hình hoc (Oxyz)

1)Trong không gian Oxyz , cho A(1,2,4) , (P) x+y-z+1=0 và đường thẳng (d) x=2+t,y=1-t,z=1-3t , Lập
phương trình đường thẳng nằm trong (P) , vuông góc với (d) và khoảng cách từ A đến đường thẳng đó
bằng
3 2
Giải : Gọi (D) là đường thẳng cần tìm , theo gt ta có a
D
=[ad,nP]=(-4,2,-2)//(2,-1,1)
Gọi H là hình chiếu của A lên (D) => d(A,(D))=AH=
3 2
Khi đó H thuộc giao tuyến của (P) và (Q) , Q là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (D)
(Q) : 2(x-1)-(y-2)+(z-4)=0  2x-y+z-4=0
=> H(1,t,2+t)
=> (t-2)
2
+(t-2)
2
=18  t=5 , t=-1
=> H(1,5,7) , H(1,-1,1)
Có hai đường thẳng : (D1) x=1+2t,y=5-t, z=7+t , (D2): x=1+2t,y=-1-t,z=1+t
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho: (P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d):
1 2
1 2 1
x y z
+ −
= =
−
Viết
phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất .
Giải :
Gọi n(a,b,c) là VTPT của (Q) , -a+2b+c=0 =>c=a-2b
Gọi x là góc của hai mặt phẳng (P) (Q) , cosx =

2 2 2
| 2a 2 |
3
b c
a b c
− −
+ +
b=0=> c=a => cosx =
2 2
| 2a 2 |
3
c
a c
−
+
=0
b=1 => c=a-2 => cosx=
2
1
2 4a+5a −
>0
x nhỏ nhất  a=1 , b=1,c=-2 => (Q) x+y-2z-5=0
3) Cho điểm
( )
2;5;3A
và đường thẳng
1 2
: .
2 1 2
x y z

d
− −
= =
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa
d
sao cho khoảng cách từ
A
đến
( )
α
lớn nhất.
Giải :
Gọi K là hình chiếu của A trên d
K
⇒
cố định;
Gọi
( )
α
là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên
( )
α
. Trong tam giác vuông AHK ta
có
.AH AK≤
Vậy
( )

max
AH AK
α
= ⇔
là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.
( )
α
là mặt phẳng qua K và vuông
góc với AK
( )
: 4 3 0x y z
α
⇒ − + − =
4) Cho mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
và các đường thẳng
1
1 3
: ,
2 3 2
x y z
d
− −
= =
−

2
5 5
: .

6 4 5
x y z
d
− +
= =
−
Tìm điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho MN song song với (P) và đường thẳng
MN cách (P) một khoảng bằng 2.
Giải : Gọi
( ) ( )
1 2 ;3 3 ;2 , 5 6 ';4 '; 5 5 'M t t t N t t t+ − + − −
( )
( )
; 2 2 1 1 0; 1.d M P t t t= ⇔ − = ⇔ = =
Trường hợp 1:
( ) ( )
0 1;3;0 , 6 ' 4;4 ' 3; 5 ' 5t M MN t t t= ⇒ = + − − −
uuuur
( )
. 0 ' 0 5;0; 5
P P
MN n MN n t N⊥ ⇔ = ⇒ = ⇒ −
uuuur uur uuuur uur
Trường hợp 2:
( ) ( )
1 3;0;2 , 1; 4;0t M N= ⇒ − −

5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

2
5
1
1
3
4
:
1

+
=


=

zyx
d

13
3
1
2
:
2
zyx
d
=
+

=


Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c hai ng thng d
1
v d
2
Gii Gi s mt mt cu S(I, R) tip xỳc vi hai ng thng d
1
, d
2
ti hai im A v B khi ú ta luụn
cú IA + IB AB v AB
( )
1 2
,d d d
du bng xy ra khi I l trung im AB v AB l on vuụng gúc
chung ca hai ng thng d
1
, d
2

Ta tỡm A, B :
'
AB u
AB u

uuur r
uuur ur
Ad
1
, Bd
2
nờn: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t; -3 + 3t; t)

AB
uuur
(.)

A(1; 2; -3) v B(3; 0; 1)

I(2; 1; -1) Mt cu (S) cú tõm I(2; 1; -1) v bỏn kớnh R=
6
Nờn cú phng trỡnh l:
( )
2
2 2
2 ( 1) ( 1) 6x y z + + + =
6)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d :
z
y
x =

=
1
2
và d :
1
5
3
2
2

+
==
z
y
x
. Viết phơng trình mặt phẳng
)(

đi qua d và tạo với d
một góc
0
30
Gii :
.Đờng thẳng d đi qua điểm
)0;2;0(M
và có vectơ chỉ phơng
)1;1;1( u
Đờng thẳng d đi qua điểm
)5;3;2(' M
và có vectơ chỉ phơng

)1;1;2(' u
.
Mp
)(

phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến
n
vuông góc với
u
và
2
1
60cos)';cos(
0
==un
. Bởi vậy nếu
đặt
);;( CBAn =
thì ta phải có :





