de cuong on thi tot nghiep va dai hoc

A – ĐẠI SỐ
PHẦN 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
• Phương pháp giải ( hàm số y = f(x) )
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Tính y
!
và tìm nghiệm y
!
= 0
3. Xét sự biến thiên
4. Tìm cực trị của hàm số ( nếu có )
5. Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực ( nếu có )
6. Tìm các đường tiệm cận của hàm số
7. Lập bảng biến thiên
8. Xác định một số điểm đặc biệt
9. Nhận xét: chỉ ra tâm đối xứng hoặc trục đối xứng ( nếu có )
• Phân dạng hàm số
1. Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0). Đồ thị của hàm số luôn có một điểm uốn và điểm đó là tâm đối
xứng của đồ thị.
2. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠

0). Hàm trùng phương là hàm số chẳn nên đồ thị nhận trụ tung làm trục
đối xứng.
3. Hàm số y =
dcx
bax
+
+
( c
≠
0 và ad – bc
≠
0).hàm nhất biến là hàm số có hai tiệm cận là tịm cận: tiệm
cận đứng x =
c
d
−
và tiệm cận ngang y =
c
a
.Hàm số luôn có đạo hàm cấp một là y
!
=
2
)(

dcx
cbda
+
−
.

4. Hàm số y =
edx
c
bxa
edx
cbxax
+
′
+
′
+
′
=
+
++
2
(a
≠
0, c
≠
0). Hàm số này có hai tiệm cận là tiệm
cận đứng x =
d
e
−
và tiệm cận xiên y =
bxa
′
+
′

. Hàm số luôn có đạo hàm cấp một là y
!
=
e
ax
e
daeb
+
−
2

.
• Các bài toán liên quan:
Chủ đề Công cụ xử lí Kiến thức bổ trợ
Tính tăng, giảm
Tính y
!
: y
!

0≥
hs tăng
y
!

0
≥
hs giảm
Dấu y
!

=ax
2
+ bx + c :
⇔≤∆ 0
y
!
cùng dấu với a

⇔≥∆
0
y
!
trong trái ngoài cùng
Cực trị
-Lập pt: y
!
= 0 (1).
-Có yêu cầu cực đại, cực tiểu
dùng bảng biến thiên hoặc đạo
hàm cấp hai.
-Pt (1) có nghiệm đơn thì hàm số có cực trị ; nghiệm kép hoặc
vô nghiệm thì không có cực trị.
Cực đại:



<
′′
=
′

0
0
y
y
, Cực tiểu:



>
′′
=
′
0
0
y
y
,Cực trị:



≠
′′
=
′
0
0
y
y
.
GTLN và

GTNN
-Biến đổi đại luơng tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất thành một
hàm số một biến: A = f(t).
-Lập bảng biến thiên hs f(t).
-Miền xác định phụ thuộc vào điều kiện của biến t.
-Khi f(x)
≤
M,f(x)
≥
m thì M và m chỉ được gọi là GTLN,NN
khi có hai điều kiện: + M,m là hằng số
+ tồn tại một giá trị của x sao cho f(x) = M
, f(x) = m.
Tương giao Lập pt hoành độ điểm chung. -Nghiệm đơn thì cắt.
-Nghiệm kép thì tiếp xúc
-Vô nghiệm thì không điểm chung
Biện luận pt bằng đồ
thị
-Từ pt tạo hai hs (một hàm
không tham số và một hàm có
tham số).
-Khảo sát và nvẽ đồ thị hàm số
trên cùng hệ trục, dùng sự
tương giao để biện luận.
-Nghiệm đơn thì cắt.
-Nghiệm kép thì tiếp xúc
-Vô nghiệm thì không điểm chung
Tiếp xúc
Điều kiện tiếp xúc: hai hàm số

bằng nhau và hai đạo hàm
bằng nhau.
Nghiệm của hệ là hoành độ điểm chung.
Lập phương trình tiếp
tuyến (tt) theo cách
một
Tìm tọa độ tiếp điểm M
0
(x
0
;y
0
)
bằng các giả thiết.
- Tt song song với (d) thì f
!
(x
0
) = k
d
.
- Tt vuông góc với (d) thì f
!
(x
0
).k
d
= -1.
- Tt tạo với chiều dương ox một góc α thì f
!

(x
0
) = tanα.
- Tt tạo với ox một góc α thì f
!
(x
0
) = ±tanα.
Lập phương trình tiếp
tuyến (tt) theo cách
hai
Lập phương trình tt dạng: y =
kx + b
Lập điều kiện tiếp xúc giửa
(C): y = f(x) và tt: y = kx + b.
- Tổng quát y = kx + b
- Qua một điểm M thì pt dạng: y – y
M
= k( x - x
M
)
- Qua gốc tọa độ thì pt là: y = kx
- Tt song song vời (d): y =lx thì pt là: y = lx + m
- Tt vuông góc với (d): y = lx thì pt là: y = lx + m
Điểm cố định của
một họ đường
Chuyển hs họ đường thành pt
tham số của m dạng:
a
n

.m
n
+ a
n-1
.m
n-1
+…+ a
0
= 0
- Điểm tất cả các đồ thị đi qua thì các hệ số pt bằng 0.
- Điểm không có đồ thị đi qua thì các hệ số của m bằng không
cò hệ số độc lập khác 0.
Tâm đối xứng và trục
đối xứng
-Dùng công thức dời trục:



+=
+=
I
I
yYy
xXx
- Để chuyển hs y = f(x) thành
hs Y = F(X) chẵn hoặc lẽ.
- Hàm bậc ba I là điểm uốn.
- Hàm hửu tỉ I là giao điểm hai đường tiệm cận.
- Hàm chẵn trục đới xứng là IY, hàm lẻ tâm đối xứng là I.
Vẽ đồ thị hàm trị

tuyệt đối
(C): y = f(x) vẽ (C
!
):
y = | f(x) |
Giữ nguyên phần (C) trên ox làm phần một của (C
!
), lấy đối
xứng phần dưới ox làm phần hai của (C
!
).
(C): y = f(x) vẽ (C
!
):
y = f(| x |)
Giữ nguyên phần (C) bên phải oy làm phần một của
(C
!
), lấy đối xứng phần giữ nguyên làm phần hai của (C
!
).
(C): y = f(x) vẽ (C
!
):
| y | = f(x)
Giữ nguyên phần (C) trên ox làm phần một của (C
!
), lấy đối
xứng phần giữ nguyên qua ox làm phần hai của (C
!

