chuyên đề hình học oxyz

1
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
A: Lý thuyết.
1. Cho
( , , )
1 1 1
a x y z
và
( , , )
2 2 2
b x y z
ta có :
+
1 2 1 2 1 2
( ; ; )a b x x y y z z    
,
2 2 2
1 2 1
a x y z  

+
.
1 2 1 2 1 2
a b x x y y z z  
.
11
1 1 1 1
, (| |;| |;| |)
2 2 2 2 2 2
yy

z z x x
ab
y z z x x y




+
a
và
b
cùng phương
,0ab





, . .sin( , )a b a b a b



,
a 
,ab


và
b 

,ab


.
+ Ba véc tơ
a
,
,bc
đồng phẳng khi và chỉ khi
,ab


.
c
= 0.
2. Cho
1 `1 1
( ; ; )A x y z
và
2 2 2
( ; ; )B x y z
thì:
+
2 1 2 1 2 1
( ; ; )AB x x y y z z   
và
22
2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )AB x x y y z z     

+ Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
1

1
1
1
AB
M
AB
M
AB
M
x kx
x
k
y ky
MA kMB y
k
z kz
z
k








   











Hệ quả: Điểm M là trung điểm của AB thì
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
  

3.
1
,
2
ABC
S AB AC





Cho hình bình hành ABCD thì có:

,
ABCD
S AB AC




4. Thể tích tứ diện ABCD.
11
. , . , .
66
V AB AC AD BA BC BD
   
  
   

5. Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’
, . 'V AB AD AA




6. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có véc tơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C
là:
0 0 0
.( ) .( ) .( ) 0A x x b y y C z z     

(6.1) với
2 2 2
0A B C  

7. Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C sẽ có véc tơ pháp tuyến
[AB, ]n AC
và đi qua điểm A. Từ đó áp
dụng công thức (6.1) là ra phương trình mặt phẳng (ABC).
8. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có cặp véc tơ
1
( ; ; )u a b c

2
( '; '; ')u a b c
mà giá của
chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (P) sẽ có véc tơ pháp tuyến là
12
[u , ]nu

(Đk
0n 
). Sau đó áp dụng c/thức (6.1) để viết phương trình (P).
9. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, cắt Ox tại A(a, 0, 0) , cắt Oy tại B(0, b, 0) và

2
cắt Oz tại C(0, 0, c) với abc
0

là :
1
x y z
a b c
  
.
10. Dạng TQ phương trình của mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 (Đ/k:
2 2 2
0A B C  
)
Chú ý:
♦ Nếu D = 0 thì mặt phẳng Ax + By + Cz = 0 đi qua gốc toạ độ
♦ Nếu trong phương trình tổng quát của mặt phẳng mà không có mặt x (y hoặc z) thì mặt phẳng sẽ
song song hoặc chứa trục Ox (Oy hoặc Oz).
♦ Nếu không có mặt đồng thời x, y (x, z hoặc y, z) thì mặt phẳng sẽ song song hoặc trùng với mặt
phẳng Oxy (Oxz hoặc Oyz)
11. Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) :
' ' ' ' 0A x B y C z D   

Phương trình chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

.(Ax+By+Cz+D)+ .(A'x+B'y+C'z+D')=0

với
22
0


.
12. Phương trình đường thẳng đi qua điểm

0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có véc tơ chỉ phương
( , , )u a b c

( với
2 2 2
0abc  
) là :
Dạng tham số :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct








( t là tham số và t

R)
Dạng chính tắc :
0 0 0
x x y y z z

a b c
  

(khi
0abc 
)
Dạng tổng quát:
Ax+By+Cz+D=0 (P)
A'x+B'y+C'z+D'=0 (Q)




13. Cho (

):
0 0 0
x x y y z z
a b c
  

và
( ')
:
' ' '
0 0 0
' ' '
x x y y z z
a b c
  


.
* (

) chéo
( ')

,'uu
và
00
'
MM
không đồng phẳng
'
00
, ' . 0u u M M




* (

) và
( ')
đồng phẳng
,'uu
và
00
'
MM

đồng phẳng
'
00
, ' . 0u u M M



khi đó:
+ (

) cắt
( ')

'
'
00
00
, ' . 0
, ' . 0
, ' 0
: : ': ': '
u u M M
u u M M
uu
a b c a b c




















+ (

) ||
( ')

'
00
,0
, ' 0
u M M
uu














' ' '
0 0 0 0 0 0
: : ': ': ' ( ):( ):( )a b c a b c x x y y z z     

+
( ) ( ')  
'
00
,0
, ' 0
u M M
uu














' ' '
0 0 0 0 0 0
: : ': ': ' ( ):( ):( )a b c a b c x x y y z z     


3
14. Cho thẳng đường (

):
0 0 0
x x y y z z
a b c
  

và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0
có các khả năng sau xảy ra:
* (

) // (P)


0 0 0
Aa + Bb + Cc=0
Ax 0By Cz D


   


* (

) cắt (P)
. 0 0u n Aa Bb Cc     

*
( ) ( )P



0 0 0
Aa + Bb + Cc=0
Ax 0By Cz D


   


15. Khoảng cách từ
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
tới mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

0 0 0
0
2 2 2
A
( ,( ))
x By Cz D

d M P
A B C
  



Chú ý: Cho hai điểm
1 1 1 1
( ; ; )M x y z
và
2 2 2 2
( ; ; )M x y z
thì ta có.
♦ Hai điểm
1
M
và
2
M
nằm về một phía so với mặt phẳng (P) là :

