bài tập con lắc lò xo

CON LẮC LÒ XO
1. Cấu tạo:
- Con lắc lò xo gồm một là xo có độ cứng k (N/m) có khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn lại
gắng vào vật có khối lượng m.
- Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và
vật dao động trong giới hạn đàn hồi.
2. Phương trình dao động của con lắc lò xo
x = Acos (ωt + φ) (cm)
Với:
• x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. (cm)
• A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm)
• ω : tần số góc của dao động (rad/s)
• φ : pha ban đầu của dao động (t = 0)
• (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t. (rad)
♦ Tần số góc:
-Tần số góc của con lắc lò xo (rad/s)
♦ Chu kì:
-Chu kì của con lắc
♦ Tần số:
-Tần số dao động của con lắc lò xo
3. Năng lượng dao động của con lắc lò xo
♦ Động năng:
♦ Thế năng (thế năng đàn hồi của lò xo):
1
♦ Cơ năng:
Đơn vị : k (N.m); m (kg); x (m); A (m)
4. Các dạng dao động của con lắc lò xo
4.1. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng ngang.
Đặc điểm:
- Tại vị trí cân bằng lò xo không bị biến dạng, .
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo chính là lực hồi phục với

4.2. Con lắc lò xo chuyển động thẳng đứng.
Đặc điểm:
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn
được cho bởi biểu thức . Mà nên
. Từ đó ta có công thức tính chu kỳ tần số
dao động của con lắc lò xo trong trường hợp này:
- Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động:
• Chiều dài tại VTCB:
• Chiều dài cực đại :
• Chiều dài cực tiểu :
2
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao động (F
dh
):
• Phương : cùng phương chuyển động của vật.
• Chiều : luôn hướng về phía vị trí cân bằng.
• Độ lớn : , với là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (lò xo có thể bị dãn hoặc nén). Gọi
x là vị trí đang xét .
Chú ý :
Việc chọn dấu + hay – trong công thức trên phụ thuộc vào việc lò xo bị dãn hay nén và chiều dương mà ta
chọn như thế nào.
• Đơn vị : Fdh (N); k(N/m); (m)
Các trường hợp đặc biệt:
- Lực đàn hồi cực đại :
- Lực đàn hồi cực tiểu :
Chú ý : Nếu đề bài cho biết tỉ số thì ta hiểu là .
4.3. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang.
Đặc điểm :
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức .
Mà nên :

- Chiều dài của lò xo tại vị trí cân bằng cũng như chiều dài cực đại và cực tiểu tính tương tự như trường hợp
vật chuyển động thẳng đứng.
3
5. Cắt ghép lò xo
5.1. Lò xo ghép song song:
Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – vật – lò xo 2.
Công thức tính : gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó k = k
1
+ k
2
Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:

5.2. Lò xo ghép nối tiếp:
Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – lò xo 2 – vật.
Công thức tính : Gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó
Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:
5.3. Cắt lò xo:
Một lò xo có độ cứng k, chiều dài được cắt thành các lò xo có độ cứng k
1
, k
2
, … và chiều dài tương ứng
là thì có:
*Chú ý : Gắn lò xo có độ cứng k vào vật khối lượng m1 được chu kỳ T
1
, vào vật khối lượng m
2
được T
2

, vào
vật khối lượng (m
1
+ m
2
) được chu kỳ T
3
, vào vật khối lượng (m
1
– m
2
), (m
1
> m
2
) được chu kỳ T
4
. Khi đó ta
có : và .
6. Ví dụ điển hình
4
Ví dụ 1 :
Một vật nặng có khối lượng m = 500g được treo vào đầu một lò xo theo phương thẳng đứng, độ cứng lò xo k
= 0,5N/cm. Lấy g = 10m/s
2
.
a. Lập phương trình dao động, chọn gốc thời gian là khi vật có vận tốc v=20cm/s và gia tốc
b. Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động.
c. Tính thế năng và động năng của vật ở thời điểm t = , với T là chu kỳ dao động.
Hướng dẫn giải :