).
(C): y =
dcx
bax
+
+
vẽ (C
!
):
y =
dcx
bax
+
+
Giữ nguyên phần (C) bên phải TCĐ, bỏ phần bên trái TCĐ
làm phần một của (C
!
), lấy đối xứng phần bỏ qua ox làm phần
hai của (C
!
).
• Bài tập áp dụng:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
3 2
1
3
y x x= −
; b) y = x
3

– 6x
2
+ 9x; c) y = - x
3
+ 3x
2
-2 ;
d) y = - x
3
+ 3x
2
; e) y = 2x
3
+ 3x
2
– 1; e) y = -x
3
+ 3x
2
- 9x +1.
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x
4
– 2x
2
+ 1; b) y = -x
4
+ 3x
2
+ 4; c) y = x

4
- 3x
2
+ 4;
a/ y = x
4
– 2x
2
– 1 b/ y =
4
2
x 3
x
2 2
− + +
c/ y = - x
4
+ 2x
2
d/ y = x
4
+ x
2
– 2
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a/ y =
2x 4
x 1
−
−

b/ y =
1 2x
x 2
−
+
c/ y =
6
x 3+
d/ y =
2x 8
x
−
Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x
3
+ 3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
–3x–2+m = 0
ĐS: * m > 4: 1 n
0
; * m = 4: 2 n
0
; * 0 < m < 4: 3 n
0
; * m = 0: 2 n
0
; * m < 0: 1 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
HD: PT đt đi qua 2 điểm A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) có dạng:
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
. ĐS: y = 2x + 2
Bài 5: Cho hàm số (C): y = x
3
+ 3x
2
+ 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x
3
+ 3x
2
– k = 0
ĐS: * k > 4: 1 n

0
; * k = 4: 2 n
0
; * 0 < k < 4: 3 n
0
; * k = 0: 2 n
0
; * k < 0: 1 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 ĐS: y = -3x
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1
Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x
4
+ 2x
2
+ 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x
4
+ 2x
2
+ 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n
0
; * m = 2: 2 n
0
; * 1 < m < 2: 4 n
0
; * m = 1: 3 n
0

; * m < 1: 2 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2 ĐS: y = 2
Bài 7: Cho hàm số (C): y = x
4
– 2x
2
– 3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24. ĐS: y = 24x– 43
Bài 8: Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
2
+ 4 .a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y =
5
x 1
3
− −
.
ĐS: y =
5 83
x
3 27
− +
; y =
5 115
x
3 27

− +
Bài 9: Cho hàm số (C): y =
x 1
x 3
+
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài 10: Cho hàm số (C
m
): y = 2x
3
+ 3(m – 1)x
2
+ 6(m – 2)x – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: y = -1; y =
9
x 1
8
− −
Bài 11: Cho hàm số (C
m
): y = x
4
– (m + 7)x
2

+ 2m – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (C
m
) đi qua điểm A(-1; 10). ĐS: m = 1
c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x
4
– 8x
2
– k = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
ĐS: -14 < k < 0
Bài 12: Cho hàm số (C
m
): y =
mx 1
2x m
−
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C
2
)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1;
2
). ĐS: m = 2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C
2
) tại điểm (1;
1
4

). ĐS: y =
3 1
x
8 8
−
Bài 13: Cho hàm số (C
m
): y =
(m 1)x 2m 1
x 1
+ − +
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C(
3
; -3). ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung
⇒
x = 0, thay x = 0 vào (C)
⇒
y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1
Bài 14: Cho hàm số (C
m
): y = x
3
+ (m + 3)x

2
+ 1 – m
a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1. ĐS: m =
3
2
−
HD: * Tìm y
’
, tìm y
”
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x =
α

⇔
a 0
y ( ) 0
y ( ) 0
≠


′
α =


′′
α <


a 0

hay y ( ) 0
y ( ) 0
≠
 


 ÷
′
α =

 ÷

 ÷
′′
α >

 
b) Xác định m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại x = -2 ĐS: m =
5
3
−
Bài 15: Cho hàm số (C
m
): y = x
3
– 3mx
2
+ 3(2m – 1)x + 1

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
HD: * Tìm y
’
và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định
⇔
y
’

≥
0 (hay y
’

≤
0)
⇔
a 0
0( 0)
>


′
∆ ≤ ∆ ≤


a 0
hay
0( 0)
<
 



 ÷
′
∆ ≤ ∆ ≤

 
* m
2
– 2m + 1
0≤
⇔
m = 1
(vì m
2
– 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu ĐS: m
≠
1
c) Xác định m để y
”
(x) > 6x. ĐS: m < 0
Bài 16: Cho hàm số (C
m
): y =
mx 3
x m 2
+
+ +
a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ĐS: - 3 < m < 1

* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu
b) Tìm trên (C
-1
) những điểm có tọa độ ngun ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2)
Bài 17: Xác định m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ (m + 2)x – m đồng biến trên R. ĐS:
2
m 1
3
− ≤ ≤
Bài 18: Định m để hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị. ĐS: m < 2
Bài 19: Định m để hàm số y = x
3
+ mx
2
– 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3. ĐS: m =
27
4
−
Bài 20: Định m để hàm số y = x
3
+ mx
2

– (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1 ĐS: m = -4
Bài 21: tìm max, min của các hàm số sau:
a. A = cos4x + 2sin2x – 3(DS: Max A=
2
3
−
, Min A = - 6) b. B =
13
23
+− xx
(DS: Max B = 19, Min B = 0)
PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ
VÀ LOGARÍT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
@
n
n thua so
a a.a a
=
123

(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈
@
1
a a
=

a
∀
@
0
a 1
=

a 0
∀ ≠
@
n
n
1
a
a
−
=

{ }
(n Z ,n 1,a R/ 0 )
+
∈ ≥ ∈
@
m
n
m
n
a a
=
(

a 0;m,n N
> ∈
)
@
m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a
−
= =
2. Các tính chất :
@
m n m n
a .a a
+
=
@
m
m n
n
a
a
a
−

=
@
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =
@
n n n
(a.b) a .b=
@
n
n
n
a a
( )
b
b
=
3. Hàm số mũ: Dạng :
x
y a=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
D R=
• Tập giá trò :
T R
+
=
(
x

a 0 x R
> ∀ ∈
)
• Tính đơn điệu: * a > 1 :
x
y a=
đồng biến trên
R
* 0 < a < 1 :
x
y a=
nghòch biến trên
R

• Đồ thò hàm số mũ :
a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠

1 và N > 0
dn
M
a
log N M a N= ⇔ =

Điều kiện có nghóa:
N
a
log
có nghóa khi





>
≠
>
0
1
0
N
a
a

2. Các tính chất :
•
a
log 1 0=

;
a
log a 1=
;
a
log a 1=
•
M
a
log a M=
;
log N
a
a N=
•
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +
•
1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•
a a
log N .log N
α
= α

