Tiểu luận các ma trận trong phân cực ánh sáng

NỘI DUNG BÁO CÁO
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
II. Sử dụng phép tính Mueller để chuyển đổi cột
Stokes
III. Bài tập ứng dụng
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
I.1 Ánh sáng tự nhiên và ánh sáng phân cực

Ánh sáng phát ra từ nguồn sáng (đèn dây tóc, ngọn
nến, mặt trời,…) trong một môi trường trong suốt,
đồng chất, đẳng hướng có tính tròn xoay quanh
phương truyền của nó được gọi là ánh sáng tự
nhiên
I.1 Ánh sáng tự nhiên và ánh sáng phân cực

Ánh sáng có vectơ luôn song song với một
phương hoàn toàn xác định trong quá trình truyền
được gọi là ánh sáng phân cực thẳng hay phân cực
toàn phần.

Các khái niệm mặt phẳng dao động, mặt phẳng
phân cực
I.1 Ánh sáng tự nhiên và ánh sáng phân cực
Ánh sáng phân cực một phần có vectơ E dao động
theo mọi phương vuông góc với phương truyền
nhưng biện độ dao động khác nhau theo các phương
khác nhau
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
I.2 Các trạng thái phân cực ánh sáng
Các sóng ánh sáng có thể được biểu diễn bởi 2 sóng
phân cực thẳng trực giao nhau

Các sóng trực giao được biểu diễn dưới dạng
x = A cosθ cosωt
y = A sinθ cos (ωt + ∆)
x, y thay thế cho cặp véctơ cường độ điện trường
∆ độ lệch pha
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
I.2 Các trạng thái phân cực ánh sáng
Khử ωt giữa hai phương trình trên ta được:
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
∆=+
∆
−⇔
∆=+
∆
−
2
2
2
2
2
2
22
2
222
2
sin
cos2
sin
sincossin
cos2

cos
K
y
HK
xy
H
x
A
y
A
xy
A
x
θθθθ
Đây là phương trình của ellip nghiêng một góc θ so
với trục tọa độ
Với: H = Acosθ và K = Asinθ
I=H
2
+ K
2
= A
2
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
I.2 Các trạng thái phân cực ánh sáng
Với ánh sáng không phân cực, hiệu pha ∆ thay đổi
một cách hỗn loạn dẫn đến các ellip định hướng rất
khác nhau trong các mặt vuông góc với chiều
truyền, ánh sáng có tính đối xứng tròn xoay quanh
phương truyền.

Ánh sáng tự nhiên có thể được biểu diễn bởi 2 sóng
phân cực thẳng không kết hợp (có ∆ thay đổi nhanh
và hỗn loạn), có cùng biên độ và vuông góc nhau

I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
I.2 Các trạng thái phân cực ánh sáng
Xét các trường hợp đặc biệt

Nếu ∆ = π/2 → cos∆ = 0, sin∆ = 1
Pt→ x
2
/H
2
+ y
2
/K
2
= 1
Pt đường ellip có hai trục trùng với trục tọa độ (θ = 0).
Nếu θ = 45
0
thì mút vectơ E vạch thành đường tròn:
x
2
+ y
2
= A
2
/2 . Ta có ánh sáng phân cực tròn.


Nếu ∆=±mπ (m=0,1,2,3,… )→ cos∆ = -1, sin∆ = 0
Pt→y = (-1)
m
(K/H)x. Pt đường thẳng qua gốc tọa độ.
Ta có ánh sáng phân cực thẳng.
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
Các bản ¼ sóng, bản ½ sóng,
bản toàn sóng
Khi truyền theo Oz trong tinh
thể, dao dộng của E trong tia
o theo trục x, tia e theo trục y:
E
x
=E
0x
cosω(t-z/v
o
),
E
y
=E
0y
cosω(t-z/v
e
)
Với E
0x
=Asinθ, E
0y
=Acosθ

E=E
o
+ E
e
(E
o
, E
e
vuông góc
nhau).
∆=ω(1/v
o
– 1/v
e
)z = 2π/λ(n
o
–n
e
)zλ
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
Xét các trường hợp:

Khi bản có bề dày d sao
cho:
(n
o
–n
e
)d = ±(2m+1)λ/4 (*),
m=0,1,2,…

Khi đó ∆= ±(2m+1) π/2.
Phân cực ellip
Bản có d thỏa (*) gọi là bản
¼ sóng
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
x
E
r
y
E
r
Khi bản có bề dày d sao
cho:
(n
o
–n
e
)d = ±(2m+1)λ/2 (**),
m=0,1,2,…
Khi đó ∆= mπ. Phân cực
thẳng
Bản có d thỏa (**) với m lẻ
gọi là bản ½ sóng, m
chẳn ta có bản toàn sóng.
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
m lẻ
m chẳn
I.3 Ứng dụng của ánh sáng
phân cực


Bộ hiển thị tinh thể lỏng
dùng trong nhiều thiết bị
như: đồng hồ hiện số,
màn hình máy tính,…

Ứng dụng trong kính hiển
vi phân cực

Ứng dụng trong kính
chống lóa, máy ảnh
I. Cơ sở lý thuyết về phân cực ánh sáng
CÁC THÔNG SỐ STOKES
Đối với sự phân cực toàn phần, xác định bởi H, K và Δ,
chúng ta định nghĩa 4 thông số Stokes của chùm như sau:
I = H
2
+ K
2
= A
2
Q = H
2
– K
2
= A
2
cos
2
θ – A
2

sin
2
θ = A
2
cos2θ = Icos2θ
U = 2HKcosΔ = 2(Acosθ)(Asinθ)cosΔ = A
2
sin2θcosΔ
= Isin2θcosΔ
V = 2HksinΔ = Isin2θsinΔ
Bốn thông số Stokes liên quan tới chùm có
thể được xem như là các thành phần của một
ma trận 4 dòng 1 cột, ký hiệu là S:












=
V
U
Q
I

S
II. Các phép tính ma trận trong ánh sáng phân cực
SỬ DỤNG PHÉP TÍNH MUELLER ĐỂ CHUYỂN ĐỔI CỘT
STOKES
•
I
1
, Q
1
, U
1
, V
1
: các thông số Stokes trước khi đi vào thiết bị
•
I
2
, Q
2
, U
2
, V
2
: các thông số Stokes sau khi rời khỏi thiết bị,
hệ phương trình liên hệ như sau:
I
2
= M
11
I

1
+ M
12
Q
1
+ M
13
U
1
+ M
14
V
1
Q
2
= M
21
I
1
+ M
22
Q
1
+ M
23
U
1
+ M
24
V

1
U
2
= M
31
I
1
+ M
32
Q
1
+ M
33
U
1
+ M
34
V
1
V
2
= M
41
I
1
+ M
42
Q
1
+ M

43
U
1
+ M
44
V
1
Biểu diễn dưới dạng
ma trận:

























=












1
1
1
1
44434241
34333231
24232221
14131211
2
2
2
2
V
U

Q
I
MMMM
MMMM
MMMM
MMMM
V
U
Q
I
hay S
2
=MS
1
S
1
là cột Stoke của chùm đi vào thiết bị.
S
2
là cột Stoke của chùm rời khỏi thiết bị.
M là ma trận đặc trưng cho thiết bị gọi là ma trận Mueller của thiết bị.
Bảng ma trận Mueller
Với ánh sáng không phân cực, cột
Stokes có dạng:













=
0
0
0
I
S
Kính phân cực
Tương tự ta có ma trận mueller của các thiết bị phân cực khác
Bản nửa sóng
4 4
4 4
1 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 1
C S
S C
 
 
 
 
−
 
−

 
Bản ¼ sóng
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
1 0 0 0
0
0
0 0
C C S S
C S S C
S C
 
 
−
 
 
 
−
 
Trong đó:
θ
θ
2sin
2cos
2
=
=

S
C
2
θ
θ
4sin
4cos
4
4
=
=
S
C
( )
( )












−
+−
−−+

βµµ
µββ
µββ
22
2
2
2
2
222
222
2
2
2
2
0
10
10
0001
CS
CCSSC
SSCSC
δµ
δβ
sin
cos
=
=
Ba kính phân cực được đặt thành một hàng và một chùm sáng được
chiếu xuyên qua chúng. Tìm tỷ số giữa cường độ ánh sáng
truyền qua và ánh sáng tới nếu mặt phẳng truyền của kính phân

cực thứ nhất là thẳng đứng. Mặt phẳng truyền của kính phân cực
thứ hai hợp thành một góc 12
0
về phía bên phải so với phương
thẳng đứng và mặt phẳng truyền của kính thứ ba hợp thành một
góc 12
0
về phía bên trái so với phương thẳng đứng.
III. Bài tập ứng dụng
Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng cách sử dụng các
thông số Stokes và các ma trận Mueller.
Cột Stokes của ánh sáng không phân cực chiếu vào kính
phân cực thứ nhất là:
Cách giải












