Tiểu luận phương pháp toán trong tin học Logic vị từ và ứng dụng

Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh
Đại học Công Nghệ Thông Tin
Khoa Khoa Học Máy Tính

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TRONG TIN HỌC
LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG
DỤNG
GVHD: PGS.TS. Nguyễn Phi Khứ
Học Viên : Vũ Thế Nhân – CH1301030
TPHCM , ngày 28 tháng 12 năm 2013
Mục Lục
I. Mệnh đề 2
1. Định nghĩa 2
2. Chân trị mệnh đề 2
II. Vị từ 2
1. Điểm yếu của logic mệnh đề 3
2. Định nghĩa 4
3. Không gian vị từ 4
4. Trọng lượng vị từ 5
5. Thành phần vị từ 5
6. Phép toán vị từ 6
III. Lượng từ 6
1. Lượng từ tồn tại 6
2. Lượng từ với mọi 6
3. Tầm vực của lượng từ 7
4. Cách định chân trị 7
5. Các đinh lý thường dùng 8
6. Công thức tương đương 10
7. Dạng chuẩn PRENEX 11
IV. Áp dụng 13
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030

2
I. Mệnh đề:
1. Định nghĩa:
Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toánhọc không được định nghĩa mà chỉ
được mô tả.Mệnh đề toán học(gọi tắt là mệnh đề) là mộtkhẳng định có giá trị chân
lý xác định(đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai).
Ví dụ:
- “Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng
- “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam” là một mệnh đề sai.
- “Bạn có khỏe không ? ” không phải là một mệnh đề toán học vì đây là một câu
hỏi không thể phản ánh một điều đúng hay một điều sai
Ký hiệu mệnh đề :
Người ta thường dùng các ký hiệu : P, Q, R, …
Chú ý: Mệnh đề phức hợp là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ
liên kết chúng lại bằng các liên từ (và, hay, nếu…thì…) hoặc trạng từ “không”
Ví dụ:
- Nếu trời tốt thì tôi đi dạo.
2. Chân trị của mệnh đề:
Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai. Khi
mệnh đề P đúng ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P cóchân trị sai. Chân
trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1 hay Đ(đúng), T(true) và 0 hay
S(sai), F(false).
Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là
tương đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả logic của dạng mệnh đề kia, ta có
các cách sau
- Lập bảng chân trị.
- Sử dụng phép thay thế.
- Các qui tắc thay thế:
a. Quy tắc thay thế thứ 1
Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh

đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương
logic với E.
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
3
b. Quy tắc thay thế thứ 2
Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r…) là một hằng đúng. Nếu ta thay thế những
nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p‟,q‟,r‟) thì dạng mệnh đề nhận được
theo các biến q,r…,p‟,q‟,r‟,… vẫn còn là 1 hằng đúng.
II. Vị từ
1. Điểm yếu của logic mệnh đề:
Không thể hiện được các phát biểu có các biến
Ví dụ:
x = y + 3
x > 3
Bởi vì các biến chưa có giá trị. Tuy nhiên, phát biểu dạng như trên xuất hiện rất
nhiều
Những sự tương đương sau không biểu diễn được bằng logic mệnh đề
"Không phải tất cả bánh đều ăn được" và "Chỉ một số bánh ăn được"
Để suy diễn, mỗi mệnh đề phải được liệt kê riêng lẽ
Khắc phục các điểm yếu nêu trên
- Phát biểu x > 3 có 2 phần:
• Biến x
• Tính chất của biến x (> 3), được gọi là vị từ (predicate)
- Nói cách khác
Predicate là vị từ mô tả tính chất của những đối tượng, hoặc quan hệ giữa
chúng
- Ký hiệu phát biểu P(x)
⇒ P(2), P(4) là mệnh đề
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
4

