so phuc(cuc hay)

SỐ PHỨC
I. Định nghĩa và các phép toán về số phức
Định nghĩa 1: Số phức là một biểu thức có dạng
bia +
với
ba,
là những số thực và
i
thỏa
mãn
1
2
−=i
. Ta kí hiệu
biaz +=
Như vậy
{ }
RbabiaC ∈+= ,|
i
gọi là đơn vị ảo,
a
là phần thực,
b
gọi là phần ảo
Nhận xét:
1) Mỗi số thực
x
được viết dưới dạng số phức là:
ix 0+
. Vậy tập số thực là con của tập các
số phức.

2) số phức có phần thực bằng
0
được viết dưới dạng
yi+0
và được gọi là số ảo
Ví dụ: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
iz 32
−=
,
iz 3−=
,
12 +=z
,
( )
iz 1212 ++−=
Định nghĩa 2: Hai số phức
ibaz
111
+=
,
ibaz
222
+=
bằng nhau khi và chỉ khi
21
aa =
và
21
bb =
.

Đặc biệt
biaz +=
bằng
0

⇔

0,0 == ba
*) Các phép toán về số phức:
1) Phép cộng 2 số phức
Cho hai số phức
ibaz
111
+=
,
ibaz
222
+=
và
Rk
∈
ta có:
( )
ibabazz
221121
+++=+
( )
ibbaazz
212121
−+−=−

Phép cộng 2 số phức có tính chất kết hợp, giao hoán, cộng với số
0
, số phức
biaz +=
có số
phức đối là
biaz −−=
,
. Vậy
0
,
=+ zz
2) Phép nhân 2 số phức:
Cho 2 số phức
biaz
+=
và
dicz +=
,
ta có :
( )
ibcadbdaczz −++=
,
Nếu
ikz 0
,
+=
thì
kbikakz +=
Phép nhân hai số phức có tính chất kết hợp, giao hoán, nhân với số 1 và tính chất phân phối

của phép nhân và phép cộng
II. Số phức liên hợp và modun của số phức
1) số phức liên hợp
Định nghĩa: Số phức liên hợp của số phức
biaz
+=
là
biaz −=
.
Như vậy
biabiaz −=+=
Tính chất:
+)
zz =
+)
,,
zzzz +=+
+)
,,
zzzz =
2) Modun của số phức: Modun của số phức
biaz
+=
bằng
z
=
22
ba +
. Như vậy
zzz =

2
và
zz =
3) Nghịch đảo của số phức
Số phức
,
z
gọi là nghịch đảo của
z
nếu
1
,
=zz
. Ta kí hiệu
,
z
là
1−
z
. Ta có
2
1
z
z
z =
−
Biểu diễn hình học của số phức:
(*) Mỗi số phức được biểu diễn tương ứng với tọa độ 1 điểm
M
trong mặt phẳng tọa độ. Số

phức
biaz
+=
được biểu diễn bởi điểm
( )
baM ;
(*) Khi đó mỗi số phức
biaz
+=
cũng có thể biểu diễn bởi 1 véc tơ
( )
baOM ;=
. Cộng trừ 2
véc tơ là biểu diễn hình học của cộng trừ 2 số phức.
Ví dụ: Tìm tập hợp điểm
M
biểu diễn số phức
z
thỏa mãn:
1=z
Giải: Gọi
( )
yxM ;
là biểu diễn hình học của số phức
z
. Ta có
1
22
=+ yx
⇔

1
22
=+ yx
. Suy
ra tập hơp điểm
M
là đường tròn tâm
( )
0;0O
và bán kính
1=R
(*) Một số bài tập:
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
1) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); 2)
3 3
( 1 ) (2 )i i− + −
3)
1
1 3
2 2
i+
4)
2 3 2009
1 i i i i+ + + + +
5)
100
(1 )i−
6)
i
i23 −

7)
i
i
−
−
4
43
8)
( )( )
iii +− 32
9)
( )
2
32 i+
10)
( )
3
32 i−
11)
i
i
i
i
23
1
1
23
−
−
+

