Bài tập con lắc lò xo_Tính T,f...

Dao động cơ học_Con lắc lò xo
Dạng 2: Chu kỳ_Tần số dao động của con lắc lò xo
Tính T (f) theo các đại lượng trung gian (m, k, ...) của con lắc lò xo dao động treo thẳng đứng hoặc
theo phương ngang
a, Một vật nặng gắn vào lò xo có độ cứng k = 40N/m thực hiện được 24 dao động trong 12s. Tính chu
kỳ và khối lượng của vật. (Lấy
2
10π =
)
b, Vật có khối lượng m = 0,5kg gắn vào một lò xo, dao động với tần số f = 2Hz. Tính độ cứng của lò xo.
(
2
10π =
)
c, Lò xo dãn thêm 4cm khi treo vật nặng vào. Tính chu kỳ dao động tự do của con lắc lò xo này. (
2
10π =
)
HD:
a,
2
24 k
f 2 2 f 4 (rad / s);m 0,25kg
12
= = ⇒ ω = π = π = =
ω
b,
2 2 2
k m m4 f 80N / m= ω = π =
c,
m m l

T 2 2 2 0,4s
mg
k g
l
∆
= π = π = π =
∆
Quả cầu khối lượng m
1
gắn vào lò xo thì dao động với chu kỳ T
1
= 0,6s. Thay quả cầu này bằng quả cầu
khác có khối lượng m
2
thì hệ dao động với chu kỳ T
2
= 0,8s. Tính chu kỳ dao động của hệ gồm hai quả cầu
cùng gắn vào lò xo.
HD:
2
2 2
1
1
1 2
1
1
2
2 2
2 2
1 2

1 2
2
2
2
2
2
2
m
kT
kT kT
T 2
m
m m
k
4
4 4
T 2 2 T T 1s
k k
kT
m
m
T 2
4
k


= π
=

+


+
 
π
π π
⇒ ⇒ = π = π = + =
 
 
=
= π
 
π


Lò xo có độ cứng k = 80N/m. Lần lượt gắn hai quả cầu có khối lượng m
1
; m
2
và kích thích. Trong cùng
khoảng thời gian, con lắc lò xo gắn m
1
thực hiện được 10 dao động trong khi con lắc gắn m
2
thực hiện
được 5 dao động. Gắn hai quả cầu vào lò xo. Hệ này có chu kỳ dao động 1,57s
s
2
π
≈
. Tính m

1
và m
2
.
HD:
Thời gian con lắc m
1
thực hiện được 10 dao động là 10T
1
;
Thời gian con lắc m
2
thực hiện được 5 dao động là 5T
2
;
Theo bài ra: 10T
1
= 5T
2
.
Mặt khác:
2
2
1 1 1 1
2
2 2 2
T m m T 1
T m m T 4
= ⇒ = =
- Hệ gồm 2 quả cầu có chu kỳ:

2
1 2
1 2
2
m m T k
T 2 m m 5(kg)
k 4
+
= π ⇒ + = =
π
Vậy: m
1
= 1kg; m
2
= 4kg.
Quả cầu khối lượng m gắn vào một đầu lò xo. Gắn thêm vào lò xo vật có khối lượng m
1
= 120g thì tần
số dao động của hệ là 2,5Hz. Lại gắn thêm vật có khối lượng m
2
= 180g thì tần số dao động của hệ là 2Hz.
Tính khối lượng của quả cầu, độ cứng của lò xo và tần số của hệ (quả cầu + lò xo). Lấy
2
10π =
.
HD:
1
2
2
1 k

f 2,5
2 m 0,12
m 0,3 2,5 25
m 0,2kg
m 0,12 2 16
1 k
f 2
2 m 0,12 0,18

= =

π +
+

 
⇒ = = ⇒ =

 ÷
+
 

= =

π + +

GV: Đinh Thư
́
Cơ Trang 1 Trường THPT Kim Sơn A
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/bai-tap-con-lac-lo-xo-tinh-t-f--13791786129729/ttw1372530758.doc
Dao động cơ học_Con lắc lò xo

Dạng 2: Chu kỳ_Tần số dao động của con lắc lò xo
2
1
1 k
f 2,5
2 m 0,12
m 2,5 0,2 5 8.6,25
f 3,14Hz
m 0,12 f 0,32 8 5
1 k
f
2 m

= =

π +

 
⇒ = = = ⇒ = ≈ π =

 ÷
+
 

=

π

Chu kỳ, tần số và tần số góc của con lắc lò xo thay đổi thế nào nếu:
a, Gắn thêm vào lò xo một vật khác có khối lượng 1,25 khối lượng vật ban đầu?

