skkn phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giảI toán
Môn Toán 8
Mục lục
1
Stt Nội dung
Từ trang
đến trang
Phần thứ nhất: đặt vấn đề
1 Lý do chọn đề tài - mục đích nghiên
cứu
2 đến 3
Phần thứ hai: giải quyết vấn đề
1 Các hệ thống kiến thức cơ bản 3 đến 4
2
Những vấn đề cần giải quyết
Phần I - các bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử và khai thác các kết quả
của chúng.
Phần II - Một số lợi ích của việc phân
tích đa thức thành nhân tử.
4 đến 22
22 đến 31
3 Kết quả 31 đến 32
4 Bài học kinh nghiệm 32 đến 33
5 Phạm vi áp dụng - Hớng đề xuất 33 đến 34
Phần thứ ba: kết luận
1 Kết luận 35
2 Bài tập đề nghị 36
3 Danh mục tài liệu tham khảo 37
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

A/ Đặt vấn đề
ở trờng phổ thông học sinh đợc học rất nhiều bộ môn khác nhau. Một
trong những bộ môn đợc các em yêu thích đó là môn toán bởi lẽ nó là bộ môn
khoa học có tác dụng phát triển t duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, phát huy tính
tích cực trong học tập. Việc học tốt môn toán là cơ sở để giúp các em học tốt
những môn khác. Là một giáo viên dạy toán tôi thấy việc hớng dẫn các em biết
cách giải đối với từng loại toán là rất cần thiết.
Trong chơng trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng,
việc nắm vững phơng pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong
việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đợc ứng dụng rất nhiều trong các bài
toán khác nh giải phơng trình, rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức Qua
nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp
bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình,
học sinh yếu. Ngợc lại đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích phân tích
đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập. Trong
tôi lúc nào cũng đặt ra một câu hỏi làm thế nào để cho các đối tợng học sinh
đều thích thú, say mê học đối vi dạng toán này?". Trong phạm vi đề tài này
tôi muốn đa ra các phơng pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có một kĩ năng
thành thạo, phơng pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này. Vì vậy việc tập hợp
hệ thống các bài toán ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tợng học sinh,
đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Qua đó giúp các em biết vận dụng dạng
toán này để giải các bài toán khác. Trong chơng trình đại số 8 sách giáo khoa có
đa ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là:
- Đặt nhân tử chung,
- Dùng hằng đẳng thức,
- Nhóm các hạng tử và phối hợp các phơng pháp trên để phân tích đa
thức thành nhân tử.
2
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các
phơng pháp trên mà giải đợc. Gặp các bài nh vậy thì các em lại lúng túng không
biết làm thế nào và sử dụng phơng pháp nào để giải.
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc hệ thống các phơng pháp giải đối với
từng loại là rất cần thiết nó giúp các em thấy đợc sự đa dạng và phong phú về nội
dung của từng loại toán. Đồng thời giúp cho các em có một cách nhìn nhận dới
nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự
tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều
hứng thú khi học bộ môn toán. Với hi vọng nhỏ là làm sao cho các em học sinh
có thể thực hiện đợc các bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử một cách
say mê và hứng thú đã giúp tôi chọn chuyên đề:
Phõn tớch mt a thc thnh nhõn t v cỏc ng dng trong gii toỏn
B/GiảI quyết vấn đề
I-Các hệ thống kiển thức cơ bản
Trớc hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán
Phân tích đa thức thành nhân tử .
1- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đơn thức và đa thức khác.
2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp thông thờng
a. Đặt nhân tử chung
b. Dùng hằng đẳng thức
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(A - B)
2

= A
2
- 2AB + B
2
A
2
- B
2
= ( A - B)(A + B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A

3
+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B
2
)
3
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
c. Nhóm các hạng tử
d. Phối hợp các phơng pháp trên
3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp khác
a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
b. Thêm, bớt cùng một hạng tử
c. Đặt ẩn phụ
d. Dùng phơng pháp hệ số bất định
e. Nhẩm nghiệm
f. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A)
g. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0
h. Cho đa thức f(x) = a

n
x
n
+ a
n -1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0

Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ớc của a
0
.
II- Những vấn đề cần giải quyết
Nh đã nêu trong phần đầu các bài toán phân tích thành nhân tử đợc sắp xếp ở
ngay đầu chơng I sau các bài nhân đa thức và hằng đẳng thức, với thời lợng chỉ
có 6 tiết bao gồm 5 tiết lí thuyết và 1tiết luyện tập thì các em học sinh chỉ kịp
hoàn thành phần bài tập chứ cha nói đến việc khai thác và xem xét các ứng dụng
của các phơng pháp phân tích đó.
Để rèn kĩ năng cho học sinh trong quá trình giải các bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử tôi đã phân dạng các bài toán thành hai loại:
- Bài tập thông thờng và các bài tập đợc khai thác từ đó.
- Các bài toán ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần I - Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các kết
quả của chúng
I - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp thông thờng
(đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử . . .)
Đây là các phơng pháp đợc dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn

giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bớc
4
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
- 3x b. 12x
3
- 6x
2
+ 3x
c.
5
2
x
2
+ 5x
3
+ x
2
y d. 14x
2
y - 21xy
2
+ 28x
2
y
2
Giải
a. x

