Đề thi - Đáp án - HSG lớp 9 - 09 - PNT

Phòng giáo dục và đào tạo vĩnh Lộc
đề thi thành lập đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
( Thời gian làm bài: 150 phút )
Bài 1 ( 2,5 điểm ): Cho biểu thức A =
312
513


xx
xx
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Bài 2: ( 4,5 điểm )
1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC mà phơng trình của các đờng
thẳng AB, BC, CA lần lợt là x + 2y 2 = 0; 2x + y 13 = 0; x 2y + 6 = 0. Chứng
minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
2/ Giải phơng trình:
721033
+=+++
xxx
Bài 3: ( 5,0 điểm )
1/ Cho là góc nhọn thoả mãn Sin + Cos =
5
6
.
Hãy tính tổng Sin
4
+ Cos

4
.
2/ Cho x > y

0; chứng minh rằng: x +

+
2
)1)((
4
yyx
3
Bài 4: ( 5,5 điểm )
Cho P là một điểm cố định nằm trong đờng tròn tâm O bán kính R cho trớc ( P
không trùng với O ).
1/ Trong số các dây cung đi qua P hãy tìm dây cung có độ dài nhỏ nhất.
2/ Qua P kẻ hai dây cung AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng tổng
AB
2
+ CD
2
có giá trị không đổi khi hai dây AC và BD quay xung quanh điểm P nhng
luôn vuông góc với nhau.
3/ Đờng tròn ( O; OP ) cắt dây BD tại điểm M ( M nằm giữa P và B ).
Hãy tính tổng PA
2
+ PM
2
+ PC
2

.
Bài 5: ( 2,5 điểm )
Cho x, y, a, b là các số thực thoả mãn đồng thời các điều kiện: x
2
+ y
2
= 1 và
bab
y
a
x
+
=+
1
44
và. Chứng minh rằng:
10041004
2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
- Họ và tên thí sinh:..; Số báo danh:
- Họ tên, chữ ký của ngời coi thi:

Chú ý: Ngời coi thi không đợc giảI thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo vĩnh Lộc
hớng dẫn chấm môn toán
kỳ thi thành lập đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008 - 2009
Bài Câu Yêu cầu cần đạt
Mức
điểm
1
2,5
điểm
1
1,5
điểm
- Với x

1; Đặt
1

x
= y

0; Ta có: x 1 = y
2
,
nên x = y
2
+ 1. Khi đó:
3x -
1

x
- 5 = 3y
2
+ 3 y 5 = 3y
2
y 2
= ( y 1 ) ( 3y + 2 ) = (
1

x
- 1 ) ( 3
1

x
+ 2 );
2x -
1

x
- 3 = 2y
2
+ 2 y 3 = 2y
2
y 1
= ( y 1 ) ( 2y + 1 ) = (
1

x
- 1 ) ( 2

1

x
+ 1 );
- Tìm ĐKXĐ của biểu thức A:
Với x

1; thì
1

x


0 nên ĐKXĐ là: x

1; x

2
- Khi đó A =
112
213
)112)(11(
)213)(11(
+
+
=
+
+
x
x

xx
xx

- Vậy A =
112
213
+
+
x
x
; với x

1; x

2
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
2
1,0
điểm
Với x

1; x

2, theo câu a ta có:
A =
112

213
+
+
x
x
=
11.2
2
1
)11.2(
2
3
+
++
x
x
=
)11.2.(2
1
2
3
+
+
x
Do
1

x

0 nên 2.
1

x
+ 1

1, do đó
2.( 2.
1

x
+ 1 )

2 > 0, suy ra
)11.2.(2
1
+
x



2
1
;
Từ đó A

2. Dấu = xảy ra khi x = 1.
Vậy khi x = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất bằng 2.
0,50
0,25

0,25
2
4,5
điểm
1
2,0
điểm
- Đờng thẳng ( AB ) có phơng trình x + 2y 2 = 0, hay
y = -
1
2
1
+
x
; với hệ số góc a
1
= -
2
1
;
Đờng thẳng ( BC ) có phơng trình 2x + y 13 = 0, hay
y = - 2x + 13; với hệ số góc a
2
= - 2;
Đờng thẳng ( CA ) có phơng trình x - 2y + 6 = 0, hay
y =
3
2
1
+

x
; với hệ số góc a
3
=
2
1
.
- Vì a
2
. a
3
= - 2 .
2
1
= - 1, nên ( BC )

( CA ), do đó tam
giác ABC vuông ở C, với cạnh huyền AB.
0,25
0,25
0,50
Bài Câu Yêu cầu cần đạt
Mức
điểm
- Toạ độ của điểm A là nghiệm chung của hai phơng trình:
x + 2y 2 = 0 ( 1 ) và x - 2y + 6 = 0 ( 2 ).
Trừ từng vế hai phơng trình ta đợc 4y = 8, nên y = 2
Thay y = 2 vào phơng trình ( 1 ) ta đợc x = - 2.
Vậy A ( - 2; 2 ).
- Toạ độ của điểm B là nghiệm chung của hai phơng trình:

2x + 4y 4 = 0 ( 1
/
) và 2x + y 13 = 0 ( 3 ).
Trừ từng vế hai phơng trình ta đợc 3y = - 9, nên y = - 3
Thay y = - 3 vào phơng trình ( 3 ) ta đợc x = 8.
Vậy B ( 8; - 3 ).
- Gọi R là bán kính của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
thì R =
2
1
. AB =
2
1
.
22
)32()82(
++
=
2
5
.
5
( Đơn vị
độ dài )
0,25
0,25
0,50
2
2,5
điểm

