tài liệu ôn cđ+dh môn toán

ôn thi đại học cấp tốc
Chuyên đề số 1: Khảo sát
hàm số và ứng dụng
Bài 1: Khảo sát hàm số và các câu
hỏi phụ
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp khảo sát hàm số
Nội dung các bài toán tiếp tuyến, giới thiệu
nội dung 3 bài toán tiếp tuyến
Bài toán sự tơng giao giữa các đồ thị của
hàm số, điều kiện để 2 đờng cong tiếp xúc
Các bài toán về cực trị của hàm số: Hàm đa
thức, hàm phân thức phơng trình đờng thẳng
đi qua các điểm cực trị
Xây dựng điều kiện để hàm số đồng biến
hay nghịch biến trên một khoảng hay một
đoạn
Các ví dụ
Bài 1: Cho hàm số
)1(
3
65
22
+
+++
=
x
mxx
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số với m = 0

2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(1;+)
Bài 2: Cho hàm số
)1(
1
22
2

+
=
x
xx
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số
2) Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và
đối xứng nhau qua đờng thẳng x-y+4=0
Bài 3: Cho hàm số
)1(
1
22
2

+
=
x
mxx
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1

2) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A,B
. CMR khi đó đờng thẳng AB song song
với đờng thẳng 2x-y-10=0
Bài 4: Cho hàm số
)1(3)(
3
xmxy =
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1
2) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
điểm có hoành độ x=0
3) Tìm k để hệ sau có nghiêm





+
<
1)1(log
3
1
log
2
1
031
3
2
2
2

3
xx
kxx
Bài 5: Cho hàm số
)1(
3
1
22
3
1
23
+= mxmxxy
1) Cho m =1/2 Khảo sát sự biến thiên của đồ
thị của hàm số , Viết phơng trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp
tuyến đó song song với đờng thẳng D:
y=4x+2
2) Tìm m thuộc khoảng (0;5/6) sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các
đờng thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích
bằng 4
Bài 6: Cho hàm số
)1(
312
22
mx
mmxx
y

++

=
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số m=1
2) Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về
2 phía của trục tung
Bài 7: Cho hàm số
)1(
1
)2(
2
+
++
=
x
mxmx
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số m=-1
2) Tìm m để đờng thẳng y=-x-4 cắt đồ thị
hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đ-
ờng thẳng y=x
Bài 8: Cho hàm số
)1(
1
1

+
=
x
x

y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
2) Tìm m để đờng thẳng D:y=2x+m cắt (C )
tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến
của (C ) tại A, B song song với nhau
3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho
khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đờng
tiệm cận là ngắn nhất
Bài 9: Cho hàm số
)1(
1
12


=
x
x
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số
2) Gọi I là giao điểm 2 đờng tiệm cận ủa (C )
Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến
tại M vuông góc với dờng thẳng IM
Bài 10: Cho hàm số
)1(12
224
+= xmxy
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm

cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông
cân
Bài 11 Cho hàm số
)1(
1
2
+
+
=
x
x
y
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
1
ôn thi đại học cấp tốc
Cho điểm A(0;a). Xác định a để từ A kẻ đợc 2
tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm tơng ứng
nằm về 2 phía đối với trục Ox
HD a# -1 va a> -2 có 2 nghiệm phân biêt
Y
1
.y
2
<0 ĐS a>-2/3 và a khác 1
Bài 2: ứng dụng của khảo sát hàm
số
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp tìm GTLN,GTNN trên một
khoảng, một đoạn

Xác định tham số để các phơng trình hoặc
bất phơng trình có nghiệm VD
F(x)=m m thuộc [MaxF(X);
minF(x)]
F(x)>m với mọi x . .<=>
m<minF(x)
F(x)>m có ngiệm . .<=>
m<MaxF(x) . . .
Chú y khi đổi biến phải tìm ĐK của biến
mới có thể sử dụng phơng pháp miền giá trị
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên
đoạn [-1;2]
1
1
2
+
+
=
x
x
y
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên
đoạn [1;e
3
]
x
x
y
2

ln
=
Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên
đoạn [-1;1]
326
)1(4 xxy +=
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]
)352()3).(21(
2
++>+ xxmxx
HD Đặt t=
)3).(21( xx +
Từ miền xác
đinh của x suy ra







4
27
;0t
Biến đổi thành f(t)=t
2
+t>m+2
Tìm miền giá trị của VT m<-6
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau

thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]
222
)1()1.( +++ xxxxa
HD Đặt t=x
2
+x dùng miền giá trị suy ra
a=-1
Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm
mxxxx =++++ 11
22
HD -1<m<1
Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm với mọi x
0122436
cos15sin.363cos.5cos3
2
24
+
+
mm
xxxx
HD Đặt t=cosx BBT 0<=m<=2
Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
trên [-/2; /2]
2
)cos1(2sin22 xmx +=+
Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm
xxy 2cossin2
48

+=
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm
2 2 (4 4 ) voi 0 x 1
x x x x
y

= + +
HD : 3 và 1/27
Bài 3: Tính giới hạn của hàm số,
tính đạo hàm bằng định nghĩa
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp tính giới hạn của hà số: các
dạng vô định
Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên
tục bên trái liên tục bên phải
Đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm
bên trái bên phải
Các ví dụ
Bài 1: Bài toán giới hạn hàm số
1) Tìm giới hạn
x
xx
I
x
3
0
11
lim
++

=

2) Tìm giới hạn
3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
I
x

+
=

3) Tìm giới hạn
x
xx
I
x
cos1
1213
lim
2
3
2
0

++
=

4) Tìm giới hạn
3
2
0
3 2
0
3
4
7
1 2 1 3
lim
1 2 1
lim
2 20
lim
9 2
x
x
x
x x
I
x
x x
I
sinx
x x
I

x



+ +
=
+ +
=
+ +
=
+
5) Tìm giới hạn
2 3 2
4 5 4
4
2
3 3
2
2
2
3 3 2
9 2 6 5 3
lim
2
16 3 8 7
2 3
lim 1
1
2 3
lim

4 1 2
4 3 7
lim
27 5 4
x
x
x
x
x x
I DS
x x
x x
I DS
x x
x x x
I
x x
x x
I
x x x




+ +
=
+ +
+ +
=

+ +
=
+
+
=
+ + +
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
2
ôn thi đại học cấp tốc
6) Tìm giới hạn
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2
2
lim 5 6
lim 3 2 tach lam 2 chen them x
lim 1
lim 4 7 1 4 8 1

lim . 1
x
x
x
x
x
I x x x
I x x x x
I x x x
I x x x x
I x x x




+
= +
= +
= + +
= + + + +
= +
7) Tìm giới hạn
2
0
2
0
3
0
0
3

2 1
lim
1 cos 2
lim
.sin
sin
lim
1 cos .cos 2 .cos3
lim
1 cos
sin
3
lim
1 2. s
x
x
x
x
x
cosx
I
tg x
x
I
x x
tgx x
I
x
x x x
I

x
x
I
co x







+
=

=

=

=





=

8) Tìm giới hạn
2
6
1

)1(
56
lim

+
=

x
xx
I
x
9) Tìm giới hạn
3 2
2
0
3 2
3
2
1
1 1
lim
2 1
lim
1
x
x
x
I
x
x x x

I
x


+
=
+ +
=

Bài 2: Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa
1) Xét tính liên tục của f(x) tại x=2
1 2 3
khi x 2
( )
2
1 khi 2
x
f x
x
x