2
- 3x = x(x - 3)
b. 12x
3
- 6x
2
+ x = 3x(4x
2
-2x +3)
c.
5
2
x
2
+ 5x
3
+ x
2
y = x
2
(
5
2
+ 5x + y)
d. 14x
2
y - 21xy
2
+ 28x
2

y
2
= 7xy(2x - 3y + 4xy)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 5x
2
(x - 2y) - 15xy(x - 2y)
b. x(x + y) + 4x + 4y
Giải
a. 5x
2
(x - 2y) - 15xy(x - 2y)
= (x - 2y)(5x
2
- 15xy)
= (x - 2y)5x(x - 3y)
b. x(x + y) + 4x + 4y
= x(x + y) + (4x + 4y)
= x(x + y) + 4(x + y)
= (x+ y)(x + 4)
Nhận xét: ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thc thành nhân tử ở mức độ
đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay đợc nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện
nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức nh ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 10x(x - y) - 8y(y - x)
b. 5x(x - 2000) - x + 2000
Giải
a.10x(x - y) - 8y(y - x)
5
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

= 10x(x - y) + 8y(x - y
= (x - y)(10x + 8y)
=2(x - y)(5x + 4y)
b. 5x(x - 2000) - x + 2000
= 5x(x - 2000) - (x - 2000)
= (x - 2000)(5x - 1)
Lỗi thờng gặp của các em học sinh khi giải bài toán ở dạng này chính là không
biết nhóm hay đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên cần hớng
dẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện đợc một cách dễ dàng.
Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu các em học sinh chỉ cần có một chút cố gắng
thì sẽ thực hiện đợc bài toán nhng cũng là phân tích đa thức bằng cách đặt nhân
tử chung thì bài toán sau đây đòi hỏi các em phải có một cố gắng nhất định thì
mới thực hiện đợc:
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. (a - b)x + (b - a)y - b + a
b. (a + b - c)x
2
- (c - a - b)x
Giải:
a. (a - b)x + (b - a)y - b + a
= (a - b)x - (a - b)y + (a - b)
= (a - b)(x - y + 1)
b.(a + b - c)x
2
- (c - a - b)x
= (a + b - c)x
2
+ (a + b - c)x
= (a + b - c)x(x + 1)
Nhận xét: Trong hai ví dụ vừa nêu thì trong ví dụ 1 học sinh có thể biết đổi dấu

ở hạng tử thứ hai từ b - a thành a - b để xuất hiện nhân tử chung nhng đối với
hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng không có nhân tử chung
nhng chỉ cần hớng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũng
bằng nhận xét tơng tự nh vậy ta có cách làm tơng tự đối với ví dụ thứ hai.
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là
cách làm thông dụng nhất đợc áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phơng pháp này
yêu cầu học sinh phải nắm chắc bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
- 6x +9
6
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b. x
2
- 6
c. 1- 27x
3
d. x
3
+
3
1
x
e. -x
3
+ 9x
2
- 27x + 27
Giải

a. x
2
- 6x + 9 = (x-3)
2
b. x
2
- 6 = (x-
6
) (x+
6
)
c. 1- 27x
3
= (1 - 3x)(1 + 3x + 9x
2
)
d. x
3
+
3
1
x
= (x +
1
x
)(x
2
- 1 +
2
1

x
)
e. -x
3
+ 9x
2
- 27x + 27 = -(x
3
- 9x
2
+ 27x - 27) = -(x - 3)
3
ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã đợc khai triển. Việc phân tích chỉ là
cách viết theo chiều ngợc lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng
thực hiện đợc nếu nh các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức,
thế nhng trong các ví dụ sau đây thì muốn áp dụng đợc hằng đẳng thức thì các
em phải có một sự biến đổi thì mới có hằng đẳng thức.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. (x + y)
2
- 6(x + y) + 9
b. 16a
2
- 49(b - c)
2
c. 49(y - 4)
2
- 9(y - 2)
2

Giải
a.(x + y)
2
- 6(x + y) + 9
= (x + y)
2
- 6(x + y) + 3
2

= (x + y - 3)
2
b.16a
2
- 49(b - c)
2
= (4a)
2
-
( )
2
7 b c




= (4a - 7b + 7c)(4a + 7b - 7c)
c. 49(y - 4)
2
- 9(y - 2)
2

7
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
49 4 9 2 7 4 3 2
7 4 3 2 7 4 3 2
7 28 3 6 7 28 3 6
4 22 10 34
y y y y
y y y y
y y y y
y y

=


= +

= + +
=
Ta có thể thấy trong ba ví dụ trên không khó nhng vấn đề ở chỗ là học sinh
không nhận dạng đợc hằng đẳng thức ngay cho nên việc phân tích sẽ gặp khó
khăn vì thế trong những ví dụ dạng nh thế nên hớng dẫn các em nhận dạng sau
đó thì phân tích.
Phơng pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đó là phơng pháp

nhóm các hạng tử. Đối với phơng pháp này cần lu ý cho học sinh khi nhóm các
hạng tử phải chú đến dấu trớc ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc.
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. x
2
- x - y
2
- y b. x
2
- 2xy + y
2
- z
2
c. x
2
- 3x + xy - 3y d. 2xy + 3z + 6y + xz
Giải
a, x
2
- x - y
2
- y b, x
2
- 2xy + y
2
- z
2
=( x
2
- y

