Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá triị nhỏ nhất

Thuviendientu.org
Bài giảng số 7

BAT BANG THUC VA GIA TRI
LON NHAT, NHO NHAT CUA HAM SG
Bắt đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số luôn là một chủ để hap
dan trong chuong trình giảng dạy và học tập của bộ mơn Tốn ở nhà trường phơ
thơng. Trong các đề thi mơn Tốn của các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng,
các bài toán thuộc dạng này ln có mặt, đặc biệt trong những năm gân đây nó đều
thuộc vào những bài tốn khó (thường xuất hiện ở câu 5).
Bài giảng này đề cập đến những phương pháp cơ bản và thông dụng nhất đề
chứng minh bât đăng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

§1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI CHỨNG MINH BAT DANG

THÚC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Các kiến thức cơ bản

Bat dang thức Cósi cho hai hoặc ba số

a/ Nếu a, b là các số khơng âm, khi đó ta có:
a+b
at"

Dau bang trong (1) xay ra <> a=b.
b/ Néu a, b, c la cac số khơng âm, khi đó ta có:

arbre, > Yabo

(2)

Dấu bằng trong (2) xay ra <> a= b=c.

Một dạng thông dụng cua bát đăng thức Côsi
a/ Nêu a, b là các sơ dương, thì
1
|
(

a+b)l

(2

+—|>4
|

Dau bang trong (3) xây ra ©

hay

L1

4

—+—>———

ya

b

arb

(3

©?

a=b.

b/ Nếu a, b, c là các số dương, thì:

&+b+e)[C+z
a

bee

+c ]>9

hay 1,1,1.
a

b

c

3

a+b+c

(4)

Dấu bằng trong (4) xảy ra > a= b =c.
2. Các dạng toán cơ bản
Loại I: Các bài tốn sử dụng trực tiếp bất đăng thức Cơsi

Đặc điểm của những bài tốn này là có thể sử dụng trực tiếp ngay bất dang
thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức trong để, mà không qua các phép biến đôi
115


Thuviendientu.org
trung gian phức tạp. Với những bài toán này các số a, b (hoặc a, b, c) trong các bất
đăng thức Cơsi cho hai số (hoặc ba số) có thể lựa chọn được ngay từ đầu bài.
Thí dụ 1 (Đề thi tuyén sinh Đại học khối B - 2005)
Chirng minh rang với mọi x €
x

(2)

(3)

5

R, taco:

x

4

4

(2)

x

23% 44% 45%.

3

Khi nào bắt đẳng thức xảy ra?

Giải

91()543](E] (8)
A

A

=

z

ˆ^

.

CÁ

£

Ap dung bat đăng thức Côsi cho hai số. ta có:

5

4

5)

\4

5

Dau bang trong (1) xay ra:
3

=2)

$

12

-(2)

oo]

&

154

4

x

=Ì

x=0.

Lap Juan hồn tồn tương tự ta có:

(2) (2) 224° (2)

(2) (2) 22.5% 3)

Dau bang trong (2) cũng như trong (3) Xây ra >

x=0

Từ (1) (2) Ó) suy ra (sau khi cộng từng ve với về của ba bất đăng thức)
Nw

(2) (2) (2) Jeatsese)

(2)

(2)

5

4

(2)

3)

23% +4* +5* (4)

Dấu băng trong (4) xây ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng xảy ra trong

(1) (2) (3) tite 1a khi va chi khi x =0.
Nhận xét:
Dạng tơng qt của bài tốn trên là: Nếu a, b, c > O thi:

a+b+c>Vab+Vbc + Vea.

Thi du 2: (Đê thí tuyển sinh Đại học khối D — 2005)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
flex? +y `

Ixy

xy

tr
yZ

Khi nào dấu bất đăng thức xây ra?
Theo bát đăng thức Côsi ta có:

vi+2

+x?

zx

Giải

lexi ty? 233Lxty® =3xy.
116

>3y3


Thuviendientu.org
Từ đó suy ra:
3

+y

3

>

xy
Dau bang trong (1) xay ra = | =x'=y'o
Lập luận hồn tồn tương tự ta có:
3
23

Vity' +2) NB oy,
yz

x=y.

XEEK3.3 M3 do

yz

Dau bang trong (2) xảy ra ©

(1)

ale

ýjl+x

zx

Zz X

y=z và dấu bằng trong (3) xảy ra ©

z=x.

Cộng từng về (1) (2) (3) và có:

Jiex3 +yi vie

xy

yz

+?

+ vI+z2+xỒ

2

zx

In

I

+

1

|

Jyz Vex

(4)

Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng trong (1) (2)
(3), tức là khí và chỉ khi x = y = x = I (cha y do xyz = ]).
Lại theo bát đăng thức Cơst, ta có:

]

l

I

l

Js We Jee Nha
+

+

>3

=3 (5)

(do xyz = 1). Dau bang trong (Š) xảy ra ©x=y=z=
Tir (4) (5) suy ra:
vI+x 34.3
+y

,Ity 363
+Z

xy

_

3

itz

yz

zx

Ì.