a. Gọi phương trình dao động của vật là .
Khi treo lò xo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng ta có:
Tần số góc:
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
b. Lực đàn hồi cực đại Do
c. Chu kỳ dao động
Tại t = , ta có
5
Khi đó động năng và thế năng của vật:
Ví dụ 2 :
Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20N/m và viên bi có khối lượng 0,2kg dao động điều hòa. Tại thời
điểm t, vận tốc và gia tốc của viên bi lần lượt là 20cm/s và . Tính biên độ dao động.
Hướng dẫn giải :
Phương trình dao động của vật có dạng , trong đó ;
Vậy A = 4cm.
Ví dụ 3:
Một quả cầu nhỏ được gắn vào đầu một lò xo có độ cứng 80N/m để tạo thành một con lắc lò xo. Con lắc thực
hiện 100 dao động mất 31,4s.
a. Xác định khối lượng quả cầu.
b. Viết phương trình dao động của quả cầu, biết rằng khi t = 0 thì quả cầu có li độ 2cm và đang chuyển động
theo chiều dương với vận tốc .
Hướng dẫn giải:
a. Chu kỳ dao động:
b. Gọi phương trình dao động là :
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
Ví dụ 4 :
6
Một lò xo có khối lượng không đáng kể và chiều dài , được treo thẳng đứng phía dưới treo một

vật nặng khối lượng m. Kích thích cho vật dao động điều hòa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 29cm đến
35cm. Cho g = 10m/s
2
.
a. Tính chu kỳ dao động của con lắc.
b. Viết phương trình dao động của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài 33,5cm và đang
chuyển động về phía vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên.
Hướng dẫn giải:
a. Theo bài ta có chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là:

Mà ;
Độ biến dạng của lò xo tại ví trí cân bằng là :
b. Gọi phương trình dao động là :
ở vị trí cân bằng lò xo dài 32cm nên khi lò xo có chiều dài 33,5cm và chiều dương hướng lên trên thì li độ của
vật là
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
Ví dụ 5 :
Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc so với mặt phẳng nằm ngang. Vật đang ở vị trí cân
bằng O thì lò xo dãn một đoạn lấy g = 10m/s
2
. Kích thích cho vật dao động điều hòa nó sẽ dao
động với tốc độ cực đại là 40cm/s. Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc thời gian là khi
vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải :
Gọi phương trình dao động là:
7
Tại vị trí cân bằng ta có :
Từ
Tại t = 0 :

Vậy phương trình dao động là:
Ví dụ 6 :
Một lò xo có chiều dài tự nhiên là , độ cứng k
0
= 100N/m được cắt ra làm hai lò xo có chiều dài
, . Khi mắc hai lò xo có chiều dài song song với nhau thì độ cứng của lò xo hệ là
bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải :
Ta có:
Khi hai lò xo mắc song song với nhau thì độ cứng của lò xo hệ là k = k
1
+ k
2
= 450(N/m).
7. Bài tập tương tự luyện tập
Bài 1 :
Một vật nặng có khối lượng m = 100g, gắn vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo treo
vào một điểm cố định. Vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 3,5Hz. Trong quá trình
dao động, độ dài của lò xo lúc ngắn nhất là 38cm và lúc dài nhất là 46cm.
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Tính độ dài của lò xo khi không treo vật nặng.
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi ở cách vị trí cân bằng +2cm
Bài 2 :
Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Thời gian để vật đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất cách nhau
6cm là 1,5s. Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu cách vị trí cân bằng 3cm.
8
a) Viết phương trình dao động của quả cầu.
b) Tìm giá trị cực đại của gia tốc.
c) Tìm thế năng, động năng ban đầu. Cho m = 100g.
Bài 3 :