=



=

2) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
1 cos 4
khi x<0
.sin 2
( )
x+a
khi 0
x+1
x
x x
f x
x




=





3) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
2
khi x=0
( )
cos cos 2
khi 0
x
a

f x
x x
x


=




4) Cho
2
4
1( 2)
( )
( 2)
x
e x
f x
ax b x


+

=

+ <


Tìm a,b để hàm

số cá đạo hàm tại x=2
5) Cho
2
( 1). khi x>0
( )
-x -ax+1 khi 0
x
x e
f x
x


+

=




Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
6) Cho
2
( ). khi x<0
( )
ax +bx+1 khi 0
bx
x a e
f x
x

+

=




Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
7) xét tính liên tục của f(x) tại x=2
8) Cho hàm số
2
2 3
( )
3 1
x x
f x
x
+
=

CMR hàm
số liên tục tại x=-3 nhng không có đạo
hàm tại x=-3
9) Cho
cos cos3
1
khi x 0
( )
0 khi 0

x x
e
f x
x
x





=


=


Tình đạo hàm của hàm số tại x=0
Bài tập áp dụng
1) Cho hàm số
)1(
1
2

++
=
x
mxmx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị
của hàm số m =-1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục
hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
dơng
2) Cho hàm số
)1(
2
2
2

+
=
x
mxx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi m=1
b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến
trên đoạn [-1;0]
c) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
0123).2(9
22
111
=+++
++
aa
ttt

3) Cho hàm số
)1(1
24

+= mmxxy
Tìm
m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4
điểm phân biệt
4) Cho hàm số
)1(
)1(2
33
2

++
=
x
xx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Xác định m để đờng thẳng y=m cắt đồ
thị hàm số (1) tại 2 điểm A,B sao cho
AB=1
5) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
3
ôn thi đại học cấp tốc
224
22
1112
)211(
xxx

xxm
++=
=++
6) CMR phơng trình sau có 1 nghiệm
)1(012
25
= xxx
7) Cho hàm số
)1(
1
1)1(
2
+
++++
=
x
mxmx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi m=1
b) CMR với m bất kỳ đồ thị ( C
m
) luôn
luôn có điểm cực trị và khoảng cách
giữa 2 điểm đó bằng
20
8) Cho hàm số
)1(
)(2
4)12(

22
mx
mmxmx
y
+
+++++
=
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Tìm m để hàm số có cực trị và tính
khoảng cách giữa hai điểm cực trị của
đồ thị của hàm số
9) Cho hàm số
)1(
1
22
2

+
=
x
xx
y
a. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b. Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C )
và đối xứng nhau qua đờng thẳng x-y-
4=0
10) Cho hàm số
)1(23

22
+= xxy
Tìm trên đờng thẳng y= - 2 các điểm từ đó
nhìn đờng cong dới một góc vuông
ĐS M(55/27;-2)
11) Cho hàm số
)1(
1
1
2
+

=
x
xx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi
b) Một đờng thẳng thayđổi song song với
đờng thẳng y=1/2.x và cắt đồ thị hàm
số đã cho tại M,N .Tìm quỹ tích trung
điểm I của MN
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm
phơng trình
01)1(
2
=+ mxmx
12) Cho hàm số
)1(4
24

mxxy +=
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt .Hãy xác định m sao cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện
tích phần phía trên và phần phía dới đối với
trục hoành bằng nhau
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
, là nghiệm
S
trên
= S
duói
<=>
3
4
3
0
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx=

Vận dụng tính chất đối xứng , định ly
viét m=20/9
13) Cho hàm số
)1(
2
92
2

+
=
x
xx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Xác định m để (d) y=m(x-5) + 10 cắt
đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận
A(5,10) là trung điểm
14)Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn
2
4 xxy +=
15) Cho hàm số
)1(
22
43
2
x
xx
y

+
=

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Tìm trên đồ thị 2 điểm đối xứng nhau
qua đờng thẳng y=x
16)Cho hàm số
2
2 1
(1)
1
x x
y
x
+ +
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) CMR tích các khoảng cách từ M thuộc
(C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ
thuộc vào vị trí của M
17)Cho hàm số
2
(5 2) 2 1
(1)
1
x m x m
y

x
+ +
=

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số m=1
b) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng
cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn
2 5

Chuyên đề số 2: Đại số
Bài 1: Hệ phơng trình phơng trình
đại số
Một số dạng hệ ph ơng trình th ờng gặp
1) Hệ phơng trình bậc nhất : cách tính định
thc
2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1 :hệ không
thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại
3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: nếu trao
đổi vai trò của x và y thì phơng trình này
trở thành phơng trình kia và ngợc lại
4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2 : Xét 2 tr-
ờng hợp sau đó đặt x=t.y
5) Một số hệ phơng trình khác
Các ví dụ
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phơng trình

=+++
=++
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
4
ôn thi đại học cấp tốc
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a

+ =



+ = +


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm

phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =



Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ phơng trình



=+
=+
222
6 ayx
ayx

a) Giải hệ khi a=2
b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y)
là nghiệm của hệ

5) Cho hệ phơng trình





+=+
+=+
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6)





=+
=+
22
22
xy
yx

7)

=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:







+
=
+
=
2
2
2
2
2

3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô
nghiệm
Bài 3:





=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y

Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:





=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số :

( )
tttf 3
3
=
trên [-1,1] áp dụng vào ph-
ơng trình (1)
Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm
duy nhất

+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf =
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:

=+
=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:





=+
=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:

+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD : Rut ra
y
yy
y
x +=
+
=
55
2
Cô si
52
5
+= y
y
x

20

2
x
theo (1)
20
2
x
suy ra x,y
Bài 9:





++=+
=
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung
(1;1) (3/2;1/2)
Bài 10:





=+

=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có
nghiệm
HD: từ (1) đặt
2,1 +=+= yvxu
đợc
hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc
hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)





=
=
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)

+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)





=++
=++
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
5
ôn thi đại học cấp tốc

4)






++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
5)





+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2

Tìm m để hệ có
nghiệm
6)






=
=
19
2.)(
33
2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
7)



=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
đặt X=x(x+2) và

Y=2x+y
8)






=++
=+
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx
đổi biến
theo v,u từ phơng trình số (1)
9)





=+
=+
22
333
6
191
xxyy

xyx
Đặt x=1/z thay vào đợc
hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)






+=
=
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4
=++ xx
vô nghiệm bằng cách
tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
11)

+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần
và đủ
12)





=+
=+
3
3
22
xyyx
x
y
y

x
HD bình phơng 2 vế
13)





=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x
y
y
x
HD nhân 2 vế
của (1) với
xy
Bài 2: Phơng trình và bất phơng trình
phơng trình đại số
Một số dạng ph ơng trình và bất ph ơng trình
th ờng gặp
1) Bất phơng trình bậc hai
Định ly về dấu của tam thức bậc hai
Phơng pháp hàm số
2) Phơng trình ,bất phơng trình chứa giá trị

tuyệt đối

BABBA
BA
BA
BA
BABA
<<<



<
>
>
<<
22
3) Phơng trình ,bất phơng trình chứa căn thức
Liệt kê các dạng
Một số ví dụ
Bài 1: Tìm m để
mxxxx ++++ )64)(3)(1(
2
Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm
đúng với mọi x
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m-2
Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm

=+++
+
2)1(2
2
ayxxy
yx
HD:





+=+
+
)2(1)2()1(
)1(2
22
ayx
yx
TH1: a+10 Hệ vô nghiệm
TH2: a+1>0 Ve đồ thị (2) là đờng tròn
còn (1) là miền gạch chéo : a-1/2
Bài 3: Giải các phơng trình ,bất phơng trình
sau
1)
014168
2

++ xxx
2)
xxx 2114 =+
: x=0
3)
510932)2(2
22
==+ xxxxx
4)
211
22
=++ xxxx
tích 2 nhân
tử bằng 1 suy ra cách giải
5)
023)3(
22
xxxx
KD 2002
Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm





+
++
012
0910
2

2
mxx
xx
ĐS m>=4
Bài 5: Giải bất phơng trình
2212 >+ xxx
HD
nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích chú y ĐK
Bài 6: Giải bất phơng trình
7
2
1
2
2
3
3 +<+
x
x
x
x
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
6
ôn thi đại học cấp tốc
HD Đặt
2,
2
1
+= t

x
xt
AD BĐT cô si suy
ra ĐK
Bài 7: Giải bất phơng trình
4
)11(
2
2
>
++
x
x
x
HD
Xét 2 trờng hợp chú y DK x>=-1
Trong trờng hợp x>=4 tiến hành nhân và chia
cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Bài 8: Cho phơng trình
mxxxx ++=+ 99
2
Tìm m để phơng trình có nghiệm
HD
Bình phơng 2 vế chú y ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004)
3
7
3

3
)16(2
2


>+


x
x
x
x
x
Bài tập áp dụng
1)



=+
++
0
12
22
ayx
xyx
Tìm a để hệ có nghiệm
duy nhất. Tìmnghiệm duy nhất đ
ĐS a=-1 và a=3
2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm
mxx + 41624

3)
16212244
2
+=++ xxxx
4)
12312 +++ xxx
5)
1212)1(2
22
=+ xxxxx

HD đặt
12
2
+= xxt
coi là phơng trình
bậc hai ẩn t
6)
2
2)2()1( xxxxx =++
7)
2
3
1)2(12
+
=++
x
xxxx
8) Cho phơng trình

mxxxx =++++ 444
a)Giải phơng trình khi m=6
b)Tìm m để phơng trình có nghiệm
9)
1
1
251
2
<


x
xx
10)
023243
2
=+++ xxx
11) Tìm a để với mọi x
32)2()(
2
+= axxxf
ĐS a>=4 V a<=0
Chuyên đề số 3: L ợng giác
Bài 1: Phơng trình và hệ phơng trình l-
ợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi lợng giác
Một số dạng phơng trình cơ bản
Phơng trình bậc 2,bậc 3 theo một hàm số l-
ơng giác

Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với
sinx,cosx: asinx+bcosx=c
Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx,cosx:
a.sin
2
x+ b.sinx.cosx+c.cos
2
x+d=0
Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx,cosx:
a.sin
3
x+b.sin
2
x.cosx+
c.sinx.cos
2
x+d.cos
3
x=0
a.sin
3
x+b.sin
2
x.cosx+
c.sinx.cos
2
x+d.cos
3
x+m=0
Phơng trình đối xứng với sinx,cosx a.

(sinx cosx)+b.sinx.cosx+c=0
Phơng trình đối xứng với tgx,cotgx
Phơng trình đối xứng với sin
2n
x,cos
2n
x
Các ví dụ
Bài 1:
x
x
tgxgx
2sin
4cos.2
cot +=
HD: đặt ĐK x= pi/3 +k.pi
Bài 2:
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=

++






+ xxx

HD: Sử dụng công thức hạ bậc
xx sin
3
cos).2cos(.21 =++


ĐS 3 họ nghiệm
Bài 3:
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
=+

x
x
x
x
HD: Nhóm , nhân lên và tách 2 thành 2
nhóm
Bài 4:
8
1
3
.
6
3cos.cos3sin.sin
33
=






+







+

xtgxtg
xxxx
HD: Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS x=-pi/6+k.pi
Bài 5:
0cos.6)sin.2(3 =++ xxtgxtgx
HD: Biến đổi theo sin và cos
0)cos21(sin)cos21(cos.3
22
=++ xxxx
ĐS x= pi/3+k.pi
Bài 6:
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
7
ôn thi đại học cấp tốc







+=
=+
)sin(6sin2
2
)sin(2sin6

2
.3
xyx
y
tg
xyx
y
tg
HD: nhân (1) với (2) rút gọn
y
y
tg
22
sin4
2
=
đặt






=
2
2
y
tgt

t=0, t= can 3

Bài 7:
xxxxxx cos13sin.
2
1
sin.4cos2sin.3cos ++=
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn
Bài 8:
2
1
5cos4cos3cos2coscos =++++ xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú y xet tr-
ờng hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng
nxxxT
nxxxT
sin 2sinsin
cos 2coscos
+++=
+++=
thực hiện rút gọn
bằng cách trên
Bài 9:
)cos.sin2(cos3sin.2sin.
22
xxxxxtgx +=
HD: BĐ sau đó đặt t=tg(x/2)
Bài 10

42log.4.log
2

sin
2
9
cos
=







x
x

HD:
4
)(sinlog
2log
.2.log2
2
sin
sin
sin
=
x
x
x
x
Bài 2: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng

trình có tham số
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp hàm số: Bài toán Max,Min
trên 1 khoảng và một đoạn
Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh
giá
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN
xx
xx
y
24
24
cos2sin.3
sin4cos.3
+
+
=
HD: t=cos2x, tìm Max,Min trên 1 đoạn
M=8/5 m=4/3
Bài 2: Cho phơng trình
tgxxmx += 1cos.2cos
2
1) Giải phơng trình khi m=1
2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc
đoạn [0; pi/3]
HD: t=tgx, t thuộc [0; căn 3]
Lập BBT f(t) ĐS

+ 1;31)31(m

Bài 3: : Tìm GTLN,GTNN
xxy 2cossin.2
48
+=
HD: t=cos2x, -1t1 tìm Max,Min trên
1 đoạn
( )
33,
)1(80 == tttf
M=3 m=1/27
Bài 4: : Tìm GTLN,GTNN
1cos.sinsincos
44
+++= xxxxy
Bài 5: Cho phơng trình
02sin24cos)cos.(sin2
44
=++++ mxxxx
Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện
thuộc đoạn [0; pi/2]
HD: [-10/3;-2]
Bài 6: Cho phơng trình
3cos2sin
1cossin2

+
++
=
xx
xx
a
1) Giải phơng trình khi a=1/3
2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
HD: Đa về dạng
(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]
Bài 7: Tìm nghiệm trong khoảng (0, pi)






+=
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22

xx
x
Bài 3: Hệ thức lợng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ

*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết
+ Công thức cần nhớ
2
.
2
2
BA
Cos
BA
SinSinBSinA
+
=+
22
2
BA
in
BA
CosSinBSinA
+
=
2
.
2
2
BA
Cos
BA
CosCosBCosA
+

=+
2
sin.
2
2
BABA
SinCosBCosA
+
=
[ ]
)()(
2
1
. BACosBACosSinBSinA +=
[ ]
)()sin(
2
1
. BASinBACosBSinA ++=
[ ]
)()(
2
1
. BACosBACosCosBCosA ++=
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
8
ôn thi đại học cấp tốc
222