• Đặc biệt :
2
a a
log N 2.log N=
3. Công thức đổi cơ số :
•
a a b
log N log b.log N=
;
a
b
a
log N
log N
log b
=
* Hệ quả:
a
b
1
log b
log a
=
và
k a
a
1
log N log N
k

=
* Công thức đặc biệt:
a
b
c
c
b
a
loglog
=

4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=D R
• Tập giá trò
=T R
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
y log x=
đồng biến trên
+
R
* 0 < a < 1 :

a
y log x=
nghòch biến trên
+
R
• Đồ thò của hàm số lôgarít:

5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Đònh lý 1: Với 0 < a
≠
1 thì : a
M
= a
N

⇔
M = N
0<a<1
y=log
a
x
1
x
y
O
a>1
y=log
a
x
1

y
x
O
2. ẹũnh lyự 2: Vụựi 0 < a <1 thỡ : a
M
< a
N


M > N (nghũch bieỏn)
3. ẹũnh lyự 3: Vụựi a > 1 thỡ : a
M
< a
N


M < N (ủong bieỏn )
4. ẹũnh lyự 4: Vụựi 0 < a

1 vaứ M > 0;N > 0 thỡ : log
a
M = log
a
N

M = N
5. ẹũnh lyự 5: Vụựi 0 < a <1 thỡ : log
a
M < log
a

N

M >N (nghũch bieỏn)
6. ẹũnh lyự 6: Vụựi a > 1 thỡ : log
a
M < log
a
N

M < N (ủong bieỏn)
III.BI TP P DNG
Bài 1: Giải phơng trình:
a.
2
x x 8 1 3x
2 4
+
=
b.
2
5
x 6x
2
2 16 2

=
c.
x x 1 x 2 x x 1 x 2
2 2 2 3 3 3

+ + = +
d.
x x 1 x 2
2 .3 .5 12

=
e.
2
2 x 1
(x x 1) 1

+ =
f.
2 x 2
( x x ) 1

=
Bài 2:Giải phơng trình:
a.
4x 8 2x 5
3 4.3 27 0
+ +
+ =
b.
2x 6 x 7
2 2 17 0
+ +
+ =
c.
x x

(2 3) (2 3) 4 0+ + =
d.
x x
2.16 15.4 8 0 =
e.
x x x 3
(3 5) 16(3 5) 2
+
+ + =
f.
x x
(7 4 3) 3(2 3) 2 0+ + =
g.
x x x
3.16 2.8 5.36+ =
h.
1 1 1
x x x
2.4 6 9+ =
i.
2 3x 3
x x
8 2 12 0
+
+ =
j.
x x 1 x 2 x x 1 x 2
5 5 5 3 3 3
+ + + +
+ + = + +

k.
x 3
(x 1) 1

+ =

Bài 3:Giải phơng trình:
a.
x x x
3 4 5+ =
b.
x
3 x 4 0+ =
c.
2 x x
x (3 2 )x 2(1 2 ) 0 + =
d.
2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2
2 3 5 2 3 5
+ + +
+ + = + +
Bài 4:Giải các hệ phơng trình:
a.
x y
3x 2y 3
4 128
5 1
+

=


=


b.
2
x y
(x y) 1
5 125
4 1
+


=


=


c.
2x y
x y
3 2 77
3 2 7

=

=


d.
x y
2 2 12
x y 5

+ =

+ =

e.
2 2
lgx lgy 1
x y 29
+ =


+ =

f.
3 3 3
log x log y 1 log 2
x y 5
+ = +


+ =

g.
( )
( ) ( )
2 2
lg x y 1 3lg2
lg x y lg x y lg3

+ = +


+ =


h.
4 2
2 2
log x log y 0
x 5y 4 0
=



+ =


k.
( ) ( )
x y
y x
3 3

4 32
log x y 1 log x y
+


=


+ = +

l.
y
2
x y
2log x
log xy log x
y 4y 3

=


= +


Bài 5: Tìm m để phơng trình có nghiệm:
x x
(m 4).9 2(m 2).3 m 1 0 + =
Bài 7: Giải các bất phơng trình sau:
a.
6

x
x 2
9 3
+
<
b.
x x
3 9.3 10 0

+ <
c.
x x x
5.4 2.25 7.10 0+
d.e.
x x x
25.2 10 5 25 + >
Bài 8: Giải bất phơng trình sau:
1 x x
x
2 1 2
0
2 1

+


Bài 9: Cho bất phơng trình:
x 1 x
4 m.(2 1) 0

+ >
a. Giải bất phơng trình khi m=
16
9
. b. Định m để bất phơng trình thỏa
x R

.
Bài 12: Giải các phơng trình:
a.
( ) ( )
5 5 5
log x log x 6 log x 2= + +
b.
5 25 0,2
log x log x log 3+ =
c.
( )
2
x
log 2x 5x 4 2 + =
d.
x 16 2
3log 16 4log x 2 log x =
e.
2
2x
x
log 16 log 64 3+ =
f.

3
lg(lgx) lg(lgx 2) 0+ =
g.
x
3 9
1
log log x 9 2x
2

+ + =
ữ

h.
( ) ( )
x x
2 2
log 4.3 6 log 9 6 1 =
k.
( )
x x
lg 6.5 25.20 x lg25+ = +
PHN 3:NGUYấN HM & TCH PHN
Lý thuyt:
Đ1. NGUYấN HM:
1). nh ngha :
( ) ( )
f x dx F x C
= +

Tớnh cht:

a.
( ) ( ) ( )
0;kf x dx k f x dx k
=


( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
=


Nu
( ) ( )
f x dx F x C
= +

thỡ
( ) ( )
f u du F u C
= +

.
Nguyờn hm ca nhng hm s cn nh
( )
a,b a 0 & Ă
:
dx x C
= +

1

ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+

( )
1
1
1
,
x
x dx C




+
= +
+

x x
e dx e C
= +

sin cosxdx x C
= +

1

ax ax
e dx e C
a
= +

cos sinxdx x C= +

1
sin cosaxdx ax C
a
= +

2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x


= + +

1
cos sinaxdx ax C
a
= +

2
cot ,

sin
dx
gx C x k
x

= +

2
1
2
,
cos
dx
tgx C x k
ax a


= + +

( )
0ln ,
dx
x C x
x
= +

2
1
cot ,
sin

dx
gax C x k
ax a

= +

§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Tính chất :
a.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
b.
( ) ( )
0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k

