trực cảm, mỗi mệnh đề B] được hiểu là một phép kéo theo logic
mờ L
_`
⇒
N
_>` . Khi và > biến thiên, biểu thức này xác định ánh xạ hàm giá trị chân
lý
µ
kX
→
n,;*o
Bước 2: !Ba_OA` Qua các phép toán logic mờ chúng ta thu được
công thức dạng
i
n
1i
@
µµ
=
=
trong đó @ là một trong các công thức mô tả giá trị chân lý của các
phép toán logic hội và tuyển ( chẳng hạn ta có thể chọn các hàm tương ứng là ( và
@). Việc kết nhập như vậy bảo đảm
µ
chứa các thông tin được cho bởi các mệnh đề
vA dạng mệnh đề logic mờ.
Bước 3: YaN
,
Để tính N
,
ta sử dụng công thức N
,
= L
,
µ
, trong đó là
phép hợp thành của L
,
và
µ
.
Bước 4: !yP Kết quả tính ở bước 3 là một giá trị mờ. Trong nhiều bài toán điều
khiển người ta cần xác định giá trị thực của biến trong w. Phương pháp tính giá trị thực
"tương ứng" với giá trị chân lý của N
,
được gọi là phương pháp khử mờ. Sẽ không có
phương pháp nào "tốt nhất" được đưa ra mà chỉ có thể đánh giá theo một giá trị ngưỡng
nào đó tuỳ thuộc quá trình thử nghiệm hoặc trực cảm nào đó. Ví dụ ta có thể khử mờ theo
trung bình cộng có trọng số, được cho bởi công thức:
∑
∈
∑
∈
=
Vv
)v(
0
B
Vv
)v(
0
vB
)
0
B(defuz
Có thể hình dung phương phương pháp lập luận mờ bằng mô hình tổng quát sau:
NQ]08 @Fa@S
20
#$%&'()*+,*,*-
!"
4. Xây dựng tập mờ
Tập mờ A xác định trên không gian nền X là một tập hợp thỏa mãn:
+ Mỗi phần tử của A có dạng (x,µ
A
(x))
+ µ
A
(x) là một ánh xạ từ X [0,1] được gọi là hàm liên thuộc xác định độ thuộc
của x vào tập A
4.1. Miền xác định của tập mờ
Miền xác định của tập mờ A trên không gian nền X là một tập con các phần tử của
X được ký hiệu thỏa mãn
S= {x∈ X | µ
A
(x) > 0}
4.2. Miền tin cậy của tập mờ
Miền tin cậy của tập mờ A trên không gian nền X là một tập con các phần tử của X
được ký hiệu thỏa mãn
= {x∈ X | µ
A
(x) = 1}
4.3. Miền biên của tập mờ
Miền biên của tập mờ A trên không gian nền X là một tập con các phần tử của X
được ký hiệu k thỏa mãn
k= {x∈ X | 0< µ
A
(x) <1}
8z Ta định nghĩa young - trẻ. Là tập hợp những người từ 20 tuổi trở xuống,
những người từ 30 tuổi trở lên không còn trẻ nữa, nhưng những người từ 21 đến 30 tuổi
vẫn thuộc tập Young với độ liên thuộc nào đó nhỏ hơn 1.
Ta định nghĩa hàm liên thuộc của tập Young như sau:
30)(
30)(10
20)(
0
10
20)(
1
1
≥
<<
≤
−
−=
@A
@A
@A
@A
µ
Hàm liên thuộc được thể hiện dưới dạng đồ thị như sau:
21
#$%&'()*+,*,*-
µ
1
!"
5. Khái niệm số mờ
5.1. Định nghĩa số mờ
Số mờ là một trường hợp đặc biệt của tập mờ khi hàm liên thuộc thỏa mãn các tính
chất sau:
- µ
A
là O{A8 (miền tin cậy khác rỗng)
- µ
A
là 0O (mỗi giá trị rõ phải thuộc miền tin cậy)
- µ
A
là đơn điệu tăng trên biên trái và đơn điệu giảm trên biên phải
Trong ngôn ngữ nói, có thể mô tả số mờ với các từ như xấp xỉ, khoảng; gần đến,
5.2. Số mờ dạng tam giác
- Là số mờ được mô tả kiểu "@@Fa@SGH"
- Biểu diễn một khoảng (a-α, a, a+β)
- Hàm thuộc được xác định như sau:
]4P8'
>
≤<
−
−
≤<
−
−
≤
=
3
32
23
3
21
12
1
1
0
0
)(
@
@
@
@
@
@
@
L
µ
5.3. Số mờ dạng hình thang
- Là số mờ được mô tả kiểu "@Q|.BG"
- Biểu diễn một khoảng (a-α, a, b,b+β)
22
#$%&'()*+,*,*-
A_@`
3020
]<G7eaP
)(@
L
µ
1
a
3
a
2
a
1
x0
1
a-
a
b+
b
!"
