chuyên đề đạo hàm cực hay

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1
CHƯƠNG V. ðẠO HÀM
§ 1. ðỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ðẠO HÀM
KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. ðịnh nghĩa
Cho hàm số
( )
y f x
=
xác ñịnh trên khoảng (a; b),
0 0
( ; ), ( ; )
x a b x x a b
∈ + ∆ ∈
Nếu tồn tại., giới hạn (hữu hạn)
0 0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
∆ →
+ ∆ −
∆

ñượ
c
gọ
i

là ñạ
o
hà
m
củ
a
( )
f x
tạ
i
0
x

Kí
hi
ệ
u
là
0
'( )
f x
hay
0
'( )
y x

0
x
x x
∆ = −

gọ
i
là
s
ố
gia
củ
a
ñố
i s
ố tạ
i x
0
.
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
y f x f x f x x f x
∆ = − = + ∆ −
gọ
i
là
s
ố
gia t
ươ
ng
ứ
ng
củ
a

hà
m s
ố
.
2.

Quy t
ắ
c
tí
nh
ñạ
o
hà
m b
ằ
ng
ñị
nh
nghĩ
a
ðể tí
nh
ñạ
o
hà
m
củ
a
hà

m s
ố
( )
y f x
=
tạ
i
ñ
i
ể
m x
0
b
ằ
ng
ñị
nh
nghĩ
a, ta
có
qui t
ắ
c:
Qui t
ắ
c:
B1. V
ớ
i
x

∆
là
s
ố
gia
củ
a
ñố
i s
ố tạ
i x
0
,
tí
nh
0 0
( ) ( )
y f x x f x
∆ = + ∆ −
;
B2. L
ậ
p
tỉ
s
ố
x
y
∆
∆

B3.
Tí
nh
0
lim
x
x
y
∆ →
∆
∆

3.

Quan h
ệ
gi
ữ
a t
ồ
n
tạ
i
ñạ
o
hà
m
và tí
nh liên

tụ
c
củ
a
hà
m s
ố

ðị
nh li 1.
N
ế
u h
à
m s
ố
( )
y f x
=
có ñạ
o
hà
m
tạ
i x
0
thì nó
liên
tụ
c

tạ
i
ñ
i
ể
m
ñó
.
Nghĩ
a
là
:







4.
Ý nghĩ
a
hì
nh
họ
c
củ
a
ñạ
o

hà
m
ðị
nh
lí
2.
ðạ
o
hà
m
củ
a
hà
m s
ố
( )
y f x
=
tạ
i
ñ
i
ể
m x
0
là
h
ệ
s
ố gó

c
củ
a ti
ế
p tuy
ế
n M
0
T
củ
a (C)
tạ
i
ñ
i
ể
m
(
)
0 0 0
; ( )
M x f x
.
Khi
ñó
ph
ươ
ng
trì
nh ti

ế
p tuy
ế
n
củ
a
ñồ thị hà
m s
ố tạ
i M
0
là
:
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
− = −
,
trong
ñó
0 0
( )
y f x
=
.
Chú ý
:
Ta
có
th

ể
d
ễ dà
ng ch
ứ
ng minh s
ự
không t
ồ
n
tạ
i
ñạ
o
hà
m
tạ
i m
ộ
t
ñ
i
ể
m nh
ờ khá
i ni
ệ
m
ñạ
o

hà
m
m
ộ
t bên
và ñị
nh
lí
:

0
0
0 0
'( )
'( ) '( )
'( ) '( )
f x
f x f x
f x f x
+
−
+ −

∃

∃ ⇔ ∃


∃ = ∃


Trong
ñó
0 0
0 0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim ; '( ) lim
x x x x
f x f x f x f x
f x f x
x x x x
+ −
+ −
→ →
− −
= =
− −
và
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x

→
−
=
−









( )
f x

có
ñạo
hàm tại x
0


( )
f x

liên
tục
tại x
0
ðúng

Sai
Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2
BÀI TẬP
Bài 1.
Bằng ñịnh nghĩa, hãy tính ñạo hàm của các hàm số sau:
a)
1
( )f x
x
=
tạ
i
ñ
i
ể
m
0
2
x
=

b)
2
( )
f x x
=
tạ
i
ñ

i
ể
m
0
2
x
=

HD
c)
( ) 2 1
f x x
= −
tại ñiểm
0
5
x
=

d)
1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
tại ñiểm

0
0
x
=
a)
1
( )f x
x
=
tại ñiểm
0
2
x
=

Tập xác ñịnh của hàm số là
{
}
\ 0
D =
ℝ

Với
x
∆
là số gia của ñối số tại
0
2
x
=

sao cho
2
x D
+ ∆ ∈
,
Thì


0 0
1 1
( ) ( ) (2 ) (2)
2 2 2(2 )
x
y f x x f x f x f
x x
∆
∆ = + ∆ − = + ∆ − = − = −
+ ∆ + ∆

Ta
có
1
2(2 )
y
x x
∆
= −
∆ + ∆

0 0
1 1
'( ) lim lim
2(2 ) 4
x x
y
f x
x x
∆ → ∆ →
 
∆
= = − = −
 
∆ + ∆
 

V
ậ
y
1
'(2)
4
f
= −

b)
2
( )
f x x
=

tạ
i
ñ
i
ể
m
0
2
x
=

T
ậ
p
xá
c
ñị
nh
củ
a
hà
m s
ố là
D
=
ℝ

V
ớ
i

x
∆
là
s
ố
gia
củ
a
ñố
i s
ố tạ
i
0
2
x
=
sao cho 2
x D
+ ∆ ∈
,
thì

( )
2
2
0 0
( ) ( ) (2 ) (2) 2 2 (4 )
y f x x f x f x f x x x
∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆

Ta
có
4
y
x
x
∆
= + ∆
∆

( )
0 0
'(2) lim lim 4 4
x x
y
f x
x
∆ → ∆ →
∆
= = + ∆ =
∆

V
ậ
y
'(2) 4
f
=

c)

( ) 2 1
f x x
= −
tại ñiểm
0
5
x
=

Tập xác ñịnh của hàm số ñã cho là
1
/
2
D x x
 
= ≥
 
 

V
ớ
i
x
∆
là
s
ố
gia
củ
a

ñố
i s
ố tạ
i
0
5
x
=
sao cho 5
x D
+ ∆ ∈
,
thì

0 0
( ) ( ) (5 ) (5) 9 2 9
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ −

Ta
có
9 2 9
y x
x x
∆ + ∆ −
=
∆ ∆

Khi
ñó
0 0 0

9 2 9 2 1
'(5) lim lim lim
3
9 2 9
x x x
y x
f
x x
x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ + ∆ −
= = = =
∆ ∆
+ ∆ +

d)
1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
tạ
i
ñ
i
ể

m
0
0
x
=

T
ậ
p
xá
c
ñị
nh
củ
a
hà
m s
ố ñã
cho
là
{
}
\ 1
D =
ℝ

V
ớ
i
x

∆
là
s
ố
gia
củ
a
ñố
i s
ố tạ
i
0
0
x
=
sao cho 0
x D
+ ∆ ∈
,
thì

0 0
1 1 1 2
( ) ( ) 1
1 1 1 1
x x x
y f x x f x
x x x
∆ + ∆ + ∆
∆ = + ∆ − = − = + =

∆ − − ∆ − ∆ −

Ta
có
2
1
y
x x
∆
=
∆ ∆ −

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 3
Khi ñó
0 0
2
'(0) lim lim 2
1
x x
y
f
x x
∆ → ∆ →
∆
= = = −
∆ ∆ −

Bà
i 2.