3

“>3 V3 (6)

Dau bang trong (6) xảy ra <> déng thoi cé dau bang trong (4) va (5)
©x=y=z7 Ì. Đó là đpcm.
Nhận xéi
;
oo,
Thí dụ 2 là điên hinh cho phương pháp sử dụng trực tiệp bát đăng thức Côsi

đề chứng minh bắt đăng thức.

Thi du 3 (Dé thi tuyên sinh Đại học khối D — 2008) ,
;
;
Cho x, y là các số thực khơng âm. Tìm giá trị lớn nhat và nhỏ nhất cua biéu
thức sau:

_x-y)-xy).
(t+xÝ(I+yŸ

Do x, y > 0, nén hién nhién ta co:

Giải

(x —y)(1-xy)]s|(x + y)(1+ xy)] =(x + y)(1+ xy).

Vì thế:

Mơn...

(+xŸ(+xy. [@&x+y)(+xy)]

> (1)

Theo bat đẳng thức Cơsi ta có: (x + y)(I+ xy)>2j/(x+y)(I+
xy) @)
117


Thuviendientu.org
Từ

l

]

1

ra: | |P|<—
(1)(1)(2)
(2) suy suy ra:
P| 4 >m-—2
a8)@):

KẾt hợp với khi x = 1,y =0, thi P=,
7

.

1

khi x= 0, y =l, thi P=-—.

4

.
Ì
Tóm lại, P đạt giá trị lớn nhật = 4

,
và đạt giá trị nhỏ nhật khi P= -

.

Thí dụ 4: (Dé thi tuyễn sinh Đại học Sài Gòn khối A - B 2007)
Cho a, b, c là ba số dương thỏa man a “+b +c”=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
ab

be

ca

thức: P=——+—— +,

ca

Do a>0, b>0, c>0 nên P>0 và
2x2
42.2
2242

“........

,

C

+

*

a

+b? +c?)

Ap dụng bat đăng thức Cơsi ta có:
2,2
p2„2
3,2
„2 2
a +S
2p? ; ae
£8 3 20?
c

a
€
b

Tir d6 suyra:P>3(a’+b +c)
Do a?+ bˆ+ cÌ= l =

2.2
bc
a

2,2
GA
v22,

(2)

Pˆ>3.

Vì P>0 nên ta có: P >3
Dấu bằng
xảy ra ©

(1)

b

a=b=c=

(3)

33

Vậy P nhận giá trị nhỏ nhất =3 khi và chỉ khi a= b=

v3

“>

.

Thi du 5: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Su phạm Quảng Bình — 2006)

Cho a >0, b >0. Chứng minh 3a” + 7bỶ > 9ab’.
,
Theo bat dang thtirc Cési ta cé

Giai

3a? + 7b? = 3a? + 3b? + 4b® > 34 36a°b® = 3ab7 936

(1)

Do ab’ >0, con 336 >3, nên từ (1) suy ra

3a°+ 4b’ > 9ab’ (2)

Dau bing trong (2) xảy ra © abŸ= 0.

Tức là trong | hai số a, b có Ít nhất một số bằng 0.

Thí dụ 6 (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng Cơ khí luyện kim -2006)
Cho a, b, c>0. Chứng minh

3
43
3
3% LP Ô€C >ab+bc+ca.
ca

118


Thuviendientu.org
wid

_~ ua cho tuong duong voi bat đẳng thức sau:

(ai
thi 4E):

c

mm

(1)

b

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:

a

a?

prab=a

ae

2a.2a=2a

2

(2)

3

Dau bang xay ra <> Sp mabera =b.
„b

2
|
c
2 (4)
gtca>2c
c
Dau bang trong (3), trong (4) xảy ra tương ứng khi và chỉ khi b = c; c = a.

Tương tự ta có: — + bc>2b“ (3)

Cộng từng về với về của (2) (3) (4) ta có:

VT (1)> 2(a’ + b? +c’).
(5)
Dấu bằng trong (5) xây ra <> đồng thời có dấu bằng trong (2) (3) (4)
«a=b=c.

Lại theo bất đẳng thức Cơsi ta có:
2(a +b? +c?)=(a? +b?}+(b? +c?)+ (c? +a *\> 2(ab
+ be + ca). (6)
Dau bang trong (6) xay ra <> a =b=c.
Từ (5) và (6) suy ra VT (1)> VP (1) => dpcm.

Dấu bằng xáy ra <©> đồng thời có dấu bằng trong (5) (6).

