§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (Tiết 2).

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN.
B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC.
Tiết 65: (ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO)
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (Tiết 2).
I. MỤC TIÊU.
1. Về kiến thức:
- Giúp học sinh hiểu được một số định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số.
- Áp dụng để tìm giới hạn của hàm số.
2. Về kỹ năng:
- Biết áp dụng một số định lý về giới hạn của hàm số để tìm giới hạn của một hàm số.
- Củng cố kỹ năng tìm giới hạn của dãy số; giới hạn tại vô cực của hàm số.
3. Về tư duy thái độ: Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy
logic.
II. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
1. Chuẩn bị của GV: Các phiếu học tập, bảng phụ.
2. Chuẩn bị của HS: Ôn bài cũ, đọc bài mới và một số dụng cụ học tập để hoạt động
nhóm.
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
Về cơ bản sử dụng PPDH gợi mở vấn đáp đan xen hoạt động nhóm.
D. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: .
1. Hoạt động 1: Kiểm tra bài. (20 phút)
a) Nêu định nghĩa giới hạn của hàm số.
b) Hoạt động nhóm để ôn lại một số nội dung của bài cũ.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng – Trình chiếu
Học sinh đứng tại chỗ
nêu.
Nêu định nghĩa giới hạn
của hàm số ?
0
lim ( )
x x

f x L
→
= ⇔
*
0 0
( ( ), : lim
lim ( ) ).
n n n
n
x x x n x x
f x L
∀ ≠ ∀ ∈ =
⇒ =
¥
Nhóm 1: Trình bày vào
bảng phụ:
Treo bảng phụ của nhóm
1.
Đại diện nhóm trình bày
Nhóm 1: Áp dụng định
nghĩa để tìm giới hạn của
hàm số sau:
2
1
3 4
lim
1
x
x x
x

→−
− −
+
;
Gọi 1 học sinh trong
nhóm lên trình bày.
Đặt
2
3 4
( )
1
x x
f x
x
− −
=
+
.
Lấy dãy số (x
n
) tuỳ ý sao cho
x
n
≠ −1,
*
n∀ ∈¥
và
lim 1
n
x = −

.
Lúc đó ta có:
2
3 4
( ) 4
1
n n
n n
n
x x
f x x
x
− −
= = −
+
(vì
1
n
x ≠ −
).
1
Do đó
lim ( ) lim( 4) 5
n n
f x x= − = −
.
Vậy
1
lim ( ) 5.
x

f x
→−
= −
Nhóm 2: Trình bày vào
bảng phụ:
Treo bảng phụ của nhóm
2.
Đại diện nhóm trình bày
Nhóm 2: Áp dụng định
nghĩa để tìm giới hạn của
hàm số sau:
4 3
4
2 1
lim
1
x
x x
x
→−∞
− +
+
;
Gọi 1 học sinh trong
nhóm lên trình bày.
Đặt
4 3
4
2 1
( )

1
x x
f x
x
− +
=
+
.
Lấy dãy số (x
n
) tuỳ ý sao cho
lim
n
x = −∞
.
Lúc đó ta có:
4 3 4
4
4
1 1
2
2 1
( )
1
1
1
n n n n
n
n
n

x x x x
f x
x
x
− +
− +
= =
+
+
(vì
0
n
x ≠
). Mà
lim
n
x = −∞
nên
4
1 1
lim lim 0
n n
x x
= =
.
Do đó
lim ( ) 2
n
f x =
.

Vậy
lim ( ) 2.
x
f x
→−∞
=
Nhóm 3: Trình bày vào
bảng phụ:
Treo bảng phụ của nhóm
2.
Đại diện nhóm trình bày
Nhóm 3: Cho hàm số
1
( ) cosf x
x
=
và hai dãy
số (x'
n
) và (x"
n
) với
' ''
1 1
;
2
2
n n
x x
n

n
π
π
π
= =
+
.
a) Tìm giới hạn của các
dãy số
' '' '
( ), ( ), ( ( ))
n n n
x x f x
và
''
( ( ))
n
f x
.
b) Tồn tại hay không
0
1
limcos
x
x
→
?
Gọi 1 học sinh trong
nhóm lên trình bày.
a) Ta có:

' "
lim lim 0
n n
x x
= =
.
'
lim ( ) limcos(2 ) 1
n
f x n
π
= =
;
"
lim ( ) limcos 0
2
n
f x n
π
π
 