= ≠
∫ ∫
c.
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
d.
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
e. Nếu
( )
[ ]
0, ;f x x a b≥ ∀ ∈
thì
( )
0
b
a
f x dx ≥
∫
f. Nếu
( ) ( )

[ ]
, ;f x g x x a b≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
g. Nếu
( )
[ ]
, ;m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát :
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ

′
= 
 
∫ ∫
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
. Đặt
sint x=
hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b)TH2:
( )
cos .sinf x xdx

β
α
∫
. Đặt
cost x=
hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c) TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
. Đặt
lnt x=

hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.
d)TH4:
( )
2
1
.
cos
f tgx dx
x



. t
t tgx=
hoc
t ptgx q= +

( )
,p qĂ

hoc
n
t ptgx q= +
nu nh biu thc
ptgx q+
nm trong du
n
.
e) TH5:
( )
2
1
.
sin
f cotgx dx
x



. t
t cotgx=
hoc
t pcotgx q= +

( )
,p qĂ

hoc
n
t pcotgx q= +
nu nh biu thc
pcotgx q+
nm trong
n
Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
1). Cụng thc tng quỏt :
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:

Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


Đ5. DIN TCH CA HèNH PHNG:
1). Din tớch ca hỡnh phng gii hn bi :

( ) ( ) ( ) ( )

1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =
(trong ú hai ng thng
;x a x b= =
cú th thiu
mt hoc c hai).
a) Cụng thc:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
=

(2)
b) Cỏc bc thc hin:
Bc1: Nu hai ng
,x a x b= =

Bc 2: p dng cụng thc (2).
Bc 3: Rỳt gn biu thc
( ) ( )
f x g x
, sau ú xột du ca hiu ny.
Bc 4: Dựng phộp phõn on tớch phõn v ỏp dng nh ngha GTT kh du GTT.
2).Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng khụng ri vo trng hp 1:
Bc 1: V hỡnh (khụng cn phi kho sỏt).
Bc 2: Chia hỡnh cn tớnh thnh cỏc hỡnh nh sao cho mi hỡnh nh tớnh c din tớch bng cụng
thc (2).
Bc 3: Dựng cụng thc (2) tớnh din tớch cỏc hỡnh nh sau ú tớnh tng din tớch tt c cỏc hỡnh nh.
3).Th tớch ca hỡnh trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau õy quanh trc Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b= = =
(trong ú hai ng thng
;x a x b= =
cú th thiu mt hoc c hai).
a). Cụng thc:
( )
2
b
a
V f x dx

=


(3)
b).Các bước thực hiện:Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải
phương trình
( )
0f x =
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm. Bước 2: Áp dụng công thức (3).
Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4

0
2cos cosx xdx
π
∫
b.
4
cos sinx x dx
π
π
+
∫
c.
2
2
1
lnx x
e
dx
x
+
∫
. d.
2
1
ln
e
xdx
∫
. e.
( )

6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
f.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
g.
( )
1
3 2ln
e
dx
x x +
∫
h.
19
2

3
0
8
xdx
x +
∫
k.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x
−
− +
∫
l.
2
4
2
0
cos
tgx
e dx
x
π
∫

m.
( )
2
2
6
3 1cot sin
dx
gx x
π
π
+
∫
n.
4
2 1
1
x
dx
e x
+
∫
o.
3
3
0
cos
tgxdx
x
π
∫

p.
2
2 3
6
sin cosx xdx
π
π
∫

q.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx
x x
π
−
∫
t.
( )
4
2
0
2cos
sin cos
xdx
x x
π

+
∫
u.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
v.
3
2 3
0
1x x dx+
∫
y.
6
0
2
2 1
sin
sin
xdx
x
π
+

∫

Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
0
2 1 sinx xdx
π
+
∫
b.
( )
2
0
2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos

xdx
x
π
∫
e.
( )
1
2
2
0
1
x
x e dx+
∫
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
g.
1
0
3 2( )
x
x dx−

∫
h.
( )
1
2
0
x
x e dx+
∫
k.
( )
3
2
1
3 1 lnx xdx+
∫
l.
( )
1
0
1lnx x dx+
∫
Bài 3:Tính các tích phân sau đây:
1.
( )
2
2
6
1 cos
sin

x dx
x
π
π
−
∫
2.
( )
2
2
1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
3.
( )
2
2
2
6
2cot sin
sin
g x x dx
x
π
π
+

∫

4.
2
0
2
3 1
sin
cos
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
5.
2
0
1
sin cos
cos
x xdx
x
π
+
∫
6.

1
2
0
1 1
2
x
xdx
x e
 
−
 ÷
+
 
∫
7.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫

8.
1
2
0
3 1lnx x dx+
∫
9.
−
∫
3x 2
e dx
10.
−
∫
3 2x
2 dx
11.
3ln 2x
dx
x
+
∫
12.
3
x
x
e
dx
e +
∫

13.
x x
dx
e e 2
−
+ +
∫
14.
x x
x x
e e
dx
e e
−
−
−
+
∫
15.
3 2.3
x x
dx+
∫
16.
( )
dx
x ln x ln x 1+
∫
17.
cos 2x dx

3
π
 
−
 ÷
 
∫
18.
2
cos ( )
2
dx
x
π
+
∫
19.
3
sin x cos xdx
∫
20.
5
cos xsin xdx
∫
21.
3
sin xdx
∫
22
3 5

sin x cos xdx
∫
23.
3sin 2 cosx xdx+
∫
24.
cosx sin x
dx
sin x cos x
+
−
∫
25.
2
sin x cos x
dx
(sin x cos x)
−
+
∫
26.
2
cos2x
dx
(sin x cos x)+
∫
27.
2
sin x
e sin 2xdx

∫
28.
tan x
2
e
dx
cos x
∫
29.
2
1 cot x
dx
sin x
+
∫
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
6 5
2 1
:
x x
C y
x
− +
=
−
và trục Ox.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )

2
3:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y
x
+ +
=
+
; đường tiệm cận
xiên của
( )

C
; Ox;
1x e= −
.
Bài 9: Cho đường cong
( )
3 2
3 4:C y x x x
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
tại gốc tọa độ
O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 10: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x= − +
. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )
P
tại các giao điểm
của

( )
P
với trục Ox. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
P
và các tiếp tuyến.
Bài 11: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x=
;
2:d y x= −
và trục Ox.
Bài 12: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x=
và đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 13: Cho parabol
( )
2
4:P y x=
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.Tính
diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P