2
) - (x + y) = (x
2
- 2xy + y
2
) - z
2
= (x + y) (x - y) - (x +y) = (x-y)
2
- z
2
=(x + y) (x - y - 1) = (x - y - z)(x - y + z)
c, x
2
- 3x + xy - 3y d, 2xy + 3z + 6y + xz
=(x
2
+ xy) - (3x + 3y) =(2xy + 6y) + (3z + xz)
=x(x + y) - 3(x + y) =2y(x + 3) + z(3 + x)
=(x + y)(x - 3) =(x + 3)(2y + z)
ở ví dụ này khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phơng
pháp nh : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)
b. a
3
(b
2
- c
2

) + b(c
2
- a
2
) + c(a
2
- b
2
)
Phơng pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba hạng tử còn
giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số
8
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
hạng thứ ba, trong câu a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ
ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a + b
Giải
a. bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)
= b
2
c + bc
2
+ c
2
a - ca
2
- ab(a + b)
= (b
2
c - ca
2

) + (bc
2
+ c
2
a) - ab(a + b)
= c(b
2
- a
2
) + c
2
(b + a) - ab(a + b)
= c(b - a)(b + a) + c
2
(b + a) - ab(a + b)
= (b + a)(cb - ca + c
2
) - ab(a + b)
= (a + b)(cb - ca + c
2
- ab)
= (a + b)[(cb + c
2
) - (ca + ba)
= (a + b)[c(b + c) - a(c + b)]
= (a + b)(b + c)(c - a)
b. a
3
(b
2

- c
2
) + b
3
(c
2
- a
2
) + c
3
(a
2
- b
2
)
= a
3
b
2
- a
3
c
2
+

b
3
c
2
- b

3
a
2
+ c
3
(a
2
- b
2
)
= (a
3
b
2
- b
3
a
2
) - (a
3
c
2
- b
3
c
2
) + c
3
(a
2

- b
2
)
= a
2
b
2
(a - b) - c
2
(a
3
- b
3
) + c
3
(a
2
- b
2
)
= a
2
b
2
(a - b) - c
2
(a - b)(a
2
+ ab + b
2

) + c
3
(a - b)(a + b)
= (a - b)(a
2
b
2
- c
2
a
2
- c
2
ab - c
2
b
2
+ c
3
a + c
3
b)
= (a - b)[( a
2
b
2
- c
2
b
2

) + (c
3
b - c
2
ab) + (c
3
a - c
2
a
2
)]
= (a - b)[b
2
(a - c)(a + c) + c
2
b(c - a) + c
2
a(c - a)]
= (a - b)(a - c)(b
2
a + b
2
c - c
2
b - c
2
a)
= (a - b)(a - c)[(b
2
a - c

2
a) + (b
2
c - c
2
b )]
= (a - b)(a - c)[ a(b - c)(b + c) + bc(b - c)]
= (a - b)(a - c) (b - c)(ab + ac + bc)
Chú ý:Ta có thể khai triến hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện
nhân tử chung b + c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung
c - a
Câu a có thể hớng dẫn học sinh theo cách sau đây:
Vì (c - a) + (a + b) = (b + c). Do vậy ta có:
bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)
= bc[(c - a) + (a + b)] + ca(c - a) - ab(a + b)
9
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= bc(c - a) + bc(a + b) + ca(c - a) - ab(a + b)
= [bc(c - a) + ca(c - a)] + [bc(a + b) - ab(a + b)]
= (c - a)(bc + ca) + (a + b)(bc - ab)
= c(c - a)(a + b) + b(a + b)(c - a)
= (a + b)(b + c)(c - a)
Bài tập tơng tự: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x
2
y
2
(y - x) + y
2
z

2
(z - y) - z
2
x
2
(z - x)
Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nh thế nào
cuối cùng cũng phải đạt đợc mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng đợc
hằng đẳng thức đáng nhớ nh vậy yêu cầu đặt ra với ngời thầy là hớng dẫn cho
các em nhóm nh thế nào cho hợp lí để xuất hiện nhân tử chung sau đó tiến hành
phân tích các đa thức đó.
Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành nhân tử
bằng các phơng pháp thông thờng đã nêu trong SGK tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở
các phơng pháp đó thì sẽ thích hợp với các em học sinh ở dạng trung bình còn
đối với các em học sinh khá, giỏi thì sẽ làm cho các em nhàm chán vì vậy có thể
giới thiệu thêm cho các em các phơng pháp bổ sung khác để giúp cho học sinh
khá giỏi tìm hiểu
II - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử, thêm bớt các hạng tử .
a - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử
Phơng pháp này cho các đa thức cha phân tích đợc ngay thành nhân tử. Ta tách
một hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng các phơng pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x
2
- 7x + 12
b. 4x
2
- 3x - 1

