LUYỆN THI ĐẠI HỌC-PP LƯỢNG GIÁC

Chuyên đề: LG
1

Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
k
k
α α
α π
α α π
α
π
α α π
α
+ =
 
= ≠ +
 

 
 
= + ≠ +
 
 

( )
( )
2
2
tan .cot 1
cos
cot
sin
1
cot 1
sin
k
k
α α
α
α α π
α
α α π
α
=
= ≠
= + ≠

2. Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:
(
)
( )
( )
sin sinacosb sinbcosa
cos cosa cosb sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m


Công thức nhân:
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin3 3sin 4sin
3tan tan
tan3 =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a
a
=
= − = − = −
= −
= −
−
−


Tích thành tổng:
cosa.cosb =
1
2
[cos(a
−
b
)+cos(
a

+
b
)]
sin
a
.sin
b
=
1
2
[cos(
a
−
b
)
−
cos(
a
+
b
)]
sin
a
.cos
b
=
1
2
[sin(
a

−
b
)+sin(
a
+
b
)]
Tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =

sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =

cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =

cos cos 2sin sin

2 2
a b a b
a b
+ −
− = −

sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
±
± =

Công thức hạ bậc:
cos
2
a =
1
2
(1+cos2a)

sin
2
a =
1
2
(1
−

cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =

Chuyên đề: LG
2

2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
= = =
+ + −


3. Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k
π
π π

= +

⇔

= − +

* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π

* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

(
)
Z
k ∈
.
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2

x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải các
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c
+ ≥
.
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt
tan
b
a
α
= , ta
đượ
c: sinx+tan
α
cosx=
cos
c
a
α

⇔
sinx
cos
α
+

sin
α
cosx
=
cos
c
a
α

⇔
sin(
x
+
α
)=
cos
c
a
α
sin
ϕ
=
ñaët
.
Cách 2: Chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho
2 2

a b
+
, ta
đượ
c:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +

Đặ
t:
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ

ng:
2 2
cos sin sin cos
c
x x
a b
β β
+ =
+
hay
( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
ñaët
.
Cách 3:
Đặ
t
tan
2
x
t = .
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
D

ạ
ng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách 1: + Ki
ể
m tra nghi
ệ
m v
ớ
i
2
x k
π
π
= + .
+ Gi
ả
s
ử
cosx≠0: chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho cos
2
x ta
đượ

c: atan
2
x+btanx+c=0.
Chú ý:
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k
x
π
π
 
= + ≠ +
 
 

Cách 2: Áp d
ụ
ng công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
D

ạ
ng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách gi
ả
i:
Đặ
t t= sinx± cosx.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n | t |
2
≤
.

sin cos 2 sin 2cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π
   
+ = + = −
   
   
   

− = − = − +
   
   
Löu y ùcaùc coâng thöùc:





Chuyên đề: LG
3

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos 2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x
− − + +
+ = +

⇔
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔
2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔
2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔
4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

π kπ
π
x
x kπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
π π
x kπ x nπ


= +

= +


=






⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈




=





= + = +




¢

Ví dụ 2.
Gi

ả
i ph
ươ
ng trình: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos
8
x+sin
8
x) (2).
Giải
Ta có (2) ⇔ cos
6
x(2cos
2
x
−
1) = sin
6
x(1
−
2sin
2
x)
⇔ cos2x(sin
6
x–cos
6

x) = 0
⇔ cos2x(sin
2
x–cos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
⇔ cos2x = 0
⇔
2 ,( )
2 4 2
π π kπ
x kπ x k= + ⇔ = + ∈
¢

Ví dụ 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
6 3 4
8 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0
x x x x
+ − − =
(3).
Giải

Ta có:
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos2 )(cos2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2
2(cos2 cos2 cos4 ) 2
2
cos2 (1 cos4 )
2
2
cos2 .cos 2
4
2
cos2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
⇔ − + − =
⇔ + =
⇔ + + + − − =
⇔ + =
⇔ + =