=
++
+
=+
2
1

6
2
0
222
CBA
CBA
CBA






=
+=






+++=
+=
02
)(632
22
222
CACA
CAB
CCAAA

CAB
Ta có
0)2)((02
22
=+= CACACACA
. Vậy
CA
=
hoặc
CA
=
2
.
Nếu
CA =
,ta có thể chọn A=C=1, khi đó
2=B
, tức là
)1;2;1(=n
và
)(

mp
có phơng trình
0)2(2 =++ zyx
hay
042
=++
zyx
Nếu

CA
=
2
ta có thể chọn
2,1 == CA
, khi đó
1=B
, tức là
)2;1;1( =n
và
)(

mp
có phơng trình
02)2( = zyx
hay
022
=+
zyx
7) Trong khụng gian vi h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho mp(P) : x 2y + z 2 = 0 v hai
ng thng : (d)
x 1 3 y z 2
1 1 2
+ +
= =

v (d)
x 1 2t
y 2 t
z 1 t

= +


= +


= +

Vit phng trỡnh tham s ca ng thng (

) nm trong mt phng (P) v ct c hai ng thng
(d) v (d)
Gii
Mt phng (P) ct (d) ti im A(10 ; 14 ; 20) v ct (d) ti im B(9 ; 6 ; 5)
ng thng cn tỡm i qua A, B nờn cú phng trỡnh :

x 9 t
y 6 8t
z 5 15t
=


=


=

8) Cho hai ng thng cú phng trỡnh:
1
2 3

: 1
3 2
x z
d y
+
= + =
2
3
: 7 2
1
x t
d y t
z t
= +


=


=

Viết phương trình đường thẳng cắt d
1
và d
2
đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).
Giải :
Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d
1
và d

2
lần lượt tại
điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b).
Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=>
MA k MB=
uuur uuur

( ) ( )
3 1; 11; 4 2 , ; 2 3;MA a a a MB b b b= − − − + = − − −
uuur uuur

3 1 3 1 1
11 2 3 3 2 11 2
4 2 2 4 1
a kb a kb a
a kb k a k kb k
a kb a kb b
− = − = =
  
  
⇒ − = − − ⇔ + + = ⇔ =
  
  
− + = − + = =
  
=>
( )
2; 10; 2MA = − −
uuur
Phương trình đường thẳng AB là:

3 2
10 10
1 2
x t
y t
z t
= +


= −


= −

9) Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng





=
=
=
∆
1
2:
z
ty
tx
và điểm

)1,0,1( −A
Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng
∆
để tam giác AEF là tam giác đều.
Gải + Đường thẳng
)1,0,0(
0
Mquađi∆
và có vtcp
)0,2,1(
→
u
;
)2,2,4(,;)2,0,1(
00
−=






−=
→→→
uAMAM
+ Khoảng cách từ A đến
∆
là AH =
5
62

,
),(
0
=






=∆
→
→→
u
uAM
Ad
+ Tam giác AEF đều
5
24
3
2
. ===→ AHAFAE
.Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R =
5
24
và đường thẳng
∆
, nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :










=+++−
=
=
=
5
32
)1()1(
1
2
222
zyx
z
ty
tx

t =
5
221
suy ra tọa độ E và F là :












=
+
=
+
=
∨











=
−
=
−
=
1

5
242
5
221
1
5
242
5
221
z
y
x
z
y
x
10, Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1)
và hai đường thẳng
1
( ) :
1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
và
1 4
( ') :
1 2 5
x y z

d
− −
= =
Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
Giải :
*(d) đi qua
1
(0; 1;0)M −
và có vtcp
1
(1; 2; 3)u = − −
uur
(d’) đi qua
2
(0;1;4)M
và có vtcp
2
(1;2;5)u =
uur
*Ta có
1 2
; ( 4; 8;4)u u O
 
= − − ≠
 
uur uur ur
,
1 2
(0;2;4)M M =
uuuuuuur

Xột
1 2 1 2
; . 16 14 0u u M M

= + =

uur uur uuuuuuur
(d) v (d) ng phng .
*Gi (P) l mt phng cha (d) v (d) => (P) cú vtpt
(1;2; 1)n =
ur
v i qua M
1
nờn cú phng trỡnh
2 2 0x y z+ + =
*D thy im M(1;-1;1) thuc mf(P) , t ú ta cú pcm
11. Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho
( )
052: =++ zyxP
v ng thng
31
2
3
:)( =+=
+
zy
x
d
, im A( -2; 3; 4). Gi

l ng thng nm trờn (P) i qua giao im ca (
d) v (P) ng thi vuụng gúc vi d. Tỡm trờn

im M sao cho khong cỏch AM ngn nht.
Gii : Chuyn phng trỡnh d v dng tham s ta c:





+=
=
=
3
1
32
tz
ty
tx

Gi I l giao im ca (d) v (P)
( )
3;1;32 + tttI
Do
( ) ( )
4;0;1105)3()1(232 ==++ IttttPI
* (d) cú vect ch phng l
)1;1;2(a
, mp( P) cú vect phỏp tuyn l
( )

1;2;1 n
[ ]
( )
3;3;3n,a
=
. Gi
u
l vect ch phng ca


( )
1;1;1u






+=
=
=

u4z
uy
u1x
:
. Vỡ
( )
u4;u;u1MM +
,

( )
u;3u;u1AM
AM ngn nht
AM

0u.1)3u(1)u1(10u.AMuAM =++=

3
4
u =
. Vy







3
16
;
3
4
;
3
7
M
12) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;2; -1), B(7; -2; 3) v ng thng d cú
phng trỡnh
2 3

2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
= +


=


= +

. Tỡm trờn d nhng im M sao cho tng khong cỏch t M n A v B l
nh nht.
Gii M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t)
d
, AB//d. Gi A i xng vi A qua d => MA= MA => MA+ MB =
MA + MB

AB
(MA+ MB)
min
= AB, khi A, M, B thng hng => MA = MA = MB
MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4)
13) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình
3
1
12
1

==
zyx
. Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P)
là lớn nhất.
Gii : Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và
(P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có
HIAH
=> HI lớn nhất khi
IA
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận
AH
làm véc tơ pháp tuyến.
)31;;21( tttHdH ++
vì H là hình chiếu của A trên d nên
)3;1;2((0. == uuAHdAH
là véc
tơ chỉ phơng của d)
)5;1;7()4;1;3( AHH
Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0
7x + y -5z -77 = 0