4.
C
CosCos
A
CosSinCSinBSinA
B
=++
2
sin
2
sin
2
sin41.
CA
CosCCosBCosA
B
+=++
tgA
+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2

cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g =++
1
222
.
22
.
2
=++
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg

A
tg
cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1
sCCosACosBCoCSinBSinASin 22.
222
+=++
CBACCosBCosACos sinsinsin21.
222
=++
Sin2A+Sin2B+Sin2C=4SinA.SinB.SinC
Cos2A+Cos2B+Cos2C=-1-4CosACosBCosC
Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR
1.
2222
.
2
.
2
=++
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg

A
tg
Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC
33++ tgCtgBtgA
dấu = xảy ra khi nào?
HD: áp dụng bđt cosin
3
3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA ++
lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đợc
đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A)
cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos
2
A + Cos(C-A).cosB +Cos
2
B
+ Cos(A-B).cosC + cos
2
C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,
cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos
2
A,
cos
2
B, cos

2
C suy ra đpcm.
Bài 4:CMR với mọi tam giác ABC ta có
( )
1.2.1
222
sCCosACosBCoCCosBCosACos =
Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và
chỉ khi

2.
222
<++
CSinBSinASin
Bài 5:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
2tgA=tgB + tgC
CMR tgB.tgC = 3 Và Cos(B-C) = 2CosA
HD: xuất phát:


+
=+
tgCtgB
tgCtgB
CBtg
.1
)(
đpcm
Từ tgB.tgC=3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC
(*)

Mà cos(B-C) =2.cos[
)( CB

] khai triển suy ra
đẳng thức (*)
Bài 6:CMR với mọi tam giác ABC ta có






+++
=++
2
cot
2
cot
2
cot
2222
1
sin
1
sin
1
sin
1
A
g

A
g
A
g
C
tg
B
tg
A
tg
CBA
HD: thay
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot.
2
cot.
2
cot
C
g
B
g
A
g

C
g
B
g
A
g ++=
áp dụng công thức nhân đôi
Bài 7:CMR trong mọi tam giác ABC ta có
CBABACCCosAB
CSinBSinASin
cossinsin2cossinsinsinsin2
.
222
++
=++
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
Thoả mãn đk 4A=2B=C. CMR:
cba
111
+=
4
5
.
222
=++ CCosBCosACos
Bài 9:CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:
CBA
R
r
coscoscos1 ++=+

Bài 10:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
bc
aA
Sin
2
2
=
, CMR tam giác ABC cân
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk
22
.
B
tg
A
tgtgBtgA =
CMR tam giác ABC cân
Bài 12CMR nếu tam giác ABC có
a
cb
CB
+
=+ coscos
thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b,
AB=c
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
9
ôn thi đại học cấp tốc
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và

chỉ khi
2
CB
tg
cb
cb
=
+

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn
đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
2
cos.
2
cos.
2
cos =
CBACBA
CMR tam giác ABC vuông.

Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
( )
( )






+
=
+
+=+
2
4
2
sin
cos1
1)(
22
3332
ba
ba
C
C
acbacba
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA

cotcot3
sin
1
sin
1
2 +






+
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2
sin
2
sin
2
sin.
CA
CosCCosBCosA ++=++
B
CMR
tam giác ABC là tam giác đều
Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ
thức:
9
22

.
2
222
=++
C
Cotg
B
Cotg
A
Cotg
Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin
CBA
CBA ++=++
thì tam giác đều
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gCgBgA
CBA
C
g
B
g

A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos
1
2
cos
1
2
cot.
2
cot.
2
cot
++=










++

Bài 23:
CtgBtgtgACtgBtgAtg
22888
9++
Bài 24:
81
666
=++ CtgBtgAtg
Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
CBA
M
2cos2
1
2cos2
1
2cos2
1

+
+
+
+
=
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất
hiện bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu
thức
)cos(cos3cos3 CABP ++=

Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2 =+++ CBACBB
Hỏi tam giác ABC là tam giác gi? CM?
Bài tập áp dụng
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos = xxxxxx
2)
2cos.3sincos.3sin =+++ xxxx
3)
0
2
3
sin5
2
cos.
2
5
sin2)3(sin3
2
2
=

+







+






++
x
xxx



4)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2

sin
1
3sin.2 +=
5)
x
x
xg
2sin
2cos1
2cot1
2

=+
chú y ĐK x=-pi/4+k.pi/2
6)
2)1.2(cos2cos
2
=+ xtgxx
7)
03cos2cos84cos3
26
=++ xx
8)
1
1cos2
3sin
42
sin2cos)32(
2
=

+







x
x
x
x

9)
02cos2sincossin1
=++++
xxxx
Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của ph-
ơng trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=

+
+
+ x
x
xx
x
KA
2002
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
10
ôn thi đại học cấp tốc
2) Giải phơng trình
x
xx
xtg
4
2
4
cos
3sin)2sin2(
1

=+
(DB 2002)

3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của ph-
ơng trình
x
xtgxxg
2sin
2
2sin42cot =+

KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
[ ]
0;14

của phơng trình
cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x + =
KB 2003
5) Xác định m để phơng trình
( )
4 4
2 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m+ + + =

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2

(DB 2002)
6) Giải phơng trình
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
g x
x x
+
=
(DB
2002)
7) Giải phơng trình
2
cos cos sin 1 .
2
x
tgx x x x tgx tg

+ = +
ữ

(DB
2002)
8) Cho phơng trình
2sin cos 1

(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
+
a) Giải phơng trình (2) khi
1
3
a =
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
9) Giải phơng trình
2
1
sin
8cos
x
x
=
(DB
2002)
10)Giải phơng trình
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 2
x
gx x x

tgx
= +
+
(KA
2003)
11) Giải phơng trình
( )
3 2sin 6cos 0tgx tgx x x + + =
(DBKA
2003)
12)Giải phơng trình
( )
2
cos 2 cos 2 1 2x x tg x= =
(DBKA 2003)
13)Giải phơng trình
6 2
3cos 4 8cos 2 cos 3 0x x x + + =
(DBKB
2003)
14)Giải phơng trình
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x

ữ

=

(DBKB
2003)
15)Giải phơng trình
2 2 2
sin . cos 0
2 4 2
x x
tg x


=
ữ ữ

(KD 2003)
16)Giải phơng trình
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin
x x
x

x x

= +
+
(DBKD
2003)
17)Giải phơng trình
2sin 4
cot
sin 2
x
gx tgx
x
= +

(DBKD 2003)
18)Giải phơng trình
( )
2
5sin 2 3 1 sin tx x g x =
(KB 2004)
19)Giải phơng trình
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x + =

(KB 2004)
Chuyên đề số 4: Mũ
Lôgarit
Bài 1: Phơng trình và hệ phơng trình
Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit
Giới thiệu một số phơng trình cơ bản
Khi giải phơng trình về logarit chú ĐK
Các ví dụ
Bài 1: Cho phơng trình
0121loglog
2
3
2
3
=++ mxx
1) Giải phơng trình khi m=2
2) Tìm m để phơng trình có ít nhất một
nghiệm thuộc
[ ]
3
3;1
HD: m thuộc [0;2]
Bài 2:



=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2

yx
yx
đs (4,4)
Bài 3:
)4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx =++
HD: ĐK x>0 Và x1
ĐS x=2 ,
332 =x
Bài 4:
xxxx
3535
log.loglog.log +=
HD: dổi cơ số x=1 va x=15
Bài 5:





++=+

=
633
)(39
22
3log)(log
22
xyyx
xy
xy
Bài 6:
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
11
ôn thi đại học cấp tốc
x
x
=
+
)1(log
3
2
HD: ĐK x>-1
TH1: -1<x<=0 phơng trình vn
TH2: x>0 dặt y=log
3
(x+1)
Suy ra
1
3
1

3
2
=






+






yy
PP hàm số
Bài 7:
32
2
2
23
1
log xx
x
x
=

+
HD: VP <= 1 với x>0 BBT
VT >=1 Côsi trong loggrit
ĐS x=1
Bài 8:





=
+
+
=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1

23
ĐS (0,1) (2,4)
Bài 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
thuộc [32, +)
( )
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
=+ xmxx
HD: t >=5
31
1
31
1,0
2
2
<





=

+

>
m
t
m
m
mm
Bài 10





=+
=
322
loglog
yx
xy
yxy
HD ĐK x,y>= và khác 1
BĐ (1) đợc
TH1: y=x thay vào (2) có nghiẹm
TH2:
2
1
y
x =
thay vào (2) CM vô nghiẹm
chia thành 2 miền y>1 và 0<y<1
Bài 2: Bất phơng trình và hệ bất phơng

trình Mũ lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ
Giới thiệu một số bất phơng trình về mũ và
logarit
Chú y ĐK
Các ví dụ
Bài 1: Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm





+
<
1)1(log
3
1
log
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
HD: ĐK x>1
Giải (2) 1<x2

BBT f(x)=(x-1) mu 3 -3x ĐS k > -5
Bài 2:
06log)1(log2log
2
4
1
2
1
++ xx
Bài 3:
xx
xx
22
log
2
3
log
2
1
.2.2

Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2
Bài 4:
1))279.((loglog
3

x
x
Bài 5:
[ ]

0)2(loglog
2
2
4
<+
xxx

Bài 6:
06log)52(log)1(
2
1
2
2
1
++++
xxxx
HD
đặt t bằng log của x coi là phơng trình
bậc 2 ẩn t
Chú y so sánh 2 trờng hợp t
1
,
t
2

ĐS (0;2] v (x>=4)
Bài 7: Giải bất phơng trình
xx
x
22

log
2
3
log
2
1
22
Bài 8: Giải bất phơng trình

0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
>
+
++
x
xx
Bài 9: Giải bất phơng trình

2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)x x x
<

+
Bài tập áp dụng
1)
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3
log +=

2)
3
3
1
29
2
2
2
2










xx
xx
3)
( )
)112(log.loglog2
33
2
9
+= xxx

4)





=
=+
0loglog
034
24
xx
yx
ĐK x,y>=1(1,1)(9,3)
5)





=+
=+
3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x

6)





=+
=
25
1)
1
(log)(log
22
4
4
1
xy
y
xy
KA 2004 (3,4)
7)
6)22(log).12(log
1
22
=++
+xx
ĐS x=log
2
3
8) Tìm a để hệ sau có nghiệm

Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
12
ôn thi đại học cấp tốc





++
>+






+

0)1(
1)32(
2
4
32
log
2
5,0
axax
xx
x

x
HD: a>3/2
9)
[ ]
1)69(loglog
3
=
x
x
10)Giải phơng trình
)2(log)12(log
2
2
2
3
xxxx +=++
11)





=
+=+
+
yx
xyyx
xyx 1
22
22

12)





=+
=+


06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
13) Tìm m để phơng trình
( )
0loglog4
2
1
2
2
=+ mxx
có nghiệm
thuộc khoảng (0;1)

Chuyên đề 5: Hình học
giải tích trong mặt phẳng
và không gian. Hình học
không gian
Bài 1: Hình học giải tích trong
mặt phẳng
Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
Bài 1 : Cho tam giác vuông ABC tại A và A,B
thuộc trục hoành, BC:x-y-2=0. Xác định toạ
độ trọng tâm G của tam giác biết bán kính đ-
ờng tròn nội tiếp là 3
HD: Xác định đợc toạ độ B
o Biểu thị toạ độ C(m,n) : m-n-2=0
o A(a,0) AB vuông góc AC suy ra 1
phơng trình
o r=s/p suy ra phơng trình
Bài 2: Cho 3 đờng thẳng d1:3x+4y-6=0
d2:4x-3y-1=0 d3:y=0 : A=d1cắt d2 : B=d3 cắt
d2 , C=d1 cắt d3
Viết phơng trình đờng phân giác trong góc
A
Tính diện tích tam giác , tâm và bán kính
đờng tròn nội tiếp
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho (P) y
2
=x và
M(1;-1) giả sử A,B phân biệt khác M thay đổi
trên (P) sao cho MA,MB luôn luôn vuông góc
với nhau. CMR AB luôn đi qua một điểm cố

định
HD: A(a
2
;a) B(b
2
;b) thuộc (P) a khác b
MA v MB =>ab=a+b-2
Phơng trình (AB) x=(b+a)y-ab
Điểm Cố định M(2;1)
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho M(5/2;2) và
2 đờng thẳng có phơng trình y=x/2 , y-2x=0 .
Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và
cắt 2 đờng thẳng trên tại A,B sao cho M là
trung điểm AB
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đờng cong
(C
m
) x
2
+y
2
+2mx-6y+4-m=0
1) CMR (C
m
) là đờng tròn với mọi m Tìm tập
hợp tâm đờng tròn khi m thay đổi
2) Với m=4 hãy viết phơng trình đờng vuông
góc với (D) 3x-4y+10=0 và cắt đờng tròn
tại 2 điểm A,B sao cho AB=6
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho (P) có đỉnh

là gốc toạ độ và đi qua A(2;2
2
) Đờng thẳng
(d) đi qua I(5/2;1) cắt (P) tại M,N sao cho
MI=NI Tính độ dài MN
Bài 7: Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy
cho hình bình hành ABCD có số đo diện tích
bằng 4 Biêt A(1;0) B(2;0) và giao điểm I của 2
đờng chéo AC và BD nằm trên y=x Hãy tìm
toạ độ dỉnh C,D
Bài 8: Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy
cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0) AB:
x-2y+2=0 và AB=2CD Tìm toạ độ các đỉnh
biết rằng điểm A có toạ độ âm
Bài 9: Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho đ-
ờng thẳng
021: =+ yxd
và điểm A(-
1;1) . viết phơng trình đờng tròn đi qua điểm
A, qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đờng
thẳng (d)
Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đềcác
vuông góc Oxy cho đờng thẳng d:x-y+1=0 và
đờng tròn (C):x
2
+y
2
+2x-4y=0 Tìm toạ độ điểm
M thuộc đờng thẳng d mà qua đó kẻ đợc 2 đ-
ờng thẳng tiếp xúc với (C ) tại A,B sao cho góc

AMB=60 độ
Bài 2: Hình học giải tích trong không
gian
Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
Bài 1: Trên hệ trục Oxyz cho A(2a;0;0)
B(0;2b;0) C(0;0;2c) a,b,c>0
1) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng
(ABC) Tính thể tích khối đa diện
2) OABE với E là chân đờng cao từ E trong
tam giác ABC
Bài 2: Oxyz cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD Biết S(3;2;4) B(1;2;3) D(3;0;3)
1) Lập phơng trình đờng vuông góc chung
của AC và SD
2) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lập phơng trình mặt phẳng qua BI và song
song với AC
3) Gọi H là trung điểm BD, G là trc tâm tam
giác SCD Tính độ dài HG
Bài 3: Oxyz cho