Giải
a. x
2
- 7x + 12
Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x - 3x
Ta có x
2
- 7x + 12 = x
2
- 4x - 3x + 12
=(x
2
- 4x) - (3x - 12)
10
Ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö vµ c¸c øng dông trong gi¶i to¸n
= x(x - 4) -3(x - 4)
=(x - 4)(x - 3)
C¸ch 2: T¸ch sè h¹ng 12 thµnh 21 - 9
Ta cã x
2
- 7x + 12 = x
2
- 7x + 21 - 9
= (x
2
- 9) - (7x - 21)
= (x - 3) (x + 3) - 7(x - 3)
= (x - 3) (x + 3 - 7)
= (x - 3) (x - 4)
C¸ch 3: T¸ch sè h¹ng 12 thµnh -16 + 28

Ta cã x
2
- 7x + 12 = x
2
- 7x + 28 - 16
= (x
2
- 16) - (7x - 28)
= (x - 4)(x + 4) - 7(x - 4)
= (x - 4) (x + 4 - 7)
= (x - 4)(x - 3)
C¸ch 4: T¸ch sè h¹ng -7x thµnh -6x - 3x vµ 12 = 9 + 3
Ta cã x
2
- 7x + 12 = x
2
- 6x + 9 - x + 3
= (x
2
- 6x + 9) - (x - 3)
= (x - 3)
2
- (x - 3)
= (x - 3)(x - 3 - 1)
= (x - 4)(x - 3)
C¸ch 5: T¸ch sè h¹ng -7x thµnh -8x + x vµ 12 = 16 - 4
Ta cã x
2
- 7x + 12 = x
2

- 8x + 16 + x - 4
= (x
2
- 8x + 16) + (x - 4)
= (x - 4)
2
+ (x - 4)
= (x - 4)(x - 4 + 1)
= (x - 4)(x - 3)

b. 4x
2
- 3x - 1
C¸ch 1: T¸ch sè h¹ng 4x
2
thµnh x
2
+ 3x
2
Ta cã 4x
2
- 3x - 1 = x
2
+ 3x
2
- 3x - 1
= (x
2
- 1) + (3x
2

- 3x)
= (x - 1)(x + 1) + 3x(x - 1)
11
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= (x - 1)(x + 1+ 3x)
= (x - 1)( 4x + 1)
Cách 2: Tách số hạng -3x thành - 4x + x
4x
2
- 3x - 1 = 4x
2
- 4x + x - 1
= 4x(x - 1) + (x - 1)
= (x - 1)(4x + 1)
Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 + 3
4x
2
- 3x - 1 = 4x
2
- 3x - 4 + 3
= 4(x - 1)(x + 1) -3 (x - 1)
= (x - 1)(4x + 4 - 3)
= (x - 1)(4x + 1)
Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhân tử có ba lời giải t-
ơng ứng với ba cách tách học sinh có thể chọn một trong ba cách.
Cần tổng kết cho học sinh thấy đợc có nhiều cách tách hạng tử nhng trong đó có
hai cách tách thông dụng nhất đó là:
- Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức:
(mx + n)(px + q) = mpx
2

+ (mq + np)x + nq nh vậy trong tam thức ax
2
+ bx + c,
hệ số b đợc tách thành hai hạng tử b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
.b
2
= ac.
- Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử nh trong ví dụ 1 phần a ta tách 12 = -16 +
28
- Hoặc đôi khi có thể tách một hạng tử thành 3 hạng tử để phân tích thành nhân
tử
Ví dụ 2: Phân tích đa thức trên thành nhân tử
a. x
3
- 2x - 4
b. x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10
Giải
a. x
3
- 2x - 4 =.x
3

- 2x - 8 + 4
= (x
3
- 8) - (2x - 4)
= (x - 2)(x
2
+ 2x + 4) -2(x - 2)
b. x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10 = x
3
+ x
2
+ 7x
2
+ 10x + 7x + 10
= x
2
(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1)
= (x + 1)(x
2
+ 7x + 10)
= (x + 1)(x
2
+ 2x + 5x + 10)
12
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)]

= (x + 1)(x + 2)(x + 5)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức trên thành nhân tử
a. x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
b. x
3
- 11x
2
+ 30x
Giải
a. x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4 = x
3
+ x
2
+ 2x
2
+ 2x + 4x + 4
= x
2
(x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x + 1)
= x(x + 1)(x
2
+ 2x + 4)

x
2
+ 2x + 4 = x
2
+ 2x + 1 + 3 = (x + 1)
2
+ 3
vì (x + 1)
2


0

x

R nên (x + 1)
2
+ 3

3

x
2
+ 2x + 4 không thể phân tích
đợc với các hệ số nguyên.
b. x
3
- 11x
2
+ 30x = x(x