©Thí dụ 7:
Cho hai số dương x, y thay đối và thỏa mãn điều kiện
thất của biểu thức:
_ 3x 2 +4 2ry 3
4x

x + y > 4. Tìm giá trị

y

iai

tcó:

_ 3x

2

4x

+4 2ty

y

3

ax ,l,,

4

x

dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:

\y

ted

8

Xi >2 5=,
4

x

8

+ Xt

?

()

(2)

4x

yang trong (2) xảy ra khi và chỉ khi:
I

=— >

x

x=2.

H9


Thuviendientu.org
Lai theo bất đăng thức Cơsi ta có: i ta %533 422
y

Dấu bằng trong (3) xảy ra ©
Lại co: x+y 2 4 (giả thiét)

Dâu băng trong (4) xảy ra ©x
Tir (2) (3) (4) ta cd: A>

8

8

yv

3

8§

+ = : <=y=3.

y

.

4

@)

(4)

+y =4.

142. : +2=

2,

Vay A> =

|

(8

Dau bang trong (5) xay ra <> đồng thời có dấu bằng trong (2) (3) (4)
© x=y=2.
,

9

Nhu the min
A = 7°

x=y=2.

~

Thí dự 8
Cho x>0, y> 0 và x + y = 1. Chứng minh:

p=!

++ >442V3.

x'+y `

xy

Giải
(xty)`=l => xity'’+ 3xy(x ty) = lox t+y't 3xy =.
. 2 38
+Y +3XYay, 4
oy 48 3,.3
+y ma

Ta cóx +y= l =
Vay P= x 3,43
„
x+y

xy

x+y

xy

Theo bất đăng thức Cơsi ta có:

228 = pom
NEY
PY,
x+y
xy
Dầu bì
âu băng xây ra <>

x+y=I

.

x? +y? = J3xy

Thi du 9:
Cho x>0, y>0 va x"+y’ = 1. Chimg minh

s=(Ienfiets “oats |Niwa
Gia

Taco

l
S=(I+x)it+— +
“xi:

1
—
rails x

{8} rd) GA
2x

2y

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:

120

y

xX)

l

=l+x+—+— Melee +y+#.

y

2\x

y

x

x

x


Thuviendientu.org
x+4>V2 (2);

y+

x

y

evi
l

Dau bang trong (2) và (3) xây ra c> x=y=

J2.

Lại theo bat đăng thức Cơsi, ta có:

*+*>2
y

(4)

x

l1 2
x

sy

(3)

2

xy

Vx xy
+ y?

22.
|

2

(5)

I

Dau bang trong (4) va (5) xay ra ©x=y=

a

Thay (2), (3), (4), (Š) vào (1) ta có:

a

ˆ

S>3V2+4. 0

—

Dau bang trong (6) xảy ra ©

(6)

dong thoi co dau bang trong (2) (3) (4) (5)
l
Ox=y=-=.

=

Thí dụ 10:
Cho x, y, z >0 va

a + lL + a = 2. Chimg minh rang: xyz l+x
l+y
l+z
8
Giai

Từ giả thiết, ta có:

I

l+x

|-

lI-r,In

eel

ars
lty

l+z.

Do đó theo bất đăng thc Cụsi, ta cú:
l+x

sof Yay

Du bng trong
(l) xy ra âđ

(I+y)(I+z}

y

Zz

=y=z.
l+y
l+z

Lp luận tương tự, ta có

|

——>2
l+y
Dau

bang trong

XZ

l

2
(I+z)(I+x}) ©)
x xay ra >

xy

Leaf
3
1+
(t+z)(I+y} ©)
X=ZVAX=y.

Nhan ve voi vé (1) (2) (3) ta co:
]

Xxyz

(I+x)(I+y)(I+z) e+
1

=> xyz < 3

+Z)

=> đpcm.

Dau bang xay ra <> X=y=z.
121

Thuviendientu.org
Loại 2: Sử dụng bất đăng thức Côsi kết hợp với biến đổi đại số

Với các bài tập dạng này không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi để

chứng minh như các bài tập thuộc dạng 1. Để có thể sử dụng được bất đăng thức
Cési, trước
an phy. Sau
thể sử dụng
Thí dụ

hết ta cần thực hành các phép biến đôi đại số, mà chủ yếu là phép đặt
qua trình biến đổi ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng mà có
trực tiếp được. bat đẳng thức Côsi.
1 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4-2007).

Cho x, y, z>0 va nye

Tìm giá trị nhỏ nhật của biêu thức sau:

x?(y+z)

P=

y

y?(z+x)

y +222

z?(x+y)

Vz+2xVx

Ap dung bat đăng thức Cơsi ta có:

z

z+2yJy_

Giai

y+z>2yz> x?(y +z)>2x\|x?yz =2xJx

(do xyz=1)

Vậy ta có:

x?(y+z)>2xýJx ();

y?(z+x)>2yjy 2);
2xVx

Tu (1) (2) (3) tacé: P=

y

+

y +2zVz

2yjy

z?(x+y)>2z⁄z.@)
.

zVz + 2xvVx

+

2zVz
Zz

z+2yJy

.