1 1 1 2 2 2
(A ).(A ) 0x By Cz D x By Cz D      

♦ Hai điểm
1
M
và
2
M

nằm hai phía so với mặt phẳng (P) là :

1 1 1 2 2 2
(A ).(A ) 0x By Cz D x By Cz D      

16. Khoảng cách từ
1 1 1 1
( , , )M x y z
thẳng đường (

):
0 0 0
x x y y z z
a b c
  



01
1
,
( ,( ))
M M u
dM
u




17. Khoảng cách giữa hai đường thẳng :

0 0 0
'
00
' ' '
0 0 0
( ):
, ' .
(( ),( '))
,'
( '):
' ' '
x x y y z z
u u M M
a b c
d
x x y y z z
uu
a b c
  

  




   


  



  



Trong đó:

( , , )u a b c
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng
()
,
0 0 0 0
( , , ) ( )M x y z  


' ( ', ', ')u a b c
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng
( ')
,
' ' '
0 0 0 0
( , , ) ( ')M x y z  

18. Gọi

là góc giữa (

) và
( ')

.

2 2 2 2 2 2
u. '
aa'+bb'+cc'
os =
.'
. ' ' '
u
c
uu
a b c a b c


   
(
00
0 90 )



19. Gọi

là góc giữa đường thẳng (

) và (P) có:

2 2 2 2 2 2
Aa+Bb+Cc
sin

.A B C a b c


   
(
00
0 90 )




4
20. Gọi

là góc giữa (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q):
' ' ' ' 0A x B y C z D   


2 2 2 2 2 2
AA'+BB'+CC'
os
. ' ' '
c
A B C A B C


   
(
00
0 90 )




21. Phương trình mặt cầu :
Dạng chính tắc :
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R     
với tâm I(a; b; c) bán kính R.
Dạng tổng quát :
2 2 2
2Ax+2By+2Cz+D=0x y z  
với tâm I( -A; -B; -C),
(Đk:
2 2 2
0A B C D   
) bán kính
2 2 2
R A B C D   

* Chú ý: Phương trình dạng:
2 2 2
( ) 2Bx 2 2 0A x y z Cy Dz E      

(với
2 2 2
0, 0A B C D AE    
) là phương trình mặt cầu.
Phương trình đường tròn:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )

Ax+By+Cz+D=0 (P)
x a y b z c R S

     



ĐK:
2 2 2 2 2
( ) ( )Aa Bb Cc D R A B C     

- Đường tròn có tâm H là hình chiếu của tâm mặt cầu (S) là I(a;b;c) lên mặt phẳng (P)
- Bán kính đường tròn là:
22
r R IH
.
B: Các bài tập cơ bản:
*Dạng 1: Dạng bài tập cơ bản về toạ độ của véc tơ và điểm.
1. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho ba điểm A(1, 2, 1) , B(5, 3, 4), C(8, -3, 2).
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông .
b) Tìm toạ độ chân đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ B.
c) Tính diện tích của tam giác ABC. Đáp số: S =
7 26
2

2. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(1, -1, 1), B(3, 1, -2), C(-1, 2, 4), D( 5, -6, 9).
a) Chứng tỏ điểm D nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD. Đáp số: (2; -1; 3)
3. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1, 0, 1), B’(2, 1, 2), D’(1, -
1, 1) và C(4, 5, -4). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại .

4. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(5, 7, -2), B(3, 1, -1), C(9, 4, -4) và
D( 1, 5, 0).
a) Chứng tỏ A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng.
b) Tìm toạ độ giao điểm I của AC và BD. Đáp số:
( 3,13,2)

5. Trong không gian cho tứ diện ABCD biết A(2, 3, 1), B(4, 1, -2), C(6, 3, 7) và
D(-5, -4, 8). Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ D. Đáp số: 11.
6. Trong không gian cho tứ diện ABCD. Biết A(1, -2, 1), B(2, 4, 1), C(-1, 4, 2) và
D(-1, 0, 1). Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (BCD)
Đáp số:
113 296 1
( ; ; )
169 169 169



5
7. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi E là trọng tâm của tam giác BCD; I, I’, J, J’, K, K’ lần lượt là trung điểm
của AB, CD, CA, BD, AD, BC và G là điểm xác định bởi
0GA GB GC GD   

Chứng minh rằng:
a)
' ' ' 2II JJ KK AG  

b)
30GA GE
.
8. Cho 6 điểm A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2), C(-5, -5, -2), A’(5, 1, 5), B’(4, 3, 2) và C’(-3, -2, 1).