Xét các câu sau:
- "The car Tom is driving is blue"
- "The sky is blue"
- "The cover of this book is blue"
Chúng ta có thể có 1 vị từ "is blue", viết tắt là B.
B(x) nghĩa là "x is blue"
Khi đó, ta có thể biểu diễn các câu như sau
- B(The car Tom is driving)
- B(The sky)
- B(The cover of this book)
2. Định nghĩa:
Cho A là một tập hợp khác rỗng. Giả sử,ứng với mỗi x = a Є A ta có một mệnh đề
p(a). Khi đó, ta nói p = p(x) là một vị từ theo một biến (xác định trên A). Nói cách
khác, vị từ có thể xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào,
nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ.
Ví dụ:
Câu {n là chẳn} là một vị từ. Nhưng, khi cho n là một số cụ thể là chẳn hay là lẻ ta
được một mệnh đề:
- n = 2 :{2 là chẳn}: mệnh đề đúng.
- n = 5 :{5 là chẳn}: mệnh đề sai.
- Vị từ {n là chẳn} có 2 phần. Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu. Phần
thứ hai "là chẳn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có
thể có.
- Ký hiệu: P(n) = {n là chẳn}
Tổng quát, người ta nói P(n) là giá trị của hàm mệnh đề P tại n. Một khi biến n
được gán trị thì P(n) là một mệnh đề.
3. Không gian của vị từ:
Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử x thuộc tập hợp E
ta được một ảnh P(x)∈ {∅, 1}. Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ.
Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh

đề đúng hoặc sai.
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
5
4. Trọng lượng của vị từ:
Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn. Vị từ xuất hiện cũng như
một hàm nhiều biến, khi đósố biến được gọi là trọng lượng của vị từ.
Ví dụ:
Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N. Ta nói P có trọng
lượng 2.
Trong một vị từ P(x
1
, x
2
, , x
n
) có trọng lượng là n. Nếu gán giá trị xác định cho
một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x
1
, x
2
, , x
n
) có trọng
lượng là (n-1). Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề.
Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ∅.
5. Thành phần vị từ:
a. Hằng:
Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ. các hằng được ký hiệu bởi các
chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính.
b. Biến:

Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính. Biến
được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa. Vậy có thể dùng vị từ có biến để
thể hiện các vị từ tương tự.
Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y". Quả bóng xanh là
các hằng được xác định trong không gian của vị từ. X, Y là biến.
c. Tham số:
Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng
định về đối tượng.
Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y).
Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc. Đối số là các ký
hiệu thay cho
các đối tượng của bài toán.
d. Hàm :
Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệhàm số.
Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc.
Hoa và Đông là bạn của nhau.
Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này.
Mẹ (Mai) = Hoa
Cha (Cúc) = Đông
6. Phép toán vị từ:
Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép
toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức.
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
6
Ví dụ: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau“ dưới
dạng logic vị từ.
Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:
- "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai).
- "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai).
Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y) ⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích
(Y, Z) → ¬ thích (X, Y)
III. Lượng từ
1. Lượng từ tồn tại ( ∃ )
Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng"
là một mệnh đề. Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x)
là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x).
Ký hiệu: ∃x P(x) .
Ví dụ:
P(x) = ”x > 3”
Miền giá trị x ∈ R
Mệnh đề: ∃xP(x) là T
Ví dụ:
Q(x) = ”x = x + 1”
Miền giá trị x ∈ R
Mệnh đề: ∃xQ(x) là F
2. Lượng từ với mọi ( ∀ )
Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một
mệnh đề. Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề
được gọi là lượng từ với mọi của P(x).
Ký hiệu: ∀xP(x)
Ví dụ:
Mọi sinh viên máy tính phải học môn logic
P(x) = "x phải học môn logic"
Mệnh đề: ∀xP(x)
Ví dụ:
Chính xác hơn
S(x) = x là sinh viên máy tín
P(x) = x phải học môn logic
Mệnh đề: ∀x(S(x) → P(x))

3. Tầm vực của lượng từ:
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
7
Ký hiệu bởi [] hoặc (), nếu không có thì tầm vực là công
thức nhỏ nhất ngay sau lượng từ
Biến x là bound nếu
- Biến x được gán giá trị
- Biến x được lượng từ hóa
Biến x là free nếu nó không bound
Ví dụ:
- ∀xP(x, y) thì x là bound và y là free
- ∀x(∃yP(x, y)∨Q(x, y)) thì x, y trong P(x, y) là bound, trong khi y trong Q(x,
y) là free
4. Cách định chân trị:
∀xP(x) = P(x
1
) ∧ P(x
2
) ∧ . . . ∧ P(x
n
)
∃xP(x) = P(x
1
) ∨ P(x
2
) ∨ . . . ∨ P(x
n
)
Trong đó x
1