(4

)

Dau bang trong (4) xay ra <> déng thoi cé dau bang trong (1) (2) (3)
@

x/x=2c+a-2b

a=yJy +2zvz

Dat 4b =zVz

x =y=z=!1

+ 2xVz<> yy =

P>

=P>2

22-65)

az = Sb4b+c-2a
+e9 2a

c=xvVx +2yJy
Từ (4) (5) suy ra:

9

2(4
-2b)
li hấu
),
9b
9

(+22
boca

2(4a+b-2
2(4
—2
(4a+
yy
(4b+e
a)
9c
9a
ee+‡)-$
b
c
a

.

Do a>0, b>0, c>0, nên lại theo bat đẳng thức Cơsi ta có:

Từ (6) suy ra P > 2 (7).
Dấu bằng trong (7) xảy ra © a= b = c và có dấu bằng trong (4)
© x=y=z~Ìl.
Vậy mịn P= 2 © x=y=z= ].

122

(6)


Thuviendientu.org
lí dụ 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A4 — 2009)

ho x>0, y>0, z>0 và thỏa mãn điều kiện x(x+y+z) =3xyZ.
hứng minh:

(x+y)} +(x+y)} +3(x+y)(x+Z)(y+z)<5(y+z},.
Giải
.
3ặta=x+y;b=x+zZ;¡c=
vị khi đó ta có a>0,b>0,c> 0 và:
,
a+b-c
a+c~b
b+c~-a
=

;y=

;
2
Tw gia thiét x(xt+y+z)=3yz, ta cd:

a+b-c

2

<> (a+b)

32>

2

a+b+c

,a+b-c

2

2

.

2

b+c-a

2

~c? =3(ab+ac—a? + be +c? ~ac~b” ~be + ab).


«>c?= a?+ bˆ~ ab.
Bất đăng thức cần chứng mình:

(1)

(x+ y} ` +(x+ yy +3(x+y)(x+z)(y+z)s 5(y+ z} .

<> a’ +b’ +3abe < 5c’.

(2)

Theo (1) ta co:

c? =a? +b? -ab=(a+b) ~3ab.

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

ab< (a+b)
—

Do đó từ (3) có:

c >(a+b)2 -3&+B)

Do a, b, c >0, nên từ (4) ta có:
Dau bang trong (5) xảy ra <> a=b.

(3)

2

4

2

hay cŸ > =9

atb <2c.

2

(4)

(5)

Ta có:

(2) ©(a+ b)(a? ~ab +b° ) +3abc < Se?
= (a + b)c? +3abe < Sc?

(theo (1))

©(a+b)c +3ab < 5e? (6). (do c>0)
Theo bat dang thức Cơsi và theo (4) ta có:

3ab < “(3 + b}” <3c”.
Từ (7) và do c>0 suy ra: (a + b)c < 2c?.
Từ (7) (8) suy ra (5) ding = dpcm.

(7)
(8)
123


Thuviendientu.org
Nhan xét:
¬
Trong bài tập trên ta sử dụng bât đăng thức Cơsi ở dạng đơn giản nhật.

a +b> 2Vab © (a + b}Ÿ” > 4ab.
Tuy nhiên, phép biến đổi đại số ở đây đóng vai trị rất quan trọng.
Thi du 3:
;
:
Chứng minh răng trong mọi tam giác ABC, ta có:

abc>(b+a~c)(a+c—b)(b+c-a),

ở đây a, b. c là ba cạnh của tam giác.
Giải
NHI
x+
x+
eeYee 2a TY
2“
3
~

ĐH
ng ng
`
,
va ta co: a=2
a

Ni

Khi do x, y, z>0

Từ đó: abc > h +c—a)(a+c—- b)(a +b-— c).

"

2 (y + 2)(x + 2)(y + x) > bxyz. (1)

Theo bat dang thire Cési, ta cd:

y+z22
J yz
X+Z2>2VXxz

x+y >2Vxy
Từ đó suy ra: (y † z)(x † y)(y +Z)> 8xyz.
Vậy (1) đúng

=

đpem.