= + =
 ÷
 
.
b) Không tồn tại vì với hai dãy (x'
n
)
và (x"
n

) cùng dần tới 0 nhưng hai
dãy hàm tương ứng dần về hai số
thực khác nhau.
Nhóm 4: học sinh nêu ở
bảng phụ.
Nhóm 4: Nêu các định lý
về giới hạn hữu hạn của
dãy số.
Bảng phụ của nhóm 4:
(Định lý 1 và 2 Sgk trang 132).
2. Hoạt động 2: Định lý 1 và 2. (12 phút)
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng – Trình chiếu
Viết vào bảng phụ.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ
ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA
HÀM SỐ
3. Một số định lí về giới hạn hữu
hạn của hàm số:
2
Rồi đại diện hai nhóm
trình bày.
0 0
lim( ) lim
k k
x x x x
ax a x
→ →
=
0
0

lim
k
k
x x
a x ax
→
 
= =
 ÷
 
Từ các định lý về giới hạn
hữu hạn của dãy số, học
sinh phát biểu kết quả
tương tự.
Hai nhóm ghi kết quả của
Định lý 1; hai nhóm còn
lại ghi kết quả của Định lý
2.
Chú ý việc áp dụng các
định lý này:
Giới hạn của tổng, hiệu,
tích, thương của hai hàm
số tại một điểm bằng tổng,
hiệu, tích, thương các giới
hạn của chúng với điều
kiện kèm theo.
0
k
lim(ax ) ?
x x→

=
a) Định lý 1:
Giả sử
0
lim ( )
x x
f x M
→
=
,
0
lim ( )
x x
g x N
→
=
(
,M N ∈¡
).
Khi đó:
i)
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x M N
→
± = ±
.
ii)

[ ]
0
lim ( ) ( ) .
x x
f x g x M N
→
=
;
Đặc biệt,
[ ]
0
lim ( )
x x
cg x cN
→
=
, với
c = const
iii)
0
( )
lim ( 0)
( )
x x
f x M
N
g x N
→
= ≠
.

b) Định lý 2:
Giả sử
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
. Khi đó:
i)
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
.
ii)
0
3
3
lim ( )
x x
f x L
→
=
;
iii) Nếu
0
( ) 0, \{ }f x x J x≥ ∀ ∈

,
trong đó J là một khoảng nào đó
chứa x
0
, thì
0L ≥
và
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
.
c) Chú ý:
+ Định lý 1 và 2 vẫn còn đúng khi
thay
0
x x→
bởi
x → −∞
hay
x → +∞
.
+
0
0
k
lim(ax ) ,
k

x x
ax
→
=
với
*
onst, ka c= ∈¥
.
3. Hoạt động 3: Ví dụ: (10 phút)
Các học sinh làm ở giấy, giáo viên trình chiếu kết quả ở máy chiếu đa vật thể.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng – Trình chiếu
Thảo luận và trình bày lời giải vào
bảng phụ Lớp chia thành 4 nhóm
- Cho hs nhóm khác nhận
xét.
- Nhận xét và đưa ra kết
quả đúng cho học sinh
Ví dụ: Tìm
a)
2
3 2
1
2
lim
x
x x
x x
→−
− −
+

b)
2
9
3
lim
9
x
x
x x
→
−
−
c)
2
lim
2
x
x x
x x
→+∞
− +
3
d)
6
3
2
lim
3 1
x
x

x
→−∞
+
−
2
3 2 2
1 1
2 3 ( 1)(2 3)
lim lim
( 1)
x x
x x x x
x x x x
→− →−
− − + −
=
+ +
2
1
2 3
lim 5
x
x
x
→−
−
= = −
Nhóm 1: câu a)
HD: Phân tích tử thức và
mẫu thức thành nhân tử.

Kết quả:
a)
2
3 2
1
2
lim 5
x
x x
x x
→−
− −
= −
+
2
9 9
3 3
lim lim
9 (9 )
x x
x x
x x x x
→ →
− −
=
− −
9
1 1
lim
54

(3 )
x
x x
→
−
= = −
+
Nhóm 2: câu b)
HD: Phân tích mẫu thức
thành nhân tử.
Kết quả:
b)
2
9
3 1
lim
9 54
x
x
x x
→
−
= −
−
2
2
1
lim lim 0
1 2
2

1
x x
x x
x
x x
x x
→+∞ →+∞
= =
− +
− +
Nhóm 3: câu c)
HD: Đặt x với luỹ thừa
lớn nhất ở tử và mẫu.
Kết quả:
c)
2
lim 0
2
x
x x
x x
→+∞
=
− +
6
6
6
3 3
2
1

2
lim lim
3 1 3 1
x x
x
x
x
x x
→−∞ →−∞
 
+
 ÷
+
 
=
− −
3
6 6
3
3 3
2 2
1 1
1
lim lim
1 1
3
(3 ) 3
x x
x
x x

x
x x
→−∞ →−∞
− + − +
= = = −
− −
Nhóm 4: câu d)
HD: Đưa x trong căn ra
ngoài dấu căn và đặt x
với luỹ thừa lớn nhất ở tử
và mẫu.
Kết quả:
d)
6
3
2 1
lim
3 1 3
x
x
x
→−∞
+
= −
−
4. Hoạt động 4: Củng cố và BTVN (2 phút)
- Biết áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số để tìm giới hạn ( hữu hạn và vô cực)
của một hàm số.
- Biết vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn để tìm giới hạn (hữu hạn) của một số
hàm số.

- Về nhà làm các bài tập 23, 24, 25 Sgk trang 152.
4