Luyện thi đh môn toán hình học không gian bài toán về thể tích thầy phan huy khải

Khóa h ọc L TĐH KIT-3: Môn Toán ( Thầ y Phan Huy Khải)
Hình học không gian
Hocma i.vn – Ngôi trường chung củ a h ọc trò V iệ t
Tổng đà i tư vấn : 19 00 58-58-1 2
- Trang | 1 -
Loại 1: Sử dụng tr ực tiếp các công thức tí nh thể tích.
P hương pháp giải: sử dụn g các côn g thức tí nh thể tí ch
+ Hình ch óp:
1
3
V Sh
+ Hình h ộp, l ăn g trụ: V = Sh .
Ví dụ 1: Ch o hì nh ch óp S. A BCD, đáy l à hì nh th an g v uôn g tại A v à D. Bi ết AB = A D = 2a; CD = a. Góc
tạ o b ởi (SBC) và (ABCD) bằn g
0
60
. (SBI) v à (SCI) c ùn g v uôn g góc với đáy ABCD, I l à trun g đi ểm của
A D. Tí nh thể tí ch hì nh ch óp S. A BCD.
Ví dụ 2: Ch o hì nh l ăn g trụ đứn g A CB. A’ B’ C’ . Biết rằn g đáy l à tam gi ác v uôn g ABC v uôn g tại B. Gi ả sử
A B = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Goi M l à trun g điểm của A ’C’ , v à AM cắt A ’C’ tại I. Tì m thể tí ch tứ di ện
IA BC.
Loại 2: P hương pháp phân tích hình đã cho th ành tổng ( hiệu) các hình cơ bản (hì nh chóp , l ăng tr ụ,
hộp…)
P hương pháp giải:
- P hân tích hình đã cho thành tổng (hiệu) các hình cơ bản
- Sử dụng công thức: ch o hì nh ch óp tam gi ác S.ABC v à 1 hì nh ch óp kh ác có ch un g một góc tam diện S.
S.A ’ B’C’ (
' , ' , 'A SA B SB C SC  
)
. ' ' '
.

' ' '

S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC

. Á p dụn g tron g cả trườn g h ợp
' , ' , 'A A B B C C  
Ví dụ 1: Ch o hì nh ch óp S.A BCD, đáy l à hì nh th oi có cạnh
5
cm , đườn g ch éo A C = 4cm . Gọi O l à gi ao
đi ểm 2 đườn g ch éo,
SO 
đáy ,
22SO 
. Gọi M l à trun g đi ểm của SC; giả sử (A BM) cắt SD tại N. Tìm
th ể tí ch hì nh ch óp S. A BMN.
Ví dụ 2 : Ch o hì nh ch óp tam gi ác S.A BC, đáy l à ta m gi ác đều cạnh a. Gi ả sử SA = 2a
 
ABC
. Gọi M và
N l ần l ượt l à hì nh chi ếu của A trên SB v à SC. Tìm th ể tí ch kh ối ch óp A .BMNC.
Loại 3: Sử d ụng thể tích để tìm k hoảng cách
P hương pháp giải
BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
G iáo viên : PHAN HUY KHẢI
Đây là tài liệ u tó m l ược c ác kiế n thức đ i kè m v ớ i b ài gi ảng B ài to án v ề thể tíc h thuộ c khó a họ c LTĐH KIT-3: Mô n

To án ( T hầy Phan H uy Khải) tạ i w eb site Hocmai.v n. Để có thể nắ m v ững kiế n thức B ài 01. P hươ ng p háp bất đẳng
thức Cô si, B ạn cầ n kế t hợp xem tài liệ u c ùng v ới b ài g iả ng này.
Tham gia ôn luy󰗈n thi đ󰖢i h󰗎c online & thi th󰗮 đ󰖢i h󰗎c t󰖢i Hocmai.vn đ󰗄 đ󰗘 đ󰖢i h󰗎c!
Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải)
Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Cho tứ diện ABCD, giả sử cần tính khoảng cách h từ A tới BCD, biết
ABCD
V
,
BCD
S
thì :
3
BCD
V
h
S


Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ACB. A’B’C’. Biết rằng đáy là tam giác vuông ABC vuông tại B. Giả sử
AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Goi M là trung điểm của A’C’, và AM cắt A’C’ tại I. Tìm khoảng cách từ A
tới (IBC) .
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.

Giáo viên: Phan Huy Khải
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải)
Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,
2AB a
. Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
2IA IH
 
. Góc giữa SC và mặt
phẳng đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt
phẳng (SAH).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC =
23a
, BD = 2a và cắt

nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ
O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
3AC a
và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể
tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho
AB = a, SA =
2a
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.
Chứng minh SC
()AHK
và tính thể tích hình chóp OAHK.