Tí
nh (b
ằ
ng
ñị
nh
nghĩ
a)
ñạ
o
hà
m
củ
a m
ỗ
i
hà
m s
ố
sau
tạ
i
cá
c
ñ
i
ể
m
ñã chỉ

ra:
a)
2
y x x
= +
tạ
i
0
1
x
=
b)
1
y
x
=
tạ
i
0
2
x
=

c)
2 1
y x
= +
tại
0
2

x
=
d)
2
3
y x x
= +
tại
0
1
x
=

HD
a) 3 b)
1
4
−
c) 2 d) 5
Bài 3.
Chứngminh rằng hàm số
2
2
( 1) ; 0
( )
; 0
x x
f x
x x


− ≥

=

− <



không
có ñạ
o
hà
m
tạ
i
ñ
i
ể
m x = 0 nh
ư
ng
có ñạ
o
hà
m
tạ
i
ñ
i
ể

m x = 2.
HD
Ta
có
:
(0) 1
f
=
,
2
0 0
lim ( ) lim( 1) 1
x x
f x x
+ +
→ →
= − =
và
2
0 0
lim ( ) lim( ) 0
x x
f x x
− −
→ →
= − =

Nh
ậ
n th

ấ
y
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
+ −
→ →
≠ nên
hà
m s
ố
( )
y f x
=
giá
n
ñoạ
n
tạ
i x = 0. T
ừ ñó
suy ra
hà
m s
ố
ñó
không
có ñạ
o

hà
m
tạ
i x = 0.
Ta
có
[
)
2 0;x
= ∈ +∞
và
2 2
0 0 0 0
(2 ) (2) (1 ) 1
lim lim lim lim(2 ) 2
x x x x
y f x f x
x
x x x
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ + ∆ − + ∆ −
= = = + ∆ =
∆ ∆ ∆

V
ậ
y
hà
m s
ố

( )
y f x
=
có ñạ
o
hà
m
tạ
i x = 2
và
'(2) 2
f
=

Bà
i 4.
Ch
ứ
ngminh r
ằ
ng
hà
m s
ố
2
2
( 1) ; 0
( )
( 1) ; 0
x x

f x
x x

− ≥

=

+ <



không
có ñạ
o
hà
m
tạ
i x = 0, nh
ư
ng liên
tụ
c
tạ
i
ñ
i
ể
m
ñó
.

HD
Ta
có
(0) 1
f
=


0
0
0 0
0
( ) ( )
'( ) lim lim( 2) 2
x x
f x f x
f x x
x x
+ +
+
→ →
−
= = − = −
−


0
0
0 0
0

( ) ( )
'( ) lim lim( 2) 2
x x
f x f x
f x x
x x
− +
−
→ →
−
= = + =
−

Vì
0 0
'( ) '( )
f x f x
+ −
≠ nên hàm số
( )
y f x
=
không có ñạo hàm tại x = 0.
Mặt khác, ta có

2
0 0
lim ( ) lim( 1) 1
x x
f x x

+ +
→ →
= − =

2
0 0
lim ( ) lim( 1) 1
x x
f x x
− −
→ →
= + =

Và
(0) 1
f
=
nên hàm số
( )
y f x
=
liên tục tại ñiểm x = 0.
Bài 5.
Chứng minh rằng hàm số
cos ; 0
( )
sin ; 0
x x
y f x
x x

≥

= =

− <

không có ñạo hàm tại x = 0.
HD
Ta có
0 0
lim ( ) lim cos 1
x x
f x x
+ +
→ →
= =


0 0
lim ( ) lim( sin ) 0
x x
f x x
− −
→ →
= − =


(0) cos0 1
f
= =

Nhận thấy
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
+ −
→ →
≠ nên hàm số
( )
y f x
=
gián ñoạn tại x = 0
Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0.

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4
Bài 6.
Chứng minh rằng hàm số
2
3
1; 0
( )
; 0
x x
y f x
x x

+ ≥


= =

<


không
có ñạ
o
hà
m
tạ
i x = 0.
HD
Ta
có


2
0 0
lim ( ) lim( 1) 1 (0)
x x
f x x f
+ +
→ →
= + = =


3
0 0
lim ( ) lim 0

x x
f x x
− −
→ →
= =

Nh
ậ
n th
ấ
y
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
+ −
→ →
≠ nên
hà
m s
ố
( )
y f x
=
gián ñoạn tại x = 0
Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0.
Bài 7.
Cho parabol
2
3 2

y x x
= − + −
.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm có hoành ñộ x
0
= 2
HD
Bằng ñịnh nghĩa, ta tính ñược y’(2) = -1. Do ñó hệ số góc của tiếp tuyến là – 1
Ngoài ra, ta có y(2) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm M
0
(2; 0) là:
y – 0 = (-1)(x – 2) hay y = - x + 2
Bài 8.
Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = x
3

a) Tại ñiểm (- 1; -1)
b) Tại ñiểm có hoành ñộ bằng 2
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
3

HD
Trướ
c h
ế
t ta
tí
nh
ñạ

o
hà
m
củ
a
hà
m s
ố
3
( )
y f x x
= =
tạ
i x
0
tù
y
ý
trên
ℝ
,
có
m
ộ
t s
ố
gia
x
∆

Tí
nh

(
)
3 3 2 2
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 3 3
y f x x f x x x x x x x x x
∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆

( )
2 2 2
0 0 0
0 0
lim lim 3 3 3
x x
y
x x x x x
x
∆ → ∆ →
∆
= + ∆ + ∆ =
∆

a)
Tạ
i ti
ế
p

ñ
i
ể
m x
0
= -1,
'( 1) 3
f
− =
.
V
ậ
y ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n
tì
m: y – (- 1) = 3[x – (-1)] hay y = 3x + 2
b)
Tạ
i
ñ
i
ể
m x
0
= 2, ta

có
'(2) 12
f
=
và
3
(2) 2 8
f
= =

V
ậ
y pttt c
ầ
n
tì
m: y – 8 = 12 ( x – 2) hay y = 12x – 16
c) Bi
ế
t
0
'( ) 3
f x
=
, nên ta
có
0
2
0
0

1 (1) 1
3 3
1 ( 1) 1
x f
x
x f
= ⇒ =

= ⇔

= − ⇒ − = −


V
ậ
y ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n
tì
m
là
: y = 3x – 2
và
y = 3x + 2
Bà
i 9.

Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a
ñườ
ng hypebol
1
y
x
=

a)
Tạ
i
ñ
i
ể
m
1
;2
2

M
 
 
 

b)
Tạ
i
ñ
i
ể
m
có hoà
nh
ñộ
b
ằ
ng – 1
c)

Bi
ế
t h
ệ
s
ố gó
c
củ
a ti
ế

p tuy
ế
n b
ằ
ng
1
4
−

HD
Tr
ướ
c h
ế
t ta
tí
nh
ñạ
o
hà
m
củ
a
hà
m s
ố
1
( )y f x
x
= =

tạ
i x
0
tù
y
ý
trên
{
}
\ 0
ℝ
có
m
ộ
t s
ố
gia
x
∆


Tí
nh

( )
0 0
0 0 0 0
1 1
( ) ( )
x

y f x x f x
x x x x x x
−∆
∆ = + ∆ − = − =
+ ∆ + ∆

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5

( )
2
0 0
0 0 0
1
lim lim
x x
y x
x x x x x
∆ → ∆ →
∆ −∆
= = −
∆ + ∆

a) Tại tiếp ñiểm
1
;2
2
M
 
 

 
, ta
có
1
' 4
2
f
 
= −
 
 

V
ậ
y ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n
tì
m: y = - 4( x – 1)
b)
Tạ
i
ñ
i
ể
m x

0
= -1,
'( 1) 1
f
− = −
và
( 1) 1
f
− = −

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = -1( x + 1)
c) Biết
0
1
'( )
4
f x
= −
, nên
0
2
0
0
1
2 (2)
1 1
2
1
4
2 ( 2)

2
x f
x
x f

= ⇒ =

− = − ⇔


= − ⇒ − = −



V
ậ
y ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n
tì
m
là
:
1
1
4

y x
= − +
và
1
1
4
y x
= − −

Bà
i 10.