a) Chứng minh: ABC là tam giác cân, A’B’C’ là tam giác vuông và A’ nằm ngoài
mặt phẳng (ABC).
b) Gọi G, G’, G’’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’ và của tứ diện A’ABC. Tính
' ''tgG GG
. Đáp số:
45
392
.
9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, các cạnh của nó có độ dài bằng 1. Trên các cạnh BB’, CD,
A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: B’M = CN = D’P = a (0 < a < 1). Chứng minh rằng:
a)
. ( 1) 'MN a AB AD a AA    

b)
'AC
vuông góc với mặt phẳng (MNP)
*Dạng 2: Dạng bài tập phần mặt phẳng.
10. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho ba điểm A(-1, 1, 2) , B( 3, -1, 0), C( 2, 1, 1)
a) Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A và vuông góc với BC.
b) Tìm Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
Đáp số: a) x -2y-z + 5 =0. b) x - y +3z - 4 =0.
11. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm (1, -2, 3) và song song với mặt phẳng :
(P): x – 3y +2z + 13 = 0. Đáp số: x -3y +2z-13=0.
12. Chứng minh khi m thay đổi thì mặt phẳng (P): 2x + y + z -1 + m(x +y +z +1) =0 luôn đi qua một
đường thẳng d.
13. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng qua hai điểm A(2, 1, 1), B(3, 2, 2) và vuông góc với mặt
phẳng : x + 2y – 5z – 3 = 0. Đáp số: 7x-6y-z-7=0.
14. Tìm phương trình mặt phẳng qua điểm (-2, 3, 1) và vuông góc với cả hai mặt phẳng :
3x + 2y – z – 1 = 0, 2x – 5y + 4z – 7 = 0.
Đáp số: 3x-14y-19z+67=0

15. Cho điểm A(1, -1, 1) và hai đường thẳng:

1
( ): 1 2
3
xt
d y t
zt



  




và
2
3 3 0
( ):
2 1 0
x y z
d
xy
   


  


Chứng minh: (d
1
), (d
2
) và A cùng thuộc một mặt phẳng .

6
16. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
20
3 2 3 0
xz
x y z



   

và vuông góc với mặt phẳng (P):
x-2y + z + 5 =0. Đáp số: 11x-2y-15z-3=0.
17. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
20
3 2 3 0
xz
x y z



   

và song song với đường thẳng

1 3 5
1 2 1
x y z  


. Đáp số: 11x-2y-15z-3=0.
18. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua M(0, 0, 1), N(3, 0, 0) và tạo với mặt phẳng Oxy
góc
3

. ( Đề thi dự bị 2 - 2003-B ) Đáp số:
26 3 3 0x y z   

19. Cho tứ diện ABCD có A(7, 9, 1), B(-2, -3, 2), C(1, 5, 5), D(-6, 2, 5). Gọi G là trọng tâm của tứ diện và
I là điểm cách đều bốn đỉnh của tứ diện. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm B, G,
I. Đáp số: 25x-6y-10z+52=0
20. Tìm góc giữa hai mặt phẳng : 2x – y + z – 7 = 0 & x + y + 2z – 11 = 0.
21. Cho hình tứ diện ABCD có các đỉnh A(3, 2, 1), B(1, 3, 2), C(1, -2, 3) và D(-1, 2, 2)
a) Tìm phương trình của mặt phẳng (ABC). Đáp số: 3x+y+5z-16=0
b) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua C và có cặp véc tơ chỉ phương
1
,V CD

2
( , 1,2 )V
  

Đáp số:
(9 1) 3 2(3 1) 5(3 1) 0x y z
   

      

c) Với giá trị nào của

thì mặt phẳng (P)
()ABC
. Đáp số: không
d) Xác định

, m để (P) song song với mặt phẳng : 4x + y + mz+ 1=0
Đáp số:
1
3


và m = -4.
22. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng :
1
2 4 0
:
2 2 4 0
x y z
x y z
   



   

và

2
1
:2
12
xt
yt
zt



  




.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
1

và song song với đường thẳng
2

.
Đáp số: 2x-z=0
b) Cho điểm M(2, 1, 4) . Tìm toạ độ H thuộc đường thẳng
2

sao cho đoạn thẳng MH có độ dài
nhỏ nhất. (Đại học & Cao đẳng năm 2002-A). Đáp số: H(2, 3, 3)
23. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng

(P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y + z +1 = 0 mà góc đó chứa điểm
0
(1,1,1)M
.
24. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc nhọn tạo bởi hai mặt phẳng :
(P): x – 2y + z – 1 =0 và (Q): 2x + y + z + 1 =0

7
25. Trong không gian cho hệ trục Oxyz , Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng
(2 1) (1 ) 1 0
:
(2 1) 4 2 0
m
m x m y m
d
mx m z m
     


    

( m là tham số ).
Xác định m để đường thẳng
m
d
song song với mặt phẳng (P). Đáp số:
1
2
m 

(Đại học & Cao đẳng năm 2002-D).
26. Trong không gian cho A(2, 1, 1), B(0, -1, 3) và đường thẳng
3 2 11 0
:
3 8 0
xy
d
yz
  


  


a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là
giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), Chứng minh d vuông góc IK.
b) Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng :
x+y-z+1=0 (Đề thi dự bị 2 - 2003-D )
Đáp số: a) (P): x+y-z+1=0 và K(3,-1,3) b)
2 10 0
:
10
x y z
d
x y z
   


   


27. Trong không gian cho (P): x -y +z + 3 =0 và hai điểm A(-1; -3; -2), B(-5, 7, 12).
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). Đáp số: A’(-3,-1,-4)
b) Giả sử M là một điểm bất kỳ chạy trên mặt phẳng (P). tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: MA +
MB. (Đề thi dự bị 1- 2002-A)
Đáp số: min = 18 đạt được khi M(-4, 3, 4)
28. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng
2 2 3 0x y z   
sao cho MA = MB = MC.
(Đại học & Cao đẳng năm 2008-B).
Đáp số: a)
2 4 6 0x y z   
b) M(2; 3; -7)



*Dạng 3: Dạng bài tập tổng hợp của đường thẳng và mặt phẳng
29. Trong không gian cho hệ trục Oxyz , cho hai điểm A(2, 0, 0), B(0, 0, 8) và điểm C sao cho
(0,6,0)AC 
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
(Đại học & Cao đẳng năm 2003-B). Đáp số: 5
30. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2) và B(-1; 2; 4) và đường thẳng
12
:
1 1 2
x y z
  


a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt
phẳng (OAB).
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng

sao cho
22
MA MB
nhỏ nhất.

