ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ(TOÁN KA 1)

Cõu I: (2,0 im) Cho hm s
mxxmxy ++= 9)1(3
23
, vi
m
l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi
1
=
m
.
2. Xỏc nh
m
hm s ó cho t cc tr ti
21
, xx
sao cho
1 2
2x x =
.
Cõu II: (2,0 im)
1. Gii phng trỡnh:
1 3cos cos2 2cos3 4sin .sin 2x x x x x
+ + =
2. Gii h phng trỡnh:
2 2
2 3
2 1
x x y y xy
xy x y

+ + + =

+ + =

(x, y R)
Cõu III: (1,0 im) Tỡm
cotx
dx
sinx.sin x
4


+
ữ


Cõu IV: (1,0 im) Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi
cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30
0
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A
1
B
1
C

1
) thuộc
đờng thẳng B
1
C
1
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
và tính khoảng cách giữa hai đờng
thẳng AA
1
và B
1
C
1
theo a.
Cõu V: (1,0 im) Xột cỏc s thc dng a, b, c tha món iu kin
1a b c
+ + =
. Tỡm giỏ tr
nh nht ca :
3
1 1 1
1 1 1P
ab bc ca

=
ữ ữ ữ

Cõu VI (2,0 im)
1. Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng trũn :
(C
1
): x
2
+ y
2
= 13 v (C
2
): (x - 6)
2
+ y
2
= 25 ct nhau ti A(2; 3).
Vit phng trỡnh ng thng i qua A v ln lt ct (C
1
), (C
2
) theo hai dõy cung phõn bit
cú di bng nhau.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú BA = BC. Bit
A(5 ; 3 ; - 1), C (2 ; 3 ; - 4) v B l im nm trờn mt phng cú phng trỡnh :
6 0x y z+ =
.
Tỡm ta im B.
Cõu VII (1,0 im) Gii phng trỡnh :

( )
3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
x
x
x
=

Ht
Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ them
H v tờn: SBD:
TRNG THPT
CHUYấN
NGUYN HU
K THI TH I HC LN TH NHT NM HC 2010 2011
THI MễN: TON
KHI A,B
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao
TRNG THPT
CHUYấN
NGUYN HU
HNG DN CHM THI TH I HC LN TH NHT
NM HC 2010 2011
THI MễN: TON KHI A, B
CU NI DUNG IM
I-1
(1im)

Với
1
=
m
ta có
196
23
+= xxxy
.
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên
Chiều biến thiên:
)34(39123'
22
+=+= xxxxy
Ta có



<
>
>
1
3
0'
x
x
y
,
310' <<< xy

.
Do đó:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
)1,(
và
),3( +
.
+ Hm số nghịch biến trên khoảng
).3,1(
0,25
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
1=x
và
3)1( == yy
CD
; đạt cực tiểu tại
3=x
và
1)3( == yy
CT
.
Giới hạn:
+==
+
yy
xx
lim;lim
.
0,25
Bảng biến thiên:

0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm
)1,0(
.
1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
O
0,25
I-2
(1im)
Ta có
.9)1(63'
2
++= xmxy
0,25
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx


phơng trình
0'=y
có hai nghiệm pb là
21

, xx



Pt
03)1(2
2
=++ xmx
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx
.





<
+>
>+=
31
31
03)1('
2
m
m
m

)1(
0,25

+) Theo định lý Viet ta có
.3);1(2
2121
=+=+ xxmxx
Khi đó
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 1 12 4x x x x x x m = + = + =
2
3
( 1) 4 (2)
1
m
m
m
=

+ =

=

0,25
x
y
y
3
-1
+

0
0
3
1
+

+
+

Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m = - 3 ; m = 1
0,25
II-1
(1 điểm)
PT
( )
1 3cos cos2 2cos 2 4sin .sin 2x x x x x x
⇔ + + − + =
⇔

( )
1 3cos cos2 2 cos .cos2 sin .sin 2 4sin .sin 2x x x x x x x x
+ + − − =
0,25
⇔
( )
1 3cos cos2 2 cos .cos2 sin .sin 2 0x x x x x x
+ + − + =
⇔
1 3cos cos2 2cos 0x x x
+ + − =

⇔
1 cos cos2 0x x
+ + =

0,25
⇔

2
2cos cos 0x x
+ =
⇔

cos 0
1
cos
2
x
x
=



= −

0,25
⇔
2
2
2
3

x K
x K
π
π
π
π

= +



= ± +


0,25
II-2
(1 điểm)
2 2 2 2
2 3 2 3 (1)
2 1 2 1 (2)
x x y y xy x xy y x y
xy x y xy x y
 
+ + + = − + + + + =
⇔
 
+ + = + + =
 
Cộng (1) và (2) theo vế được
2

( ) 3( ) 4 0x y x y+ + + − =
0,25
Suy ra
1
4
x y
x y
+ =


+ = −

0,25
Với
1x y+ =
thay vào (2) được
2
2 0y y− + =
Tìm được (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2)
0,25
Với
4x y+ = −
thay vào (2) được
2
3 5 0y y− − − =
Phương trình vô nghiệm
Hệ có 2 nghiệm (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2)
0,25
III
(1 điểm)