Tì
m
ñạ
o
hà
m
củ
a m
ỗ
i
hà
m s
ố
sau:
a)
2
y ax
=

( a
là
h
ằ
ng s
ố
) trên
ℝ
b)
3
2
y x
= +
trên
ℝ

c)
1
2 1
y
x
=
−
v
ớ
i
1
2
x
≠

d)
3
y x
= −
với
3
x
<

HD
a)
2
y ax
=
có
t
ậ
p
xá
c
ñị
nh
là
ℝ
, v
ớ
i x
0
tù
y

ý
thu
ộ
c
ℝ
,
có
m
ộ
t s
ố
gia
x
∆

Tí
nh
(
)
2 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 2
y f x x f x a x x ax x x x
∆ = + ∆ − = +∆ − = ∆ + ∆


(
)
( )
0

0 0
0 0 0
2
lim lim lim 2 2
x x x
a x x x
y
a x x ax
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ + ∆
∆
= = + ∆ =
∆ ∆

V
ậ
y
' 2
y ax
=

b)
3
2
y x
= +
trên
ℝ
, th

ự
c hi
ệ
n t
ươ
ng t
ự
, ta
có
2
' 3
y x
=
c)
1
2 1
y
x
=
−
. T
ậ
p
xá
c
ñị
nh
củ
a
hà

m s
ố
1
\
2
D
 
=
 
 
ℝ

V
ớ
i
0
x
∈
ℝ
tù
y
ý
, ta
có
m
ộ
t s
ố
gia
x

∆

Tinh
( )
0 0
0 0 0 0
1 1 2
( ) ( )
2( ) 1 2 1 (2 1) 2 2 1
x
y f x x f x
x x x x x x
− ∆
∆ = + ∆ − = − =
+ ∆ − − − + ∆ −

( )
2
0 0
0 0 0
2 2
lim lim
(2 1) 2 2 1 (2 1)
x x
y
x x x x x
∆ → ∆ →
∆ − −
= =
∆ − + ∆ − −

V
ậ
y
2
1 2
'
2 1 (2 1)
y y
x x
−
=
⇒
=
− −

d) 3
y x
= −
, th
ự
c hi
ệ
n t
ươ
ng t
ự
)
1
3 '

2 3
y x y
x
−
= −
⇒
=
−












Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6
§ 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ðẠO HÀM
KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. ðạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở ñây u = u(x))

(c)’ = 0 (c là hằng số)
(x)’ = 1
(
)

1
' ( , 2)
n n
x nx n n
−
= ∈ ≥
ℕ
'
2
1 1
,( 0)
x
x x
 
= − ≠
 
 

(
)
'
1
,( 0)
2
x x
x
= >


(k.u)’ = k.u’

(
)
1
' . '
n n
u nu u
−
=
'
2
1 '
,( 0)
u
u
u u
 
= − ≠
 
 

(
)
'
'
,( 0)
2
u
u u
u
= >

2. Các quy tắc tính ñạo hàm ( ở ñây u = u(x), v = v(x))

(u + v)’ = u’ + v’
(u – v)’ = u’ – v’
(u.v)’ = u’.v + v’.u
'
2
'. '.
,( 0)
u u v v u
v
v v
+
 
= ≠
 
 

Chú ý thêm:

(ax + b)’ = a
'
2 2
( ) ( )
a b
c d
ax b ad cb
cx d cx d cx d

+ −
 
= =
 
+ + +
 

( )
2
'
2
2
2
2
2
' ' ' ' ' '
' ' '
' ' '
a b a c b c
x x
a b a c b c
ax bx c
a x b x c
a x b x c
+ +
 
+ +
=
 
+ +

 
+ +



3. ðạo hàm của hàm số hợp
Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì:

' ' '
.
x u x
y y u
=

BÀI TẬP
Bài 1.
Tính ñạo hàm của mỗi hàm số sau tại ñiểm x
0
ñược cho kèm theo
a) y = 7 + x – x
2
, x
0
= 1 b) y = x
3
– 2x + 1, x
0
= 2
c) y = 2x
5

– 2x + 3, x
0
= 1 d) y = x
4
– x
2
+ 2, x
0
= - 1
HD
a) y’ = (7 + x – x
2
)’ = (7)’ + (x)’ – (x
2
)’ = 0 + 1 – 2x = 1 – 2x
Tại x
0
= 1, y’(1) = 1 – 2.1 = - 1.
b) y’ = (x
3
– 2x + 1)’ = 3x
2
– 2 và y’(2) = 10
c) y’ = (2x
5
– 2x + 3)’ = 10x
4
– 2 và y’(1) = 8
d) y’ = (x
4

– x
2
+ 2)’ = 4x
3
– 2x và y’(-1) = - 2
Bài 2.
Tìm ñạo hàm của các hàm số sau
a) y = x
5
– 4x
3
+ 2x – 3 b)
2 4
1 1 1
4 3 2
y x x x
= − + −
c)
4 3 2
2 4
1
2 3 5
x x x
y
= − + −
d) y = 3x
5
(8 – 3x
2
)

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7
HD
a) y’ = (x
5
– 4x
3
+ 2x – 3)’= 5x
4
– 12x
2
+ 2
b)
'
2 4 3
1 1 1 1
' 2 2
4 3 2 3
y x x x x x
 
= − + − = − + −
 
 

c)
4 3 2
3 2
2 4 8
' 1 2 2
2 3 5 5

x x x x
y x x
 
= − + − = − +
 
 

d) y’ =( 3x
5
(8 – 3x
2
))’= 15x
4
(8 – 3x
2
) + 3x
5
(-6x) = - 63x
6
+ 120x
4

Bài 3.
Tìm ñạo hàm các hàm số sau
a)
4 2
y x x x
= − + b)
(
)

3 5
y x x x
= −
c) y = (1 – 2x)
3
d)
(
)
3
7 2
5
y x x
= −
e)
2
2
1
x
y
x
=
−
f)
2
3 5
1
x
y
x x
−

=
− +

HD
a)
(
)
4 2 3
1
' 4 2
2
y x x x x x
x
= − + = − +
b)
( )
( )
( ) ( )
'
'
'
3 5 3 5 5 3 2 3 4
1
' 3 8
2
y x x x x x x x x x x x x x
x
 
 
= − = − + − = + −

 
 
 

c) y’ = ((1 – 2x)
3
)’ = (1 – 2x)’(1 – 2x) = - 2(1 – 2x)
d)
( )
(
)
'
3
7 2 5 5 2 5
' 5 3 ( 5) (7 10)
y x x x x x= − = − −
e)
( )
'
2
2
2
2
2 2( 1)
'
1
1
x x
y
x

x
− +
 
= =
 
−
 
−

f)
( )
'
2
2
2
2
3 5 5 6 2
'
1
1
x x x
y
x x
x x
− − −
 
= =
 
− +
 

− +

Bài 4.
Tính ñạo hàm các hàm số sau
a)
2
1
y x x x
= − +
b)
2
2 5
y x x
= − −

c)
3
2 2
x
y
a x
=
−
(a là hằng số) d)
1
1
x
y
x
+

=
−

HD
a)
(
)
'
2
3
' 1 2
2
y x x x x x
= − + = − b)
(
)
'
2
2
2 5
' 2 5
2 2 5
x
y x x
x x
− −
= − − =
− −

c)

(
)
( )
'
2 2 2
3
2 2 3
2 2
3 2
'
x a x
x
y
a x
a x
−
 
= =
 
−
 
−
d)
'
3
1 3
'
1
2 (1 )
x x

y
x
x
+ −
 
= =
 
−
 
−

Bài 5.
Tính ñạo hàm các hàm số sau
a)
(
)
2
7
y x x
= + b)
(
)
(
)
2 2
1 5 3
y x x
= + −
c)
2

2
1
x
y
x
=
−
d)
2
5 3
1
x
y
x x
−
=
+ +

e)
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
f)
(2 1)(3 2)

y x x x
= − +

HD
Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8
a)
( ) ( )( )
'
2
7 6 6
' 2 1 7 1
y x x x x x
 
= + = + +
 
 
b)
( )( )
(
)
( )
'
2 2 2
' 1 5 3 4 3 1
y x x x x
= + − = − +

c)
(

)
( )
2
'
2
2
2
2 1
2
'
1
1
x
x
y
x
x
− +
 
= =
 
−
 
−
d)
( )
'
2
2
2

2
5 3 5 6 8
'
1
1
x x x
y
x x
x x
− − + +
 
= =
 
+ +
 
+ +

e)
'
2
2
2 2 ( 2)
'
1 ( 1)
x x x x
y
x x
 
+ + +
= =

 
+ +
 
f)
( )
(
)
'
2
' (2 1)(3 2) 2 9 1
y x x x x x
= − + = + −

Bà
i 6.