A =
AO
GG@
G@
G@
@
@
0
],(1
],[1
),[1
β
β
α
α
+∈
−
−
∈
−∈
−
−
- Hàm thuộc được xác định như sau:
Thường được biểu diễn qua bộ 4 số:
),,,(
_
~
βα
−
=
]N8 04P8']
23
#$%&'()*+,*,*-
!"
CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG LOGIC MỜ TRONG CÔNG TÁC TRỰC BAN TẠI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC CẢNH SÁT NHÂN DÂN
I. Mô tả bài toán thực tế
Xuất phát từ yêu cầu thực tế tại trường Đại học CSND, tôi có ý tưởng ứng dụng lý
thuyết logic mờ trong công tác trực ban tại trường.
Do đặc thù của lực lượng vũ trang, cán bộ chiến sĩ tại trường phải trực đêm vào các
ngày trong tuần từ 19
h
00 đến 7
h
00. Ngoài nhiệm vụ kiểm tra quân số tại các phòng ở của
sinh viên, và các phòng làm việc của các đơn vị, cán bộ trực ban phải có nhiệm vụ khóa
cổng 1 và cổng 2 vào lúc 22
h
00. Để đi từ cổng 1 đến cổng 2 của trường, cần phải đi qua
các phòng ban và phòng học, do đó cần phải có một con đường ngắn nhất giữa 2 cổng để
giúp cán bộ trực ban hoàn thành nhiệm vụ đúng thời gian đã quy định.
Bài toán này được đưa về dạng bài toán tìm đường đi ngắn nhất biểu diễn cung
đường đi là số mờ dạng khoảng.
II. Phát biểu bài toán
Giả sử xét đồ thị có hướng G=(V,E) mỗi cung (u,v)
∈
E được đặt tương ứng là số mờ
dạng khoảng.
Các bài toán đường đi ngắn nhất được chia thành 3 dạng chính:
].9P.}F|3/E.B3/.
].9P.}F|3/E.BFQ/.
].9P.}F~/GF•
Bài toán được đề cập đến ở đây là bài toán ở dạng thứ nhất: tìm đường đi ngắn nhất
từ một nút nguồn đến một nút đích cho trước.
Input:
a~'.S;a€;/E*_•*`‚/._•-`
Q^_$<82`e
Output
#9P.}F|.S*.B.S
z.2G2.9P.}F><8'G2s'
B
24
#$%&'()*+,*,*-
!"
* Xây dựng đường đi trong đồ thị:
Theo định nghĩa với bài toán đường đi ngắn nhất ta xây dựng đường đi trên cung i,j
là một hàm x(i,j) thỏa mãn các tính chất sau:
- x
ij
=0 hoặc x
ij
=1 ứng với việc có hay không sử dụng cung i,j trong đường đi
Tổng đường đi ra tại nút nguồn bằng 1; tổng đường đi vào tại nút đích bằng 1
Tổng đường đi vào một nút i bất kỳ bằng tổng đường đi ra tại nút đó.
* Giới hạn đường đi:
Đường đi trên cung không vượt quá tải năng của cung
),(),( >>v ≤
* Cân bằng đường đi tại nút đỉnh:
Tổng đường đi vào tại một đỉnh bằng tổng đường đi ra tại đỉnh đó (trừ đỉnh đầu và
đỉnh đích)
∑ ∑
= =
=
ƒ
ƒ
ƒvƒv
1 1
),(),(
(với i là một đỉnh thông thường trong đồ thị)
Tổng đường đi ra khỏi đỉnh nguồn bằng tổng đường đi vào đỉnh đích
∑ ∑
= =
=
ƒ
ƒ
ƒvƒ0v
1 1
),(),(
III. Mô hình bài toán
Gọi c
ij
là chiều dài cung i,j. Bài toán đường đi ngắn nhất trong đồ thị được phát biểu
như sau:
* Hàm mục tiêu:
Min
∑∑
= =
ƒ
ƒƒ
@
1 1
* Các ràng buộc:
=
=
−=−
∑ ∑
= =
AO„0A
@@
ƒ
ƒ
ƒƒ
1
0
1
1
1 1
25
#$%&'()*+,*,*-