, trục Ox và tiếp tuyến
Bài 14: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
.
Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 15: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và trục Ox. Tính thể
tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 20: tính các tich phân sau:
a) I =
∫
+ xx

xdx
cossin
sin
b) J =
∫
+ xx
xdx
cossin
cos
c) K =
∫
x
dx
5
cos
d) L =
∫
− dxx 9
2
e) M =
∫
+
1
0
2
1dxx
f) N =
∫
−
3

2
2
)ln( dxxx
g) P =
∫
3
1
3
ln
dx
x
x
h) O =
∫
e
xdxx
1
2
ln
PHẦN 4 : SỐ PHỨC
I.CÁC KHÁI NIỆM VÀ PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC
Lý thuyết
1) Số i: i
2
= -1
2) Số phức : biểu thức z = a + bi (a,b
R∈
) gọi là số phức .Khi đó a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo
3) Số phức liên hợp: số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

z
= a – bi
4) Modul của số phức z = a + bi là số thực
2 2
z a b= +
. Khi đó
z z=
5) Hai số phức bằng nhau : a + bi = c + di



=
=
⇔
db
ca
6) Các phép toán: cho z
1
= a
1
+ b
1
i , và z
2
= a
2
+ b
2
i
a/ z

1
+ z
2
= (a
1
+ a
2
) + ( b
1
+ b
2
) i
b/ z
1
– z
2
= (a
1
– a
2
) + ( b
1
– b
2
) i
c/ z
1
. z
2
= (a

1
+ b
1
i)( a
2
+ b
2
i) (thực hiện tương tự như nhân 2 nhị thức)
d/
( ) ( )
1
2 2
2
a bi c di
z
z c d
+ -
=
+
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Lý thuyết
1) Phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c với a, b, c
∈
R
2) Cách giải
• Tính
2

4b ac= -D
• Biện luận
a) Nếu
D
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực
1,2
2
b
x
a
- ± D
=
b) Nếu
D
= 0 thì phương trình có 1 nghiệm thực x =
2
b
a
-
c) Nếu
D
< 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức
1,2
2
b i
x
a
- ± D
=
III.CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

Lí thuyết
@ Số phức w = x + yi (x,y
∈
R) là căn bậchai của số phức z = a + bi

⇔
w
2
= z



=
=−
⇔
bxy
ayx
2
22
IV. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Lí thuyết
@ Số phức w = x + yi (x,y
∈
R) có dạng lượng giác là z = r(cos
θ
+ isin
θ
)
Với










=
=
+=
r
b
r
a
bar
θ
θ
sin
cos
22
@ Định lí : Nếu : z = r(cos
θ
+ isin
θ
) ; z
’
= r
’
(sin

θ
’
+cos
θ
’
)
Thì z.z
’
= r.r
’
[ cos(
θ
+
θ
’
) +isin(
θ
+
θ
’
)]

'
'
r
r
z
z
=
[cos(

θ
’
-
θ
) + isin(
θ
’-
θ
)]
@ công thức Moa – vrơ: [r(cos
θ
+ isin
θ
)]
n
= r
n
(cos n
θ
+ isin n
θ
)
BÀI TẬP
Bài 1. Giải phương trình
2
2 5 4 0x x− + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
5 7
4 4

x i= +
;
2
5 7
4 4
x i= −
Bài 2. Giải phương trình
2
4 7 0x x− + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
2 3x i= +
;
2
2 3x i= −
Bài 3. Giải phương trình
2
6 25 0x x− + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
3 4x i= +
;
2
3 4x i= −
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức:
2 2
(1 3 ) (1 3 )P i i= + + −
Đáp số:
4P = −
Bài 5. Giải phương trình

2
2 2 0x x− + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
1x i= +
;
2
1x i= −
Bài 6. Giải phương trình
2
8 4 1 0z z− + =
trên tập số phức Đáp số:
1
1 1
4 4
x i= +
;
2
1 1
4 4
x i= −
Bài 7. Giải phương trình
2
2 1 0z iz− + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
x i=
;
2
1

2
x i= −
Bài 8. Giải phương trình
2
2 6 5 0z z+ + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
3 1
2 2
x i= − +
;
2
3 1
2 2
x i= − −
Bài 9. Cho hai số phức:
1
1 2z i= +
,
2
2 3z i= −
. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2
2z z−
.
Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
Bài 10. Cho hai số phức:
1
2 5z i= +
,

2
3 4z i= −
. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2
.z z
.
Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7
Bài 11. Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 10 0z z+ + =
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
| | | |A z z= +
. Đáp số: A = 20
Bài 12. Tìm số phức z thỏa mãn
| (2 ) | 10z i− + =
và
. 25z z =
. Đáp số: z = 3 + 4i
∨
z = 5
Bài 13. Cho số phức z thỏ mãn:
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + +
. Xác định phần thực và phần ảo của z.

Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 14. Giải phương trình
4 3 7
2
z i
z i
z i
− −
= −
−
trên tập số phức. Đáp số:
1
1 2x i= +
;
2
3x i= +
.
Bài 15. Tìm phần ảo của số phức z, biết:
2
( 2 ) (1 2 )z i i= + −
. Đáp số:
2−
Bài 16. Cho số phức z thỏa mãn:
3
(1 3 )
1
i
z
i
−

=
−
. Tìm môđun của
z iz+
. Đáp số:
8 2
Bài 17. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện
| | 2z =
và z
2
là số thuần ảo.
Đáp số: z
1
= 1 + i; z
2
= 1 – i; z
2
= –1 –i; z
4
= –1+ i.
Bài 18. Cho số phức z thỏ mãn:
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i− + + = − +
. Xác định phần thực và phần ảo của z.
Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 19. Giải phương trình
2
(1 ) 6 3 0z i z i− + + + =
trên tập số phức. Đáp số:
1

1 2x i
= −
;
2
3x i
=
.
Bài 20. Hãy tìm dạng lượng giác của số phức:
a) z = 1+
i3
b) z = -
i
2
1
2
1
+
c) z =
2011
1






+i
i
d) z = - sin
θ

- icos
θ
Bài 21/ Tính :
1. (5 + 2i )– 3(-7+ 6i)
2.
( )
5 2 (9 )i i
− + −

3.
( )
7 3 (8 2 )i i
+ − +
4.
( )
7 3 .(6 4 )i i
+ −
5.
( )
1
2 3 3
2
i i
 
− +
 ÷
 
6. (4 – 5i)
2
7. (3i + 1)