=+
=
01
0
)(

1
zy
aazx
d




=
=+
063
033
)(
2
zx
yax
d
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
13
ôn thi đại học cấp tốc
1) Tìm a để (d
1
) cắt (d
2
)
2) Khi a=2 : Viết phơng trình mp(P) chứa (d
1
)
và song song với (d

2
) . Tính khoảng cách
giữa 2 đờng thẳng
Bài 4: Oxyz cho




=+
=+
0422
0122
)(
zyx
zyx
d
(S)
064
222
=++++ myszyx
Tìm m để mặt cầu (S) cắt đờng thẳng (d)
tại M,N sao cho MN=9
Bài 5: Trong hệ trục Oxyz cho

12
1
1
)(
1
zyx

d =
+
=



=+
=+
012
013
)(
2
yx
zx
d
1) CMR 2 đờng thẳng trên chéo nhau và
vuông góc với nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả 2 đ-
ờng thẳng trên và song song với đờng
thẳng
2
3
4
7
1
4
)(


=

=


zyx
Bài 6: Trong hệ trục Oxyz cho
(S)
9)1()1()1(
222
=+++ zyx
và
mặt phẳng (P) 2x+2y+z-m
2
-3m = 0
Tìm m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) . Với m
tìm đợc hãy xác định toạ độ tiếp điểm
Bài 7: Trong hệ trục Oxyz cho A(0;1;1)
B(1;0;0) C(1;2;-1)
Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giácABC
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
cho 2 đờng thẳng
211
:
1
zyx
d ==

+=
=
=
tz
ty
tx
d
1
21
:
2
a) Xét vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng trên
b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d
1
, N thuộc
d
2
sao cho MN song song với mặt phẳng
(P) x-y+z=0 và
2=MN
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
cho các điểm A(2;0;0) B(2;2;0) S(0;0;m)
a) Khi m=2, tìm toạ độ điểm C đối xứng
với gốc toạ độ O qua mặt phẳng SAB
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
trên đờng thẳng SA. CMR với mọi m>0
diện tích tan giác OBH < 4
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz

cho các điểm A(1;1;1) B(1;2;0)
(S)
2 2 2
6 4 4 13 0x y z x y z+ + + =

a) Viết phơng trình mặt phẳng chứa AB và
tiếp xúc với (S)
b) Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)
,song song với AB và khoảng cách giữa
(P) và AB nhỏ nhất (lớn nhất)
HD: +sử dụng phơng pháp chùm mạ phẳng qua
AB
+Tìm M thuộc (S) sao cho Kc(M,(S)) nhỏ
nhất, (P) tiếp xú với (S) tại M Bài 11: Trong hệ
trục Oxyz cho tam giác ABC có B(2;3;-4). Đ-
ờng cao có phơng trình
1 2
( )
5 2 5
x y z
CH

= =

Đờng phân giác trong góc A là
5 3 1
( )
7 1 2
x y z
AI

+
= =
. Lập phơng trình
chính tắc cạnh (AC)
Bài 3: Hình học không gian
Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b,
OC=c và OA, OB,OC đôi một vuông góc với
nhau , Tính diện tích tam giác ABC theo a,b,c .
Gọi ,, là góc giữa OA,OB,OC với mặt
phẳng (ABC) CMR
sin
2
+sin
2
+sin
2
=1
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
chữ nhật AB=2a; BC=a Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng
2a
1) Tính thể tích hình chóp
2) Gọi M,N là trung điểm các cạnh AB và
CD, K thuộc AD sao cho AK=a/3 Hãy tính
khoảng cách giữa 2 đờng thẳng Mn và SK
Bài 3: Trong măt phẳng (P) cho hình vuông
ABCD có cạnh bằng a. S là 1 điểm bất kỳ nằm
trên đờng thẳng At vuông góc với (P) tại A

1) Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp
hình chóp khi SA=2a
2) M,N lần lợt là 2 điểm di động trên CB,CD
và đặt CM=m, CN=n Tìm một biểu thức
liên hệ m và n để các mặt phẳng (SAM) và
(SAN) tạo với nhau góc 45 độ
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác đều có cạnh a và cạnh bên vuông góc với
mặt đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điềm A
tới mặt phẳng (SBC) theo a biết rằng
2
6a
SA =
Bài 5: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh
26=a
. Hãy xác định và tính độ dài đoạn
vuông góc chung của AD và BC
Bài 6: : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác vuông cân tại B, AB=a, BC=2a. Cạnh SA
vuông góc với đáy và SA=2a Gọi M là trung
điểm SC . CMR AMB là tam giác cân tại M.
Tính diện tích tam giác AMB theo a
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABCABC đáy
ABC là tam giác cân AB=AC=a, góc BAC
bằng 120 độ , BB=a , I là trung điểm CC
CMR tam giác ABI vuông tại A. Tính cos góc
tạo bởi (ABC) và (ABI)
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
14

ôn thi đại học cấp tốc
Bài 8: Cho tứ diện ABCD với AB=AC=a ,
BC=b. (BCD) vuông góc (ABC) góc BDC
bằng 90 độ Xác định tâm và tính bán kính mặt
càu ngoại tiếp tứ diện theo a,b
Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là
tam giác đều có cạnh a , mặt bên tạo với đáy
góc bằng (0
0
<<90
0
) .Tính thể tích SABC
và khoảng cách từ A tới (SBC)
Bài 10: Cho Tam giác vuông cân ABC có cạnh
huyền BC=a. Trên đờng thẳng vuông góc với
mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc
giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60 độ
Tính độ dài đoạn thẳng SA
Bài tập áp dụng
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy cho 2
đờng thẳng d
1
:x+y+5=0 và d
2
:x+2y-7=0 và
điểm A(2;3) Tìm điểm B thuộc d
1
và C
thuộc d
2

sao cho tam giác ABC có trọng
tâm là điểm G(2;0)
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
1
964
)(
22
=+
yx
E
viết phơng trình tiếp tuyến
d của (E), Biết d cắt 2 trục toạ độ Ox, Oy
lần lợt tai A,B sao cho AO=2BO
3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy cho 2
đờng thẳng d
1
:x-y+1=0 và d
2
:2x+y-1=0 và
điểm P(2;1)
a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
điểm P và giao điểm I của 2 đờng
thẳng d
1
và d
2
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
điểm P và cắt 2 đờng thẳng d
1
và d