Dấu bằng xảy ra © x=y=z
© a=b=c
> ABC là tam giác đều.
Nhán xót:

Ở đây ta sử dụng bất đăng thức Côsi dạng đơn giản nhất: a+b>2Vab. với a,
b >0. Tuy nhiên, phương pháp biến đổi đại số để đưa bài toán về dạng có thê áp
dụng được bất đăng thức Cơsi mới quan trọng.
Thí dụ 4: (ĐỀ thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006)

Cho hai số thực x # 0, y Z 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện

(x + y)xy =x +y° — xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1d
x Ty

Giải

Đặt ax

X

b= 1
y

Khi do ti giả thiết:
(x†Y)AY=x

KH:
bjJab
a

124

3

5

+V —Xy,

n- toe
b*
ab
a*

ta có

,

at+tb=a + b?—ab(1)


Thuviendientu.org
l
2
Art t =a?+bỶ =(a+b)(a? ~ab + b2] =(a + b) (do (1)).

,
Ta có:

4

Theo bat đăng thức Cơsi ta có: (a + b)Ỷ > 4ab => ab
Do đó: từ (1) (2) ta có
2

at+b=at

5

vs

b’— ab = (a + by

3

3ab2

3

3

(a+ by —7

'

(at by =a+b>- (a+bŸ

=(a+b}” ~4(a+b)<0 =0 Từ (3) suy ra: A=(a+b}<

16 (4)

Dau băng trong
(4) xảy ra <> at+b=4vaa=b
Tom laimin A=

16 @

x=y=

@

x=y=

7

7

ThiduS
;
;
Cho x > 0, y > 0, z> 0 va xyz = 1. Tim gia tri Ion nhat cua biéu thire:

|

P=—

;

]

xT

x+2y

I

ts
sot
>
+3
y+22z+3
2° 4+2x° +3

¬

Ap dung bất đăng thức Cơsi. ta có:

Giải

x7 + vŸ >2Xy
y +l>2y
Từ đó suy ra: X"t2y” +3 >2(xyty+l)
Lậpap luận. tương tự`: có

l
y?

+2z7

+3

I
z?2+2zˆ2+3

<

S

>

xX

5

5

<

+2y 2+3

2(xy+y+])

.(1)

I
2(yz+z+1)

l
2(xz+x+])

(

2

)

(3)

.

Dấu bằng trong (1) (2) (3) xảy ra khi và chỉ khx=y=l:y=z=l;z=x=
Cộng từng về với về của (1) (2) Ĩ) và có:
P s1

2\xy+y+l

+

+

yz+z+!

.

zx+x41

(4)

Dau bang trong (4) xay ra khi va chi khix=y=z=1.
Vi xyz = 1 nén viet lại (1) dưới dạng:
P<~

hay P<

l

l

2\xy+y+Ì

2\xy+y+l

+—

xy

y

xy°z+xyzt+xy

XYZ†+XY+Y

+————Ừ+

Xxy+y+l

›

Xy+y+l

=P<

I>:

].

Thuviendientu.org
Vay Prax

5 2 X= y=2=1,
~

Thi du 6:
Cho x, y, z >0. Chứng minh
P=

`

+

2X+y+X

3

2y+Z+X

+

2

<3.

2z+xt+y

4

Giải

Đặt A =2x+y+z;B=x+2y+z;C=z
+ 2z Khi
+yđó
-32-(8+C) v„3B-(C+ A),. _ 3C =(A +B)

4

4

»

l

4

Vậy p=22-(B+€), 3B-(C+ A), 3C-(A+B)
4A
4B
4C
l
(4
x)" E
<|- (2
4
3
=—|9-| —+—
+

—+—||<—
4
B A
C
A
C
B
4
=> dpem
Dau bang xay ra © A=B=C © x=y=z.
Loại 3: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản
&+3)[ +}

x

sy

]>4:

(xr yral Sates

xX

y

z

Rat nhiéu bai toan | ching minh bất đăng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của hàm số quy về hai bất đẳng thức cơ bản nói trên. Vì thế có thể xem như
việc sử dụng hai bất đăng thức này là một trong những cách sử dụng bất đẳng thức

Cơsi trong các bài tốn cụ thể..
Thi du 1: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A — 2005)
Cho x, y, z >0 và Il

x

al =4. Chứng minh:

y

Z

1
2X+Y+zZ

+

1
X+2y+z

1
x+y+2z

<1.

Giải

Áp dụng bất đẳng thức
"...

a

+

b

(1) ở đây a>0, b>0

a+b

(bat đăng thức này suy trực tiếp từ hai bất đẳng thức Côsi
a+b>

2VRh

và cv, > a

“....L.. ác
X+y

xX+y

Dấu băng của (1) xay ra <> y =z.
Lai ap dung (1) ta có:

126

2xt+y+z

), ta có

(2)


Thuviendientu.org
1
|
4
—+—>———X

y

1
1
Và —+—>

x+y

X

4

Z

2
1
1
=—=+—+—>4

X+Z

x

Yy

|

Z

xXx+Y

+

]
Y+Z

}

(3)

Dau bang trong (3) xay ra <> x=y=z.
Từ (2) (3)tacó:

(4)

“++L+L>_—16 —,

X

y

Z

2x+Yy+zZ

Dau bang trong (4) xay a>
Lập luận tương tự ta có:

X=y =z.
2
".
16
X
y
Z
X+2y+z

(5)

1
1.2
16
—+—+ ~>
z Xx+y+2z.
x
y
Cộng từng về (4) (5) (6) suy ra:
11/1
xX
y

Z
ơ

ad

2x+Âyt+Z

+

+

x+2y+z

(6)

x+y+2z

1

T gi thit 1 ++ 1 = 4 suy ra đpem.

x

y

er

Đầu băng xảy ra

Zz

>

4

x=y=z2=—.