3
8.
2
1
i
i-
9.
3 2
4 3
i
i
-
+
10.
(7 4 )
(1 3 ).(8 7 )
i
i i
−
− +
A
B
C
M
N
Bài 22: Xác định phần thực phần ảo của các số phức sau.
a) z = (0 - i) –(2 – 3i) + (7 + 8i) b) z = (0 - i)(2+3i)(5+2i).
c) z = (7 – 3i)
2
– (2 - i)

2
d)
( )
2 3
2
5 12
i
z i
i
-
= - +
+
Bài23: Cho số phức z = 4 – 3i.Tìm :
a) z
2
b)
3
z
z
c)
3
z
z
d) |z+z
2
+z
3
|
Bài 24: Tìm số thực x, y thỏa :

( ) ( )
) 2 5 ) 1 3 1 5 6a x i yi b x y i i
+ = + + + − = −
c) x+2i = 5+yi d) (x+y) + 3(y - 1)i = 5 – 6i
B – HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) Đường trung tuyến AM: M là trung điểm BC
b) Đường phân giác AK:

·
·
BAK KAC=
Giao điểm của 3 đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
O
A
B
C
c) Đường cao AH
AH BC
⊥
Giao điểm của 3 đường cao gọi là trực tâm
d) Đường trung trực a :
,a BC⊥
M là trung điểm BC
Giao điểm của 3 đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
2) Ba đường trung tuyến cắt nhau tại G : GA=
2
3
AM G là trọng tâm
3) Định lý :

/ /
MA MB
N
MN BC
=

⇒


là trung điểm AC
4) Đường trung bình MN của
ABC∆
:
MN lần lượt đi qua trung điểm hai cạnh AB, AC của
ABC
∆
. Có:
/ /
2
MN BC
BC
MN



=


5) Hệ thức lượng trong
∆

vuông
a)
2 2 2
BC AB AC
= +
b)
. .AH BC AB AC
=
c)
2
.AH HB HC
=
A
B
C
H
A
B
C
K
A
B
C
H
A
M
a
B
C
I.VECTO TRONG KHÔNG GIAN

d)
2
.AB BC BH
=
e)
2
.AC BC CH
=
f)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
g)
sin
AB
C
BC
=
;
cos
AC
C
BC
=
;
tan
AB
C
AC

=

6)
ABC
∆
có AM là trung tuyến
·
0
90
2
BC
AM BAC
= ⇔ =

·
0
90MA MB MC BAC
= = ⇔ =
7)
ABC∆
đều cạnh a: Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau
Đường cao AH =
3
2
a
Diện tích
2
3
4
a

S =
8) Định lý Talet:

/ /
AM AN
MN BC
AB AC
= ⇔
9) Hình chữ nhật: Diện tích
.S AB BC
=
10) Hình vuông
2
S AB
=


11)
∆
vuông
1
.
2
S AB AC
=
12) Tam giác thường
1
.
2
S BC AH

=

13) Hình thang

( )
2
AB CD AH
S
+
=
14) Hình bình hành
.S DC AH
=

15) Hình thoi
.S AD BH
=
,
1
.
2
S AC BD
=
16) Hình tròn:
2
S R
π
=

17 ) Tam giác, tứ giác

a) Tổng hai cạnh của 1
∆
lớn hơn cạnh thứ ba
b) Hiệu hai cạnh của 1
∆
nhỏ hơn cạnh thứ ba
c) Góc ngoài của 1
∆

·
µ µ
ACx A B
= +

·
·
0
180ACB ACx
+ =
d) Tổng 3 góc trong 1
∆
bằng 180
0
e) Tổng 4 góc trong 1 tứ giác bằng
0
360
Các phương pháp chứng minh
18) CM 2
∆
bằng nhau

a) Tam giác thường (3 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
b)
∆
vuông (5 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
Cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông ; Cạnh huyền, 1 góc nhọn
A
B
C
M
N
A
B
C
D
H
x
A
B
C
A
B
D
H
B
C
A
A
D
B
C

H
D
C
A
B
19) CM
∆
cân a) 2 cạnh bằng b) 2 góc bằng
c) 1 đường có 2 trong 3 tính chất: cao, phân giác, trung tuyến
3) CM
∆
đều a) 3 cạnh bằng b) 3 góc bằng c)
∆
cân, có 1 góc bằng
0
60
20) CM hình thang: CM tứ giác có 2cạnh //
21) CM hình thang cân( 2 góc ở 1 đáy bằng nhau)
CM tứ giác là hình thang có: a) Hai góc kề 1 đáy bằng nhau b) Hai góc đối bù nhau (tổng bằng 180
0
)
c) Hai đường chéo bằng nhau
22) CM tứ giác là hbh

a) 2 cặp cạnh đối song song b) 2 cặp cạnh đối bằng nhau
c) 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau d) 2 cặp góc đối bằng nhau
e) 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
23) CM tứ giác là hình thoi: CM tứ giác
a) là hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau b) là hbh có 2 đường chéo vuông góc
c) là hbh có 1 đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy

d) có 4 cạnh bằng nhau
e) có mỗi đường chéo của tứ giác là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy
24) CM tứ giác là hcn: CM tứ giác
a) là hbh có 1 góc vuông b) là hbh có 2 đường chéo bằng nhau
c) có 3 góc vuông d) là hình thang cân có 1 góc vuông
25) CM tứ giác là hình vuông: CM tứ giác
a) là hình thoi có 1 góc vuông b) là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
c) là hcn có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau d) là hcn có 2 đường chéo vuông góc

26) CM 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn: CM đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại đầu mút
của bán kính
OB là bán kính đường tròn
a
⊥
OB tại B
Vậy a là tiếp tuyến của đường tròn (O)
27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau :
a) CM 2
∆
bằng nhau b) Cùng bằng cạnh thứ ba c)
EFAB CD GH AB GH= = = ⇒ =
d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một thì bằng nhau
e)
∆
có 2 góc =
⇒
∆
cân
⇒
2 cạnh bằng nhau

f)
∆
cân
⇒
đường phân giác hay đường cao ở đỉnh chia đôi cạnh đáy g) Áp dụng đl I)3
h) Tính chất đoạn chắn i) CM tứ giác là hbh
⇒
2 cạnh đối bằng nhau
j)
ABC
∆
vuông tại A có AM là trung tuyến
AM MB MC
= =
k) Khoảng cách từ tâm đến 2 dây cung bằng nhau thì 2 dây cung bằng nhau
l) Giao điểm 2 tiếp tuyến trong 1 đường tròn cách đêu 2 tiếp điểm m)
»
»
AB CD AB CD= ⇒ =
28) CM 2 góc bằng nhau:
a) CM 2
∆
bằng nhau b)
∆
có 2 cạnh bằng
⇒
∆
cân
⇒
2 góc bằng

c)
∆
cân thì đường cao hay trung tuyến cũng là phân giác
d) 2 cặp góc bằng
⇒
2∆
đồng dạng
⇒
cặp góc thứ ba bằng e) 2 góc đối đỉnh
f) 2 đường thẳng song song bị chắn bởi đường thẳng thứ ba
⇒
2 góc so le trong bằng nhau, 2 góc đồng vị bằng
g) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi một song song
B
a
O
D
A
B
C
c
a
b
A
B
C
h) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi một vuông góc i) cùng bằng góc thứ ba
j) cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba k) cùng cộng với góc thứ ba bằng
0
60

l)
$ $ $
1 2 3 4 1 4= = = ⇒ =
$ $ $
m) 2 góc là tổng (hay hiệu) của 2 góc bằng nhau từng đôi một
n) CM tứ giác là hbh
⇒
2 góc đối bằng nhau o) Hai tiếp tuyến cắt nhau

