Dề thi -đáp án HSG toán 7

Môn: Toán - Lớp 7

Thời gian làm bài :120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (1,5đ):
a) Tìm x , biết:
1 1 7
4,7
6 9 15
x x x
+ =



b) Tìm x, biết :
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
Bài 2 (2đ):
a) Tính nhanh :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
10.9 9.8 8.7 7.6 6.5 5.4 4.3 3.2 2.1

b) Tính tổng A = 1 - 2 + 3 - 4 +

+ 99 - 100
Bài 3(2,5đ):
a) Cho A =

2 3 99
1 1 1 1

3 3 3 3
+ + + +


Chứng minh A <
1
2
b) Tìm số nguyên n để biểu thức P =
2
7
n
n
+

có giá trị lớn nhất.
c) Cho các đơn thức M = xy
2
z
3
; N = yz
2
t
3
; P = zt
2
x
3

; Q = tx
2
y
3
. Chứng tỏ rằng
với giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác dấu thì 2 đơn thức còn lại
cũng có giá trị khác dấu.
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy lần lợt các điểm M và
N sao cho BM = CN. Gọi I là giao điểm của MC và BN.
a/ Chứng minh rằng: MI = NI.
b/ Tia phân giác của
ã
AMC
cắt AI và AN thứ tự tại O và K.
Chứng minh rằng MO >
2
MC
.
c/ BO cắt AN tại Q. Chứng minh rằng

OKQ cân.
H t
Họ và tên học sinh :

. Số báo danh :

Giám thị 1:

; Giám thị 2:

đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2010 - 2011
BiÓu ®iÓm vµ ®¸p ¸n To¸n 7
§¸p ¸n §iÓm
Bµi 1 :
a)
1 1 7
4,7
6 9 15
x
 
− + =
 ÷
 
⇔
47 47
90 10
x =
⇔
47 47
:
10 90
x =
⇔
x = 9
b)
1 2 1 4 1 6 1 2 1 6 2 8 1 4
18 24 6 18 6 18 6 9 3
y y y y y y y

x x x x
+ + + + + + + +
= = = = =
+ + +


⇒
9+3x=24
⇒
x=5
0.75
0.75
1
1
Bµi 2 a)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
10.9 9.8 8.7 7.6 6.5 5.4 4.3 3.2 2.1
− − − − − − − −
=
1
90
-
1 1 1

9.8 8.7 2.1
 
+ + +
 ÷
 
=

1
90
-
1 1 1 1 1 1 1 1

9 8 8 7 7 2 2 1
 
− + − + − + + − +
 ÷
 
=
1 1
1
90 9
 
− − +
 ÷
 
=
1 8 79
90 9 90
−
− =

b) A = 1 - 2 + 3 - 4 + … + 99 - 100= -1-1-1-……-1 (50 sè -1)
=(-1).50=-50
Bµi 3 (2.5®) a) A =
2 3 99
1 1 1 1

3 3 3 3
+ + + +

⇒ 3A =
2 3 98
1 1 1 1
1
3 3 3 3
+ + + + +
⇒ 2A =
99
1
1
3
−
⇒ 2A < 1 ⇒ A<
1
2
1
c)
M.N.P.Q = xy
2
z
3
.yz
2
t
3
. zt
2

x
3
. tx
2
y
3
= x
6
y
6
z
6
t
6

0 với mọi x,y,z,t.
Giả sử tại giá trị nào đó của các biến làm cho 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác
dấu, không mất tính tổng quát giả sử đó là các đơn thức M và N. Ta có MN < 0.

xyzt

0

MNPQ

0

MNPQ > 0

PQ < 0 hay P và Q có giá trị khác dấu.

Vậy với giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác dấu thì 2 đơn
thức còn lại cũng có giá trị khác dấu.
B i 4

0.75

0.75

0.75

0.5

0.5
0.5
0.75
0.5
0.5
b) P = 1+
9
7n
Khi n < 7 thì P < 1; n = 7 thì P không xác định; n > 7 thì P >1 do đó để tìm giá trị lớn
nhất của P ta chỉ xét trờng hợp n >7.
Khi n > 7, P có giá trị lớn nhất

9
7n
có giá trị lớn nhất

n - 7 có giá trị nhỏ nhất

n nhỏ nhất
n là số nguyên lớn hơn 7 nên n = 8.
Vậy với số nguyên n = 8 thì P có giá trị lớn nhất.
c
* Gọi giao điểm của CO với AM là P.Chứng minh đợc

ABO =

ACO
Suy ra

ABQ =

ACP nên
ã
ã
APC AQB=

Tính đợc
ã
MOC
= 120
O
.

ã
POM
= 60
O

ã
ã
APC PMO=
+ 60
O
Có
ã
ã
OKQ PMO=
+ 60
O

ã
ã
APC OKQ=


ã
ã
AQB OKQ=
hay
ã
ã
KQO OKQ=

Tam giác OKQ cân tại O.
Q
P
O
K

I
M
A
B
C
N



L u ý:
- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh vẽ
hình sai thì không chấm điểm bài hình.
- Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó.
- Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm.
================Hết================