2
- 11x + 30)
= x(x
2
- 5x - 6x +30)
= x [x(x - 5) - 6(x - 5)]
= x(x - 5)(x - 6)
Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà không thể phân tích đợc
nữa. Vậy làm thế nào để biết đợc một đa thức có phân tích đợc hay không ta dựa
vào định lí sau:
Một đa thức: a
n
x
n
+ a
n - 1
x
x - 1
+ + a
1
x + a
0
. Đa thức này nu có nghiệm là
số nguyên thì nghiệm đó phải là ớc của hệ số tự do a
0
.
Ví dụ: Đa thức: x
2
+ 2x + 4 không phân tích đợc thnh nhõn t vi cỏc h s
nguyờn bởi vì: Nếu phân tích đợc thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ớc

của 4. Ta thấy Ư
(4)
= { 1; 2; 4} thử các giỏ trị đó đều không phải là nghiệm
của đa thức
x
2
+ 2x + 4 nên đa thức này không phân tích đợc thnh nhân t vi cỏc h s
nguyờn. Nhng thc t a thc ó cho vn cú th phõn tớch c thnh nhõn t
vi cỏc kt qu h s l vụ t:
x
2
+ 2x + 4 = (x + 1)
2
- 5 = (x + 1 -
5
)(x + 1 +
5
)
b- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp thêm, bớt hạng tử:
13
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng của một
hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức
bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng đợc phơng pháp
phân tích đã biết.
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a
3
+ b
3

+ c
3
- 3abc = a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
+ c
3
- 3a
2
b - 3ab
2
- 3abc
= (a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
) + c
3
- (3a
2
b + 3ab

2
+ 3abc)
= (a + b)
3
+ c
3
- 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a+b)
2
- (a + b)c + c
2

- 3ab]
= (a + b + c) (a
2
+2ab + b
2
- ac - bc + c
2
- 3ab)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2

+ c
2
- ab - ac - bc)
Trong bài toán trên ta đã thêm và bớt các hạng tử 3a
2

b, 3ab
2
để có thể
nhóm vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x
5
+ x + 1
c) x
8
+ x
7
+ 1
Giải:
a) x
5
+ x
4
+ 1
Ta sẽ thêm bớt các hạng tử x
3
, x
2
, x vào đa thức đợc:
x

5
+ x
4
+ x
3
- x
3
+ x
2
- x
2
+ x - x + 1
= (x
5
+ x
4
+ x
3
) - (x
3
+ x
2
+ x) + (x
2
+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) - x(x

2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)( x
3
- x + 1)
b) x
5
+ x + 1
Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x
4
, x
3
, x
2
vào đa thức giống cách làm nh phần a để xuất
hiện nhân tử chung x
2
+ x + 1
Có: x
5
+ x + 1 = x
5
+ x
4
- x
4

+ x
3

- x
3

+ x
2

- x
2
+ x + 1
= (x
5
+ x
4
+ x
3
) - (x
4
+ x
3
+ x
2
) + x
2
+ x + 1
= x
3
(x

2
+ x + 1) - x
2

(x
2

+ x + 1) + (x
2

+ x + 1)
= (x
2

+ x + 1) (x
3

- x
2
+ 1)
Cách 2: Ta thêm bớt x
2
để làm xuất hiện nhân tử chung x
2

+ x + 1
Ta có:
14
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
x

5

+ x + 1 = x
5
+ x
2
- x
2
+ x + 1
= (x
5

- x
2
) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x
3
- 1) + (x
2

+ x + 1)
= x
2
(x - 1) (x
2

+ x + 1) + (x
2

+ x + 1)
= (x
2

+ x + 1)(x
3
- x
2

+ 1)
c) x
8
+ x
4
+ 1 = x
8
+ x
4
+ x
2
- x
2
+ x - x - 1
= (x
8
- x
2

) + (x
4
- x) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x
6
- 1) + x(x
3
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x
3

- 1)(x
3
+ 1) + x(x
3
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x - 1)(x
2

+ x + 1)(x
3
+ 1) + x(x - 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
6
- x
5

+ x
3
- x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[(x
6
- x
5
+ x
4
) - (x
4
- x
3
+ x

2
) + (x
2
- x + 1)]
= (x
2
+ x + 1)(x
2
- x + 1) (x
4
- x
2
+ 1)
Phơng pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng : x
5
+ x
4
+ 1; x
8
+ x
4
+ 1; x
10
+ x
8
+ 1 . . .
Các đa thức này đều có dạng: x
m
+ x
n

+ 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h + 2. Khi
tìm cách giảm dần số mũ của luỹ thừa ta cần chú ýđến các biểu thức có dạng x
6
-
1; x
3
- 1 là những biểu thức chia hết cho x
2
+ x + 1.Những đa thức này khi phân
tích thành nhân tử đều có chứa thừa số x
2
+ x + 1.
Tuy nhiên bài toán này có thể giải đợc bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đơn
giản hơn nh sau:
x
8
+ x
4
+ 1= (x
8
+ 2x
4
+ 1) - x
4

= (x
4
+ 1)
2
- (x

2
)
2

= (x
4
+ x
2
+ 1)(x
4
- x
2
+ 1) = [(x
4
+ 2x
2
+ 1) - x
2
] (x
4
- x
2
+ 1)
= [(x
2
+ 1)
2
- x
2
] (x

4
- x
2
+ 1) = (x
2
+ x + 1) (x
4
- x
2
+
1)
c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Phơng pháp này thờng áp dụng với những đa thức có dạng
A(x). B(x) + C Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn đợc qua nhau. Ví dụ
A(x) có thể viết dới dạng của B(x) hoặc ngợc lại. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) - 12
15
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
Giải:
a) (x
2