( )
cot cot
2
sinx sinx cos
sin x sin
4
x x
dx dx
x
x
π
= =
+
 
+
 ÷
 
∫ ∫
0,25
=
( )
2
cot
2
sin x 1 cot
x
dx
x+
∫
0,25

cot 1 1
2 (cot )
cot 1
x
d x
x
+ −
= −
+
∫
0,25
( )
2 cot ln cot 1x x− + +
+C
0,25
IV
(1 điểm)
Do
)(
111
CBAAH ⊥
nªn gãc
1
AA H
lµ gãc gi÷a AA
1
vµ (A
1
B
1

C
1
), theo gi¶ thiÕt th× gãc
1
AA H
b»ng 30
0
.

0,25
C
A B
C
1
B
1
K
H
A
1
XÐt tam gi¸c vu«ng AHA
1
cã AA
1
= a, gãc
1
AA H
=30
0

2
a
AH⇒ =
.
1 1 1 1 1
2 3
1 1 a a 3 3
.
3 3 2 4 24
ABCA B C A B C
a
V AH S
= = × × =
0,25
XÐt tam gi¸c vu«ng AHA
1
cã AA
1
= a, gãc
1
AA H
=30
0

2
3
1
a
HA =⇒
. Do tam gi¸c

A
1
B
1
C
1
lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B
1
C
1
vµ
2
3
1
a
HA =
nªn A
1
H vu«ng gãc víi B
1
C
1
.
MÆt kh¸c
11
CBAH ⊥
nªn
)(
111
HAACB ⊥

KÎ ®êng cao HK cña tam gi¸c AA
1
H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA
1
vµ B
1
C
1
0,25
Ta cã AA
1
.HK = A
1
H.AH
4
3
.
1
1
a
AA
AHHA
HK ==⇒
0,25
V
(1 điểm)
( ) ( ) ( )
( )
3
2

1 1 1
1 1 1
1 1 1
ab bc ca
A P
ab bc ca
abc
− − −
   
= = − − − =
 ÷ ÷ ÷
   
0,25
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng và trung bình nhân có :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1 1 1
2 2
1 1
4 4 4
1 1 1
2
a b c
a b a b a b
ab
c a b
+ + + + 
+ + + − −

 
− ≥ − = =
+ + +
≥
Tương tự có:
( ) ( ) ( )
1 1 1
1
2
a c b
bc
+ + +
− ≥

( ) ( ) ( )
1 1 1
1
2
b c a
ca
+ + +
− ≥
0,25
Suy ra
2
1 1 1 1
1 1 1
8
A
a b c

 
   
≥ + + +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 
0,25
Mà:
3
3
3
1 1 1 1
1 1 1 1 4
a b c
abc
 
   
+ + + ≥ + ≥
 ÷
 ÷ ÷ ÷
   
 
Do đó min P = 8 đạt được khi a = b = c
=
1
3
0,25
VI- 1
(1 điểm)

Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C
1
) và (C
2
) lần lượt là M và N
Gọi M(x; y)
2 2
1
( ) 13C x y∈ ⇒ + =
(1)
0,25
Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y).
Do N
2 2
2
( ) (2 ) (6 ) 25C x y∈ ⇒ + + − =
(2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ
2 2
2 2
13
(2 ) (6 ) 25
x y
x y

+ =


+ + − =



Giải hệ ta được (x = 2 ; y = 3) ( loại vì trùng A) và (x =
17
5
−
; y =
6
5
). Vậy M(
17
5
−
;
6
5
)
0,25
Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0
0,25
VI-2
(1 điểm)
AC =
3 2
suy ra BA = BC = 3
0,25
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2
2 2 2
( 5) ( 3) ( 1) 9

( 2) ( 3) ( 4) 9
6 0
x y z
x y z
x y z

− + − + + =

− + − + + =


+ − − =

0,25
2 2 2 2 2 2
( 5) ( 3) ( 1) 9 ( 5) (4 2 ) (2 ) 9
1 0 1
6 0 7 2
x y z x x x
x z z x
x y z y x
 
− + − + + = − + − + − =
 
⇔ + − = ⇔ = −
 
 
+ − − = = −
 
0,25

Tìm được:
(2;3; 1)B −
hoặc
(3;1; 2)B −
0,25
VII.
(1 điểm)
Đk: x > 0,
1
3,
9
x x≠ ≠
0,25

( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
−
−−
( )
1
xlog1
4
x9log
1

xlog2
33
3
=
−
−−⇔

1
xlog1
4
xlog2
xlog2
33
3
=
−
−
+
−
⇔

0,25
Đặt: t = log
3
x pt thành :
{
2
2 4
1, 2
1

1
4
3 4 0
2 1
t
t t
t
t
t t
t t
−
≠ ≠ −
= −

− = ⇔ ⇔
=

− − =

+ −
0,25
So sánh điều kiện được 2 nghiệm
1
; 81
3
x x= =
0,25