·
·
·
·
AMO BMO
AOM BOM

=


=


29) CM 2 đường thẳng song song:
a) 2 góc so le trong bằng nhau
⇒
2 đt // b) 2 góc đồng vị bằng nhau
⇒
2 đt //
c) 2 góc trong (hoặc ngoài) cùng phía bù nhau
⇒

2 đt // d) 2 đt cùng // với đt thứ ba
⇒
2 đt //
e) 2 đt cùng
⊥
với đt thứ ba
⇒
2 đt //
f) CM tứ giác là một trong các hình: hbh, hcn, h.thoi, h.vuông
⇒
2 cạnh đối //
g) Đường trung bình trong một
∆
thì // với cạnh thứ ba h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7)
30) CM 2 đường thẳng vuông góc với nhau
a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề =
⇒
2 đt
⊥
b) 2 đt tạo thành góc 90
0
, mục I) 6)
c)
∆
có 2 góc phụ nhau
⇒
góc còn lại bằng
0
90
⇒

2đt
⊥
d)
/ /a b
a c
a c

⇒ ⊥

⊥

e) a // c, b // d, c
⊥
d
a b⇒ ⊥
f)
∆
cân đ.phân giác hay trung tuyến cũng là đcao
g) 2 tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc h) Định lý Pitago đảo
i) Đường cao thứ 3 trong 1
∆
j) Đường kính qua trung điểm 1 dây không qua tâm
⇒
đường kính
⊥
dây cung
k) Tiếp tuyến
⊥
bán kính đi qua tiếp điểm l ) 2 cạnh của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
31 ) CM 3 điểm thẳng hàng

a)
·
0
180ABC = ⇒
A, B, C thẳng hàng b)
AB m
AC m

⇒


P
P
A, B, C thẳng hàng
c)
AB n
BC n
⊥


⊥

⇒
A, B, C thẳng hàng d)
·
·
xAB xAC= ⇒
A, B, C thẳng hàng
e) Định lý về các đường đồng quy trong 1
∆

f) Đường tròn (O) có AB là đường kính
⇒
A, O, B thẳng hàng
g) Đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc nhau tại A
⇒
O, A, O
’
thẳng hàng
32) CM 4 điểm nằm trên 1 đường tròn
a) CM 4 điểm cách đều 1 điểm nào đó b) CM 4 điểm là 4 đỉnh của hình thang cân, hcn, h.vuông
c) CM là đỉnh của tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180
0
d) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc vuông
e) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
α
33) Quy tắc hình bình hành
AB AD AC
+ =
uuur uuur uuur
34) Quy tắc ba điểm:
AB BC AC
+ =
uuur uuur uuur

35) Quy tắc trừ:
AB AC CB
− =
uuur uuur uuur

36) I là trung điểm AB
⇔
0IA IB
+ =
uur uur r
37) G là trọng tâm
ABC∆

⇔
0GA GB GC
+ + =
uuur uuur uuur r
42) Tích vô hướng của hai véctơ
. . cos( , )ab a b a b
=
r r r r
43) Tam giác ABC
( )
2 2 2
1
.
2
AB AC AB AC BC
= + −
uuuruuur
44) Định lý Cô sin a
2
= b
2
+ c

2
-2bc cos b
2
= a
2
+ c
2
-2ac cosB c
2
= a
2
+ b
2
-2ab cosC
45) Độ dài đường trung tuyến m
a
2
=
2 2 2
2( )
4
b c a+ −
m
b
2
=
2 2 2
2( )
4
a c b+ −

, m
c
2
=
2 2 2
2( )
4
a b c+ −
46) Định lý sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
O
M
A
B
47) Diện tích tam giác


a) S =
1
2
ab sinC =
1
2
bc sinA =
1

2
ac sinB, b) S =
4
abc
R
,
c) S = pr, d) S =
( )( )( )p p a p b p c− − −
Trong đó p =
2
a b c+ +
, r là bán kính đường tròn nội tiếp ; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
>
Quan hệ vuông góc
48/
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 :
a b
⊥ ⇔
góc
( ; ) 90
o
a b =
.
C3: Dùng hệ quả:

C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam
giác
49/ Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt
phẳng
b
//
c
,
a b a c⊥ ⇒ ⊥



( )
( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂



P




( )
( )
a song song P
a b
b P

⇒ ⊥

⊥

∆



A B
BC
A C
∆ ⊥

⇒ ∆ ⊥

∆ ⊥





b
,
c

cắt nhau ,
, ( )b c P⊂
,
,a b a c⊥ ⊥
⇒
( )a P⊥
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông
góc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông
góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia
C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này
cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
50/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
.
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này
vuông góc với mặt phẳng kia.