Tí
nh
ñạ
o
hà
m
cá
c
hà
m s
ố
sau:
a)
2

2 3
5 5
x
y
x x
+
=
− +
b)
( )
5
2
1
1
y
x x
=
− +

c)
2
1
y x x x
= + +
d)
( ) ( )
2 3
( 1) 2 3
y x x x
= + + +

e)
2
1
x
y
x
+
= f)
1
1
x
y
x
−
=
−

HD
a)
( )
'
2
2
2
2
2 3 2 6 25
'
5 5
5 5

x x x
y
x x
x x
+ − − +
 
= =
 
− +
 
− +
b)
( ) ( )
'
5 6
2 2
1 5(2 1)
'
1 1
x
y
x x x x
 
− −
 
= =
 
− + − +
 

c)
(
)
'
2
3
' 1 2
2
y x x x x x
= + + = +
d)
( ) ( )
(
)
'
2 3
2 2
' ( 1) 2 3 2( 2)( 3) (3 11 9)
y x x x x x x x
= + + + = + + + +

e)
'
2 2
2
2
1 1
'
1
2

x x
y
x
x
x
x
 
+ −
= =
 
 
+
 
f)
'
3
1 3
'
1
2 (1 )
x x
y
x
x
− −
 
= =
 
−
 

−

Bài 7.
Tính ñạo hàm các hàm số sau
a)
(
)
(
)
3 2
9 2 2 9 1
y x x x
= − − +
b)
2 3
4
x
y
x
−
=
+

c)
2
3 5
2
x x
y
x

− − +
=
−
d)
3
5
3
y x
x
 
= −
 
 

e)
3 2
2 1
y x x
= − +
f)
4
2
b c
y a
x x
 
= + +
 
 
(a, b, c là các hằng số)

HD
a)
( )
( )
(
)
'
3 2 3 2
' 9 2 2 9 1 16 108 162 2
y x x x x x x
= − − + = − + − −

b)
'
2
2 3 11
'
4 ( 4)
x
y
x x
−
 
= =
 
+ +
 

c)
'

2 2
2
3 5 4 1
'
2 ( 2)
x x x x
y
x x
 
− − + − + +
= =
 
− −
 

d)
'
3 2
5 5 4
3
3 3 3
' 3 5
2
y x x x
x x
x
 
 
   
= − = − +

 
 
   
 
   
 
 

e)
(
)
2
'
3 2
3 2
3 4
' 2 1
2 2 1
x x
y x x
x x
−
= − + =
− +

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9
f)
'
4 3

2 2 2 3
2
' 4
b c b c b c
y a a
x x x x x x
 
     
= + + = − + + +
 
     
 
     
 

Bài 8.
Tìm ñạo hàm các hàm số sau
a)
(
)
(
)
3 2 2
4 2 5 7
y x x x x x
= − − − b)
( )
2
3 1
y x x

x
 
= + −
 
 

c)
2
3
2 3
2
x x
y
x
− + +
=
−
d)
( )
2
2 1
y x x
= − +

HD
a)
( )( )
(
)
'

3 2 2 4 3 2
' 4 2 5 7 20 120 27 70
y x x x x x x x x x
= − − − = − + +

b)
( ) ( )
'
2 2 1 3
' 3 1 3 1
2
x
y x x x
x x
x x x
 
   
= + − = − + − + +
   
 
   
 

c)
( )
'
2 4 3 2
2
3
3

2 3 4 9 4 4
'
2
2
x x x x x x
y
x
x
 
− + + − − + −
= =
 
−
 
−

d)
( )
(
)
2
'
2
2
2 2 1
' 2 1
1
x x
y x x
x

− +
= − + =
+

Bài 9.
Cho y = x
3
– 3x
2
+ 2. Tìm x ñể:
a) y’ > 0 b) y’ < 3
HD
a) x < 0 hoặc x > 2 b)
1 2 1 2
x− < < +

Bài 10.
Cho
3 2
( ) 2; ( ) 3 2
f x x x g x x x= + − = + + .
Giải bất phương trình
'( ) '( )
f x g x
>
.
HD

( ;0) (1; )
x

∈ −∞ ∪ +∞

Bài 11.
Cho
2 3
2
( ) ; ( )
2 3
x x
f x g x
x
= = −
. Giải bất phương trình
( ) '( )
f x g x
≤

HD

[ 1;0]
x
∈ −

Bài 12.
Cho hàm số
2
( ) 2
f x x x
= −
. Hãy giải bất phương trình

'( ) ( )
f x f x
≤
.
HD

2
2
1
( ) 2 '( )
2
x
f x x x f x
x x
−
= − ⇒ =
−

Ta cần giải bpt:
2
2
2
0
2
0
1
3 5
2
2
2

2
1 2
3 5
2
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x

<



>



<


−





−
>
≤ − ⇔ ⇔
 

≤

−
 

− ≤ −



+

≥





V
ậy nghiệm của bpt ñã cho là:
3 5
( ;0) ;
2
 
+

−∞ ∪ +∞



 


Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10
§ 3. ðẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
KIẾN THỨC CẦN NẮM
Bảng ñạo hàm
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = - sinx
2
1
(tan )'
cos
x
x
=
2
1
(cot )'
sin
x
x
= −
(sinu)’ = u’cosu
(cosu)’ = - u’sinu

2
'
(tan )'
cos
u
u
u
=
2
'
(cot )'
sin
u
u
u
= −

BÀ
I T
Ậ
P

Bà
i 1.

Tì
m
ñạ
o
hà

m
củ
a
cá
c
hà
m s
ố
sau
a)
sin 3
5
y x
π
 
= +
 
 
b)
sin
2
y x
π
 
= −
 
 

c)
3

cos( 1)
y x
= −
d)
2
tan(3 5)
y x
= +

e)
tan , ,
2
y x x k k
π
π
 
= − ≠ ∈
 
 
ℤ
f)
3
cot (3 1)
y x
= −

HD
a)
'
'

' sin 3 3 cos 3 3cos 3
5 5 5 5
y x x x x
π π π π
 
       
= + = + + = +
       
 
       
 

b)
'
'
' sin cos cos sin
2 2 2 2
y x x x x x
π π π π
 
       
= − = − − = − − = −
       
 
       
 

c)
(
)

'
3 3 ' 3 2 3
' cos( 1) ( 1) sin( 1) 3 sin( 1)
y x x x x x
= − = − − − = − −

d)
( )
2
'
2
2 2 2 2
(3 5)' 6
' tan(3 5)
cos (3 5) cos (3 5)
x x
y x
x x
+
= + = =
+ +

e)
'
'
2 2
1
2
' tan
2

cos cos
2 2
x
y x
x x
π
π
π π
 
−
 
 
 
 
= − = = −
 
 
   
 
 
− −
   
   

f)
( )
( )
2
'
'

3 2 2
2 4
(3 1)' 9cos (3 1)
' cot (3 1) 3cot (3 1) cot(3 1) 3cot (3 1).
sin (3 1) sin (3 1)
x x
y x x x x
x x
− − −
= − = − − = − = −
− −

Bài 2.
Tìm ñạo hàm của các hàm số sau
a)
5sin 3cos
y x x
= −
b)
cot
y x x
=

c)
1 2tan
y x
= + d)
2
sin 1
y x

= +

e)
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+
=
−
f)
sin
sin
x x
y
x x
= +
HD
a)
' 5cos 3sin
y x x
= +
b)
2
' cot
sin
x
y x
x