+ x + 1)( (x
2
+ x + 2) - 12
Đặt x
2
+ x + 1 = y

x
2
+ x + 2 = y + 1
Ta có y(y+1) - 12 = y
2
+ y - 12
= y
2
- 9 + y - 3
= (y - 3)(y + 3) + (y - 3)
= (y - 3)(y + 3 + 1)
= (y - 3)(y + 4)
Thay y = x
2
+ x + 1 ta đợc:
(y - 3)(y + 4) = (x
2
+ x + 1 - 3)(x
2
+ x + 1 + 4)
= (x
2
+ x - 2) (x

2
+ x + 5)
= (x
2
- 1 + x - 1)(x
2
+ x + 5)
= [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x
2
+ x + 5)
= (x - 1)(x + 1 + 1)(x
2
+ x + 5)
= (x - 1)(x + 2)(x
2
+ x + 5)
ở trong ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa
biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta
lại phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử.
b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm:
4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
= 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y
2

z
2
= 4(x
2
+ xy + xz) (x
2
+ xy + xz + yz) + y
2
z
2
Đặt: x
2
+ xy + xz = m
Ta có: 4m(m + xz) + y
2
z
2
= 4m
2
+ 4mxz + y
2
z
2
= (2m + yz)
2
Thay m = x
2
+ xy + xz ta đợc:
(2m + yz)
2

= (2x
2
+ 2xy + 2xz + yz)
2
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x
2
+ x)
2
- 2(x
2
+ x) - 15
16
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
c) (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
Giải:
a) (x
2
+ x)
2
- 2(x
2
+ x) - 15
Đặt: x
2

+ x = y
Ta có: y
2
- 2y - 15 = y
2
- 5y + 3y - 15
= y(y - 5) + 3(y - 5)
= (y - 5)(y + 3)
Thay y = x
2

+ x ta đợc:
(y - 5)(y + 3) = (x
2
+ x - 5)(x
2
+ x + 3)
Hai đa thức x
2
+ x - 5 và x
2
+ x + 3 không phân tích đợc nữa.
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
= (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) - 24
= (x
2
+ 7x + 10)(x
2
+ 7x + 12) - 24
Đặt x

2
+ 7x + 10 = y ta đợc x
2
+ 7x + 12 = y + 2
y(y + 2) - 24 = y
2
+ 2y - 24
= y
2

- 16 + 2y - 8
= (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4)
= (y - 4)(y + 4 + 2)
= (y - 4)(y + 6)
Thay y = x
2
+ 7x + 10 ta đợc:
(y - 4)(y + 6) = (x
2
+ 7x + 10 - 4)(x
2
+ 7x + 10 + 6)
= (x
2
+ 7x + 6) (x
2
+ 7x + 16)
= (x
2
+ x + 6x + 6) (x

2
+ 7x + 16)
= [x(x + 1) + 6(x + 1)] (x
2
+ 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) (x
2
+ 7x + 16)
c) (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
Đặt x
2
+ 8x + 7 = y x
2
+ 8x + 15 = y + 8
Ta có: y(y + 8) + 15 = y
2
+ 8y + 15
17
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= y
2
+ 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5)
= (y + 5)(y + 3)
Thay y = x
2

+ 8x + 7 ta đợc:
(y + 5)(y + 3) = (x
2
+ 8x + 7 + 5)( x
2
+ 8x + 7 + 3)
= (x
2
+ 8x + 12)( x
2
+ 8x + 10)
= (x
2
+ 2x + 6x +12)( x
2
+ 8x + 10)
= [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x
2
+ 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)( x
2
+ 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)(x + 4 -
6
)(x + 4 +
6
)
ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích các đa thức đó thành
nhân tử. Ta còn có cách đặt ẩn phụ khác trong ví dụ dới đây.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3x
6
- 4x
5
+ 2x
4
- 8x
3

- 4x + 3 + 2x
2
Nếu theo cách làm nh các ví dụ trớc thì với ví dụ này ta không thể phân
tích đợc. Dễ thấy đa thức không thể có nghiệm x = 0.
Vậy ta có thể biến đổi đa thức nh sau:
x
3
(3x
2
- 4x
2

+ 2x - 8 -
x
xx
234
32
++
) = x
3
[3(x

3
+
3
1
x
) - 4(x
2
+
2
1
x
) + 2(x +
3
1
x
) -
8]
Đặt x +
x
1
= t t
2
= (x +
x
1
)
2
= x
2
+ 2 +

2
1
x
x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2
t
3
= (x +
x
1
)
3

= x
3
+ 3x +
x
3
+
3
1
x
= x

3
+
3
1
x
+ 3(x +
x
1
)
x
3
+
3
1
x
= t
3
- 3t
Thay x +
x
1
= t; x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2; x

3
+
3
1
x
= t
3
- 3t
Ta có:
18
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
x
3
[3(t
3
- 3t) - 4(t
2
- 2) + 2t - 8] = x
3
(3t
3
- 9t - 4t
2
+ 8 + 2t - 8)
= x
3
(3t
3
- 4t
2