, x
2
, . . . , x
n
là liệt kê các giá trị có thể có của x
Thử tất cả các x
i
với ∀ để xác định T
Tìm một x
i
với ∃ để xác định T.
Thứ tự của lượng từ là quan trọng, chỉ trừ khi
Tất cả các lượng từ là "với mọi" hoặc tất cả là "tồn tại"
Đọc từ trái sang phải, áp dụng từ trong ra
Ví dụ:
- ∀x∀y(x + y = y + x)
T với tất cả x, y ∈ R
Ví dụ:
- ∀x∃y(x + y = 0) là T,trong khi ∃y∀x(x + y = 0) là F
5. Các định lý thường dùng:
Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2. Khi đó:
a. ∀a∀b P(a,b) và ∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị.
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
8
Nghĩa là : ∀a∀b P(a,b) ↔∀b∀ a P(a, b)
Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b)
b. ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị.
Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔ ∃b∃a P(a, b)
Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b)
c. Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì ∀b∃a P(a,b) cũng đúng

nhưng điều ngược lại chưa đúng.
Nghĩa là : ∃a∀b P(a,b) → ∀b∃a P(a,b)
Chứng minh c)
Giả sử “∃a ∈ A, b∀ ∈ B, p(a,b)” là đúng. Khi đó, tồn tại a thuộc A sao cho “∀y
∈ B, p(a,b)” là đúng, nghĩa là nếu thay b = y thuộc B bất kỳ thì p(a,b) đúng. Như
vậy, y = b thuộc B tuỳ chọn thì ta có thể chọn a = x để “∃x ∈ A, p(a, b)” là đúng.
Do đó, “∀b ∈ B, ∃a ∈ A, p(a,b)” là mệnh đề đúng.
Ví dụ thể hiện chiều đảo của 3 là chưa chắc đúng:
- Gọi p(x,y) là vị từ theo 2 biến thực
p(x,y) = “x + y = 1”,
- Nếu thay y tuỳ ý thì x = 1 - y để cho x + y = 1
nên mệnh đề tồn tại x thuộc A, p(x, y) là đúng.
Nên mệnh đề “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” là đúng.
- Ngược lại, nếu chọn x = a tuỳ ý, ta có thể chọn
y = -a để “∀y ∈ B, p(x, y)” là sai.
Điều này chứng tỏ, “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” là sai.
- Do đó, phép kéo theo sau là sai:
“∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” -> “∃x ∈A, ∀y ∈ B, p(x,y)”.
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
9
Định lý 2:
- ¬ (∀ x P(x)) và ∃ x (¬ P(x) là có cùng chân trị.
- ¬ (∃ x P(x)) và ∀ x (¬ P(x) là có cùng chân trị.
Giải thích:
- Phủ định với ∀x P(x) nói rằng tập hợp những x làm cho P(x) đúng không là
tất cả tập hợp E. Vậy nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x ∈ E mà ở chúng
P(x) là sai hay nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x ∈ E mà ở chúng P(x) là
đúng.
- ¬ ∃ x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp trống.
Nghĩa là, tập hợp những x mà ở chúng P(x) là sai là tập hợp E hay không có

phần tử nào làm P(x) đúng. Ta có ∀ x (¬ P(x)).
Ví dụ: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít nhất một
số nguyên n không chia chẵn cho 3"
Phương pháp ứng dụng.
Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng liên kết của những biến
của vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế những định lượng ∀ bởi
∃, và ∃ bởi ∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó.
Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.
- Mệnh đề ∀x (P(x) ∧ Q(x)) và (∀x (P(x) ∧ ∀x (Q(x)) là có cùng chân trị.
- Nếu mệnh đề ∃x (P(x) ∧ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃x P(x)) ∧
(∃xQ(x)) cũng đúng.
- Mệnh đề ∃x (P(x) ∨ Q(x)) và (∃xP(x) ∨∃xQ(x)) là có cùng chân trị.
- Nếu mệnh đề ∀x (P(x) ∨ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề ∀xP(x) ∨∀xQ(x) là
đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng.
Chú thích:
Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có :
- Tập họp A⊂ E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là đúng.
- Tập họp B⊂ E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là đúng.
- Khi đó người ta lưu ý rằng, A∧B là tập hợp những x thuộc E mà ở chúng mệnh
đề P(x)∧Q(x) là đúng. Trong khi đó A∨B là tập hợp những x của E mà ở đó
mệnh đề P(x)∨Q(x) là đúng.
6. Công thức tương đương:
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
10
A tương đương B nếu và chỉ nếu (A → B) ∧ (B → A)
Ký hiệu:
A ≡ B |= (A → B) ∧ (B → A)
Một số công thức tương đương:
- ~∀x W(x) ≡ ≡ ∃x ~W(x)
- ~ ∃x W(x) ≡ ≡ ∀x ~W(x)