b, Tăng gấp đôi độ cứng của lò xo và khối lượng của vật giảm một nửa?
HD:
Chu kỳ ban đầu:
m
T 2
k
= π
;
2 1
;f
T T
π
ω = =
a,
1
1
m m 1,25m
T 2 2 1,5T
k k
+
= π = π =
. Chu kỳ tăng 1,5 lần, tần số và tần số góc giảm 1,5 lần.
b,
2
1
2
m
m T
2
T 2 2

k 2k 2
= π = π =
. Chu kỳ giảm 2 lần, tần số góc và tần số tăng 2 lần.
Lò xo có độ cứng k = 1N/cm. Lần lượt treo hai vật có khối lượng gấp 3 lần nhau thì khi cân bằng lò xo
có các chiều dài 22,5cm và 27,5cm. Tính chu kỳ dao động tự do của con lắc lò xo khi cả hai vật cùng treo
vào lò xo. Lấy g = 10m/s
2
.
HD:
1 2
2 1 2 0 1 0 0
1 2
2
1
2
3l lmg 3mg
k l 3 l l l 3(l l ) l 20cm
l l 2
lm
0,25.10
k g
4m
T 2 4 0,25.10 0,63s
k 5
−
−

−
= = ⇒ ∆ = ∆ ⇔ − = − ⇒ = =


∆ ∆


∆
⇒ = =



π

⇒ = π = π = =

Treo đồng thời hai quả cân có khối lượng m
1
, m
2
vào một lò xo. Hệ dao động với tần số f = 2Hz. Lấy bớt
quả cân m
2
ra chỉ để lại m
1
gắn vào lò xo. Hệ dao động với tần số f
1
= 2,5Hz. Tính độ cứng k của lò xo và
m
1
. Cho biết m
2
= 225g. Lấy
2

10π =
.
HD:
2
1 1
1 2
1
1 1 2 1
2 2 2
1
1
1
1 k
f
m m
f 16
2 m m
m 400g
f m m m 225 25
1 k
f
k 4m f 4.0,4.10.2,5 100N / m
2 m


=

 
π +


= ⇔ = ⇒ =

 ÷
⇒
+ +
 
 
 
=
= π = =


π

Tính T theo định nghĩa (lập phương trình vi phân) của một số hệ cơ học dao động điều hòa khác
Hai lò xo có khối lượng không đáng kể, cùng chiều dài tự nhiên và có độ cứng lần lượt là k
1
và k
2
. Xác
định độ cứng của hệ hai lò xo đó và chu kỳ dao động của hệ khi gắn vào một quả cầu khối lượng m trong
hai trường hợp:
- Hệ lò xo ghép nối tiếp.
- Hệ lò xo ghép song song.
HD:
- Ghép song song:
+ Chọn trục tọa độ x'Ox: O
≡
VTCB.
+ Kéo vật khỏi VTCB tới li độ x:

1 2
1 2 1 1 2 2 1 2
x x x
F F F (k x k x ) (k k )x kx
= =


= + = − + = − + = −

GV: Đinh Thư
́
Cơ Trang 2 Trường THPT Kim Sơn A
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/bai-tap-con-lac-lo-xo-tinh-t-f--13791786129729/ttw1372530758.doc
k
1
k
2
m
Dao động cơ học_Con lắc lò xo
Dạng 2: Chu kỳ_Tần số dao động của con lắc lò xo
+ Độ cứng k của hệ hai lò xo là: k = k
1
+ k
2
.
+ Chu kỳ:
1 2
m
T 2
k k

= π
+
- Ghép nối tiếp:
+ Chọn trục tọa độ x'Ox: O
≡
VTCB.
+ Kéo vật khỏi VTCB tới li độ x:
1 2
1 2 2 1 2
1 2
1 2
x x x
F F ;F F ( ) F F F
F F F
k k k
®/l III Niut¬n


+ =


= − = − ⇒ = =



+ =


ur uur r uur
+ Độ cứng k của hệ hai lò xo là:

1 2
1 1 1
k k k
= +
.
+ Chu kỳ:
1 2
1 2
m(k k )
T 2
k k
+
= π
Vật khối lượng m có chu kỳ 0,3s nếu treo vào lò xo có độ cứng k
1
, có chu kỳ 0,4s nếu treo vào lò xo có
độ cứng k
2
. Tìm chu kỳ của quả cầu đó khi treo nó vào một hệ lò xo gồm:
- k
1
nối tiếp k
2
.
- k
1
song song với k
2
.
ĐS:

- Nối tiếp:
2 2 2
1 2
T T T T 0,5s= + ⇒ =
.
- Song song:
2 2 2
1 2
1 1 1
T 0,24s
T T T
= + ⇒ =
Treo vật m vào hệ gồm hai lò xo k
1
và k
2
ghép song song thì chu kỳ dao động của hệ là
s
5
π
, nếu treo vào
hệ gồm k
1
nối tiếp k
2
thì chu kì dao động của hệ là
s
6
π
. Tính k

1
và k
2
.
ĐS: 40N/m và 60N/m.
Chứng minh khi cắt một lò xo có độ cứng k
0
thành n lò xo giống nhau thì độ cứng của mỗi lò xo thành
phần bằng k = nk
0
.
HD: Coi lò xo k
0
là hệ gồm n lò xo k ghép nối tiếp:
0
1 1 1 1 n
...
k k k k k
= + + + =
Chứng minh rằng nếu từ một lò xo ban đầu (l
0
; k
0
) cắt ra thành các lò xo (l
1
; k
1
); (l
2
; k

2
); ....; (l
n
; k
n
) thì
ta luôn có: l
0
k
0
= l
1
k
1
= l
2
k
2
= .... = l
n
k
n
.
Áp dụng: Lò xo có chiều dai tự nhiên l
0
= 1m, độ cứng k
0
= 100N/m được cắt thành hai lò xo có chiều
dài 2l
1

= 3l
2
. Tính độ cứng k
1
và k
2
của hai lò xo mới.
HD:
- Coi lò xo ban đầu (l
0
; k
0
) là hệ gồm n lò xo (l
1
; k
1
); (l
2
; k
2
); ....; (l
n
; k
n
) ghép nối tiếp:
- Tác dụng lực F vào hệ lò xo, gọi
0
l∆
là độ biến dạng của hệ (l
0

; k
0
): F =
0 0
k l∆
-
T ....
... ( F)
0 1 2 n
0 1 2 n
æng ®é d·n: l l l l
MÆt kh¸c: F F F F
∆ = ∆ + ∆ + + ∆


= = = = =

- Gọi tỷ số
l
l
∆
là độ biến dạng tỷ đối của lò xo, cho biết độ biến dạng trên một mét chiều dài của lò xo.
Vì lò xo biến dạng đều nên tỷ số này không đổi trước và sau khi cắt.
GV: Đinh Thư
́
Cơ Trang 3 Trường THPT Kim Sơn A
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/bai-tap-con-lac-lo-xo-tinh-t-f--13791786129729/ttw1372530758.doc
k
1
k

2
m
Dao động cơ học_Con lắc lò xo
Dạng 2: Chu kỳ_Tần số dao động của con lắc lò xo
- Vậy:
0
1 2 n
0 0
1 2 n 1 2 n
0 1 2 n 0 1 2 n
F
F F F
l k
l l l k k k
.... ...
l l l l l l l l
∆
∆ ∆ ∆
= = = = ⇔ = = = =
=> l
0
k
0
= l
1
k
1
= l
2
k

2
= .... = l
n
k
n
.
Áp dụng:
1 2
1
1 2
2
1 1 2 2 1 2
k k
k 100
500
k N / m
k k
3
2
k 250N / m
k l k l k k
3

= =


=
+
 
⇒

 
 
=
= ⇒ =



a, Tính chu kỳ dao động của một quả cầu treo vào một lò xo biết rằng khi treo vào lò xo dãn ra một
đoạn 25cm.
b, Hỏi phải cắt lò xo đó ra thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi treo quả cầu vào một đoạn thì tần số
dao động của nó bằng 2Hz.
c, Muốn cho chu kỳ dao động của hệ gấp hai lần chu kỳ dao động ở ý a thì phải ghép bao nhiêu lò xo
thành hệ và ghép như thế nào.
HD:
a,
0
m m l
T 2 2 2 1s
mg
k g
l
∆
= π = π = π =
∆
b, Cắt lò xo thành n phần bằng nhau, mỗi phần có độ cứng k = nk
0
.
0
m T
T ' 2 n 4

nk
n
= π = ⇒ =
c,
m m 1 4
T" 2 2T 2.2
k" k k" k
= π = = π ⇒ =
. Hệ gồm 4 lò xo ghép nối tiếp.
Hệ gồm hai lò xo k
1
= 50N/m; k
2
= 100N/m; vật m = 1,5kg được bố trí như hình vẽ.
Ban đầu k
1
dãn
01
l 2cm∆ =
, k
2
nén đoạn
02
l 4cm∆ =
và buông để vật dao động.
a, Lập phương trình dao động của vật, t = 0 lúc buông.
b, Tính động năng và vận tốc cực đại của dao động.
HD:
a,
* Tính A:

- Tại vị trí ban đầu:

01 1 01
02 01
02 2 02
F k l 50.0,02 1N
F F
F k l 100.0,04 4N
= ∆ = =

⇒ >

= ∆ = =


=> Vật (đang ở vị trí biên âm) chuyển động sang phải về VTCB.
- Gọi A là biên độ, khi đó: Tại VTCB:
+ Lò xo k
1
dãn thêm đoạn A, độ biến dạng của k
1
là
1 01
l l A∆ = ∆ +
.
+ Lò xo k
2
bớt nén đoạn A, độ biến dạng của k
2
là

2 02
l l A∆ = ∆ −
.
2 02 1 01
1 2 1 01 2 02
1 2
k l k l
F F k ( l A) k ( l A) A 2cm
k k
∆ − ∆
⇒ = ⇒ ∆ + = ∆ − ⇒ = =
+
* Tính tần số góc:
- Tại vị trí li độ x bất kỳ so với VTCB:
+ Lò xo k
1
dãn thêm đoạn x, độ biến dạng của k
1
là
1 01
l l A x∆ = ∆ + +
.
+ Lò xo k
2
bớt nén đoạn x, độ biến dạng của k
2
là
2 02
l l A x∆ = ∆ − −
.

- Định luật II Niutơn:
1 2 1 01 2 02
F F ma k ( l A x) k ( l A x) ma− + = ⇔ − ∆ + + + ∆ − − =
2 02 1 01 1 2 1 2
k ( l A) k ( l A) (k k )x ma (k k )x ma∆ − − ∆ + − + = ⇔ − + =
GV: Đinh Thư
́
Cơ Trang 4 Trường THPT Kim Sơn A
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/bai-tap-con-lac-lo-xo-tinh-t-f--13791786129729/ttw1372530758.doc
k
1
k
2
m
O
x
-A +A
Dao động cơ học_Con lắc lò xo
Dạng 2: Chu kỳ_Tần số dao động của con lắc lò xo
Tần số góc:
1 2
k kk 50 100
10rad / s
m m 1,5
+ +
ω = = = =
Phương trình có dạng:
x 2sin(10t )(cm)= + ϕ
* Xác định
ϕ

-
t 0 x A Asin =-
2
π
= ⇒ = − = ϕ ⇒ ϕ
* Phương trình dao động:
x 2sin(10t )(cm)
2
π
= −
b, Hệ lò xo tương đương với một lò xo duy nhất độ cứng k = k
1
+ k
2
= 150N/m.
- Động năng cực đại bằng thế năng cực đại:
2
1 1
kA .150.0,02 1,5J
2 2
max max
® t
W =W = = =
- Vận tốc cực đại:
m
2
2.
v 2m / s
m 1,5
max

®
ax
W
1,5
= = =
Hệ hai lò xo k
1
và k
2
như hình vẽ, vật khối lượng m = 500g, ban đầu hai lò xo không biến dạng. Bỏ qua
ma sát. Kéo vật ra khỏi VTCB đoạn 5cm và buông không vận tốc ban đầu, khi đó chu kỳ dao động T =
s
3
π
.
a, Chọn gốc thời gian lúc buông vật, gốc tọa độ tại VTCB, viết phương trình dao động của vật.
b, Viết biểu thức của động năng và thế năng, từ đó chứng minh năng lượng của hệ bảo toàn.
c, Nếu hệ ghép nối tiếp (hình vẽ) khi đó chu kỳ dao động của hệ là
s
2
π
. Tính k
1
và k
2
.
HD:
a, Phương trình dạng:
x Asin( t )= ω + ϕ
-

2
6rad / s
T
π
ω = =
x A
t 0
A 5cm
Asin= = ϕ

=

=

x 5sin(6t )cm
2
π
⇒ = +
b,
-
2 2 2
t
1
W m x 0,0225sin (6t )J
2 2
π
= ω = +
- Vận tốc:
v x ' 0,3cos(6t )m / s
2

π
= = +
-
2
1
W mv 0,0225c (6t )J
2 2
2
®
os
π
= = +
- Năng lượng: W = W
t
+ W
đ
= 0,0675J không đổi.
c,
- Hệ 1: Ghép theo kiểu song song nên độ cứng tương đương: k = k
1
+ k
2
1
2
1 2
2
4 m
k k k 18
T
π

+ = = =
(1)
- Hệ 2: Ghép nối tiếp nên độ cứng tương đương:
1 2
1 2
k k
k
k k
=
+
GV: Đinh Thư
́
Cơ Trang 5 Trường THPT Kim Sơn A
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/bai-tap-con-lac-lo-xo-tinh-t-f--13791786129729/ttw1372530758.doc
k
1
k
2
m
k
1
k
2
m