2
lần
lợt tại A,B sao cho P là trung điểm AB
4) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
tam giác ABC vuông ở A. Biết A(-1;4)
B(1;-4) Đờng thẳng BC đi Qua điểm
M(2;1/2). Tìm toạ độ đỉnh C
5) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 2
điểm A(0;5) B(2;3) Viết phơng trình dờng
tròn đi qua 2 điểm A,B và có bán kính
10
6) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
C(2;0) và
1
14
)(
22
=+
yx
E
tìm toạ độ các
điểm A,B thuộc (E) Biết rẳng 2 điểm A,B
đối xứng với nhau qua trục hoành và tam
giác ABC là tam giác đều
7) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy cho đ-
ờng tròn
042:)(
22
=++ yxyxC
đờng

thẳng D:x-y+1=0
a) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
với D và tiếp xúc với đờng tròn
b) Viết phơng trình đờng thẳng song song
với D và cắt đờng tròn tại M,N sao cho
MN=2
c) Tìm toạ điểm T trên D sao cho qua T
kẻ đợc 2 đờng thẳng tiếp xúc với (C) tại
2 điểm A,B và góc ATB =60 độ
8) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
A(0;2) và đờng thẳng d:x-2y+2=0 Tìm
trên đờng thẳng d hai điểm B,C sao cho
tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC
9) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC
có A(1,0) hai đờng thẳng tơng chứa 2 đờng
cao kẻ từ B,C của tam giác là
x-2y+1=0 và 3x+y-1=0 . Viết phơng
trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ĐS
0
7
43
7
10
7
36
22
=++ yxyx
10) Tam giác ABC cân, cạnh đáy (BC) x-
3y-1=0, Cạnh bên (AB) x-y-5=0 (AC) đi

qua M(-4;1) Tìm toạ độ C
11)Trong mặt phẳng Oxy cho (P) y
2
=8x Qua
tiêu điểm kẻ đờng thẳng bất kỳ cắt (P) tại
A,B . CMR các tiếp tuyến tại A,B vuông
góc với nhau
12) Trong mặt phẳng Oxy cho A(10;5)
B(15;-5) D(-20;0) là 3 đỉnh của hình thang
cân ABCD Tìm toạ độ điểm C biết rằng AB
song song CD
13) Trong mặt phẳng Oxy cho (E)
1
916
22
=+
yx
Xét điểm M di chuyển trên tia
Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao
cho MN luôn luôn tiếp xúc với (E) . Xác
định M,N để MN ngắn nhất(
14) Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy
cho tam giác ABC có AB=AC , góc BAC
= 90 độ Biết M(1;-1) là trung điểm BC và
G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC . Tìm
toạ độ các đỉnh của tam giác
15) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
cho lăng trụ đứng OAB.O
1
A

1
B
1
với
A(2;0;0) B(0;4;0) O
1
(0;0;4)
a) Tìm toạ độ các điểm còn lại. Viết phơng
trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,A,B,O
1
b) Gọi M là trung điểm AB . Mặt phẳng (P)
qua M vuông góc với O
1
A và cắt OA , AA
1

lần lợt tại N,K. Tính độ dài đoạn KN
16) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
cho hình lập phơng ABCD. ABCD Với
A(0;0;0) B(2;0;0) D(0;2;2)
a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình
lập phơng. Gọi M là trung điểm BC. CMR
(ABD) và (AMB) vuông góc với nhau
b) CMR tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đ-
ờng thẳng AC với N khác A tới (ABD)
và (AMB) không phụ thuộc vào vị trí của
điểm N
17) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật AC cắt BD tại gốc toạ độ O.

Biết
)0;1;2(),0;1;2( BA
S(0;0;3)
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
15
ôn thi đại học cấp tốc
a) Viết phơng trình mặt phẳng qua trung điểm
M của cạnh AB, song song với 2 đờng
thẳng AD và SC.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông
góc với SC. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P)
18) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
cho 2 đờng thẳng
2
1
1
2
3
1
:
1
+
=

+
=
zyx
d

=+
=+
0123
02
:
2
yx
zyx
d
a) CMR 2 đờng thẳng trên song song với
nhau. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa
cả 2 đờng thẳng trên
b) Mặt phẳng (OXZ) cắt d
1
,d
2
tại A,B Tính
diện tích tam giác OAB
19) Cho 2 đờng thẳng
1
8 23 0
:
4 10 0
x z
d
y z
+ =

+ =

2
2 3 0
:
2 2 0
x z
d
y z
=


+ + =

a) CMR đờng thẳng d
1
và d
2
chéo nhau
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả
2 đờng thẳng trên và song song với Oz
20) Cho 2 điểm A(2;-1;1) B(-2;3;7) và đờng
thẳng
3
1
2
2
2

2
:

+
=


=
zyx
d
c) CMR đờng thẳng d và đờng thẳng AB
cùng thuộc 1 mặt phẳng
d) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA+IB nhỏ
nhất
21) Cho 2 điểm A(2;4;1) B(3;5;2) và đờng
thẳng

2 1 0
( ) :
2 0
x y z
x y z
+ + =



+ + =

e) Xét vị trí tơng đối giữa AB và ()
f) Tìm điểm M thuộc thuộc () sao cho

MA MB+
uuuv uuuv
đạt GTNN
22) Cho 2 điểm A(2;0;1) C(1;0;1) B(2;-
1;0)và đờng thẳng

0
( ) :
2 0
x y z
d
x y
+ =


=

Tìm điểm M thuộc thuộc (d) sao cho
MA MB MC+ +
uuuv uuuv uuuuv
đạt GTNN
23) Trong hệ trục Oxyz cho A(2;0;0)
C(0;4;0) S(0;0;4)
a) Tìm toạ độ B thuộc Oxy sao cho OABC là
hình chữ nhật . Viết phơng trình mặt cầu đi
qua 4 điểm O,B,C,S
b) Tìm toạ độ điểm A
1

xứng A qua SC

24) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
(ABC) và SA=a E là trung điểm CD. Tính
theo a khoảng cách từ S tới BE
25) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy là hình vuông cạnh a và
SA=SC=SB=SD=a . Tính diện tích toàn
phần và thể tích hình chóp
26) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là
hình uông cạnh a. SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung
điểm cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ
S đến đờng thẳng BE
27) Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
AB=a, AC=b, AD=c, và các góc BAC,
CAD, DAB đều bằng 60 độ
28) Cho tứ diện ABCD với các mặt (ABC),
(ACD). (ADB) là các tam giác vuông tại A.
Gọi h là đờng cao xuất phát từ A của tứ
diện ABCD . CMR
2222
1111
ADACABh
++=

29) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi
Ax, By là 2 nửa đờng thẳng vuông góc với
mặt phẳng ABCD và nằm cùng phía đối
với mặt phẳng ABCD. Hai điểm M,N lần l-
ợt đi động trên Ax, By sao cho tam giác

CMN vuông tại M. đặt AM=m, BN=n.
CMR m(n-m)=a
2
và tìm GTNN của diện
tích hình thang ABNM theo a
Chuyên đề số 6: Đại số tổ
hợp Nhị thức ni tơn
Bài 1: Các bài đố áp dụng quy tắc
nhân,cộng và tổ hợp,chỉnh hơp
Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
Bài 1:Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5
mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau
Bài 2:Đội tuyển học sinh giỏi của trờng gồm
18 em . Trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học
sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao
nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại
hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh đợc
chọn
Bài 3: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc
bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số
khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ
số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một
đơn vị
Bài 4: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc
bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số
khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3
ĐS 192
Bài 5:Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể
lập đợc bao nhiêu số tự nhiên , mỗi số gồm 6

chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng
chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
16
ôn thi đại học cấp tốc
Bài 6:Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đ-
ợc bao nhiêu số tự nhiên , mỗi số gồm 5 chữ
số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1
và 5
Bài 7:Một đội văn nghệ có 15 ngời gồm 10
nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách lập một
nhóm đồng ca gồm 8 ngới , biết rằng trong
nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ
Bài 8:Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh
nam cần chọn ra 6 học sinh trong đó số học
sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn nh vậy
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4
chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 2158
Bài 10:Một đội thanh niên tình nguyện có 15
ngời, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội thanh niên tình nguyên đó
về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho môĩ tỉnh có
4 nam và 1 nữ
Bài 2: Các bài toán nhị thức, phơng
trình bất phơng trình tổ hợp,chỉnh hợp
Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
1) Biết rằng