- 7t)
= x
3
t (3t
2
- 4t - 7)
= x
3
t[(3t
2
- 3) - (4t + 4)]
= x
3
t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)]
= x
3
t(t + 1)(3t - 3 - 4)
= x
3
t(t + 1)(3t - 7)
Thay t = x +
x
1
ta đợc
x
3
(x +
x
1
) (3x +

x
3
- 7)(x +
x
1
+ 1) = x(x
2
+ 1)(3x
2
+ 3 - 7x)(x +
x
1
+
1)
= (x
2
+ 1)(3x
2
- 7x + 3) (x
2
+ x + 1)
Nói chung đây là một bài toán tơng đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đa
thức mới đặt đợc ẩn phụ. Bài toán này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác hẳn với
cách đặt ẩn phụ của các ví dụ trớc.
d- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hệ số bất định:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc nhất,
một đa thức bậc 2.
x
3
- 19x - 30

Giải:
Cách 1: Với các phơng pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích đợc đa thức
trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài.
Ta có: x
3
- 19x - 30
= x
3
+ 8 - 19x - 38
= (x
3
+ 8) - 19(x + 2)
= (x+ 2)(x
2
- 2x + 4) - 19(x + 2)
= (x + 2)( x
2
- 2x + 4 - 19)
= (x + 2)(x
2
- 2x - 15)
Ta thấy x
2
- 2x - 15 còn phân tích đợc nữa nhng do đề bài yêu cầu là đa
thức
19
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
x
3
- 19x - 20 viết dới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức bậc nhất và một

đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x
2
- 2x - 15) đã thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Cách 2: Kết quả phải có dạng:
x
3
- 19x - 20 = (x + a)( x
2
+ bx + c)
= x
3
+ bx
2
+ cx + ax
2
+ abx + ac
= x
3
+ (b + a)x
2
+ (c + ab)x + ac
Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
a + b = 0
c + ab = -19
ac = -30
Vì a, c

Z và tích ac = -30 do đó a, c

{

1;

2;

3;

5;

6;

10;

15;

30}
Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đo là bộ số phải tìm
tức là: x
3
- 19x - 30 = (x + 2)(x
2
- 2x - 15).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1

Giải:
Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là

1. Dễ
dàng kiểm tra đợc

1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không
có nghiệm nguyên mà chỉ có nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ. Nh vậy, nếu đa thức trên
phân tích đợc thành thừa số thì phải có dạng:
x
4
+ 6x
3
+ 7x
2

+ 6x + 1 = (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
= x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x +
bd
Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:

a + c = 6
ac + b + d = 7
ad + bc = 6
bd = 1
20
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Từ hệ này ta tìm đợc: a = b = d = 1; c = 5
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
4 3 2 2 2
2 2
2
2 2
2
Vay x 6x 7x 6x 1 1 5 1
5 25 25
1 2. 1
2 4 4
5 21 5 21 5 21
1 1
2 4 2 2 2 2
5 21 5 21
1
2 2
x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x

+ + + + = + + + +


= + + + + +
ữ






= + + + = + + + + +

ữ ữ
ữ
ữ ữ





+
= + + + +
ữ ữ
ữ ữ


Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x
3

+ 4x
2
+ 5x + 2
Giải:
Cách 1: Đặt x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + a)(x
2
+ bx + c)
= x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
Ta phải có: a + b = 4
ab + c = 5
ac = 2
Từ hệ này ta tìm đợc: a = 1; b = 2; c = 2
Vậy: x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + 1)(x
3
+ 3x + 2)
= (x+ 1)[(x
2

+ x) + (2x + 2)]
=(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2)
= (x+ 1)
2
(x + 2)
Cách 2: Dùng phơng pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ớc của hệ số tự do 2
có 1 là nghiệm. Vậy đa thức viết đợc dới dạng:
x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x+ 1)(x
2
+ ax + b)
x
2
+ ax + b = (x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2) : (x+ 1)
Bằng cách chia hai đa thức ta tìm đợc:
(x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2) : (x+ 1) = x
2
+ 3x + 2
Vậy x

3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + 1)( x
2
+ 3x + 2)
= (x+ 1)
2
(x + 2)
21
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Cách 3: Dùng phơng pháp phân tích đã biết là tích hạng tử
Ta có: x
2
+ 4x
2
+ 5x + 2 = x
3
+ x
2
+ 3x
2
+ 3x + 2x + 2
= x
2
(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x +1)(x
2
+ 3x + 2)
= (x + 1)(x + 1)(x + 2)