3

Thi du 2
Chox>0,y>0,z>0vàx+y+z=

].

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S= =5.1,..
x+Ìl
y+l
,

Giải

Viết lại S dưới dạng:
S=l-

+1"-....
x+l
y+]
z+l
Áp dụng bất đăng thức Cơsi ta có:

[(x+0)+(y+1)+ reef
x+l

y+Íl

+

Z+l

Từ (1) suy ra s<3

Los

>2

4

x+Ïl

2x

+

x+l

y+l

y+l

+

Z+l

.

hls
zt

(dox+y+z= l)
(2).

4

Dâu băng trong (2) xảy ra
Vậ ay max$ = >4

Z+ |

XEY mi

I

= y =z=1 3

Thí dụ 3:

Cho a, b, c >0. Chứng minh “".....
b+c

c+a

a+b

2

127


Thuviendientu.org
Ta có:
a

b

b+c

c+a

c

3

a+b 2

2(a+b+c)[

a

b

c

b+c

c+a

a+b

“.

b+c

c+a

e[(b+e)+(e+a)+(a+b)][r=—

1

a+b

ps

1

]

J9.

+——+
aa

aa

Theo bất đăng thức Cơsi cơ bản thì (1) đúng => đpcm.
Dấu bằng xảy ra © a=b=c.
Thủ dụ 4
.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:

l
I
]
( I1
1
+
+—>2|—+—+-—|,
p-a
p-b
p-c
ở đây a, b, c là ba cạnh, còn p là nửa chu vi tam giác.
Theo bất đăng thức Côsi cơ ban, ta có:

l

p-a

+

I

5

4

p-b (p-a)+(p-b)

_4

(1)

c_

Dau bang trong (1) xay ra <> p-a=p-—b
<< a=b.
Tương tự ta có:

(2)

——+——>..

(3)

Dấu bằng trong (2) (3) xảy ra tương ứng khi a = b; b = c. Cộng từng về (1)(2)
(3) suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra © a=b=c > ABC là tam giác đều.
Thí dụ 5
Cho x> 0,y >0 và x+y <1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

2

\

P=-*
+2 4+X+V.
I—N
l~-Y
x+y
—
Ta có thể viết lại (P) ở dạng

Giai

2

P=(I+x)+*T—= +(I+y)+-T—
—X

!
]
=——+*+——+
I—x
ly

+

I
x+¬ởy

Theo bất đăng thức Cơsi cơ bản ta có:

128

-2.

2

I-y

+

x+y

~2
(1)


Thuviendientu.org
l—x

yt
I-x

Từ (1) @) suy ra P>
ho

a3

y

yt ge

ly

x+y

xt+y

@)

2

2

:

:

x=y

Dau bang trong (3) xy ra >

(3)
I

âx=y=-_.
3

lx=2x

ơ5
l
Vay minP= @x=y*-.
2
3
Thi du 6
Cho x, y, z, t > 0. Tim gia trj nho nhất của biều thức
,

P=

x-t

+

t+y

t-

-Z
Z-xX
y + y
+
.
y†+Z
Z+x
xt

®

lải

Ta có:

[Sau
t+y
yt+z
X+

=

t+y

t+zZz

yy

ytz

“(rye
t+y

+

|
X+
Z+x
1
Z+X

yy

|l[E=5á]4
“AX+t

z+X
t+z

-4

xt

|

}-œ+9|

1

+

y+z

x+t

Ja

uc

Theo bất đăng thức Cơsi cơ bản, ta có:
]

t+x

+

l

>

4

l

Z+x X+Y+Z+t
Y+Z

Thay vào (l) ta có: P>4

+

l
X+t

2

4

.