−
+
12)
( )
( )
iii 3221 +−
Bài 2: Cho số phức
1 3
2 2
z i= − +
. CMR:
;
1
2 2 3
1 0; 1.z z z z z
z
+ + = = = =
Bài 3: Tìm tập hợp điểm
M
biểu diễn số phức
z
trong nhưng trường hợp sau:
1)
21 =+− iz
2)
ziz −=+2
3)
3=
− iz
z

4)
43 =++ zz
5)
21 =−+− izz
6)
( )( )
ziz +−2
là số thực
7)
( )( )
ziz +−2
là số ảo 8)
izziz 22 +−=−
9)
( )
4
2
2
=− zz
10)
izz 43 +−=
Bài 4: Tìm số phức
z
biết
a)
2
0zz + =
. b)
1
1

z
z i
−
=
−
; c)
3
1
z i
z i
−
=
+
; d)
4
1
z i
z i
+
 
 ÷
−
 
=
e)
2z i z− =
và
1z i z− = −
; f)
1 2 3 4z i z i+ − = + +

và
2z i
z i
−
+
là 1 số ảo
Bài 5: Chứng minh rằng mọi số phức
1≠z
ta có
1
1
1
10
932
−
−
=+++++
z
z
zzzz
CĂN BẬC 2 CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Định nghĩa: số phức
z
gọi là căn bậc 2 của
w
khi và chỉ khi
wz =
2
(*) Cách tìm căn bậc 2:
Giả sử ta cần tìm căn bậc 2 của số phức

biaw +=
Gọi
yixz +=
là căn bậc 2 của
w
. Suy ra
yixbia +=+
⇔
( )
2
yixbia +=+
⇔
xyiyxbia 2
22
+−=+
⇔



=
=−
bxy
ayx
2
22
Ví dụ: Tìm căn bậc 2 của
iz 68 +=
Giải: Giả sử
yixi +=+ 68
( )

2
68 yixi +=+⇔
⇔
xyiyxi 268
22
+−=+
⇔



=
=−
62
8
22
xy
yx
⇔







=







−
=
8
3
3
2
2
x
x
x
y
⇔





=−−
=
098
3
24
xx
x
y
. Phương tình có các nghiệm là:




=
=
1
3
y
x
và



−=
−=
1
3
y
x
Vậy
i68 +
có 2 giá trị là
i
+
3
và
i
−−
3
(*) Phương trình bậc 2: Cho phương trình
0
2

=++ cbzaz
với
acb 4
2
−=∆
Nếu
0
≠∆
phương trình có 2 nghiệm
a
b
z
2
1
δ
+−
=

a
b
z
2
2
δ
−−
=
Nếu
0
=∆
phương trình có nghiệm kép

a
b
zz
2
21
−==
(*) Hệ thức viet
Gọi
1
z
,
2
z
là 2 nghiệm của phương trình
0
2
=++ cbzaz
. Ta có







=
−=+
a
c
zz

a
b
zz
21
21
Mốt số bài tập:
Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau
) 5 12 ) 8 6a i b i− + +
c)
3
1 3
i
i
−
+
d)
1 1
1 1i i
+
+ −
e)
2
1
1
i
i
+
 
 ÷
−

 
f)
2
1 3
3
i
i
 
−
 ÷
−
 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1)
023
2
=++ zz
2)
( )
01543
2
=−++− iziz
3)
01
2
=++ zz
4)
( )
021
2

=−−++ iziz
5)
01
3
=−z
6)
0256
24
=+− zz
7)
0122
2
=−+− iizz
8)
( ) ( )
05122145
2
=+−−− iziz
9)
( ) ( )
013363
2
=+−+−−+ iziz
10)
( ) ( )
02252
2
=−+−−+ izizi
11)
( )

0sincossincos
2
=++−
ϕϕϕϕ
iziz
12)
( )
0166318
24
=−+−− iziz
13)
( ) ( )
02121
23
=−−+−+ iziziz
14)
033532
23
=−++− izzz
15)
( ) ( )
01231
2
=+−−+ iziz
Bài 3: Cho
1 2
,z z
là 2 nghiệm của phương trình
( )
( )

