2 hang dang thuc dau&nhung ung dung trong giai toan 8

Hằng đẳng thức
( )
22
2
2 BABABA +±=±
và những ứng dụng
trong giải toán lớp 8
1-Dạng 1: Tính nhanh, tính một cách hợp lý: đưa về HĐT để tính.
Ví dụ: a) 101
2
=(100+1)
2
=100
2
+2.100.1+1
2
=10201
b) 199
2
=(200-1)
2
=200
2
-2.200.1+1
2
=39601
c) 34
2
+66
2
+68.66=34

2
+2.34.66+66
2
=(34+66)
2
=100
2
=10000
d) 74
2
+24
2
-48.74=74
2
-2.74.24+24
2
=(74-24)
2
=50
2
=2500
2-Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức:
- Áp dụng HĐT để rút gọn biểu thức
- Thay giá trị của biến rồi tính
Ví dụ: a) 49x
2
-70x+25 với x=5
Ta có 49x
2
-70x+25=(7x)

2
-2.7x.5+5
2
=(7x-5)
2
Thay x=5 được 49x
2
-70x+25= (7.5-5)
2
=30
2
=900
b) 4x
2
+8x+4 với x=-3/2
Ta có 4x
2
+8x+4=4(x
2
+2x+1)=4(x+1)
2
Thay x=-3/2 được 4x
2
+8x+4=4(-3/2+1)
2
=4(-1/2)
2
=4.1/4=1
3-Dạng 3: Chứng minh biểu thức P(x)>0 với mọi giá trị của x.
Phương pháp: Đưa về dạng: P(x)=(x

±
a)
2
+số dương>0
Ví dụ: a) Chứng minh x
2
-6x+10>0 với mọi x
Ta có x
2
-6x+10=(x
2
-6x+9)+1=(x-3)
2
+1>0 với mọi x
b) Chứng minh x
2
-2xy+y
2
+1>0 với mọi x,y
Ta có x
2
-2xy+y
2
+1=(x
2
-2xy+y
2
)+1=(x-y)
2
+1>0 với mọi x,y

4-Dạng 4 : Chứng minh biểu thức P(x)<0 với mọi giá trị của x.
Phương pháp: Đưa về dạng: P(x)=-(x
±
a)
2
+số âm<0
Ví dụ : a) Chứng minh x-x
2
-1<0 với mọi x
Ta có x-x
2
-1=-(x
2
-2.x.1/2+1/4)-3/4=-(x-1/2)
2
-3/4<0 với mọi x.
b) Chứng minh -4x-x
2
-5<0 với mọi x.
Ta có -4x-x
2
-5=-(x
2
+2.x.2+4)-1=-(x+2)
2
-1<0 với mọi x.
5-Dạng 5 : Tìm GTNN của biểu thức P(x)
Phương pháp : Đưa về dạng : P(x)=(x
±
a)

2
+m
≥
m
Suy ra GTNN của P(x) là m khi x
±
a=0
Ví dụ : Tìm GTNN của các biểu thức sau :
a) M=x
2
+y
2
-x+6y+10
b) P=x
2
-2x+5
c) Q=2x
2
-6x
Giải:
a) M=(y
2
+6y+9)+(x
2
-x+1/4)+3/4=(y+3)
2
+(x-1/2)
2
+3/4
≥

3/4
1
Suy ra GTNN của M là 3/4 khi x=1/2,y=-3
b) P=(x
2
-2x+1)+4=(x-1)
2
+4
≥
4
Suy ra GTNN của P là 4 khi x=1
c) Q=2(x
2
-2.x.3/2+9/4)-9/2=2(x-3/2)
2
-9/2
≥
-9/2
Suy ra GTNN của Q là -9/2 khi x=3/2
6-Dạng 6 : Tìm GTLN của biểu thức P(x)
Phương pháp : Đưa về dạng : P(x)=-(x
±
a)
2
+n
≤
n
Suy ra GTLN của P(x) là m khi x
±
a=0

Ví dụ : Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a) A=4x-x
2
+3
b) B=x-x
2
c) C=2x-2x
2
-5
Giải:
a) A=-(x
2
-2.x.2+4)+7=-(x-2)
2
+7
≤
7
Suy ra GTLN của A là 7 khi x-2=0 hay x=2
b) B=-(x
2
-2.x.1/2+1/4)+1/4=-(x-1/2)
2
+1/4
≤
1/4
Suy ra GTLN của B là ¼ khi x=1/2
c) C=-2(x
2
-2.x.1/2+1/4)-9/2=-2(x-1/2)
2

-9/2
≤
-9/2
Suy ra GTLN của C là -9/2 khi x=1/2
7-Dạng 7 : Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức. Tìm
thương của phép chia hai đa thức.
Ví dụ : Thực hiện phép chia :
a) (x
2
+2xy+y
2
) :(x+y)
b) (x
2
-2xy+y
2
) :(y-x)
Giải :
a) (x
2
+2xy+y
2
) :(x+y)=(x+y)
2
:(x+y)=x+y
b) (x
2
-2xy+y
2
) :(y-x)=(y-x)

2
:(y-x)=y-x
8-Dạng 8 : Rút gọn phân thức : Dùng HĐT phân tích tử và mẫu thành
nhân tử. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ví dụ : Rút gọn các phân thức sau :
a)
xx
xx
2
12123
2
2
−
+−
; b)
xx
xx
33
7147
2
2
+
++
Giải :
a)
x
x
xx
x
xx

xx
xx
xx )2(3
)2(
)2(3
2
)44(3
2
12123
2
2
2
2
2
−
=
−
−
=
−
+−
=
−
+−
b)
x
x
xx
x
xx

xx
xx
xx
3
)1(7
)1(3
)1(7
33
)12(7
33
7147
2
2
2
2
2
+
=
+
+
=
+
++
=
+
++
9-Dạng 9 : Tìm n để đa thức A chia hết cho đa thức B.
Ví dụ : Tìm n để đa thức 4x
2
+12x+9 chia hết cho đa thức 2x+n

2
Giải : Ta có : 4x
2
+12x+9=(2x+3)
2
4x
2
+12x+9

2x+n
⇔
(2x+3)
2

2x+n
⇔
n=3
•
Chú ý : Thực hiện phép chia cũng được song phức tạ hơn :
4x
2
+12x+9 2x+n
4x
2
+2nx 2x+(6-n)
(12-2n)x+9
(12-2n)x+6n-n
2
n
2

-6n+9
Ta có 4x
2
+12x+9

2x+n
⇔
n
2
-6n+9=0
⇔
(n-3)
2
=0
⇔
n=3
10-Dạng 10 : Giải toán tìm x : Đưa về dạng (x
±
a)
2
=0, suy ra x=
±
a
Ví dụ : Tìm x biết :
a) x
2
-x+1/4=0
b) x
2
-4x+4=0

Giải:
a) x
2
-x+1/4=0
⇔
(x-1/2)
2
=0
⇔
x=1/2
b) x
2
-4x+4=0
⇔
(x-2)
2
=0
⇔
x=2
3