= (x + 1)
2
(x + 2)
Trên đây là Bẩy phơng pháp phân tích thờng dùng để phân tích đa thức
thành nhân tử. Thực tế còn có những phơng pháp khác nh: phơng pháp xét giá trị
riêng
Ta có thể xét một ví dụ về phơng pháp này nh sau:
Phân tích thành nhân tử: P = ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a)
Giải:
Ta có P = ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a)
Nếu thay a bởi b thì P = 0 + bc(b -c) + ca(c - a). Do vai trò của a, b, c nh nhau
trong đa thức nên P chia hết cho (a - b)(b - c)(c - a). Trong phép chia đó, đa thức
P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, đa thức chia (a - b)(b - c)(c - a) cũng có bậc
ba đối với tập hợp các biến nên thơng bằng hằng số k. Trong hằng đẳng thức
ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a) = k(a - b)(b - c)(c - a), ta cho các biến nhận giá trị
riêng
a = 2, b = 1, c = 0 ta đợc : 2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1(-2), do đó 2 = -2k, suy ra k = -1
Vậy P = (a - b)(b - c)(a - c)
Vì thế khi làm dạng toán này không phải lúc nào cũng áp dụng một khuôn mẫu
theo một phơng pháp giải cố định nào đó. Khi học xong các phơng pháp phân
tích đa thức thành nhân tử thì tuỳ từng bài tập mà học sinh lựa chọn cho mình
một phơng pháp giải thích hợp để có một cách phân tích nhanh nhất và có hiệu
quả nhất.
Nh trong phần đầu tôi đã đề cập là quá trình phân tích một đa thức thành nhân tử
học sinh chỉ áp dụng theo kiểu xuôi chiều nghĩa là chỉ phân tích đa thức thành
nhân tử chứ không tổng kết và vận dụng các kết quả đó vào trong một số các bài
toán quan trọng khác, trong phần sau đây tôi xin nêu một vài các ứng dụng của
phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán.
Phần II -Một số lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử
22

Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đơn thức và đa thức khác. Do vậy đối với một số dạng toán
nếu ta áp dụng kết quả phân tích thành nhân tử thì sẽ giải đợc dễ dàng nh một số
các dạng toán sau:
Dạng 1 : Tính nhanh
Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK)
Tính nhanh:
73
2
- 27
2
= (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
2002
2
- 4 = 2002
2
- 2
2
= (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000.
Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK)
Tính nhanh:
37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300.
45
2
+ 40
2
- 15

2
+ 80.45 = 45
2
+ 2.40.45 + 40
2
- 15
2

= (45 + 40)
2
- 15
2

= 85
2
- 15
2

= (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000
Ví dụ 3 : (Bài 56, trang 25 SGK)
Tính nhanh:

( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
2 2
2

1 1
49,75
2 16
1 1 1 1 1
2. 0,25
2 16 4 4 4
49,75 0,25 49,75 0,25 50 2500
x x khi x
x x x x x x
khi x x
+ + =

+ + = + + = + = +
ữ ữ

= + = + = =
Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện đợc việc tính nhanh thì phơng
pháp chung là : Phân tích các biểu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi
tính
Dạng 2 : Tính giá trị biểu thức:
Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)
23
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Tính giá trị các biểu thức sau:
a. 15.91,5 + 150.0,85
b. 5x
5
(x - 2z) + 5x
5
(2z - x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1

Giải:
a. 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500
b. 5x
5
(x - 2z) + 5x
5
(2z - x) = 5x
5
(x - 2z + 2z - x) = 5x
5
.0 = 0
Với x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1 thì biểu thức bằng 0
Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức:
a,
2 2
2 2
43 11
36.5 27.5


b,
3 3
97 83
97.83
180
+

Giải:
a,

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
43 11 43 11
43 11
36,5 27,5 36,5 27,5 36,5 27,5
32.54 32
9.54 9
+

=
+
= =
b,
( )
( )
2 2
3 3
97 83 97 97.83 83
97 83
97.83 97.83
180 180
180.8247
97.83 8247 97.83 8247 8051 196
180
+ +
+
=
= = = =

Trong 2 ví dụ trên đặc biệt là ví dụ 2 nhận thấy nếu nh học sinh không sử dụng
các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính toán sẽ găp rất nhiều
khó khăn nên cần hớng dẫn cho các em:
- Trớc hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính
Ví dụ 3
Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999.
Nếu theo cách làm thông thờng học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu
thức để tính giá trị. Cách làm đó phải tính rất phức tạp mới cho kết quả. Vì vậy
24
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số
tính giá trị biểu thức.
Giải:
Ta có x(x - 1) - y(1- x) = x(x - 1) + y(x - 1)
= (x - 1)(x + y)
Thay x = 2001, y = 1999 ta đợc
(2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000.
Dạng 3: Tìm x thoả mãn đẳng thức cho tr ớc
Ví dụ 1: (Bài 50, trang 23 SGK)
Tìm x biết:
a. x(x - 2) + x - 2 = 0
b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0
Giải:
a. x(x - 2) + x - 2 = 0
Ta có x(x - 2) + x - 2 = x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x + 1)
x = 2
Nên (x - 2)(x + 1) = 0

x = - 1

b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0
Ta có 5x(x - 3) - x + 3 = 5x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(5x - 1)
x = 3
Nên (x - 3)(5x - 1) = 0


1
5
x =
Ví dụ 2 : Tìm x biết:
a. 8x
3
- 50x = 0
b. (x - 2)(x
2
+ 2x + 7) + 2(x
2
- 4) - 5(x - 2) = 0
Giải:
a. 8x
3
- 50x = 2x(4x
2
- 25)
x = 0
= 2x(2x - 5)(2x + 5) = 0


5
2

x =
25