= −
c)
2
1
'
cos 1 2tan
y
x x
=
+
d)
2
2
cos 1
'
1
x x
y
x
+
=
+

e)
2
2
'
(sin cos )
y
x x

= −
−
f)
2 2
1 1
' ( cos sin )
sin
y x x x
x x
 
= − −
 
 


Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11
Bài 3.
Tìm ñạo hàm của mỗi hàm số sau
a)
(
)
2
sin 3 2
y x x
= − +
b)
cos 2 1
y x
= +

c)
cos2
y x
= d)
tan3 cot 3
y x x
= −

e)
1 2tan
y x
= + f)
2
cot 1
y x
= +

HD
a)
( )
(
)
( )
'
2 2
' sin 3 2 (2 3)cos 3 2
y x x x x x
= − + = − − +

b)
( )
'
sin 2 1
' cos 2 1
2 1
x
y x
x
− +
= + =
+

c)
(
)
'
sin 2
' cos2
cos2
x
y x
x
= = − d)
( )
'
2
12
' tan3 cot3
sin 6

y x x
x
= − =
e)
(
)
'
2
1
' 1 2tan
cos . 1 2tan
y x
x x
= + =
+
f)
(
)
(
)
'
2 2 2
2
' cot 1 1 cot 1
1
x
y x x
x
−
= + = + +

+

Bà
i 4.

Tì
m
ñạ
o
hà
m
cá
c
hà
m s
ố
sau
a)
tan(sin )
y x
=
b)
2
cot( 1)
y x x
= −

c)
2
sin

1 tan 2
x
y
x
=
+
d)
2
cos 2
4
y x
π
= −

e)
sin3
y x x
= f)
cot 2
y x x
=
HD
a)
( )
'
2
cos
' tan(sin )
cos (sin )
x

y x
x
= =
b)
( )
2 2
'
2
2 2
sin 2( 1) 4
' cot( 1)
2sin ( 1)
x x
y x x
x
− −
= − =
−

c)
'
2 2 2
2
sin sin 2 2sin (1 tan 2 )
'
1 tan 2 1 tan2 (1 tan 2 )
x x x x
y
x x x
 

+
= = −
 
+ + +
 

d)
'
2
2sin 8
' cos 2
4
8
x
y x
x
π π
π
 
−
= − =
 
 
−
 

e)
(
)
'

2sin3 3 cos3
' sin3
2 sin3
x x x
y x x
x
+
= =
f)
( )
'
2
1 2
' cot 2 cot 2
sin 2
2
x
y x x x
x
x
= = −
Bà
i 5.

Tì
m
ñạ
o
hà
m

củ
a m
ỗ
i
hà
m s
ố
sau
a) sin3 cos tan
5
x
y x x
= + + b)
2
1
sin
y
x
=
c)
2 2
3sin cos cos
y x x x
= + d)
3
(3 sin )
y x
= −
e)
2

2
1
sin 3
cos
y x
x
= + f)
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x
−
=
+

HD
a)
'
2
1 1
' sin3 cos tan 3cos3 sin
5 5 5
2 cos
x x
y x x x
x x
 
= + + = − +
 

 

b)
'
2 3 2
1 2 1
' sin cos
y
x x x
 
= = −
 
 

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12
c)
(
)
'
2 2 2 2
' 3sin cos cos sin (6cos 3sin 2cos )
y x x x x x x x
= + = − −
d)
(
)
'
3 2
' (3 sin ) 3(3 sin ) cos

y x x x
= − = − −
e)
'
2
2 3
1 2sin
' sin 3 3sin6
cos cos
x
y x x
x x
 
= + = +
 
 

f)
'
2
2
sin cos
'
cos sin (cos sin )
x x x x
y
x x x x x x
−
 
= =

 
+ +
 

Bài 6.
Chứng minh rằng:
a) Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức y’ – y
2
– 1 = 0
b) Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức y’ + 2y
2
+ 2 = 0
HD
a)
2
' 1 tan
y x
= + . Do ñó y’ – y
2
– 1 = (1 + tan
2
x) – tan
2
x – 1 = 0
b) y’ = - 2(1 + cot
2
2x). Do ñó y’ + 2y
2
+ 2 = - 2(1 + cot
2

2x) + 2cot
2
x + 2 = 0
Bài 7.
Giải phương trình
'( ) 0
f x
=
biết rằng:
a)
( ) 3cos 4sin 5
f x x x x
= + +
b)
2
( ) 1 sin( ) 2cos
2
x
f x x
π
π
+
 
= − + +
 
 

c)
( ) sin 2 2cos
f x x x

= −
d)
( ) tan cot
f x x x
= +

HD
a) V
ớ
i
mọ
i x
∈
ℝ
, ta
có

'( ) 3sin 4cos 5
f x x x
= − + +


( )
3 4
'( ) 0 3sin 4cos 5 sin cos 1
5 5
3 4
sin sin 2 ; cos ;sin
2 2 5 5
f x x x x x

x x k k
π π
α α π α α
= ⇔ − + + ⇔ − =
 
⇔ − = ⇔ = + + ∈ = =
 
 
ℤ

b) V
ớ
i
mọ
i x
∈
ℝ
, ta
có

'( ) cos sin
2
x
f x x= +

'( ) 0 cos sin 0 sin cos sin sin
2 2 2 2
4
;
4

3
x x x
f x x x x
x k
k
k
x
π
π π
π
π
 
= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −
 
 
= −


⇔ ∈

= +

ℤ

c) V
ớ
i
mọ
i x
∈

ℝ
, ta
có

2
'( ) 2cos2 2sin 2(1 2sin ) 2sin
f x x x x x
= + = − +

2
2
2
sin 1
'( ) 0 2(1 2sin ) 2sin 0 2 ;
1
6
sin
2
7
2
6
x k
x
f x x x x k k
x
x k
π
π
π
π

π
π

= +

=




= ⇔ − + = ⇔ ⇔ = − + ∈


= −



= +


ℤ

d) V
ớ
i
mọ
i ;
2
k
x k

π
≠ ∈
ℤ
, ta
có

2 2
2 2 2 2 2
1 1 sin cos 4cos2
'( )
cos sin cos sin sin 2
x x x
f x
x x x x x
− −
= − = =
2
4cos2
'( ) 0 0 cos2 0 ;
sin 2 4 2
x
f x x x k k
x
π π
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
ℤ

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 13

§ 4. VI PHÂN
KIẾN THỨC CẦN NẮM
Cho hàm số
( )
y f x
=
xác ñịnh trên khoảng (a; b) và có ñạo hàm tại
( ; )
x a b
∈
. Giả sử
x
∆
là số gia của x
Ta gọi tích
'( )
f x x
∆
là vi phân của hàm số
( )
y f x
=
tại x ứng với số gia
x
∆
, kí hiệu là
( )
df x
hoặc

dy
,
tức là
( ) '( )
dy df x f x x
= = ∆
hay
'
dy y dx
=


BÀI TẬP
Bài 1.
Tìm vi phân của các hàm số sau
a) y = x
3
– 5x + 1 b) y = sin
3
x
c) y = sinx – xcosx d)
3
1
y
x
=
HD
a)

y = x

3
– 5x + 1, y’ = 3x
2
– 5
dy = d(x
3
– 5x + 1) = y’dx = (3x
2
– 5 )dx

b)

y = sin
3
x, y’ = 3sin
2
xcosx
dy = d(sin
3
x) = y’dx = (3sin
2
xcosx)dx


c)

y = sinx – xcosx, y’ = xsinx
dy = d(sinx – xcosx) = y’dx = (xsinx)dx
d)
3

1
y
x
= ,
4
3
'y
x
= −

dy = y’dx =
4
3
dx
x
−
Bà
i 2.

Tì
m vi phân
củ
a
cá
c
hà
m s
ố
sau
a)

2
1
y
x
= b)
2
1
x
y
x
+
=
−

c) y = sin
2
x d)
tan
x
y
x
=

HD
a)
3
2
dy dx
x
= −

b)
2
3
( 1)
dy dx
x
= −
−

c) dy = (sin2x)dx d)
(
)
2
2 sin 2
4 cos
x x
dy dx
x x x
−
=

Bà
i 3.