Xét phơng trình
721033
+=+++
xxx
( 1 )
- ĐKXĐ của phơng trình ( 1 ):






+
+
+
072
0103
03
x
x
x
Hay

2
7
3
10
3
x
x
x
suy ra x

- 3 ( * )
- Với điều kiện ( * ): Nếu
103
+
x
-
3
+
x
= 0, ta có
103
+
x
=
3
+

x
, do đó 3x + 10 = x + 3, suy ra x = -
2
7
không thoả mãn ( * ).
- Nhân hai vế của phơng trình ( 1 ) với
103
+
x
-
3
+
x
ta đ-
ợc 3x + 10 ( x + 3 ) =
72
+
x
. (
103
+
x
-
3
+
x
)
Hay 2x + 7 =
72
+

x
. (
103
+
x
-
3
+
x
) ( 2 )
- Do x

- 3 nên 2x + 7

1 > 0 nên
72
+
x
> 0, do đó
( 2 )


72
+
x
=
103
+
x
-

3
+
x
( 3 )
- Từ ( 1 ) và ( 3 ) suy ra
103
+
x
=
72
+
x
, suy ra x = - 3.
- Nhận thấy x = - 3 thoả mãn ( * ), nên nghiệm duy nhất của
phơng trình ( 1 ) là x = - 3.
0,50
0,25
0,50
0,50
0,50
0,25
3
5,0
điểm
1
2,0
điểm
Đặt A = Sin
4
+ Cos

4

- Vì là góc nhọn nên ta có Sin
2
+ Cos
2
= 1
- Theo giả thiết ta lại có: Sin + Cos =
5
6
; nên
Sin
2
+ Cos
2
+ 2. Sin .Cos =
25
36
0,50
0,50
Bài Câu Yêu cầu cần đạt
Mức
điểm
0,25
Do đó Sin .Cos =
50
11
; Suy ra
Sin
4

+ Cos
4
= ( Sin
2
+ Cos
2
)
2
2. sin
2
. Cos
2
= 1
2.
2500
121
=
2500
2258
.
- Vậy A =
2500
2258
0,50
0,25
2
3,0
điểm
Với x > y

0; ta phải chứng minh
x +

+
2
)1)((
4
yyx
3 ( 1 )
- Do x > y

0, nên x y > 0; y + 1 > 0,
2
)1)((
4
+
yyx
> 0
- Ta có: ( 1 )

2x +

+
2
)1)((
8
yyx
6

(2x 2y) + (y + 1) + (y + 1) +

+
2
)1)((
8
yyx
8 ( 2 )
- áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 4 số dơng ( 2x 2y ), (
y + 1 ), ( y + 1 ),
2
)1)((
8
+
yyx
ta đợc:
( 2x 2y ) + ( y + 1 ) + ( y + 1 ) +
2
)1)((
8
+
yyx



4 .
4
2
)1)((
8).1)(1)(22(
+

++
yyx
yyyx
= 8
Hay (2x 2y) + (y + 1) + (y + 1) +

+
2
)1)((
8
yyx
8 ( 2 )
Suy ra x +

+
2
)1)((
4
yyx
3
0,50
1,00
0,50
0,50
0,25
0,25
4
5,5
điểm
1

1,0
điểm
H
G
E
F
O
P
S
Bài Câu Yêu cầu cần đạt
Mức
điểm
- Nối O với P. Qua P kẻ dây EF vuông góc với OP. Do O và P
cố định nên OP và EF cố định, do đó EF = m không đổi.
- Qua P kẻ dây GS bất kỳ khác dây EF. Ta chứng minh cho
dây EF là dây cung có độ dài nhỏ nhất.
- Thật vậy: Kẻ OH

GS. Do P không trùng với O và dây GS
khác dây EF nên tồn tại tam giác OPH vuông ở H; Vì vậy OP
> OH; Suy ra EF < GS.
- Vậy trong số các dây cung đi qua P thì dây EF vuông góc
với OP là dây cung có độ dài nhỏ nhất.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
2,0
điểm

A
K
D
B
C
O
P
- Kẻ đờng kính BK. Nối K với các điểm A, C, D.
- Tam giác ABK vuông ở A nên AB
2
+ AK
2
= BK
2
= 4R
2
(1)
- Tam giác BDK vuông ở D nên KD

BD;
- Mặt khác AC

BD ( GT ) nên DK // AC, do đó đờng kính
vuông góc với AC là trục đối xứng của cả hai dây AC và DK,
suy ra tứ giác ACKD là hình thang cân ( Đáy AC và DK ),
suy ra AK = CD ( 2 )
- Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra AB
2
+ CD
2

= 4.R
2
- Đờng tròn ( O; R ) cho trớc nên 4 R
2
là hằng số.
- Vậy khi hai dây AC và BD quay xung quanh điểm P ( P cố
định nằm trong đờng tròn ( O; R ) cho trớc ) nhng luôn vuông
góc với nhau thì tổng AB
2
+ CD
2
luôn có giá trị không đổi
bằng 4.R
2
.
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài Câu Yêu cầu cần đạt
Mức
điểm