8
(Đại học & Cao đẳng năm 2007-D). Đáp số:
22
:
2 1 1
x y z
d



,
( 1;0;4)M 

31. Trong không gian cho hệ trục Oxyz , cho đường thẳng
3 2 0
:
10
k
x ky z
d

kx y z
   


   


Tìm k để đường thẳng
k
d
vuông góc với mặt phẳng (P) : x – y – 2z + 5 = 0.
(Đại học & Cao đẳng năm 2003-D). Đáp số: k =1
32. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm (1, 4, -2) và song song với đường thẳng :
6 2 2 3 0
3 5 2 1 0
x y z
x y z
   


   

Đáp số:
142
1 3 6
x y z  


33. Tìm phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P): x +3y - z + 4 =0 và vuông góc
với đường thẳng d:

2 3 0
20
xz
yz
  




tại giao điểm của đường thẳng và mp(P) Đáp số:
1 2 1
5 3 4
x y z  



34. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm (3, 2, 1) vuông góc với đường thẳng
3
2 4 1
x y z 

và cắt
đường thẳng đó. Đáp số:
3 2 1
9 10 22
x y z  


.
35. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho điểm A(-4, -2, 4) và đường thẳng

32
:1
14
xt
d y t
zt
  





  


Viết phương trình đường thẳng

đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
(Đại học & Cao đẳng năm 2004-B). Đáp số:

:
2 4 0
2 4 10 0
x y z
x y z
   


   


36. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
  


và mặt phẳng (P) :
2x + y – 2z + 9 = 0.
a) Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng

nằm trong (P), biết

đi qua A và vuông góc với d.
(Đại học & Cao đẳng năm 2005-A).
Đáp số: a. I(3;-7;1) hoặc I(-3;5;7) b. A(0;-1;4) và
:1
4
xt
y
zt



  






37. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng :
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
d
  


và
2
20
:
3 12 0
x y z
d
xy
   


  

.

9
a) Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai
đường thẳng
1
d
và
2
d
. Đáp số: 15x +11y -17z -10 = 0.
b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng
1
d
và
2
d
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích
tam giác OAB ( O là gốc toạ độ). Đáp số: S =5. (Đại học & Cao đẳng năm 2005-D).
38. Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M-4, -5, 3) và cắt cả hai đường thẳng :
1 3 2
3 2 1
x y z  


và

2 1 1
2 3 5
x y z  


Đáp số:
3 5 0
7 13 5 22 0
xz
x y z
  


   


39. Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0, 1, 1) vuông góc với đường thẳng
12
3 1 1
x y z

và cắt đường thẳng
20
10
x y z
x
   





. Đáp số:
11
1 1 2
x y z



40. Cho đường thẳng
1 1 2
:
2 1 3
x y z
d
  

và mặt phẳng (P): x- y - z - 1 =0.
a) Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(1, 1, -2), song song với (P) và
vuông góc với d.
b) Gọi N là giao điểm của d và (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN.
Đáp số: a.
1 1 2
2 5 3
x y z  


b.
717
( ; ; )
244



41. Cho đường thẳng d:
31
2 1 3
x y z


và (P): x+y+z=0.
a) Xác định giao điểm A của d và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng

qua A vuông góc với d và nằm trong mp (P).
Đáp số: a. A(1,1,-2) b.
1 1 2
4 1 3
x y z  



42. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :
1
12
:
2 1 1
x y z
d




và
2
12
:1
3
xt
d y t
z
  








a) Chứng minh
1
d
và
2
d
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường
thẳng
12
,dd

(Đại học & Cao đẳng năm 2007-A). Đáp số:

21
:
7 1 4
x y z
d




43. Xác định góc nhọn giữa đường thẳng
4 2 7 0
3 7 2 0
x y z
x y z
   


  

và mặt phẳng : 3x + y –z + 1 = 0
Đáp số:
19
sin
11 7




10
44. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M(-1, -1, -1) trên đường thẳng

2 1 0
10
x y z
x y z
   


   

và K là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng : x + 2y – z + 1 = 0. Tính HK.
Đáp số:
11
6

45. Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(-1, 2, 3), B(0, 4, 4), C(2, 0, 3) , D( 5, 5, -4).
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (ABC). Đáp số: (3,2,4)
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. Đáp số:
77
6

46. Trong không gian cho hai đường thẳng:

1
0
:
10
x az a
d
yz
  



  

và
2
ax+3y-3=0
:
x+3z-6=0
d



(Đề thi dự bị 2 - 2002-B)
a) Tìm a để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
b) Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d
2
và song song với d
1
. Tình
khoảng cách giữa d
1
và d
2
khi a =2.
Đáp số: a. a = 0 hoặc a = 1. b. (P): x + 5y -7z + 9 =0, khoảng cách=
23
5

47. Cho hai đường thẳng

1
0
:
40
xy
d
x y z



   

và
2
3 1 0
:
20
xy
d
yz
  


  