⇔ =
⇔ = ⇔ = ± ,( )kπ k+ ∈¢

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác:
8 8
17
sin cos
32
x x+ =
(4).
Giải
Ta có (4)
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
− +
   
⇔ + = ⇔ + + =

   
   

Chuyên đề: LG
4

Đặt cos
2
2x = t, với t∈[0; 1], ta có
2 2
1
17 13
2
6 1 6 0
13
4 4
2
t
t t t t
t

=

+ + = ⇔ + − = ⇔


= −



Vì t∈[0;1], nên
2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x
+
= ⇔ = ⇔ =

⇔cos4x = 0 ⇔
4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k= + ⇔ = + ∈
¢

Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) ⇔ 2(1
−
cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos
2
x + cosx – 1 = 0
⇔ (1
−

cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)
−
1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)

x x k π k
x x x x
= ⇔ = ∈

⇔

+ + + =

¢

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
| | 2
t ≤ , khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t
2
– 1 + 1 = 0 ⇔ t
2
+ 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2 (
4
t

π
x x x nπ n
t lo
=

⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈

= −

¢
¹i)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
x n
π
= − +
;
2 , ( , )
x k π n k
= ∈
¢

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
|sin |
cos
x

π x
= (6).
Giải
Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≥
0
Do
|sin | 0,
x
≥
nên
|sin | 0
1
x
π π
≥ =
, mà |cosx|
≤
1.
Do
đ
ó
2 2 2
0
|sin | 0 ,( )

(6)
0
| cos | 1 ,( )
k n
x k π k π n
x x kπ k
x
x nπ x nπ
x x nπ n
+
 
= =
 
= = 
= = ∈
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
=
= =
= = ∈
 

 
 
¢
¢

(Vì k, n ∈ Z). V
ậ

y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7
: (
Đ
H S
ư
ph
ạ
m 2) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
1 cos
2
x
x
− = .
Giải
Đặ
t
2

( )=cos
2
x
f x x + . D
ễ
th
ấ
y f(x) = f(
−
x),
x
∀ ∈
¡
, do
đ
ó f(x) là hàm s
ố
ch
ẵ
n vì v
ậ
y tr
ướ
c h
ế
t ta ch
ỉ
xét
v
ớ

i x
≥
0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) =
−
cosx+1, ∀x
≥
0
⇒
f’(x) là hàm
đồ
ng bi
ế
n, do
đ
ó f’(x)
≥
f’(0), v
ớ
i x
≥
0
⇒
f(x)
đồ
ng bi
ế
n v
ớ
i x

≥
0 .
M
ặ
t khác ta th
ấ
y f(0)=0, do
đ
ó x=0 là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
Ví dụ 8
: (
Đ
H Bách Khoa) V
ớ
i n là s
ố
t
ự
nhiên b
ấ
t kì l
ớ

n h
ơ
n 2, tìm x thu
ộ
c kho
ả
ng
0;
2
π
 
 
 
tho
ả
mãn
ph
ươ
ng trình:
2
2
sin cos 2
n
n n
x x
−
+ = .
Giải
Đặ
t f(x) = sin

n
x + cos
n
x, ta có : f’(x) = ncosx.sin
n-1
x – nsinx.cos
n-1
x.
= nsinx.cosx(sin
n-2
x – cos
n-2
x)
Chuyên đề: LG
5

Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng
0;
2
π
 
 
 
, ta có minf
(
x
) =
f
4
π

 
 
 
=
2
2
2
n
−

V
ậ
y
x
=
4
π
là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:

1. cos
3
x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +

2. tanx.sin
2
x−
−−
−2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai v
ế
cho sin
2
x
Đ
S:
; 2
4 3
x k x n
π π

π π
= − + = ± +

3. 2sin3x−
−−
−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
Đ
S:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +

4. |sinx−
−−
−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k
π
= .
5. 4(sin3x−
−−
−cos2x)=5(sinx−
−−
−1) (ĐH Luật Hà Nội)
Đ
S:

2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l
π
π α π π α π
= + = + = − +
v
ớ
i
1
sin
4
α
= −
.
6. sinx−
−−
−4sin
3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x k
π
π
= + .
7.
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π

   
− = +
   
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
4 2
x k
π π
= +

8. sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x=sin
3
4x
HD: sin
2
x
.sin
x
.cos3
x
+cos
2
x
. cos
x
.sin3

x
=sin
3
4
x

Đ
S:
12
x k
π
=
.
9.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 
 
 

−
 
 
ĐS:
4
8
5
8
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
−

= +


−

= +



= +




10.
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cos
x x x x x x
− = −

HD: Chia hai v
ế
cho cos
3
x

Đ
S:
x
=
3
k
π
π
− +
,
4
x k
π
π
= ± +

11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD:
Đư
a v
ề
cung
x

đặ
t th
ừ
a s
ố

Đ
S:
2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈
¢

12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1)
⇔
2sin

x
cos
x
+2cos
2
x
–1=1+sin
x
–3cos
x
.
⇔
2cos
2
x
+(2sin
x
cos
x
+3cos
x
)–sin
x
–2=0.
⇔
2cos
2
x
+(2sin
x

+3)cos
x
–(sin
x
+2)=0.
Đặ
t
t
=cos
x
,
Đ
K
1
t
≤

, ta
đượ
c: 2
t
2
+(2sin
x
+3)
t
–(sin
x
+2)=0.
∆

=(2sin
x
+3)
2
+3.2.(sin
x
+2)=(2sin
x
+5)
2
.
⇒

( )
1
1
2
cos
2
sin - 2
t
x
t x

=

⇒ =

=



loaïi
…(bi
ế
t gi
ả
i)
Chuyên đề: LG
6

13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin
2
x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK
1
t
≤

.
2(1–2cosx)t
2
–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)
2
.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos

2
x–sin
2
x)=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
15. Giải phương trình lượng giác:
(
)
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −

Giải
Điều kiện:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠




≠



T
ừ
(1) ta có:
(
)
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −

2sin .cos 2 sin
x x x
⇔ =

( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2

4
x k k
π
π
= − + ∈
¢

16. Giải phương trình:
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +

Gi
ả
i
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x

+
= + (1)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
sin 2 0
x
≠

2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
 
⇔ = +
 
 
2
2
1

1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho vô nghi
ệ
m.
17. Giải phương trình:
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 
 

.
Gi
ả
i
Pt⇔
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 
 
(cosx
)0
≠
2
1 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x
π
 
 
⇔ − − = −
  
 
 

⇔

(1–sin2
x
)(cos
x
–sin
x
) = 0
⇔
sin2
x
= 1 hoặc tan
x
= 1.
18. Giải phương trình:
( )
(
)
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0
x x c x c x x
+ − − + − − =
.
Giải
3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin )
3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x

+ − − + − − =
⇔ + − − + + − − =
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
=−+−−−−⇔ xxxxxxxx
Chuyên đề: LG
7

2
2
( 3cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x
x
⇔ − − − + =

=

− =

⇔ ⇔ =



+ − =


=

lo

,
3
2
x k
k
x k
π
π
π

= +

⇔ ∈

=

Z

19. Giải phương trình: cosx=8sin
3
6
x

π
 
+
 
 

Gi
ả
i
cos
x
=8sin
3
6
x
π
 
+
 
 
⇔
cosx =
(
)
3
3sin cos
x x
+

⇔

3 2 2 3
3 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0
x x x x x x x
+ + + − =
(3)
Ta th
ấ
y cos
x
= 0 không là nghiêm
(3)
⇔

3 2
3 3 tan 8tan 3 3 tan 0
x x x
+ + =

tan 0
x x k
π
⇔ = ⇔ =

20. Giải phương trình lượng giác:
(
)
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1

x x
x x x
−
=
+ −

Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠



≠



T

ừ
(1) ta có:
(
)
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −

2sin .cos 2 sin
x x x
⇔ =

( )
2
2
4
cos

2
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈
¢

Z

21.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
cos2 5 2(2 cos )(sin cos )
x x x x
+ = − −

Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −

⇔

− = − ≤


(
)

(
)
2
2
2sin 1 sin sin ( )
4 4 4
2
x k
x x k Z
x k
π
π
π π π
π π

= +

⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈

= +


22.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2cos3
x

+
3
sin
x
+ cos
x
= 0
Giải
3sin cos 2cos3 0
x x x
+ + =
⇔ sin
3
π
sinx + cos
3
π
cosx = – cos3x.
Chuyên đề: LG
8

⇔ cos
cos3
3
x x
π
 
− =−
 
 

⇔ cos
cos( 3 )
3
x x
π
π
 
− = −
 
 

⇔
3 2
( )
3
k
x
k
x k
π π
π
π

= +

∈


= +


Z
⇔
x
=
3 2
k
π π
+ (k∈Z)
23. Giải phương trình cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8
+

Gi
ả
i
Ta có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8
+
⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2 3 2

8
+

⇔
( )
2 2
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x
+
+ + − = ⇔
2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z
π π
= ⇔ = ± + ∈
.
24. Định m để phương trình sau có nghiệm
2
4sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m
π π π
     
+ − + − + + =
     
     

Gi
ả
i
Ta có:
*
(
)
4sin3 sin 2 cos2 cos4
x x x x
= −
;
*
( )
4cos 3 cos 2 cos 2 cos4 2 sin 2 cos4
4 4 2
x x x x x x
π π π
 
     
− + = − + = +
     
 
     
 

*
( )
2
1 1
cos 2 1 cos 4 1 sin 4

4 2 2 2
x x x
π π
 
   
+ = + + = −
   
 
   
 

Do
đ
ó ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
( )
1 1
2 cos2 sin 2 sin4 0 (1)
2 2
x x x m+ + + − =
Đặ
t
cos2 sin2 2 cos 2

4
t x x x
π
 
= + = −
 
 
(
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2 2
t− ≤ ≤
).
Khi
đ
ó
2
sin 4 2sin 2 cos2 1
x x x t
= = −
. Phương trình (1) trở thành:
2
4 2 2 0
t t m
+ + − =
(2) với

2 2
t− ≤ ≤

2
(2) 4 2 2
t t m
⇔ + = −
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường
( ) : 2 2
D y m
= −
(là đường song song với Ox và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P):
2
4
y t t
= +
với
2 2
t− ≤ ≤
.
x
2
−


2

y’ +
y

2 4 2
+


2 4 2
−


Trong đoạn
2; 2
 
−
 
, hàm số
2
4
y t t
= +
đạt giá trị nhỏ nhất là
2 4 2
−
tại
2
t
= −
và đạt giá trị lớn
nhất là
2 4 2
+
tại

2
t =
.
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 4 2 2 2 2 4 2
m− ≤ − ≤ +

2 2 2 2
m⇔ − ≤ ≤
.

−−−−−−−−−−
o0o
−−−−−−−−−−

Chuyên đề: LG
9

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
KHỐI A
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2
π
) của phương trình:
cos3 sin 3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x

+
 
+ = +
 
+
 
(Khối A_2002).
Giải


ĐS:
5
;
3 3
x x
π π
= = .
2. Giải phương trình:
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
(Khối A_2003)
Giải

ĐS:
( )
4
x k k
π
π
= + ∈
Z

3. Giải phương trình:
2 2
cos 3 cos 2 cos 0
x x x
− =
(Kh
ố
i A_2005)
Giải
Chuyên đề: LG
10


ĐS:
( )
2
k
x k
π
= ∈
Z

4. Giải phương trình:
(
)
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(
Khối A_2006
)
Giải

ĐS:
( )
5
2
4
x k k
π
π
= + ∈
Z

5.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
x x x x x
+ + + = + (
Khối A_2007
)
Giải