Một vật dao động điều hồ với biên độ 2cm, tần số 2Hz.
a) Viết phương trình li độ của vật, chọn gốc thời gian lúc vật đạt li độ cực đại.
b) Tính li độ và vận tốc của vật tại thời điểm t = 2,5s.
c) Tính độ dài qng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 8/3s đầu.
Bài 4 :
Một vật có khối lượng m = 400g được treo vào lò xo có hệ số đàn hồi k = 100N/m. Kéo vật ra khỏi vị trí cân
bằng 2cm rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng. Lấy
a) Tính chu kì, biên độ dao động và vận tốc cực đại của vật.
b) Viết phương trình dao đơng, chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất, chiều dương hướng lên.
Bài 5 :
Một quả cầu có khối lượng 100g gắn vào đầu một lò xo, đầu còn lại của lò xo treo vào một điểm cố định. Kéo
quả cầu lệch khỏi vị trí cân bằng hướng xuống dưới 10cm rồi bng nhẹ, quả cầu dao động với chu kì 2s.
a) Tính vận tốc quả cầu khi đi qua vị trí cân bằng.
b) Tính gia tốc của quả cầu khi nó ở trên vị trí cân bằng 5cm.
c) Tính lực cực đại tác dụng vào quả cầu. d) Tính thời gian ngắn nhất để quả cầu chuyển động từ điểm dưới vị
trí cân bằng 5cm đế điểm trên vị trí cân bằng 5cm.
Bài 6 :
Hệ quả cầu và lò xo dao động điều hồ có phương trình x = 6sin2πt (cm). Tính lực đàn hồi và lực hồi phục tác
dụng lên lò xo ở các vị trí có li độ 0, +6cm và -6cm trong hai trường hợp:
a) Quả cầu dao động theo phương thẳng đứng.
b) Quả cầu dao động theo phương ngang. Cho khối lượng quả cầu là m = 500g và g = 10m/s
2
.
Bài tập phần: TÍNH CHU KIØ & NĂNG LƯNG TRONG DĐĐH CỦA CLLX.
9
Bài 1: a) Sau 12s vật nặng gắn vào lò xo có độ cứng K = 40N/m thực hiện được 24 dao động.
Tính chu kiø và khối lượng của vật.
b) Vật có khối lượng m= 0,5kg gắn vào lò xo. Con lắc dao động với tần số f = 2Hz. Tính độ cứng
của lò xo.
c) Lò xo dãn thêm 4cm khi treo vật nặng vào. Tính chu kiø dao động của con lắc này.

Lấy g = 10m/s
2
,
π
2
= 10.
Bài 2: Gắn quả cầu có khối lượng m
1
vào lò xo, hệ dao động với chu kiø T
1
= 0,6s. Thay quả cầu
này bằng quả cầu khác có khối lượng m
2 ,
thì hệ dao động với chu kiø T
2
= 0,8s. Hỏi nếu gắn
cùng lúc cả hai quả cầu vào lò xo thì hệ dao động với chu kiø bao nhiêu?.
Bài 3: Chu kì, tần số và tần số góc của con lắc lò xo thay đổi như thế nào khi:
a) Gắn thêm vào lò xo vật khác có khối lượng bằng 1,25 khối lượng vật ban đầu.
b) Tăng gấp đôi độ cứng của lò xo và giảm phân nửa khối lượng của vật.
Bài 4: Lò xo có độ cứng K = 80N/m.Lần lượt gắn hai quả cầu có khối lượng m
1,
m
2
và kích thích.
Trong cùng khoảng thời gian, con lắc có khối lượng m
1
thực hiện được 10 dao trong khi đó con
lắc có khối lượng m
2