- ∃x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ≡ ∃x A(x) ∨ ∃x B(x)
- ∀x(A(x) ∧ B(x)) ≡ ≡ ∀x A(x) ∧ ∀x B(x)
- ∃x (A(x) → B(x)) ≡ ≡ ∀x A(x) → ∃x B(x)
- ∀x∀y W(x,y) ≡ ≡ ∀y∀x W(x,y)
- ∃x ∃y W(x,y) ≡ ≡ ∃y∃x W(x,y)
Các phép tương đương có giới hạn:
Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:
Disjunction
- ∀x(C ∨ A(x)) ≡ ≡ C ∨ ∀x A(x)
- ∃x(C ∨ A(x)) ≡ ≡ C ∨ ∃x A(x)
Conjunction
- ∀x(C ∧ A(x)) ≡ ≡ C ∧ ∀x A(x)
- ∃x(C ∧ A(x)) ≡ ≡ C ∧ ∃x A(x)
Implication
- ∀x (C → A(x)) ≡ ≡ C → ∀x A(x)
- ∃x (C → A(x)) ≡ ≡ C → ∃x A(x)
- ∀x (A(x) → C) ≡ ≡ ∃x A(x) → C
- ∃x (A(x) → C) ≡ ≡ ∀x A(x) → C
Một vài điều kiện không tương đương:
- ∀x W(x) → ∃x W(x)
- ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) → ∀x(A(x) ∨ B(x))
- ∃x(A(x) ∧ B(x)) → ∃x A(x) ∧ ∃x B(x)
- ∀x(A(x) → B(x)) → (∀x A(x) → ∀x B(x))
- ∃y ∀x W(x,y) → ∀x ∃y W(x,y)
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
11
7. Dạng chuẩn PRENEX:
F = (Q1 x1) (Qn xn) (M)
M là công thức không chứa lượng từ
Ví dụ:

F = (∀x)p(x) → (∃y)q(y)
F = (∃x)¬p(x) ∨ (∃y)q(y)
F = (∃x)(∃y) (¬p(x) ∨ q(y))
Dạng chuẩn Prenex không duy nhất.
Dạng chuẩn Prenex còn tương đương với công thức ban đầu.
Chuyển về dạng chuẩn Prenex :
F = (∀x)(p(x) → (∃x)(∀y)(q(y) ∨ r(x)))
F = (∀x)(¬p(x) ∨ (∃x)(∀y)(q(y) ∨ r(x)))
Đổi tên biến cục bộ.
F = (∀x)(¬p(x) ∨ (∃z)(∀y)(q(y) ∨ r(z)))
F = (∀x)(∃z)(∀y)(¬p(x) ∨ (q(y) ∨ r(z))).
Qui tắc chuyển 1 công thức về dạng Prenex.
1. Xoá toán tử "→".
2. Chuyển lượng từ ra phía trước.
Dạng chuẩn Prenex Hội/Tuyển:
F = (Q
1
x
1
) (Q
n
x
n
) (D
1
∨ … ∨ D
k
)
D
k

là hội của một hoặc nhiều mệnh đề.
Ví dụ : F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x) ∧ q(y)) ∨ (q(y) ∧ r(z))).
Chuyển về dạng chuẩn Prenex hội :
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
12
F = (Q
1
x
1
) (Q
n
x
n
) (D
1
∧…∧ D
k
)
D
k
là tuyển của một hoặc nhiều mệnh đề.
Ví dụ : F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x) ∨ q(y)) ∧ (q(y) ∨ r(z))).
Giải thuật chuyển công thức về dạng chuẩn Prenex Hội/Tuyển:
1. Đổi tên biến
2. Xóa toán tử "→“ dùng A → D= ~A ∨ B.
3. Di chuyển ¬ (~) về bên trái của mỗi mệnh đề.
4. Chuyển các lượng từ ra bên trái của mỗi mệnh đề.
5. Dùng luật phân bố và kết hợp để chuyển về dạng tương ứng Hội/Tuyển.
Ví dụ: Cho W= ∀xA(x) ∨∃xB(x) → C(x) ∧ ∃x C(x).
W ≡ ∀yA(y) ∨∃zB(z) → C(x) ∧ ∃tC(t) (Đổi tên biến )