2
1 2 3 2 1 0i z i z i+ − + + − =
.
Không giải phương trình hãy tính:
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
) ) )
z z
a A z z b B z z z z c C
z z
= + = + = +

Bài 4: Cho
1 2
,z z
là 2 nghiệm của phương trình:
( )
2
1 2 2 3 0z i z i
− + + − =
.
Không giải phương trình hãy tính:
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
3 3 3 3
1 2 2 1 1 2 1 2

2 1 1 2
) ) )
1 2 1 2
) ) )
z z
a A z z b B z z z z c C
z z
d D z z e E z z z z f F z z
z z z z
= + = + = +
   
= + = + = + + +
 ÷  ÷
   
DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức
yixz +=
có biểu diễn hình học là điểm
M
trong mặt phẳng tọa độ. Gọi
ϕ
là
góc tạo bởi
OM
và chiều dương của trục
Ox
. Ta đặt
22
bazr +==
và




=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
ry
rx
khi đó số
phức
z
được viết dưới dạng lượng giác là:
( )
ϕϕ
sincos irz +=
.
ϕ
gọi là argument.
Như vậy để tìm dạng lượng giác của số phức
yixz +=
ta tìm
22
yxr +=
và
x
y
=

ϕ
tan
(*) Một số phép toán về dạng lượng giác của số phức:
Cho 2 số phức
( )
ϕϕ
sincos irz +=
và
( )
,,,,
sincos
ϕϕ
irz +=
ta có:
=+
,
zz
=−
,
zz
( ) ( )( )
,,,,
sincos
ϕϕϕϕ
+++= irrzz
( ) ( )( )
,,
,,
sincos
ϕϕϕϕ

++−= i
r
r
z
z
(*) Công thức Moa-vro
( )
ϕϕ
ninrz
nn
sincos +=






+
+
+
=
n
k
i
n
k
rz
nn
πϕπϕ
2

sin
2
cos
Một số bài tập:
Bài 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác:
1)
31 i−
2)
( )
( )
ii +− 131
3)
i
i
+
−
1
31
4)
( )
ii −32
5)
i22
1
+
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
1)
( )
( )
9

10
3
1
i
i
+
+
2)
2008
1






+
i
i
3)
12
2
3
2
1









+ i
4)
( )
7
5
31
3
sin
3
cos iii +






−
ππ
5)
( )
( )
( )
10
5
10
31
31

i
ii
−−
+−
6)
2009
2009
1
z
z +
nếu
1
1
=+
z
z

(*) Một số đề thi đại học
Bài 1: Khối B 2009: Tìm số phức
z
thỏa mãn
( )
102 =+− iz
và
25=zz
Bài 2: Khối D 2009: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn
(3 4 ) 2z i− − =
Bài 3: Khối A 2009: Gọi

1
z
và
2
z
là 2 nghiệm phức của phương trình
0102
2
=++ zz
. Tìm giá
trị của biểu thức
2
2
2
1
zzA +=
.
Bài 4: (CĐ-09) Giải phương trình
z i
z i
z i
− −
= −
−
4 3 7
2
ĐS:
;z i z i= + = +3 1 2
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn
1 2 3 4

1 10
z i z i
z z i
ì
ï
+ - = + +
ï
ï
í
ï
- + - =
ï
ï
î
HD: z = x + yi
( ; ) ( 3;2),( 6; 1)x y® = - - -
Bài 6: (CĐ-09) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn
( ) ( ) ( )i i z i i z+ − = + + +
2
1 2 8 1 2
.
ĐS: z = 2 – 3i
Bài 7: Cho số phức
z i= +2 3
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z i
iz
+
−1
ĐS:

z i= − +
3 1
5 5
Bài 8: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn
i i
z
i i
+ +
=
− −
2 2 3
1 3 2
ĐS:
z i= −
11 3
5 5
Bài 9: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
( )
( )
i
z
i
+
=
+
30
15
1
1 3
HD:

( )i i+ =
2
1 2
→
( )i i+ = −
30 15
1 2
;
( ) ( )i i+ = − → + = −
3 15 45
1 3 8 1 3 2
→
i
z =
30
2