chỉ thực hiện được 5dao động. Nếu gắn cả hai quả cầu vào lò xo thì hệ này
có chu kì dao động là
2
π
s. Tính m
1,
m
2
.
Bài 5: Qủa cầu có khối lượng m gắn vào đầu một lò xo. Gắn thêm vào lò xo vật có khối lượng m
1
= 120g thì tần số dao động của hệ là 2,5Hz. Tiếp tục gắn thêm vật có khối lượng m
2
= 180g thì
tần số dao động của hệ là 2Hz. Tính khối lượng quả cầu, độ cứng của lò xo và tần số của hệ
(quả cầu + lò xo). Lấy
π
2
= 10.
Bài 6: Một hòn bi khi treo vào lò xo làm giãn 4cm. Lấy
π
2
= 10, g = 10m/s
2
.
a) Tính chu kì.
b) Biết A = 5cm, lực căng cực đại của lò xo F
max
= 2,25N. Tính m.
Bài 7: Một lò xo khối lượng nhỏ không đáng kể, treo vào điểm O cố đònh, lò xo có chiều dài tự

nhiên l
o
. Treo vật khối lượng m
1
= 100g vào lò xo thì độ dài l
1
= 31cm. Thay m
1
bằng m
2
thì lò
xo dài l
2
= 32cm.
a) Xác đònh độ cứng k và chiều dài tự nhiên l
o
.
b) Chỉ treo vào lò xo vật có khối lượng m và kích thích cho dao động điều hoà theo phương
thẳng đứng thì độ dài l
max
= 39cm, l
min
= 29cm. Tính biên độ dao động, khối lượng m và chu
kì dao động
Bài 8: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 2N/dm, vật có khối lượng m = 500g. Hệ dđđh, lấy
π
2
=
10.
a) Lúc t = 0, vật có li độ x = - 8cm và vận tốc bằng không. Viết pt dao động.

b) Tính thế năng, động năng và cơ năng của con lắc khi vật có li độ x = 6cm.
Bài 9: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 9N/cm, dao động điều hoà với biên độ A = 10cm. Chọn
gốc thời gian lúc quả cầu qua li độ x = 5cm và đang chuyển động ngược chiều dương.
a) Lập phương trình li độ, biết quả cầu có khối lượng m = 1kg.
b) Tính động năng, thế năng và cơ năng của con lắc ở thời điểm t = 1s.
Bài 10: Con lắc lò xo có k = 600N/m, dao động với biên độ A = 20cm.
a) Tính cơ năng và động năng cực đại.
b) Tính thế năng lò xo lúc V = V
max
/2.
Bài 11: Vật m = 100g, gắn vào lò xo dao động theo phương ngang với biên độ A, vận tốc V
max
=
2m/s.
10
a) Tính E, E
t
, E
đ
lúc x = A/2.
b) Tìm x theo A để có E
t
= E
đ.
Bài 12: Con lắc lò xo m = 0,2kg, k = 20N/m. Lúc x = 8cm thì V = 60cm/s.
a) Tính E.
b) Viết ptdđ với t = 0: x =0, V > 0.
c) Viết biểu thức E
t
, E

đ
theo thời gian. Chứng tỏ E không đổi.
Bài 13: Một quả cầu m = 200g gắn vào lò xo dao động với pt x = 5sin2
π
t (cm).
a) Tính năng lượng dao động và độ cứng của lò xo.
b) Tìm các thời điểm quả cầu có li độ x = 2,5cm trong hai chu kì đầu.
Bài 14: Một con lắc lò xo, vật có khối lượng m = 1kg dđđh với pt x = Acos(
ω
t +
ϕ
) và cơ năng E
= 0,125J. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc v = 0,25m/s, gia tốc a = - 6,25
3
m/s
2
.
a) Tính A,
ω
,
ϕ
và độ cứng k cuả lò xo.
b) Tính động năng và thế năng của con lắc lúc t = 7,25T.
Bài 15: Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 40N/m treo
thẳng đứng. Từ vò trí cân bằng kéo vật xuống dưới một đoạn 3cm rồi buông nhẹ cho dao động.
Cho g = 10m/s
2
.
a) Viết pt dđ của vật. Chọn t = o lúc thả vật, chiều dương hướng xuống.
b) Tính lực cực đại, cực tiểu mà lò xo tác dụng lên giá đỡ.