≡ ~(∀yA(y) ∨∃zB(z)) ∨ (C(x) ∧∃ t C(t)) (Xóa “→”)
≡ (~∀yA(y) ∧ ~∃zB(z)) ∨ (C(x) ∧∃t C(t)) (Di chuyển” ~”)
≡ (∃y~A(y) ∧ ∀z~B(z)) ∨ (C(x) ∧∃t C(t))
≡ ∃y∀z∃t((~A(y) ∧ ~B(z)) ∨ (C(x) ∧C(t)))
 Đây là dạng chuẩn Prenex.
IV. Áp Dụng:
1. Tìm chân trị mệnh đề
a)Mệnh đề “∀x ∈ R, x
2
+ 3x + 1 ≤ 0” là mệnh đề đúng hay sai?
Mệnh đề sai vì tồn tại x = 1 mà x
2
+ 3x + 1 > 0
b) Mệnh đề “ ∃ x ∈ R, x
2
+ 3x + 1 < 0” là mệnh đề đúng hay sai?
Mệnh đề đúng vì tồn tại x = 1 mà mệnh đề lớn hơn 0
Xét vị từ p(x, y) = “x + 2y < 1” theo hai biến x,y xác định trên R
2
c)Mệnh đề“∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề sai vì tồn tại x= 0, y= 1 ∈ R mà x + 2y > 1.
d) Mệnh đề“∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề đúng vì với mỗi x = a ∈ R, tồn tại y ∈ R như
y = –a/2, sao cho a + 2ya < 1.
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
13
e) Mệnh đề “∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai
Mệnh đề sai vì không thể có x = a ∈ R để bất đẳng thức
a + 2y < 1 được thỏa với mọi y ∈R (chẳng hạn, y =–a/2 + 2
không thể thỏa mãn bất đẳng thức này)

f) Mệnh đề“∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề đúng vì tồn tại x = 0, y= 0 ∈ R chẳng hạn, thỏa
mãn x + 2y < 1.
g) Xét A
1
= ” ∃x ∈ R, ∃n ∈ N, 2
n
≤ x < 2
n + 1
”
Chọn x = 1∈ R; n = 0 ∈ N : 2
0
≤ x < 2
0 + 1
Suy ra A
1
đúng
=” ∀x ∈ R, ∀n ∈ N, 2
n
> x hoặc x
≥
2
n + 1
“
h) Xét A
4
= “
)()(,,
22
yxyxRyRx =→=∈∃∈∀

”
với mọi x ta chọn y bằng với x thì A
4
đúng
i)A= “ ∀x ∈ R, ∃y ∈ Q, ∀t ∈ Z, x ≤ y
2
+2t ”
A
= “
xZtQyRx ,,,
∈∃∈∀∈∃
> y
2
+ 2t”
∃ x = 0 ∈ R, ∀y ∈ Q, ∃t nguyên < −2
−
1
y
2
(chắc chắn có t) , 0 > y
2
+ 2t Ở
đây x cố định, y hữu tỉ tùy ý có trước và t nguyên có sau phụ thuộc y. Vậy
A
đúng.
2. Diễn giải ý nghĩa
Ví dụ: ∀x∀y(x + y = y + x), x, y ∈ R
 x + y = y + x với tất cả các số thực
Ví dụ: ∀x∃y(x + y = 0), x, y ∈ R
 Với mọi số thực x, tồn tại số thực y thỏa mãn x + y = 0