100
10010
100
)2( xaxaax +++=+

CMR a
2
< a
3
Với giá trị nào của k thì
a
k
< a
k+1
(0k99)
2) Tìm k thuộc {0,1,.2005} sao cho
k
C
2005

đặt GTLN
3) Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức:
1262
2
n
2
=+
nnn
APAP
4) Tính giá trị của biểu thc

)!1(
3AA
3
n
4
1n
+
+
=
+
n
M

n là số nguyên dơng Biết rằng
14922
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
5) Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa
thức của (2-3x)

2n
, trong đó n là số nguyên
dơng thoả mãn
1024
12
12
5
12
3
12
1
12
=++++
+
++++
n
nnnn
CCCC
6) Giả sử
n
n
n
xaxaax +++=+ )21(
10
Biết
rằng
729
10
=+++
n

aaa
Tìm n và số lớn
nhất trong các số :
n
aaa , ,,
10
7) Giải bất phơng trình
2
3
5
60
)!(
+
+
+


k
n
n
A
kn
P
với 2
ẩn n,k thuộc N (TNPT 2003-2004)
8) Giải hệ phơng trình
2:5:6::
11
1
=

+
+
y
x
y
x
y
x
CCC
(TNPT 2002-
2003)
9) Giải bất phơng trình
12
20032
2
4
2
2
2
+++
x
xxx
CCC
10)Tìm số n nguyên dơng thoả mãn bất phơng
trình
nCA
n
nn
9.2
23

+


ĐS n=4 v n=3
11) Giả sử n là số nguyên dơng và

n
n
n
xaaax +++=+ )1(
10

Biết rằng k nguyên (0<k<n) sao cho
2492
11 +
==
kkk
aaa
Tính n
ĐS n=10
12)Giả sử n là số nguyên dơng và
11
10
11
1110
)2()1( axaaxxx +++=++
Hãy
tính hệ số a
5
ĐS 672

13)Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai
triển nhị thức
n
x
x






+
5
3
1
Biết rằng
)3(7
3
1
4
+=
+
+
+
nCC
n
n
n

n
ĐS 495
14)Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai
triển nhị thức
( )
8
2
)1(1 xx +

15)Tìm số tự nhiên n thoả mãn
100 2.
333222
=++
n
nnnn
n
nn
CCCCCC
16) Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005)
20052).12 (2.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12

1
12
=+++
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC
Chuyên đề 7: Tích
phân xác định và ứng
dụng
Bài 1: Phơng pháp tính tích phân
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức nguyên hàm cơ bản
Phơng pháp tính tích phân: Hàm hợp, đổi biến,
phân tích, từng phần
Các ví dụ
Bài 1: Tính tích phân

+
=
1
0
2
3
1
dx
x

x
I
HD C1: t=x
2
+1
C2: x=tgt
ĐS I=1/2(1-ln2)
Bài 2: Tính tích phân

+
=
3ln
0
3
)1(
dx
e
e
I
x
x
HD t=e
x
+1
ĐS
12 =I
Bài 3: Tính tích phân


++=

0
1
3
2
)1( dxxexI
x
HD Tách thành 2 tích phân
ĐS I=3/4e
2
-4/7
Bài 4: Tính tích phân

=
2
0
5
6
3
cos.sin.cos1

dxxxI

HD t=1-cos
3
x
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
17
ôn thi đại học cấp tốc
ĐS I=12/91

Bài 5: Tính tích phân

+
=
32
5
2
4.
1
dx
xx
I
HD
4
2
+= xt

ĐS I=1/4.ln5/3
Bài 6: Tính tích phân

+
=
4
0
2cos1

dx
x
x
I

HD ĐS I=pi/8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân

=
1
0
23
1 dxxxI

Bài 8: Cho hàm số
x
ebx
x
a
xf .
)1(
)(
3
+
+
=
Tìm
a,b biết rằng f(0)=-22 và

=
1
0
5)( dxxf

Bài 9: Tính tích phân

+
=
3
4
2
cos1.cos


dx
xx
tgx
I
Bài 10: Tính tích phân

=
2
0
sin

dxxxI
Bài 1: ứng dụng của tích phân xác định
Một số kiến thức cần nhớ
Nội dung các bài toán về diện tích hình phẳng:
3 bài toán cơ bản
Bài toán về thể tích tròn xoay
Các ví dụ
Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra
bởi phép quay xung quanh trục ox của hình
phẳng giới hạn bởi trục ox và đờng

)0(sin2

= xxy
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đờng
3,34
2
+=+= xyxxy
Bài 3: Tính diện tíc hình phẳng giới hạn bởi
các đờng
24
,
4
4
22
x
y
x
y ==
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(P) y
2
=16x và các tiếp tuyến tại A(1;4) B(4;-8)
Bài tập áp dụng
1) Tính tích phân

+
=
3
1

3
1
dx
xx
I
2) Tính tích phân

+=
8ln
3ln
2
.1 dxeeI
xx
3) Tính tích phân

=
2
0
2
cos)12(

xdxxI
4) Tính tích phân

+
=
3
1
2
1ln

ln
e
dx
xx
x
I
5) Tính tích phân

+=
2
0
sin
cos)cos(

xdxxeI
x
6) Tính tích phân

+
+
=
2
0
2
4
4
1
dx
x
xx

I
7) Tính tích phân

+
+
=
7
0
3
1
2
dx
x
x
I
8) Tính tích phân

+=
4
0
sin
)cos(

dxxetgxI
x
9) Tính tích phân

=
3
0

2
sin

dxtgxxI
10)Tính tích phân

=
2
0
cos
.2sin

dxxeI
x
11) Tính tích phân

+
=

0
2
cos1
sin.
dx
x
xx
I
12)Tính tích phân

+

+
=
3
0
2
35
1
2
dx
x
xx
I
13)Tính tích phân

=
e
dxxxI
1
2
.ln
14)Tính tích phân
1
2 2
0
4 3I x x dx=

15)Tính tích phân

+=
3

1
2
.2 dxmxxI
a) Tính I khi m=1
b) Tính I theo m với m<-3
Chuyên đề 8: Một số
dạng bài tâp khác
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
1) Giả sử x,y là 2 số dơng thay đổi thoả mãn
x+y=5/4 Tìm GTNN của F=4/x+1/4y Tìm
GTLN, GTNN của biểu thức sau
xxy cos3sin
5
+=
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
18
ôn thi đại học cấp tốc
2) Gọi (x,y) là nghiệm hệ phơng trình



+=+
=
13
42
mymx
mmyx
với m là tham số . Tìm
GTLN của biểu thức A=x

2
+y
2
-2x khi m
thay đổi
HD ĐS I=pi/8-1/4.ln2
3) Cho
2
sin)(
2
x
xexf
x
+=
Tìm GTNN của
hàm số f(x) và CMR phơng trình f(x)=3 có
đúng 2 nghiệm
4) Xét tam giác ABC thoả mãn điều kiện
A90
0
và sinA=2sinB.sinC.tgA/2 Tìm
GTNN
B
A
sin
2
sin1
Bài 2: Bài toán về đại số:
1) Xác định m để hệ sau có nghiệm

=+
+
0163
045
2
2
xmxx
xx
Bài 4: Bài toán về bất đẳng thức
1) Chứng minh rằng với mọi x ta có
xxx
xxx
543
3
20
4
15
5
12
++

+






+






Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
19