ĐS:
( )
, 2 , 2
4 2
x k x k x k k
π π
π π π
= − + = + = ∈
Z

6.
1 1 7
4sin

3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 
 
 
−
 
 

(
Khối A_2008
)
Giải
Chuyên đề: LG
11


ĐS:
( )
5
, , ,

4 8 8
x k x k x k k
π π π
π π π
− −
= + = + = + ∈
Z

7. Giải phương trình:
(
)
( )( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
. (
Khối A_2009
)
Giải

ĐS:
( )
2
,
18 3

x k k
π π
= − + ∈
Z


KHỐI B
8.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
− = − (Kh
ố
i B_2002)
Giải

ĐS:
( )
; ,
9 2
x k x k k
π π
= = ∈
Z

9.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + = (Kh
ố
i B_2003)
Giải
Chuyên đề: LG
12


ĐS:
( )
,
3
x k k
π
π
= ± + ∈
Z

10. Giải phương trình

(
)
2
5sin 2 3 1 sin tan
x x x
− = − (
Khối B_2004
)
Giải

ĐS:
( )
5
2 ; 2 ,
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
Z

11.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1 sin cos sin 2 cos 2 0
x x x x
+ + + + =

(Kh
ố
i B_2005)
Giải

ĐS:
( )
2
2
3
x k k
π
π
= ± + ∈
Z

12.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 
 

(Khối B_2006)
Giải
Chuyên đề: LG
13


ĐS:
( )
5
; ,
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
Z

13. Giải phương trình:
2
2sin 2 sin7 1 sin
x x x
+ − = (
Khối B_2007
)
Giải

ĐS:
( )
2 5 2
; ,

18 3 18 3
x k x k k
π π π π
= + = + ∈
Z

14.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cos
x x x x x x
− = − (
Khối B_2008
)
Giải


ĐS:
( )
; ,
4 2 3
x k x k k
π π π
π
= + = − + ∈
Z

15.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
+ + = + . (
Khối B_2009
)
Giải

ĐS:
( )
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
π π π
π
= + = − − ∈
Z

KHỐI D
Chuyên đề: LG
14

16. Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 (Khối D_2002)
Giải

ĐS:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= = = =
17.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 
 
(Khối D_2003)
Giải

ĐS:
( )

2 , ,
4
x k x k k
π
π π π
= + = − + ∈
Z

18. Giải phương trình
(
)
(
)
2cos 1 2sin cos sin 2 sin
x x x x x
− + = − (Kh
ố
i D_2004)
Giải

ĐS:
( )
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = − + ∈
Z

19.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
   
   
(Kh
ố
i D_2005)
Giải
Chuyên đề: LG
15


ĐS:
( )
,
4
x k k
π

π
= + ∈
Z

20. Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 (Khối D_2006)
Giải

ĐS:
( )
2
2 ,
3
x k k
π
π
= ± + ∈
Z

21. Giải phương trình
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 
 
(Kh
ối D_2007)

Giải

ĐS:
( )
2 , 2 ,
2 6
x k x k k
π π
π π
= + = − + ∈
Z

22. Giải phương trình
sin3 3 cos3 2sin 2
x x x
− = (C
Đ
_A_B_D_2008)
Giải


ĐS:
( )
4 2
2 , ,
3 15 5
x k x k k
π π π
π
= + = + ∈

Z

Chuyên đề: LG
16

23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)
Giải

ĐS:
( )
2
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈
Z

24. Giải phương trình (1+2sinx)
2
cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)
Giải

ĐS:
( )
5
, ,
12 12
x k x k k

π π
π π
= + = + ∈
Z

25. Giải phương trình
3 cos5 2sin3 cos 2 sin 0
x x x x
− − =
(Kh
ố
i D_2009)
Giải


ĐS:
( )
, ,
18 3 6 2
x k x k k
π π π π
= + = − + ∈
Z


−
−−
−Hết−
−−
−