Bài 16: Một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu trên cố đònh, đầu dưới treo vật có khối lượng
m = 80g. Vật dđđh theo phương thẳng đứng với tần số f = 4,5 Hz. Trong quá trình dao động độ
dài ngắn nhất và dài nhất của lò xo là 38cm và54cm.
a) Viết pt dao động, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo ngắn nhất.
b) Tính độ dài tự nhiên của lò xo. Lấy g = 9,8m/s
2
.
c) Tính lực hồi phục khi vật ở li độ 4cm.
d) Tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động.
Bài 17: Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng 400g và lò xo có độ cứng k = 40N/m treo thẳng
đứng. Từ vò trí ban đầu của lò xo người ta kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn
16cm rồi buông nhẹ.
a) Chọn chiều dương hướng lên, gốc O tại vò trí cân bằng, gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao
động. Viết pt dao động của vật.
b) Tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo. L ấy g = 10m/s
2
.
Bài 18: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm quả cầu có khối lượng 0,2kg gắn vào lò xo cók =
160N/m. Kéo quả cầu khỏi vò trí cân bằng theo phương của trục lò xo một đoạn 6cm rồi đẩy quả
cầu về vò trí cân bằng với vận tốc v
o
có độ lớn 1,6
2
m/s.
a) Viết pt dao động của quả cầu. Gốc thời gian lúc đẩy quả cầu, chiều dương ngược với chiều
vận tốc.
b) Tìm lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo.
Bài tập phần : GHÉP LÒ XO.
11
* Lò xo song song (có hai điểm cố đònh):

F = F
1
+ F
2
x = x
1
= x
2

* Lò xo nối tiếp (chỉ có một điểm cố đònh)
F = F
1
= F
2
x = x
1
+ x
2
B ài 1: Lần lược treo khối lượng M = 200g vào hai lò xo có hệ số đàn hồi k
1
= 20N/m,
k
2
= 80N/m thì chu kì dao động làT
1
, T
2
. Mắc nối tiếp hai lò xo trên rồi treo vật M thì chu kì dao
động là T.
a) Tìm hệ số đàn hồi k hệ hai lò xo.

b) Tìm mối liên hệ T
1,
T
2,
T và tính T.
B ài 2: Hai lò xo cùng chiều dài, độ cứng k
1
= 0,15N/cm, k
2
= 25N/m được ghép thành hệ song
song. Khi treo vật M = 100g thì hai lò xo đều dài l = 15,5cm. Lấy g = 10m/s
2
.
a) Tìm độ cứng hệ hai lò xo.
b) Tính chiều dài ban đầu của mỗi lò xo.
c) Tìm chu kì dao động của hệ.
B ài 3:(ĐHNT 97) Một vật có kích thước nhỏ có khối lượng m = 1kg gắn vào hai lò xo (h
1
) có độ
cứng k
1
, k
2
. Vật dđđh với chu kì T
1
= 2s. Ở thời điểm ban đầu vật có li độ
x = +2cm và vận tốc 6,28cm/s đang hướng về vò trí cân bằng.
a) Viết pt dao động của vật
b) Hệ được bố trí như h
2

, vật dao động với chu kì T
2
= 5s.
* Tính độ cứng k
1,
k
2
của hai lò xo.
* Tính góc lệch
α
của mặt phẳng nghiêng. Biết rằng độ giãn của hai lò xo khi vật ở vò trí
cân bằng là 6,25cm so với độ dài tự nhiên của chúng. Bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s
2
,
π
2
= 10.
B ài 4: Một lò xo có chiều dài tự nhiên l
0
= 30 cm, độ cứng k = 100N/m, đầu O có đònh. Móc quả
cầu có khối lượng m = 100g vào một điểm C trên lò xo với OC = l. Cho quả cầu dao động theo
phương thẳng đứng. Bỏ qua khối lượng lò xo, lấy
π
2
= 10. Tính l để chu kì dao động 0,1s.
12
⇒ kx = kx
1
+ kx
2

⇒ k = k
1
+ k
2
⇒ F/k = F/k
1
+ F/k
2
⇒ 1/k = 1/k
1
+ 1/k
2