=













=
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
I
I
S
•
Kính phân cực thứ nhất có góc θ
1
hợp giữa phương Ox và
mặt phẳng truyền là 90
0
, ma trận Mueller của nó có dạng:













−−
−
=














=

0000
0000
0011
0011
2
1
0000
090.2sin90.2cos90.2sin90.2sin
090.2sin90.2cos90.2cos90.2cos
090.2sin90.2cos1
2
1
02000
00020
00
1
M
Cột Stokes của ánh sáng sau khi rời khỏi kính phân cực thứ
nhất:













−
=
























−−
−
==

0
0
1
1
2
0
0
0
1
0000
0000
0011
0011
2
1
1
1112
I
ISMS
Kính phân cực thứ hai có góc θ
2
hợp giữa phương Ox và
mặt phẳng truyền là 90
0
– 12
0
= 78
0
. Ma trận Muellers của
kính thứ hai có dạng:













−
−−
−
=















=
0000
017.037.041.0
037.083.091.0
041.091.01
2
1
0000
078.2sin78.2cos78.2sin78.2sin
078.2sin78.2cos78.2cos78.2cos
078.2sin78.2cos1
2
1
02000
00020
00
2
M
Cột Stokes của ánh sáng sau khi rời khỏi kính phân cực
thứ hai:













−
=












−












−

−−
−
==
0
77.0
74.1
91.1
4
0
0
1
1
2
0000
017.037.041.0
037.083.091.0
041.091.01
2
1
11
223
II
SMS
Kính phân cực thứ ba có góc θ
3
hợp giữa phương Ox và
mặt phẳng truyền là 90
0
+ 12
0

= 102
0
. Ma trận Mueller của
kính thứ ba có dạng:












−
−
−−
=















=
0000
017.037.041.0
037.083.091.0
041.091.01
2
1
0000
0102.2sin102.2cos102.2sin102.2sin
0102.2sin102.2cos102.2cos102.2cos
0102.2sin102.2cos1
2
1
02000
00020
00
3
M
Cột Stokes của ánh sáng sau khi rời khỏi kính phân cực
thứ ba:













−
−
=












−













−
−
−−
==
?
3.1
92.2
17.3
8
0
77.0
74.1
91.1
4
0000
017.037.041.0
037.083.091.0
041.091.01
2
1
11
334
II
SMS
Như vậy:
396.0

8
17.3
8
17.3
1
41
4
==⇒=
I
II
I
Hướng dẫn lập trình:
Bài toán thuận:
Ánh sáng đi từ kính phân cực thứ nhất sang kính phân
cực thứ hai rồi thứ ba
- Bước 1: Nhập vào các giá trị góc θ
1
, θ
2
, θ
3
của kính
phân cực thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Đổi sang đơn vị radian.
- Bước 2: Viết biểu thức biểu thức cột Stokes của ánh
sáng đi vào hệ và ma trận Mueller của từng kính phân cực:













=
0
0
0
1
1
S
(Chọn I
1
= 1 để tỷ số )
4
1
4
I
I
I
=













=
0000
02sin2cos2sin2sin
02sin2cos2cos2cos
02sin2cos1
2
1
1
2
111
111
2
1
11
1
θθθθ
θθθθ
θθ
M













=
0000
02sin2cos2sin2sin
02sin2cos2cos2cos
02sin2cos1
2
1
2
2
222
222
2
2
22
2
θθθθ
θθθθ
θθ
M













=
0000
02sin2cos2sin2sin
02sin2cos2cos2cos
02sin2cos1
2
1
3
2
333
333
2
3
33
3
θθθθ
θθθθ
θθ
M
Bước 3: Nhân các ma trận Mueller và cột Stokes lại, ta
nhận được biểu thức cột Stokes của ánh sáng đi ra khỏi hệ
S

3
= M
3
M
2
M
1
S
1
Từ đó, xác định tỷ số giữa I
4
và I
1
theo biểu thức:
( )
1,1
4
1
4
S
I
I
=
Phần nghịch:
Bước 1: Nhập: +tỷ số I1/I4
+ giá trị của góc theta1
+ giá trị của góc theta3
Đổi sang đơn vị radian
Bước 2: Viết biểu thức cột Stoke và các ma trận
Mueller.

Bước 3: Nhân các ma trận Mueller và cột Stoke. Xuất
: giá trị góc theta2