X+y+Z+I

xX +
+t
(X+YVZ*9)
go pag,
x+y+Z+t

Vay P > 0. Mặt khác chăng hạn khi x=
Do 46 Prin = 9.
Loại 4: Sử dụng phép thêm bớt khi sử dụng
_ Có hai cách thêm bớt chính: thêm bớt
biên. Xét các thi dy minh hoa sau day.
|
Thi du I: (Dé thi tuyén sinh Cao dang

y =z=t=

l thì P= 0.
—
sử dụng bât đăng thức Côsi:
hãng sô và thêm bớt biêu thức chứa

khối A, B— 2005)

Cho x > 2, y> 3, z> 4. Tim giá trị lớn nhật của biêu thức:
P

_ xyvz—4 +yzVx -2 +zxJy-3
XYZ
Giai

Tacé:

P=

xyvz-4 + yzvx -2 +2x,Jy-3
xyz

+

()
129


Thuviendientu.org

eyelet Mehl

i bot hang sé va sir dung bat dang thirc Cési, ta vw.

_ (X22) +2 _
5

V(x-2)2
J

~3)3<

(y-3)+3

(y~3)3<
2”
.p«.l[Ð 11
«psa
ste)
rong (2) xảy ra <>

x-2.

1
“sh

x

fy-3
y

<

“1

-

1

(2)

x =4,y = 6, z= 8;

P=2[1+g+3)

242

3

27

3

Ovaxtytz

‘

“a . Chứng minh rang ¥x+3y + 3Jy+3z+4z4+3x <3.
Giải

¡ch thêm bớt hằng số và theo bất đăng thức Cơsi ta có
Ÿÿx+3y =Ÿ(x+3y).I.I =>

LS?

WZ+3x =3z+3x).L.I =>.
ig từng về (1) (2) (3) và do x + v+z=

()

—= @)

ằ suy ra đncm.

x+3y=l

¡u bằng xây ra <>

y+3z=l=2x=y=Z
z+3x=l

hi du 3

3
v3
43
v2
(2
22
Sho x, y, z la ba sé duong. Chimg minh: “42+
2754+54+4%.,
y
Zz
y~
Z
xX
Bang cach thém bét hang s6 va sir dung bất đăng thức Cơsi, ta có:
3
x3
x?
~zt-z+123-5

y

3

Ji.
z

30

Y

Z

v3

y

vi >3

Zz

(1)

2

(2)


Thuviendientu.org
3

„3

2

"—..

_Xx

X

@)

x

Cộng từng về với về của (l) (2) (3) ta có

3

3

2+ 3+”
y

z

Dấu bằng trong (4) xây ra

33

2

(2

„2

+3>3s+5+S|.

x

yvS

2z

@

x

đồng thời có dấu bằng trong (1) (2) (3)©> x=y=z.

Lại theo bát đăng thức Cơsi ta có

x" 2

+>

yy” v2

l5

z?

Zz „2

+5 / 23.

Dấu bằng trong (5) xay ra >

Tir (4) (5) suy ra:
3

at

y

(5)

4

v3

x=y=270.

33

zx

(2

4251+

y

(2
z

+45

22

© = apem

x

Dau bang trong
(6) xay ra <> x=y=z>0.
Thi du 4:
Cho x, y, z >0 và x + y + z = I. Chứng minh

S=x+

[xy +3/xyz sẽ.
Giải

Viết lại S dưới dạng:

S= x5

x.4y ta

x4y16

.

Theo bat dang thire Cési, ta có: S< x+ x+4y +X+ dy + 16x
4
12
=>

Ee

(dox+y+z=1)

=> dpcm.

16
x=—
21
:

tà
DauÁ. bang
xay ra >

x=4y

=16z

x+y+z=l

4

o4y=—
21
I
z=—.
21

Thí dụ S:

Cho -I S=ÑŸI—x?+Ÿl—x+Ÿl+x
.
Giai
Theo bat đăng thurc Cési, ta cé:
Ñ1—x?

=31—x.Ÿl+x oS

<3.

(1)
131


Thuviendientu.org
fox = 47-xvì
(2)

Vie =Viex.s

(3)

Cộng từng vé (1) (2) (3), ta có
SDấu băng trong (4) xây ra ©> đồng thời có dau bang trong (1) (2) (3)
> x=0.

¬.

Lại có: vÌ—

_

(I-x)+I

=y(-x)1<°———¡

J0=3) = (ri
Từ đó: Vi-x +Vl+x <2. (5)

Dau bang trong (5) xay ra >

x=0.

Tir (4) (5) di dén S <3 (6) => dpem.

|

Dau bang trong (6) xảy ra © x= 0.
Thi du 6:

Cho x, y, z >0 và xyz=l, Chứng minh rằng

3

vì

2

v3

_(I+y)(+z) “arrays x) “Caxj(ty) 4
Ap dung bat dang thức Cơsi, ta có:

Giai

x?
ity
(+y)(+z)
8
hay:

3

`

(i+y)(l+z)

bez, JJx +y)(+z)
8 W64(I+y)(I+z)

pity

4263.