Tì
m vi phân
cá
c
hà
m s

ố
sau
a)
x
y
a b
=
+
(a, b
là cá
c h
ằ
ng s
ố
) b)
(
)
(
)
2 2
4 1
y x x x x
= + + −

c)
2
tan
y x
=
d)

2
cos
1
x
y
x
=
−

HD
a)
1
2( )
dy dx
a b x
=
+

b)
( )
( )
( )
2 2
1
2 4 4 1 2
2
dy x x x x x x dx
x
 
 

= + − + + + −
 
 
 
 

c)
2
2tan
cos
x
dy dx
x
=
d)
(
)
( )
2
2
2
1 sin 2 cos
1
x x x x
dy dx
x
− +
=
−

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 14
Bài 4.
Tìm vi phân của các hàm số sau
a) y = x
2
+ sin
2
x b) y = tan
3
x
c) y = tan
2
3x – cot
2
3x d)
2
cos 2 1
y x
= +

HD
a) dy = (2x + sin2x)dx b)
2
4
3sin
cos
x

dy dx
x
= ( hoặc dy = 3tan
2
x(1 + tan
2
x)dx)
c)
(
)
4 2
3 3
6 2cos 3 1 2cos 3
sin 3 cos 3
x x
dy dx
x x
+ −
= d)
2
sin 4
cos 2 1
x
dy dx
x
= −
+

§ 5. ðẠO HÀM CẤP HAI
KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. ðịnh nghĩa
Giả sử hàm số
( )
f x
có ñạo hàm
'( )
f x
. Nếu
'( )
f x
cũng có ñạo hàm thì ta gọi ñạo hàm của nó là ñạo
hàm cấp hai của
( )
f x
và kí hiệu
''( )
f x
:

(
)
'( ) ' ''( )
f x f x
=

Tương tự
(
)

(3)
''( ) ' '''( ) ( )
f x f x f x
= ≡

….

(
)
( 1) ( ) *
( ) ' ( ),
n n
f x f x n
−
= ∈
ℕ

( )
( )
n
f x
là ñạ
o
hà
m c
ấ
p n
củ
a
hà

m s
ố
( )
f x

2.
Ý nghĩ
a c
ơ

họ
c
củ
a
ñạ
o
hà
m c
ấ
p hai

Xé
t m
ộ
t ch
ấ
t
ñ
i
ể

m chuy
ể
n
ñộ
ng
có
ph
ươ
ng
trì
nh
( )
s f t
=
.
V
ậ
n t
ố
c
tạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m t
0
củ

a ch
ấ
t
ñ
i
ể
m
ñó là
0 0
( ) '( )
v t f t
=

Gia t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i
tạ
i
ñ
i
ể
m t
0
củ
a m
ộ

t ch
ấ
t
ñ
i
ể
m chuy
ể
n
ñộ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng
trì
nh
( )
s f t
=
là
:

0 0 0
( ) '( ) ''( )
t v t f t
γ
= =

BÀ
I T
Ậ
P
Bà
i 1.

Tí
nh
ñạ
o
hà
m c
ấ
p hai
củ
a
cá
c
hà
m s
ố
sau
a)
2
1
y x x
= +
b) y = tanx
c)

1
1
y
x
=
−
d)
1
1
y
x
=
−

e) y = cos
2
x f) y = sin5xcos2x
HD
a)
2 2
2
2 2
1 2
' 1
1 1
x x
y x
x x
+
= + + =

+ +
;
2
2
2
2
2
2 2
(1 2 )
4 1
(3 2 )
1
''
1
(1 ) 1
x x
x x
x x
x
y
x
x x
−
+ −
+
+
= =
+
+ +

b)
2
1
'
cos
y
x
= ;
3
4 4 3
(cos )' 2cos sin 2sin
'' ; ,
cos cos cos 2
x x x x
y x k k
x x x
π
π
 
= − = = ≠ + ∈
 
 
ℤ

c)
2
1
'
(1 )
y

x
=
−
;
3
2
''
(1 )
y
x
=
−
d)
5
3
''
4 (1 )
y
x
=
−

e)
'' 2cos2
y x
= −
f)
( )
1
'' 49sin7 9sin3

2
y x x
= − +




Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 15
Bài 2.
Tìm ñạo hàm cấp hai của các hàm số sau
a)
2
2 1
2
x
y
x x
+
=
+ −
b)
2
1
x
y
x
=
−

c)
1
2
x
y
x
+
=
−
d)
2
1
y x x
= +

e)
2
1
x
y
x
=
−
f)
2
(1 )cos
y x x
= −

HD

a)
2 3 3
2 1 1 1 1 1
'' 2
2 1 2 ( 1) ( 2)
x
y y
x x x x x x
 
+
= = + ⇒ = +
 
+ − − + − +
 

b)
2 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
' ''
1 2 1 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x
y y y
x x x x x x x
   
− −
 
= = + ⇒ = + ⇒ = +
   
 
− + − + − + −

 
   

c)
2 3
1 3 3 6
1 ' ''
2 2 ( 2) ( 2)
x
y y y
x x x x
+ −
= = + ⇒ = ⇒ =
− − − −

d)
3
2
2 2
2 3
1 ''
(1 ) 1
x x
y x x y
x x
+
= + ⇒ =
+ +

e)

2
3
1 2
1 ''
1 1 (1 )
x
y x y
x x x
= = − − + ⇒ =
− − −

f)
2
(1 )cos
y x x
= −
2
'' ( 3)cos 4 sin
y x x x x
⇒ = − +

Bà
i 3.
a)

Cho
6
( ) ( 10)
f x x= +
.

Tí
nh
''(2)
f
b) Cho
( ) sin3
f x x
=
. Tính
'' ; ''(0); ''
2 18
f f f
π π
   
−
   
   

c)

N
ế
u
2
2
y x x
= −
thì
3
. '' 1 0

y y
+ =

HD
a)
6 5 4
( ) ( 10) '( ) 6( 10) ; ''( ) 30( 10)
f x x f x x f x x= + ⇒ = + = +
Do
ñó
''(2) 622080
f
=

b)
( ) sin3 '( ) 3cos3 ; ''( ) 9sin3
f x x f x x f x x
=
⇒
= = −

Do
ñó
9
'' 9; ''(0) 0; ''
2 18 2
f f f
π π
   
− = − = = −

   
   

c)
2
2 2 3
1 1
2 ' ; ''
2 (2 )
x
y x x y y
x x x x
−
= − ⇒ = = −
− −
.
Do ñó
( )
( )
3
3 2
3
2
1
. '' 1 2 . 1 0
2
y y x x
x x
 
−

 
+ = − + =
 
 
−
 
(ñpcm)
Bài 4.
Xét chuyển ñộng của một chất ñiểm có phương trình
( ) sin( )
s t A t
ω ϕ
= +
(
, ,
A
ω ϕ
là nhữnng
hằng số). Tìm gia tốc tức thời tại thời ñiểm t của chuyển ñộng
HD
Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển ñộng tại thời ñiểm t, ta có:

( )
'
( ) '( ) sin( ) cos( )
v t s t A t A t
ω ϕ ω ω ϕ
= = + = +

V

ậ
y gia t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i
củ
a chuy
ể
n
ñộ
ng
tạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m t
là
:

2
( ) '( ) ''( ) sin( )
t v t s t A t
γ ω ω ϕ
= = = − +

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 16
Bài 5.
Cho chuyển ñộng thẳng xác ñịnh bởi phương trình
3 2
( ) 3 9
S t t t t
= − −
, trong ñó t tính bằng giây
và S tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của chuyển ñộng khi t = 2s
b) Tính gia tốc của chuyển ñổng khi t = 3s
c) Tính gia tốc tại thời ñiểm vận tốc triệt tiêu
d) Tính vận tốc tại thời ñiểm gia tốc triệt tiêu
HD
Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển ñộng tại thời ñiểm t

