Lí thuyết ôn thi TN

VẤN ĐỀ 1 : CỰC TRỊ .
LÝ THUYẾT :
A QUY TẮC I : ( Dùng bảng biến thiên )
f’( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x
0
thì x
0
gọi là điểm cực đại của hàm số .
f’( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x
0
thì x
0
gọi là điểm cực tiểu của hàm số .
Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x
0
gọi là đạt cực trò tại x
0
, khi đó f(x
0
) gọi là giá trò cực trò của
hàm số , điểm (x
0
, f(x
0
) ) gọi là điểm cực trò của đồ thò hàm số .
CHÚ Ý : Thông thường cực trò là nghiệm đơn của đạo hàm .
A QUY TẮC II : ( Dùng đạo hàm cấp hai )
x
0
là điểm cực đại của hàm số
⇔

( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=


<


x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
⇔
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=


>



AQUY TẮC TÍNH GIÁ TRỊ CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC :
Cho hàm số y = f( x ) =
( )
( )
u x
v x
. Với
( )
u x
và
( )
v x
có đạo hàm tại x
0
,
( )
0
' 0v x
≠
.
Ta có x
0
là cực trò thì giá trò cực trò y
0
= f(x
0
) =
( )

( )
0
0
u x
v x
=
( )
( )
0
0
'
'
u x
v x

A CÁC CÔNG THỨC KHÁC :
1. Hàm số đạt cực đại bằng y
0
khi x = x
0

⇔
( )
( )
( )
0
0
0 0
' 0
'' 0

f x
f x
y f x
=

<


=

2. Hàm số đạt cực tiểu bằng y
0
khi x = x
0

⇔
( )
( )
( )
0
0
0 0
' 0
'' 0
f x
f x
y f x
=

>



=

3. Hàm số đạt cực trò bằng y
0
khi x = x
0

⇔
( )
( )

=


=


0
0 0
0 0
' 0
và f'(x ) đổi dấu khi qua x
f x
y f x
Tìm m để hàm số có cực trò thỏa điều kiện cho trước .
VẤN ĐỀ 2 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f( x ) trên tập D
A Phương pháp chung : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D

A Đặc biệt : Nếu D = [a;b] ta thực hiện :
+ Tính y’ và tìm các điểm x
1
; x
2
… của hàm số thuộc [ a ; b ]mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc
không xác đònh .
+ Tính f(x
1
) , f(x
2
) . . . .và f(a) , f(b) .
+ So sánh các giá trò trên và đưa ra kết luận .
Lí thuyết Ơn tập Tốn 12 1
VẤN ĐỀ 3 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG
Phương pháp :Cho hai đường (C
1
) : y = f( x )
(C
2
) : y = g( x )
Để xét vò trí tương đối của (C
1
) và (C
2
) ta thực hiện :
B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2

)
f( x ) = g( x ) (1)
B2 : Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
A CHÚ Ý :
i. Phương trình bậc hai : f(x) = ax
2
+ bx + c = 0
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔
0
0
a ≠


∆ >

• Dấu của nghiệm số
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔
P =
c
a
< 0 .
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
⇔
0

0
0
P
S
∆ >


>


>

3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm
⇔

0
0
0
P
S
∆ >


>


<

4. Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
⇔

0
0P
∆ ≥


>

ii. Phương trình bậc ba đặc biệt : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a
≠
0 )
Đoán một nghiệm x
0
và biến đổi phương trình về dạng ;
(x – x
0
) . (a’x
2
+ b’x + c’) = 0 (I)
⇔
( )
0
2
' ' ' 0*
x x
g x a x b x c

=


= + + =

Điều kiện phương trình bậc ba trên có 3 nghiệm phân biệt là :
( )

∆ >


≠


0
0
0g x

A LƯU Ý : Có những bài ta nên dựa vào BBT hoặc đồ thò thì giải quyết dễ dàng hơn
VẤN ĐỀ 4 :TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C) : y = f(x) .
I) Điều kiện tiếp xúc của hai đường
Cho
( ) ( )
( ) ( )
1
2
:
:
C y f x
C y g x

=
=
Ta có
( )
1
C
tiếp xúc
( )
2
C

( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x
=

⇔

=


có nghiệm
II) Các dạng tiếp tuyến
DẠNG 1 : TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ( x
0
; y
0
)

∈
( C )
Lí thuyết Ơn tập Tốn 12 2
Phương pháp : Tìm x
0
, y
0
và f’( x
0
)
Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x
0
). (x – x
0
) + y
0

DẠNG 2 : TIẾP TUYẾN QUA ĐIỂM A(x
A
; y
A
)
Phương pháp : Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
B1: Chỉ dạng : phương trình tiếp tuyến có dạng :
y = k ( x – x
A
) + y
A
B2 : Dùng điều kiện tiếp tuyến tiếp xúc ( C )
( ) ( )

( )
'
f x g x
f x k
=


=


nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm
Giải hệ phương trình này ta tìm được x
⇒
k
⇒
phương trình tiếp tuyến
DẠNG 3 : TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC k CHO TRƯỚC
( Hoặc song song , vuông góc đường thẳng cho trước )
Phương pháp : Gọi ( x
0
; y
0
) là tiếp điểm
Dùng ý nghóa hình học của đạo hàm

⇒
f’( x
0
) = k .
Giải phương trình này ta tìm x

0

⇒
y
0

Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x
0
). (x – x
0
) + y
0

Chú ý :
i. Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x
ii. Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x
iii. Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau .
iv. Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 .
Tức là nếu đường thẳng
∆
có hệ số góc a thì :
+ Đường thẳng d song song với
∆

⇒
d có hệ số góc k = a
+ Đường thẳng d vuông góc với
∆

⇒

d có hệ số góc k =
1
a
−
Vấn đề 5 : MŨ - LƠGARIT
1. a
n

= a.a…a ( tích của n số a) với n>1.
2. a
0
= 1
3.
1
n
n
a
a
−
=
( với a
≠
0 và n ngun dương )
3.
m
n m
n
a a
=

4.
α
α
= ⇔ = < ≠ >
log (0 1, 0)
a
a b b a b
5) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 ,
;m n
tuỳ ý ta có:
5.1)
.
m n m n
a a a
+
=
;
Lí thuyết Ơn tập Tốn 12 3
5.2)
m
m n
n
a
a
a
−
=
;
5.3)
( )

.
n
m m n
a a
=
5.4)
( . ) .
m m m
a b a b
=
;
5.5)
( : ) :
m m m
a b a b
=
6) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ;
6.1)
01log
=
a

; 6.2)
log 1
a
a
=
6.3)
=
log

b
a
a b
; 6.4)
ba
b
a
=
log
6.5)
cbcb
aaa
loglog).(log
+=
6.6)
cb
c
b
aaa
logloglog
−=
;
6.7)
c
c
aa
log)
1
(log
−=

6.8)
bb
aa
log.log
α
α
=
( với
α
tuỳ ý )
6.9)
b
n
b
a
n
a
log
1
log
=
;
*
Nn
∈
6.10)
b
x
x
a

a
b
log
log
log
=
, tức là
1log.log
=
ab
ba
6.11)
α
α
=
1
log log ;
a
a
b b
6.12)
β
α
β
α
=log log
a
a
b b
Lí thuyết Ôn tập Toán 12 4