 CÁCH XÁC ĐINH GÓC
51/ Góc của hai đường thẳng



a
//
b
,
( ) ( )b P a P⊥ ⇒ ⊥





( ) ( )
( )
( ),
P Q b
a P
a Q a b
∩ =

⇒ ⊥

⊂ ⊥



β


α

∆
( ) ( )
( )
( ) ( ),( ) ( )
P
P P
α β
α β

∩ = ∆

⇒ ∆ ⊥

⊥ ⊥

ϕ


β
α
∆
O
•
( ) ( )
α β
∩ = ∆
,
( ),Ox Ox
α
⊂ ⊥ ∆
,
( ),Oy Oy
β
⊂ ⊥ ∆

Khi đó:
góc
(( );( ))
α β

=
góc
·
( ; ) : 0 90
o
Ox Oy xOy
ϕ ϕ
= = ≤ ≤
•

( ) ( ) 90
o
α β ϕ
⊥ ⇔ =
β
α

( )
( ) ( )
( )
a
a
β
α β
α
⊂

⇒ ⊥

⊥


• Chọn điểm O tuỳ ý.
• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
• Góc (a,b) = góc (a’,b’) =
·
A OB
• Thường chọn điểm O
∈
a hoặc O
b
b'
a'
B
A
O
b
a
α
=
52/ Góc của hai mặt phẳng
53
/ Góc của đường thẳng và mặt phẳng
>
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng làgóc giữa
đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng
 KHOAÛNG CAÙCH
• Chọn điểm O thuộc giao tuyến của
α
và

β
.
• Dựng qua O :
( )OA
OA
α
⊂


⊥ ∆

và
( )OB
OB
β
⊂


⊥ ∆

• Góc
( , )
α β
= Góc
( , )OA O B
=
·
A OB
ϕ
=

Chú ý: *
0 90
o
ϕ
≤ ≤

* Nếu
90
o
ϕ
>
thi chọn góc
·
( ; ) 180
o
α β ϕ
= −

β
α
B
O
A
ϕ
∆
B
O
A
ϕ
a

α

• Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
• Dựng qua
( )A B
α
⊥
tại B.
• Dựng giao điểm O của a và
α
nếu chưa có.
( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng (
α
))
• Khi đó: Góc
( ;( ))a
α
= Góc
( , )OA O B
=
·
A OB
ϕ
=
.

⊥

∆


∆

∆



⊥

α

α

α

α


 !"#
∆
$

⊥

∆
%

∆
%

∆

$

∆
%

&&
∆
$
∆
%
∆
%
∆
$


 !
∆

⊥

∆

α

∆

α

∆

&&
α

∆
α


Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song
Khoảng cách giữa mặt
phẳng và đường thẳng //
 HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
54/ Hình choùp tam giaùc ñeàu

>
Hình chóp tam giác đều:
∗
Đáy là tam giác đều

∗
Các mặt bên là những tam giác cân

>
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
∗
Đáy là tam giác đều

∗
Các mặt bên là những tam giác đều

>
Cách vẽ:

∗
Vẽ đáy ABC
∗
Vẽ trung tuyến AI

∗
Dựng trọng tâm H
∗
Vẽ SH
⊥
(ABC)

•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp

∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SA H
α

=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
55/ Hình chóp tứ giác đều


>
Hình chóp tứ giác đều:
∗
Đáy là hình vuông

∗
Các mặt bên là những tam giác cân

>
Cách vẽ:

∗
Vẽ đáy ABCD

∗
Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD

∗

Vẽ SH
⊥
(ABCD)

•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp

∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SA H
α
=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
56/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
'
α

β


∆

α


∆

⊥

α

α


α
&&
β

∆
(")
α



∆
α
β
•

!*+,

α
(-
α
&&
•


⊥

α

α

•
.")!*+,
α
.&&
/0,.1/0,2
•

∆
345&&
∆
12
6

α


α



•
457)
α




.


Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai
Đường thẳng chéo nhau

β
α
8



9

β
α
8






9
β
α



9
ϕ
β
α




9
∗
SA
⊥
(ABC)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗

Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
B
h
c
a
b
a
B
h
.
57) Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c
+ +
,
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a

c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
58) Thể tích khối lăng trụ
.V B h
=
Với: B là diện tích mặt đáy
h là chiều cao
59) Thể tích khối hộp chữ nhật
V abc
=
Với a, b, c là ba kích thước
60) Thể tích khối lập phươn
3
V a
=
Với a là độ dài cạnh
61) Thể tích khối chóp
1
3
V Bh
=
B là diện tích mặt đáy
h là chiều cao
62) Tỉ số thể tích tứ diện
Cho khối tứ diện SABC và
'A
,
'B

,
'C
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta có

' ' '
' ' '
SCDE
SC D E
V
SC SD SE
V SC SD SE
=
∗
SA
⊥
(ABCD)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=

∗
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:
·
SDA
ϕ
=
B'
B
E
D
C
S
E'
D'
C'
63) Thể tích khối chóp cụt CDEC’D’E’:
( )
1
' '
3
V h B B BB
= + +
B, B’ là diện tích hai đáy
h là chiều cao
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b,
µ
0
C 60
=

.Đường chéo
BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc
0
30
.
1/Tính độ dài đoạn AC’ 2/Tính V khối lăng trụ.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.Biết AB =a và góc giữa mặt bên và đáy bằng
α
,tính V khối chóp.Biết
trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng
ϕ
.Tính V khối chóp.
Bài 3:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
1/Biết AB=a và SA=l ,tính V khối chóp.
2/Biết SA=l và góc giữa mặt bên và đáy bằng
α
,tính V khối chóp.
Bài 4: Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc giữa đường cao với mặt bên là
0
30
.Tính
V khối chóp cụt .
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
R 3
.A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc
hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
1/Tính

xq tp
S va S
của hình trụ . 2/Tính V khối trụ tương ứng.
Bài 6: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .
1/Tính
xq tp
S va S
của hình nón 2/Tính V khối nón tương ứng.
Bài 7: Cho một tứ diện đều có cạnh là a .Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.Tính S mặt cầu
vàtính V khối cầu tương ứng.
Bài 8: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a ,cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
0
60
.Xác định tâm và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Tính S mặt cầu và tính V khối cầu tương ứng.
Bài 9: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a,góc giữa đường thẳng AB’ và mp(BB’CC’) bằng
ϕ
.Tính
xq
S
của hình lăng trụ.
Bài 10: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu của A’ xuống (ABC) trùng với
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Cho
·
0
BAA ' 45
=
.
1/C/m BCC’B’ là hình chữ nhật . 2/Tính
xq

S
của hình lăng trụ.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ,SA vuông góc với đáy và AB=a ,AD=b, SA
=c.Lấy các điểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho
AB' SB,AD' SD
⊥ ⊥
.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại
C’.Tính V khối chóp đó .
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ,đáy là hình vuông cạnh a ,cạnh bên
tạo với đáy một góc
0
60
. Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD ,cắt SB tại E và cắt
SD tại F.Tính V khối chóp S.AEMF.
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.Tính V khối tứ diện
A’BB’C.Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm
ABCV
, cắt AC và BC lần lượt tại E và F.Tính V khối chóp
C.A’B’FE.
Bài 14: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA =a ,đáy là tam giác vuông cân có AB =BC =a. Gọi B’ là trung
điểm của SB ,C’ là chân đường cao hạ từ A của
ABCV
.Tính V khối chóp S.ABC.C/m :
SC mp(AB'C')
⊥
.Tính
V khối chóp S.AB’C’.