2
( ) '( ) 3 6 9
v t S t t t
= = − −
;
( ) '( ) 6 6
t v t t
γ
= = −

a) Tại t = 2s, v(2) = - 9 m/s
b) Tại t = 3s,
2
(3) 12
m
s
γ
=
c) Tại v = 0 hay
2
1( )
3 6 9 0
3
t loai
t t
t
= −

− − = ⇔

=

⇒
2
(3) 12
m
s
γ
=

d) Tại thời ñiểm
( ) 6 6 0 1 (1) 12
t t t v m s
γ
= − = ⇔ = ⇒ = −

Bài 6.
Cho một chất ñiểm chuyển ñộng có phương trình là
3 2
( ) 2 2 1
s t t t t
= − + −
, (trong ñó t tính bằng s
và S tính bằng m).
a) Tính gia tốc tại thời ñiểm t = 4s
b) Tính vận tốc tại thời ñiểm mà gia tốc bằng 0
(
)
2
m s

HD
Ta có
2
( ) '( ) 6 4 1
v t s t t t
= = − +
;
( ) '( ) 12 4
t v t t

γ
= = −

a)
2
(4) '(4) 12.4 4 44
v m s
γ
= = − =
b)
1 1 1 4 1
( ) 0 12 4 0 6. 1 ( )
3 3 9 3 3
t t t v s
γ
 
= ⇔ − = ⇔ = ⇒ = − + =
 
 


BÀ
I T
Ậ
P ÔN T
Ậ
P CH
ƯƠ
NG
Bà

i 1.

Tì
m
ñạ
o
hà
m
củ
a
cá
c
hà
m s
ố
sau
a)
3 2
( )
ax bx c
y
a b x
+ +
=
+
(a, b, c
là cá
c h
ằ
ng s

ố
) b)
4
3
3
1
3
y x
x
 
= − +
 
 

c)
3 2
cos
y x x
= d)
2
sin 4
y x
= +

e)
1
1 tany x
x
 
= + +

 
 
f)
2
2
cos 1
1
x
y
x
+
=
+

HD
a)
'
3 2
2
2 2
2 2
'
( ) ( ) ( )
a b c ax b c ax bx c
y x x
a b a b a b x a b a b a b x a b x
 
+ −
= + + = + − =
 

+ + + + + + +
 

b)
3 3
3 2 3 2
3 4 3 4
1 3 1 1
' 4 3 . 3 14 3 .y x x x x
x x x x
       
= − + + = − + +
       
       

c)
(
)
(
)
'
3 2 2 2
' cos 3cos sin 2
y x x x x x x
= = −
d)
(
)
'
2 2

2
' sin 4 cos 4
4
x
y x x
x
= + = +
+

e)
'
2
2
2 2 2
1
1
1 1
' 1 tan
1 1 1 1
2cos 1 tan 2 cos 1 tan
x
x
y x
x
x x x x x
x x x x
−
 
−
 

= + + = =
 
 
 
 
       
 
+ + + + + +
       
       

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 17
f)
(
)
'
2 2 2
2
2 2 3
1sin 1 cos 1
cos 1
'
1 ( 1)
x x x x
x
y
x x
+ + + +
 

+
= = −
 
 
+ +
 

Bài 2.
Cho hàm số
2
( ) 2 3
y f x x x
= = − +
(C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm có hoành ñộ x
0
= - 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm có tung ñộ y
0
= 3
HD
a)
2
( ) 2 3
f x x x
= − +
,
2
'( ) 3 2
f x x

= −
nên
( 1) 4
f
− =
và
'( 1) 1
f
− =

phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
4 1 5
y x y x
− = + ⇔ = +

b) Ta có y
0
= 3, nên giải phương trình
0
2 2
0 0 0 0
0
0
2 3 3 2 0
2
x
x x x x
x
=


− + = ⇔ − = ⇔

= ±



Và
ta
có
2
'( ) 3 2
f x x
= −

V
ớ
i
0
0
x
=
, ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n

là
: y = - 2x + 3
V
ớ
i
0
2
x = , ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
là
:
4 3 4 2
y x= + −
Với
0
2
x
= −
, phương trình tiếp tuyến là:
4 3 4 2
y x= + +
Bài 3.
Cho hàm số

1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
+
(C)
Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì
nh
củ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng d song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
2

2
x
y
−
=
và
ti
ế
p
xú
c v
ớ
i (C).
HD

ðườ
ng th
ẳ
ng d song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
2
2
x
y
−

= nên
có
h
ệ
s
ố gó
c
là
1
2

M
ặ
t
khá
c, ta
có
2
2
'( )
( 1)
f x
x
=
+
nên
2
0
0
0

2
0
0
0
1
( 1) 4
2 1
'( )
3
( 1) 2
1
x
x
f x
x
x
x
=

+ =


= = ⇔ ⇔


= −
+
≠





Có
hai ti
ế
p tuy
ế
n

( ) ( )
1
1 1
: (1) 1 1
2 2
y f x y x
∆ − = − ⇔ = −


( )
2
1 1 7
: ( 3) 3
2 2 2
y f x y x
∆ − − = + ⇔ = +

Bà
i 4.
Cho
hà

m s
ố
2 1
( )
2
x
y f x
x
−
= =
+

Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a
ñồ thị hà
m s
ố ñã
cho, bi
ế

t;
a)
Hoà
nh
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể
m x
0
= 0
b)

Ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
ñ
i
ể
m A(0; 2)
HD
Ta
có

2
2 1 5
( ) '( ) ;( 2)
2 ( 2)
x
f x f x x
x x
−
=
⇒
= ≠ −
+ +

a)

V
ớ
i x
0
= 0
thì
0
1
( ) (0)
2
f x f
= = −
và
5
'(0)

4
f
=
.
V
ậ
y ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n
tì
m
là
:
5 1
4 2
y x
= −

b)

Ph
ươ

ng
trì
nh
ñườ
ng th
ẳ
ng (d)
ñ
i qua
ñ
i
ể
m A(0; 2) v
ớ
i h
ệ
s
ố
b
ằ
nng k
là
: y = g(x) = kx + 2
ðể
(d)
là
ti
ế
p tuy
ế

n
củ
a
ñồ thị hà
m s
ố
2 1
2
x
y
x
−
=
+
thì
ta
phả
i
tì
m k sao cho:
Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 18

2
2 1
2 (1)
( ) ( )
2
5
'( ) '( )

(2)
( 2)
x
kx
f x g x
x
f x g x
k
x
−

= +

=

+

⇔
 
=


=
+



Thay k t
ừ
(2)

và
o (1), suy ra
ñượ
c x = - 1
và
k = 5.
V
ậ
y ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
phả
i
tì
m
là
: y = 5x + 2
Bà
i 5.
Cho
hà
m s
ố
3 2

5
y mx x x
= + + −
.
Tì
m m
ñể
:
a)

y’ b
ằ
ng
bì
nh ph
ươ
ng
củ
a m
ộ
t
nhị
th
ứ
c b
ậ
c nh
ấ
t
b)

y’ = 0
có
hai nghi
ệ
m
trá
i d
ấ
u
c)

y’ > 0 v
ớ
i
mọ
i x.
HD
Ta
có
2
' 3 2 1
y mx x
= + +

a)

y’
là bì
nh ph

ươ
ng
củ
a m
ộ
t
nhị
th
ứ
c b
ậ
c nh
ấ
t khi
và chỉ
khi
0 3 0
1
' 0 1 3 0
3
a m
m
m
> >
 
⇔ ⇔ =
 
∆ = − =
 

b)

y’ = 0
có
hai nghi
ệ
m
trá
i d
ấ
u khi
và chỉ
khi
. 0 3 .1 0 0
a c m m
< ⇔ < ⇔ <

c)

y’ > 0 v
ớ
i
mọ
i x khi
và chỉ
khi
0 3 0
1
' 0 1 3 0
3

a m
m
m
> >
 
⇔ ⇔ >
 
∆ < − <
 

Bà
i 6.
Cho
2
( ) 2sin sin 1
f x x x
= + −
và
2
( ) 2sin 3sin 1
g x x x
= − +

a)
Tí
nh
'
( )
( )
f x

g x
 
 
 
và
''
2
''
2
f
g
π
π
 
 
 