.
a) Chứng minh rằng
1
d
và

2
d
chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa
1
d
và
2
d
. Đáp số:
9
62

c) Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (2, 3, 1) và cắt cả hai đường thẳng trên.
d) Tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng trên.
Đáp số: c.
9 5 20 0
2 5 9 0
x y z
x y z
   


   


48. Tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng :
10
10
x y z

x y z
   


   

&
2 1 0
20
xz
yz
  


  

và tính khoảng cách hai đường thẳng này.
Đáp số:
55
1
11 11
1 3 1
xz
y



và
4
11

49. Tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng :
10
20
x y z
x y z
   


  

&
20
2 2 2 1 0
x y z
x y z
  


   

. Đáp số:
2 5 5 4 0
16 11 3 0
x y z
x y z
   


   




11
50. Trong không gian cho :
1
1
:
1 2 1
x y z
d


và
2
3 1 0
:
2 1 0
xz
d
xy
  


  


a) Chứng minh d
1
và d

2
chéo nhau và vuông góc với nhau.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d
1
,d
2
và song song với
đường thẳng :
4 7 3
1 4 2
x y z  



(Đề thi dự bị 2 - 2003-A) Đáp số:
8 3 2 3 0
8 5 6 11 0
x y z
xyz
    


    



51. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
2 2 1
3 4 1
x y z  



lên mặt phẳng : x + 2y + 3z +4 = 0.
Đáp số:
24
13 9
7
14 14
1 1 1
y
xz





52. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
2 1 0
20
x y z
x y z
   


   


lên mặt phẳng : 4x-2y+z-1=0.
(Đề thi dự bị 1 - 2002-B) Đáp số:
4 4 11 0

4 2 1 0
x y z
x y z
   


   


53. Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua điểm (2, -1, 5) và vuông góc với đường thẳng
3 2 7 0
5 4 3 1 0
x y z
x y z
   


   

Đáp số: x +2y +2z - 5 =0
54. Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(-1, 2, -3) vuông góc với véc tơ
(6, 2, 3)v   
và
cắt đường thẳng
2 3 5 0
5 3 14 0
xy
xz
  



  

. Đáp số:
1 2 3
2 3 6
x y z  



55. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng :
12
2 2 3 1 1 1
: , :
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
dd
     
   


a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng
1
d

b) Viết phương trình đường thẳng

qua A, vuông góc với
1
d

và cắt
2
d
.
(Đại học & Cao đẳng năm 2006-D). Đáp số: a) A’(-1;-4;1) b)
1 2 3
:
1 3 5
x y z  
  


56. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :

12

12
1
11
: , : 1 2
2 1 1
2
xt
x y z
d d y t
zt





    






a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với
1
d
và
2
d
.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc
1
d
, N thuộc
2
d
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
(Đại học & Cao đẳng năm 2006-B). Đáp số: a) (P): x+3y+5z-13=0 b) M(0;1;-1), N(0;1;1)
57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :
1
1 2 '
: 2: 1 '
'
x t x t
d y t d y t
z t z t

  


  


  


a) Chứng minh hai đường thẳng
1
d
và
2
d
chéo nhau
b) Viết phương trình các mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và lần lượt di qua
1
d
và
2
d
.
c) Tính khoảng cách giữa
1
d
và
2
d
.

Đáp số: b) mặt phẳng (P): y + z = 0, mặt phẳng (Q): y + z – 1 = 0. c)
2
2

58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:d: x = -y + 1= z – 1 và d’: -x + 1= y – 1 = z
Tìm toạ độ điểm
Ad
và toạ độ điểm
''Ad
để đường thẳng AA’ vuông góc với d và vuông góc với
d’. Từ đó viết phương trình đường thẳng AA’.
Đáp số:
1 5 3 1 7 3
( ; ; ), '( ; ; )
4 4 4 4 4 4
AA
AA’:
3
0
2
3
0
4
xy
z

  









59. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :
1
2
2 3 1 0
: 2: 1 2
2 3 1
33
x at
x y z
d d y t
x y z
zt


   


  

  





a) Với a cho trước, hãy xác định phương trình mặt phẳng (P) đi qua
1
d
và song song với
2
d
.
b) Xác định a để tồn tại một mặt phẳng (P) qua
1
d
và vuông góc với
2
d

Đáp số: a)
2( 13) 3( 13) 13 13
1 2 3 (1 ) 0
9 2 9 2 9 2 9 2
a a a a
x y z
a a a a
   
     
       
     
   
     

b) a = 1.
60. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

1
2 1 0 3 3 0
: 2:
1 0 2 1 0
x y x y z
dd
x y z x y
      


      


a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm I của chúng

13
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
()

đi qua hai đường thẳng
1
d
và
2
d
.
c) Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng
()

và ba mặt phẳng toạ độ.