Ví dụ: Diễn giải phát biểu sau:
∀x(C(x) ∨ ∃y(C(y) ∧ F(x, y))))
Trong đó:
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
14
• C(x): x có máy tính
• F(x, y): x, y là bạn
• x, y ∈ tất cả sinh viên trong trường
=> Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máy tính, hoặc tồn tại sinh viên y
có máy tính và sinh x, y là bạn.
Ví dụ: Diễn giải phát biểu sau:
∃x∀y∀z(((F(x, y) ∧ F(x, z) ∧ (y = z)) → ¬F(y, z)))
Trong đó:
• F(x, y): x, y là bạn
• x, y, z ∈ tất cả sinh viên trong trường
 Tồn tại một sinh viên x, sao cho với mọi sinh viên y, với mọi sinh viên z khác y,
nếu x là bạn của y và x là bạn của z thì y, z không là bạn của nhau.
3. Hình thức hóa ngôn ngữ: Sau khi đã được giới thiệu về các lượng từ, chúng ta có
thể biểu diễn được một tập hợp rộng lớn các câu thông thường thành các biểu
thức logic. Việc làm này nhằm mục đích loại đi những điều chưa rõ ràng và người
ta có thể sử dụng các câu suy luận này trong việc lập trình logic và trí tuệ nhân
tạo.
Ví dụ 1: Biểu diễn câu (1) "Có sinh viên nào đó trong lớp đã tham quan Hà Nội"
(2) "Mọi sinh viên trong lớp đã thăm Nha Trang hoặc Vũng Tàu" thành
một biểu thức logic.
Nếu ta đặt câu:
C(x): x đã thăm Hà Nội
D(x): x đã thăm Nha Trang
E(x): x đã thăm Vũng Tàu
Ta có:

(1): ∃xC(x)
(2): ∀x(D(x) ∨ E(x))
Ví dụ 2: Biểu diễn câu "Mọi người đều có chính xác một người bạn tốt nhất"
thành một biểu thức logic.
Nếu ta đặt câu:
- B(x, y): y là bạn tốt nhất của x
Ta có:
∀x∃y∀z(B(x, y) ∧ ((y = z) → ¬B(x, z)))
Ví dụ 3: Biểu diễn câu: "Nếu một người nào đólàphụ nữ và đã sinh con, thì người
đósẽ là mẹ của một người nào khác" thành một biểu thức logic.
Nếu ta đặt câu:
- C(x): x là phụ nữ
- D(x): x là cha mẹ
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
15
- E(x, y): x là mẹ của y
Ta có:
∀x((C(x) ∧ D(x)) → ∃yE(x, y))
Ví dụ 4 : Hãy xét phủ định của câu sau đây :
"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2"
Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau: ∀xP(x)
Trong đó P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 }.
Phủ định của câu này là : " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã học
môn Toán rời rạc 2".
Điều này có nghĩa là :" Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưa học Toán rời rạc
2" .
Đây chính là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được viết như
sau : ∃x¬P(x).
Ta có :
¬ ∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)

¬ ∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)
4. Phân tích cú pháp DCG
Sử dụng logic vị từ để biểu diễn mối quan hệ giữa các thành phần trong câu
% Dạng : Con gì {hành động } {thông tin } ?
cau_hoi(cau_hoi(NV, TT, DH)) > nghi_van(NV), thong_tin(TT), dau_hoi(DH).
nghi_van(nghi_van(DTNV, TNV)) > doi_tuong_nghi_van(DTNV),
tu_nghi_van(TNV).
thong_tin(thong_tin(DT, DTTT)) > dong_tu(DT), doi_tuong_thong_tin(DTTT).
doi_tuong_nghi_van(doi_tuong_nghi_van(con_vật)) > [con, vật].
doi_tuong_nghi_van(doi_tuong_nghi_van(con)) > [con].
doi_tuong_nghi_van(doi_tuong_nghi_van(loài)) > [loài].
dong_tu(dong_tu(ăn)) > [ăn].
dong_tu(dong_tu(sống_ở)) > [sống, ở].
dong_tu(dong_tu(đẻ)) > [đẻ].
tu_nghi_van(tu_nghi_van(gì)) > [gì].
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
16
tu_nghi_van(tu_nghi_van(nào)) > [nào].
doi_tuong_thong_tin(doi_tuong_thong_tin(X)) > [X].
dau_hoi(dau_hoi(?)) > [?].
Khi phân tích câu hỏi “con gì đẻ con ?” ta sẽ có biểu diễn cú pháp dạng logic vị từ
như sau
cau_hoi(nghi_van(doi_tuong_nghi_van(con),tu_nghi_van(gì)),thong_tin(dong_tu(
đẻ),doi_tuong_thong_tin(con)),dau_hoi(?))
VŨ THẾ NHÂN – CH1301030
17