Giáo viên: Phan Huy Khải
Nguồn : Hocmai.vn
BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn
Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên
truyền đạt trong bài Bài toán về thể tích. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài
tập trong tài liệu này.

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải)
Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -


I
A
C
B
S
H
K'
K


Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,
2AB a
. Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
2IA IH
 
. Góc giữa SC và mặt
phẳng đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt
phẳng (SAH).

Giải:
a)
()SH ABC HC
là hình chiếu của SC trên (ABC)

SC tạo với đáy góc
0
60SCH
.
Tam giác ABC vuông cân tại A nên BC =
22AB a I
là trung điểm BC
3
.
2
a
AI BI IC a AH     

Trong tam giác vuông ICH có
2
2 2 2
55
42
aa
CH IH IC CH    

Trong tam giác vuông SHC: SH = HC
0
15
tan60

2
a


 
3
2
1 1 1 15 15
. . 2
3 3 2 2 6
SABC ABC
aa
V S SH a  

b)
'
,KK
là trung điểm SB, SI
,'KK
là đường trung bình của tam giác SBI
 
 
''
''
'
/ / ,
2
( ), \ \ ( )
,
2

a
KK IB KK
IB SH
IB SAH KK BI KK SAH
IB AH
a
d K SAH KK



   





Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC =
23a
, BD = 2a và cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ
O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải:
Từ giả thiết, ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =
3a
; BO = a , do đó
0

60ABD
.
Hay
ABD
đều. Do
     
;SAC SBD ABCD
nên giao tuyến của chúng SO (ABCD).
BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn
Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên
truyền đạt trong bài Bài toán về thể tích. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài
tập trong tài liệu này.


Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải)
Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


B
A
C
B'
A'

C'
H
K
Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
DH AB
và DH =
3a
; OK // DH và
13
22
a
OK DH
 OK  AB  AB  (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK  OI  (SAB), hay OI
3
4
a
OI 

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao

2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
   

Diện tích đáy

2
4 2. . 2 3
D
S
ABC ABO
S OAOB a

  
;
đường cao của hình chóp
2
a
SO 
.
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
.
13
.
33
DDS ABC ABC
a
V S SO


Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
3AC a
và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể
tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’).
Giải:

Theo giả thiết ta có:
' ( )A H ABC

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên
1
2
AH BC a
.
Xét tam giác A’AH vuông tại H nên ta có:
22
' ' 3A H A A AH a  

Do đó:
3
'
1 . 3
3.
3 2 2
A ABC
a a a
Va
.
Mặt khác:
'
. ' ' '
1
3
A ABC
ABC A B C
V

V


Suy ra:
3
3
'. ' ' . ' ' '
22
.3.
3 3 2
A BCC B ABC A B C
a
V V a  

Ta có:
 
'. ' '
''
3
',( ' ')
A BCC B
BCC B
V
d A BCC B
S


Vì
' ' ' ' ' 'AB A H A B A H A B H   
vuông tại A’.

Suy ra
22
' 3 2 ' 'B H a a a BB BB H    
cân tại B’.
Gọi K là trung điểm của BH ta có:
'B K BH
. Do đó:
22
14
''
2
a
B K BB BK  

Suy ra:
2
''
14
' '. 2 . 14
2
BCC B
a
S B C BK a a  

Vậy
 
3
2
3 3 14
',( ' ')

14
14
aa
d A BCC B
a

.
S
A
B
K
H
C
O
I
D
3a

a
Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải)
Hình học không gian

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


I
O
D

C
A
B
S
K
H
M
E
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho
AB = a, SA =
2a
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.
Chứng minh SC
()AHK
và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải:
+ BC vuông góc với (SAB)

BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

AH vuông góc với (SBC)

AH vuông góc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
Từ (1) và (2)

SC vuông góc với (AHK )
2 2 2 2
3SB AB SA a  

6
SB 3 AH.SB SA.AB AH
3
a
a     

2 3 2 3
SH SK
33
aa
   

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)
Ta có HK song song với BD nên
22
3
HK SH a
HK
BD SB
  
.
Kẻ OE// SC
( )( ( ))OE AHK doSC AHK  
suy ra OE là đường cao của hình chóp OAHK và
2 4 2
IC SC a
OE   
(Vì

SAC cân tại A , AI là đường cao, là đường trung tuyến).

Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có
2
2 2 2
4
9
a
AM AH HM  


AM=
2
3
a

3
1 1 1 2
. . .
3 3 2 2 27
OAHK AHK
aa
V OE S HK AM  





Giáo viên: Phan Huy Khải
Nguồn : Hocmai.vn