8

8

4

ay

Lập luận tương tự, ta có:

y3

(zien
Zz

+

3

(+x)0sy)”

l+z

8

l+x

+

14+x_3

2-y,Q

8

a 6)

I+y¥ 537.6)

8 778

4

Cộng từng về (1) (2) (3), ta có: P+S>2(x+y+2)

(4)

Lai theo bat đẳng thức Cơsi, ta có: x+y+z>3Ÿxyz =3 (do xyz=
Từ (4) (Š) suy ra: P> :
Dấu bằng xảy ra ©
132

= đpcm.

x=y=z= Ì.

7

-

1) (5)


Thuviendientu.org
Thi du 7:
Cho x, y, z>0 va

xy + Jfyz + Jzx =1. Chimg minh ring:
2
2
2
S= xy
yy
2
¬
x+y
ytz
z+x
2
Giai

2
`
+3 *#Ÿ>šx()
x+y

Áp dụng bắt đăng thức Cơsi, ta có:

y + _ytz 2y (2)
4

y+z

2
2
+27* 57.3)
Z+X

Cộng từng về (1) (2) 3) va co: S> NEXT? (4)
Lại áp dụng bắt đăng thức Cơsi, ta có:
x+y >2Jxysy+z>2/yzizt+x>2V2x
Vay:

x+y+z> vxy +jyz+ jzx

. Tir (4) (5) suy ra: S >
Dâu băng xảy ra >

;

=1.(5)

> đpcm

x =y=z=

„3

1

.
Ộ
Nhận xéi
Trong các thí dụ 6, 7, 8 ta đã sử dụng phép thêm bớt biêu thức chứa biên khi

sử dụng bât đăng thức Cơsi.
Thí dụ ổ

Cho x, y. z là ba số dương và J + J + +L =1. Chứng minh rằng:

3Ÿ

9*
3

+

+31?

3Ÿ

9
3

+

+3?

3
9”

3

2

+3

3% +3% +37
4

.

Giải

Dat a=3*; b = 3°; c=3* => a,b, c>0.

Tir gia thiét tacd:

3**) +39*? +34** = 3% & ab + bc + ca =abc (1)

Khi đó bat dang thức can chứng minh có dạng tương đương:

a’
b?
c
a+b+c

+
+
>
a+bc
b+ca
c+ab
4
=

a3

> (a+b)(ate)

a3
3

a2+abc

b>

+

.

b
3

bÌ+abc

+

3

c?Ổ+abc

3

(b+e)@G+a) (e+a)(e+b)

2—

a+b+c

4

2 Grb+s)

(2) (do (1)).
133


Thuviendientu.org
Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có:
a

3

(a a+b)(a+c
+ b)(a + c)

a+b
*

8

b?

3

(c+a)(c+b)

*

b+c

(b+c)(b+a)
Cc

a+c,
8

ge

+

c+a

8

+

b+a_

3a

>—

4

3b

>—

c+b

8

(2

(2)

3

gl

3c

CO
- 4)

4

Cộng từng về (2) (3)(4) = 2 đúng => pcm.
Du bng xy ra â a=b=c=3 âx=y=zZ=].

Đ2. SU DUNG CHIEU BIEN THIEN HAM SO DE CHUNG MINH BAT
DANG THUC VA TIM GIA TRI LON NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HAM SỐ
Đây là một trong những phương pháp cơ bản để chứng minh bắt đẳng thức.
Để sử dụng phương pháp này người ta tiến hành như sau:
- Với mỗi bất đăng thức hãy chọn một hàm số thích hợp (các hàm

số này

thường có thể thấy ngay từ đầu bài, hoặc sau một vài phép biến đổi đơn giản sẽ tìm
được nó).
- Khảo sát chiều biến thiên hàm s số vừa tìm được trên miền

xác định của nó

(miền xác định này được tìm thấy dựa vào điều kiện của đầu bài). Thông thường ta
sử dụng đạo hàm để lập ra bảng biến thiên.

- Từ bước 2 sẽ cho ta lời giải của phép chứng minh bat đăng thức, hoặc giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất của hàm. số cần tìm.
Thi du 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2009)
Tim giá trị lớn nhật và nhỏ nhật của biêu thức:
A= 3x! tự

+x? y ?)- 2(x?+y?]+I

với x, y là các số thỏa mãn điều kiện: (x+ y) +4xy>2.
Giải
ˆ
Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên (x+ yy >4xy, nên từ

(xty)` + 4xy > 2 => @ty)Ì + (xty)’2 (xty)’ + dxy 22 => (xty)’ + @&ty) — 2 >0

=> [(x+y)-1][ (x+y) +(x+y)+2]>0 (1)
2

Do (xt yf a(ary)2=| (oy)

3]

.

+250

va tir (1) suy ra: xty> 1.

Vay néu cap (x, y) thỏa mãn yêu cau dau bai thi x + y>
Ta biến đổi A như sau:
A= 3(x4 +y! +x ?y?)- 2(x?+y?)+1
134

1 (Q)