Đáp số: a)
13
( ;0; )
22
I 
b)
( ): 2 2 0x y z

   
c)
3
4
V 
(đvtt)
61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

1
3 1 1 7 3 9
: 2:
7 2 3 1 2 1
x y z x y z
dd
     
   


1) Lập phương trình chính tắc của đường thẳng
3
d
đối xứng với

2
d
qua
1
d
.
Đáp số:
117
11 74 13
x y z  



2) Xét mặt phẳng
( ): 3 0x y z

   

a. Viết phương trình hình chiếu của
2
d
theo phương
1
d
lên mặt phẳng
()


b. Tìm điểm M trên mặt phẳng (


) để
12
MM MM
đạt giá trị lớn nhất biết
12
(3;1;1), (7;3;9)MM

Đáp số:
2
30
) ':
2 4 53 0
x y z
ad
x y z
   


   


)min 10 3 (0; 3;0)bM  

62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng
12
:
2 1 2
x y z
d




a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.
b) Viết phương trình
()mp

chứa d sao cho khoảng cách từ A đến
()

lớn nhất.
(Đại học & Cao đẳng năm 2008-A). Đáp số: a) A’(3;1;4) b)
4 3 0x y z   


*Dạng 4: Dạng bài tập mặt cầu và đường tròn
63. Trong không gian cho đường thẳng
2 2 1 0
:
2 2 4 0
x y z
d
x y z
   


   

và mặt cầu (S):
2 2 2
4 6 0x y z x y m     

Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho MN= 9.
(Đề thi dự bị 1 - 2002-D ) Đáp số:
65
4
m 

64. Trong không gian cho (P): 2x+2y+z-m
2
- 3m = 0 và mặt cầu
(S):
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 9x y z     
. Tìm m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được hãy xác
định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
(Đề thi dự bị 1 - 2003-D). Đáp số: m = -5 hoặc m =2, M(3, 1, 2)
65. Cho S(-3, 1, -4), A(-3, 1, 0), B(1, 3, 0), C(3, -1, 0), D(-1, -3, 0)
a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

14
Đáp số:
2 2 2
( 2) 14x y z   

66. Cho 4 điểm A(0,1,0), B(2,3,1), C(-2,2,2) và D(1,-1,2).
a) Chứng minh ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Đáp số:
2 2 2

1 3 5 27
( ) ( ) ( )
2 2 2 4
x y z     

67. Cho hai đường thẳng :
1
4
( ): 3
4
xt
d y t
z








và
2
2
( ): 1 2 '
'
x
d y t
zt










Tìm phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
) làm đường kính.
Đáp số:
2 2 2
5 10 2
( ) ( 6) ( )
3 3 3
x y z     

68. Cho hai mặt cầu :
2 2 2
90x y z   
và
2 2 2
6 12 12 72 0x y z x y z      
.
Tìm phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường nối tâm của hai mặt cầu trên , tiếp xúc với hai mặt cầu
trên và có bán kính lớn nhất. Đáp số:
2 2 2

3 6 6 36 0x y z x y z      

69. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn sau:
2 2 2
12 4 6 24 0
2 2 1 0
x y z x y z
x y z

      

   

Đáp số:
10 14 5
( ; ; )
3 3 3
I 
và r = 3.
70. Tìm phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
6 2 4 5 0x y z x y z      
tại điểm
M(4, 3, 0) Đáp số: x +2y +2z -10 =0
71. Cho đường tròn (C) có phương trình
2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 49
2 2 4 0
x y z
x y z


     

   


Viết phương trình mặt cầu chứa (C) và đi qua gốc O. đáp số:
2 2 2
18 16 6 0x y z x y z     

72. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho ba điểm A(2, 0, 1) , B(1, 0 , 0), C(1, 1, 1) và mặt phẳng (P) : x
+ y + z – 2 =0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
(Đại học & Cao đẳng năm 2004-D). Đáp số:
2 2 2
( 1) ( 1) 1x y z    

73. Tìm điểm A thuộc mặt cầu (V):
2 2 2
2 2 2 0x y z x z     
sao cho khoảng cách từ A đến mặt
phẳng : 2x - 2y + z + 6 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Đáp số:
1
1 4 5
( ; ; )
3 3 3
A


và
2

7 4 1
( ; ; )
3 3 3
A


74. Cho điểm I(1, 2, -2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y +z + 5 = 0.
a) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đường tròn chu vi bằng
8


b) Chứng minh rằng mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng
:2 2 3x y z    

Đáp số: a.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 25x y z     

75. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu:

15
2 2 2
( ): 2 4 2 3 0S x y z x y z      
và mặt phẳng (P): 2x – y +2z – 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
(Đại học & Cao đẳng năm 2007-B). Đáp số: a) y – 2z =0 b) M(-1;-1;-3)
76. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng :
8 11 8 30 0
20

x y z
x y z
   


  

và tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
2 6 4 15 0x y z x y z      
Đáp số:
( ):3 4 2 10 0
( ): 2 3 4 10 0
x y z
x y z


   


   


77. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
(Đại học & Cao đẳng năm 2008-D). Đáp số: a)
60x y z   
b) I(2;2;2)
*Dạng 5 :Giải toán hình học không gian.

78. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các
trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN)
vuông góc với mặt phẳng (SBC). (Đại học & Cao đẳng năm 2002-A).
Đáp số:
2
10
16
AMN
a
S


(Chú ý: Có thể làm theo phương pháp toạ độ)
79. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy
(ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng
6
2
a
SA 
.
(Đề thi dự bị 1 - 2002-A) Đáp số:
2
2
a
AO 

80. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB và OC đôi một vuông góc. Gọi
;;
  
lần lượt là các góc

giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC); (OCA) và (OAB).
Chứng minh rằng:
os os os 3c c c
  
  

(Đề thi dự bị 2 - 2002-A)
81. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
(Đề thi dự bị 1 - 2002-B) Đáp số:
35
5
a
d 
(Chú ý: Có thể làm theo phương pháp toạ độ)
82. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
0
60BAD 
. Gọi M
là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, Ncùng thuộc
mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để B’MDN là hình vuông.
(Đại học & Cao đẳng năm 2003-B). Đáp số:
'2AA a

83. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng

. Trên

lấy hai
điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD

16
cùng vuông góc với

và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
(Đại học & Cao đẳng năm 2003-D). Đáp số:
2
2
a
AH 

84. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 120
0
,
cạnh bên BB’ = a. gọi I là trung điểm CC’. Chứng minh tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). (Đề thi dự bị 1 - 2003-A) .Đáp số:
30
os =
10
c


85. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và
góc
0
90BDC 
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
(Đề thi dự bị 2 - 2003-A) . Đáp số:
2

22
4
a
R
ab



86. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc cạnh AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt
hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất. (Đề thi dự bị 1 - 2003-B)
87. Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
00
(0 90 )


.
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
(Đề thi dự bị 2 - 2003-B) . Đáp số:
3
tan
24
a
V


và
3
( ,( )) sin
2
a

d A SBC



88. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng


00
(0 90 )


. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo

. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a và

.
(Đại học & Cao đẳng năm 2004-B). Đáp số:
2tantanSMO


;
3
.
2
tan
6
S ABCD
Va




89. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có AB =
BC = 2a, góc
0
120ABC 
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
(Đề thi dự bị 1 - 2004-B) . Đáp số:
3
22
a
d 

90. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích
khối tứ diện OO’AB.
(Đại học & Cao đẳng năm 2006-A). Đáp số:
3
3
12
a
V 

91. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2a
, SA = a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và
AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện
ANIB.

17
(Đại học & Cao đẳng năm 2006-B). Đáp số:
3
2
36
a
V 

92. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích của khối chóp A.BCMN.
(Đại học & Cao đẳng năm 2006-D). Đáp số:
3
33
50
a
V 

93. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM
vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
(Đại học & Cao đẳng năm 2007-A). Đáp số:
3
3
96
a
V 

94. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung
điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và

tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
(Đại học & Cao đẳng năm 2007-B). Đáp số:
2
( , )
4
a
d MN AC 

95. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
0
90ABC BAD
, BA= BC = a, AD = 2a. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và
2SA a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam
giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
(Đại học & Cao đẳng năm 2007-D). Đáp số:
( ,( ))
3
a
d H SCD 

96. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đọ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
3AC a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính
theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
(Đại học & Cao đẳng năm 2008-A). Đáp số:
3
'.
2

A ABC
a
V 
và
1
os
4
c



97. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =
3a
và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Tính theo
a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
(Đại học & Cao đẳng năm 2008-B). Đáp số:
3
3
3
a
V 
và
5
os
5
c



98. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
'2AA a
.
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM, B’C.

18
(Đại học & Cao đẳng năm 2008-D). Đáp số:
7
7
a
d 

*Dạng 6:Giải toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
99. Trong không gian cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3) và
D(1;6;-5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc CD sao cho tam giác
ABM có chu vi nhỏ nhất.
(Đề thi dự bị 2 - 2003-A) Đáp số: M(0; 1; -1)
100. Trong không gian cho hệ trục Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc

biết cos

=
1
6
.
(Đại học & Cao đẳng năm 2006-A). Đáp số: a)

1
22
b)
2 1 0
2 1 0
x y z
x y z
   


   

.
101. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với
A(0, -3, 0) , B(4, 0, 0), C(0, 3, 0), B’(4, 0, 4).
a) Tìm toạ độ các đỉnh A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mp (BCC’B’).
b) Gọi M là trung điểm của A’B’.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song
song với BC’. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
(Đại học & Cao đẳng năm 2005-B)
Đáp số: a)
2 2 2
576
( 3)
25
x y z   
. B)
( ): 4 2 12 0P x y z   
; N(0;-1;4) và MN = 5
102. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết A’(0, 0, 0), B’(a, 0, 0), D’(0, a, 0),
A(0, 0, a) với a > 0. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, B’C’

a) Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với AN và BD’.
b) Tính thể tích của hình tứ diện ANBD’.
c) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’.
Đáp số: a. x + 4y +3z -
7
2
a
=0. b.
3
12
a
c.
1
os =
33
c

, d =
26
a

103. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D. Đáp số:
6
a

b) Gọi M, N, P lần lượt trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng
MP và C’N. (Đại học & Cao đẳng năm 2002-B). Đáp số: 90
0

104. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện
[B, A’C, D]. (Đại học & Cao đẳng năm 2003-A). Đáp số: 120
0
.
105. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng
với gốc toạ độ , B(a, 0, 0), D(0, a, 0), A’(0, 0, b)

19
với a,b > 0. Gọi M là trung điểm của CC’.
a) Tính thể tích của khối tứ diện BDA’M theo a, b. Đáp số: V =
2
4
ab

b) Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
(Đại học & Cao đẳng năm 2003-A). Đáp số: a =b.
106. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , AC cắt BD tại gốc
toạ độ O. Biết A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), S(0, 0,
22
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
(Đại học & Cao đẳng năm 2004-A).
Đáp số: a.
0
30



và d =
26
3
b. N(0;
1
;2
2

) và V =
2

107. Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ O, B(1;0;0),
D(0;1;0),A’(0;0;
2
).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A’, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông
góc của đường thẳng B’D’ trên mặt phẳng (P).
b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A’C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp
A’.ABCD với mặt phẳng (Q). (Đề thi dự bị 1 - 2004-A)
Đáp số: a. (P):
2 2 0xz  
hình chiếu:
2 1 0
2 2 0
x y z
xz

   



  


b.
2
3
S 

108. Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc toạ độ
O. Biết
( 2; 1;0)A 
, B(
2; 1;0
),
(0;0;3)S
.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đường thẳng
AD và SC.
b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua B, vuông góc SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với (Q).
(Đề thi dự bị 2 - 2004-A) Đáp số: a.
3 2 0xz
b.
6
2
S 

109. Trong không gian cho hệ trục Oxyz ,cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A(a;0;a), B(-a; 0 ; 0),
C(0; 1; 0), B’(-a; 0; b), với a, b, > 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’.

b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b =4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng
B’C và AC’ lớn nhất. (Đại học & Cao đẳng năm 2004-D) Đáp số: a.
22
ab
d
ab


b. a = b =2
110. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với A(0, 0, 0) , B(a, 0, 0), D(0, b, 0),
A’(0, 0, c) với a, b, c > 0.
a) Tính góc giữa DA’ và BD’.

20
b) Tính góc giữa BD’ và mặt phẳng (MNP) trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng BB’, CD, D’A’.
111. Cho các điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) với a, b, c > 0. Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B,
C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh diện với đỉnh O của hình hộp đó.
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD).
b) Tính toạ độ của hình chiếu vuông góc H của C xuống mặt phẳng (ABD) . Tìm điều kiện đối với
a, b, c để H thuộc mặt phẳng (xOy). ( Đại học QG Hà Nội – 1998)
Đáp số:
2 2 2 2 2 2
2
)
abc
ad
a b b c c a



2 2 2 2 2 2
)b b c c a a b

112. Trong không gian cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(2;0;0), D’(0;2;2).
a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập phương. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh hai
mặt phẳng (AB’D’) và (AMB’) vuông góc với nhau.
b) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC’ (
NA
) tới hai mặt phẳng
(AB’D’) và (AMB’) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
(Đề thi dự bị 2 - 2005-D) Đáp số: tỉ số
2
2

113. Trong không gian cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0) và S(0;0;4).
a) Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật.
Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S.
b) Tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua đường thẳng SC. (Đề thi dự bị 2 - 2005-A)
Đáp số: a. B(2;4;0) và
2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9x y z     
b. A
1
(-2;4;4)
114. Trong không gian cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0) và C(0;0;2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Tìm toạ độ giao
điểm của AC với mặt phẳng (P).

b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC. (Đề thi dự bị 1 - 2005-A)
Đáp số: a. (P): y - z =0, M(
222
;;
333
) b. 2
115. Trong không gian cho A(2;0;0), B(2;2;0), S(0;0;m).
a) Khi m = 2, tìm toạ độ điểm C đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng SA. Chứng minh với mọi m > 0 thì diện
tích tam giác OBH nhỏ hơn 2. (Đề thi dự bị 1 - 2004-D) Đáp số: a. C(2;0;2)
116.Trong không gian cho bốn điểm A(1;0;0) , B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;m) với m là tham số khác 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m = 2
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên BD. Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam
giác OBH đạt giá trị lớn nhất. (Đại học Bách khoa Hà Nội – năm 2001)
Đáp số: a)
3
( , )
3
d AC BD 
b)
1
max 2
2
OBH
Sm

   

21
117. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn
thẳng BD và B’A tương ứng sao cho BM = B’N = t. Gọi

và

lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng
MN với các đường thẳng BD và B’A.
a) Tính độ dài đoạn MN theo a và t. Tìm t để độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tính

và

khi độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Trong trường hợp tổng quát, chứng minh hệ thức
22
1
os os
2
cc



Đáp số:
22
) min
22
aa
a MN t  

0
) 60b



118. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho tứ giác đều S.ABCD, biết S(3; 2; 4),
B(1; 2; 3), D(3; 0; 3).
a) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SD
b) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Viết phương trình mặt phẳng qua BI và
song song với AC.
c) Gọi H là trung điểm của BD, G là trực tâm tam giác SCD. Tính độ dài GH.
(Đại học Xây dựng – năm 2001)
Đáp số: a)
2 1 3
5 1 2
x y z  


b)
13 7 19
( ; ; ). 3 5 4 25 0
6 6 6
I x y z   
c)
3
2
GH 

119. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ, B(1; 0; 0), D(0;1;0), A’(0;0;1).
Điểm M, N thay đổi trên đoạn AB’ và BD tương ứng sao cho

AM = BN = a với
02a
.
a) Viết phương trình đường thẳng MN.
b) Tìm a để MN đồng thời vuông góc với AB’ và BD.
c) Xác định a để để đoạn MN nhỏ nhất và tính độ dài khi đó.
d) Chứng minh rằng khi a thay đổi thì các đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố
định. Hãy viết phương trình mặt phẳng đó.
Đáp số: a)
2
(1 2)
2
2
2
22
22
a
x a t
a
yt
aa
zt

  











b)
2
3
a 
c) khi
2
3
a 
thì
3
3
MN 

e) MN luôn vuông góc với các mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến
(0;1;1)n 

VD: y + z = 0

HẾT
Chúc các em học tập tốt!!!
THPT Chuyên Sơn La