 
 
 
b)
Tì
m
6
( )
lim
( )
x
f x
g x
π

→

HD
Vì
2
2sin sin 1 (sin 1)(2sin 1)
x x x x
+ − = + −


2
2sin 3sin 1 (sin 1)(2sin 1)
x x x x
− + = − −

Nên
2
2
( ) 2sin sin 1 sin 1
( ) 2sin 3sin 1 sin 1
f x x x x
g x x x x
+ − +
= =
− + −

a)
'
'
2

( ) sin 1 2cos
( ) sin 1 (1 sin )
f x x x
g x x x
 
+ −
 
= =
 
 
− −
 
 

'( ) 4sin cos cos 2sin 2 cos
f x x x x x x
= + = +
;
''( ) 4cos2 sin '' 4 1 5
2
f x x x f
π
 
= − ⇒ = − − = −
 
 

'( ) 4sin cos 3cos 2sin 2 3cos
g x x x x x x
= − = −

;
''( ) 4cos2 3sin '' 4 3 1
2
g x x x g
π
 
= + ⇒ = − + = −
 
 

Suy ra
''
5
2
5
1
''
2
f
g
π
π
 
 
−
 
= =
−
 
 

 

b)
2
2
6 6 6
1
1
( ) 2sin sin 1 sin 1
2
lim lim lim 3
1
( ) 2sin 3sin 1 sin 1
1
2
x x x
f x x x x
g x x x x
π π π
→ → →
+
+ − +
= = = = −
− + −
−

Bài 7.

Giải các phương trình:
a)

'( ) ( )
f x g x
=
với
3
( ) sin 2
f x x
= và
( ) 4cos2 5sin 4
g x x x
= −

b)
'( ) 0
f x
=
với
( ) 20cos3 12cos5 15cos4
f x x x x
= + −

HD
Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 19
a)
3 2
( ) sin 2 '( ) 6sin 2 cos2
f x x f x x x
= ⇒ =
phương trình

( )
2
2
'( ) ( ) 6sin 2 cos2 4cos2 5sin 4
cos2 0
1
cos2 6sin 2 10sin 2 4 0 sin 2
3
sin 2 2 ( )
4 2
1 1
arcsin ( )
2 3
1 1
arcsin
2 2 3
f x g x x x x x
x
x x x x
x loai
x k
x k k
x k
π π
π
π
π
= ⇔ = −
=




⇔ + − = ⇔ =


= −


= +



⇔ = + ∈



= − +


ℤ

b)
'( ) 60sin3 60sin5 60sin 4 60(sin3 sin5 sin4 ) 60s
in 4 (2cos 1)
f x x x x x x x x x
= − − + = − + − = − −

Phương trình
sin 4 0

4
'( ) 0 ( )
2cos 1 0
2
3
k
x
x
f x k
x
x k
π
π
π

=

=

= ⇔ ⇔ ∈


− =


= ± +


ℤ

Bài 8.
Tìm phương trình các tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
3 2
3 4 1
y x x x
= − + +
, biết rằng các tiếp tuyến
này có hệ số góc k = 4.
HD
Hàm số
3 2
3 4 1
y x x x
= − + +
xác ñịnh trên
ℝ

Ta có
2
' 3 6 4
y x x
= − +

Phương trình các tiếp tuyến với ñồ thị hàm số có dạng:
0 0 0
( ) '( )( )
y f x f x x x
− = − , x
0
là hoành ñộ

tiếp ñiểm.
Hệ số góc của các tiếp tuyến này
0 0
2
0 0 0
0 0
0 (0) 1
( ) 4 3 6 4 4
2 (2) 5
x y f
k f x x x
x y f
= ⇒ = =

= = ⇔ − + = ⇔

= ⇒ = =


Vậy phương trình các tiếp tuyến cần tìm là: d
1
: y = 4x + 1 và d
2
: y = 4x - 3
Bài 9.
Tìm phương trình các tiếp tuyến với ñồ thị hàm số
2
2
2
x x

y
x
− −
=
+
biết rằng các tiếp tuyến này
song song với ñường thẳng y = 2 – 3x.
HD
Hàm số
2
2 4
3
2 2
x x
y x
x x
− −
= = − +
+ +
. Miền xác ñịnh
{
}
\ 2
D
= −
ℝ

Ta có
2
4

' 1
( 2)
y
x
= −
+
. Phương trình các tiếp tuyến với ñồ thị hàm số có dạng:
0 0 0
( ) '( )( )
y f x f x x x
− = − , x
0
là hoành ñộ tiếp ñiểm.
Theo giả thiết, các tiếp tuyến này song song với ñường thẳng y = 2 – 3x, nên
0
'( ) 3
k f x
= = −

Khi ñó, ta có
0 0
2
0 0
1 ( 1) 0
4
1 3
3 ( 3) 10
( 2)
x y f
x y f

x
= −
⇒
= − =

− = − ⇔

= −
⇒
= − = −
+


Vậy phương trình các tiếp tuyến cần tìm là: d
1
: y = – 3x – 3 và d
2
: y = – 3x – 19




Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 20
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Với
2
2 5
( )
1

x x
g x
x
− +
=
−
thì
'(2)
g bằng:
A. 0 B. 1 C. – 3 D. -5
Câu 2. Cho hàm số
( ) 1 sin 2
f x x
= + . Khi ñó
'
2
f
π
 
 
 

A.
2
2
B.
1
2
C.
3

2
D. – 1
Câu 3. Cho
hà
m s
ố
2
( ) tan 2
f x x
=
. Khi
ñó
'
2
f
π
 
 
 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 4. Cho
hà
m s
ố
( ) 4 cot 4
f x x
= +
. Khi
ñó

'
8
f
π
 
 
 

A. – 1 B. – 2 C. 1 D. 2
Câu 5. Cho
hà
m s
ố
2
( ) cos
f x x x
=
. Khi
ñó
'
2
f
π
 
 
 
b
ằ
ng:
A. 0 B.

2
4
π
−
C.
2
2 4
π π
− −
D.
2
4
π

Câu 6.
Hà
m s
ố có ñạ
o
hà
m b
ằ
ng
2
1
2x
x
+
là
:

A.
3
1
x
y
x
+
= B.
3
5 1
x x
y
x
+ −
= C.
(
)
2
3
3
x x
y
x
+
= D.
2
2 1
x x
y
x

+ −
=
Câu 7. Cho hàm số
( ) tan 2 cot 2
f x x x
= +
. Khi ñó
'( )
f x
bằng:
A.
2 2
1 1
cos 2 sin 2
x x
− B.
2 2
2 2
cos 2 sin 2
x x
−
C.
(
)
2 2
2 tan 2 cot 2
x x
− D.
2 2
tan 2 cot 2

x x
−
Câu 8. Cho
hà
m s
ố
2
1
( )
1 cos 3
f x
x
=
+
. Khi
ñó
'( )
f x
b
ằ
ng:
A.
( )
3
2
3sin 6
2 1 cos 3
x
x
+

B.
( )
3
2
3sin 6
1 cos 3
x
x
+

C.
( )
3
2
3sin3
2 1 cos 3
x
x
+
D.
( )
3
2
3sin 6
2 1 cos
x
x
+

Câu 9. Cho

hà
m s
ố
2 2
( ) cos tan 3
f x x x
= − . Khi
ñó
'( )
f x
b
ằ
ng:
A. 2cosx – 2tan3x B.
2
2tan3
sin 2
cos 3
x
x
x
−
C.
3
6sin3
sin 2
cos 3
x
x
x

− − D.
2
6tan3
sin 2
cos
x
x
x
− −
Câu 10. Cho
hà
m s
ố
3 2
( )
3 2
x x
f x x
= + +
. T
ậ
p nghi
ệ
m
củ
a b
ấ
t ph
ươ
ng

trì
nh
'( ) 0
f x
≤
là
:
A.
O
B.
(0; )
+∞
C.
[ 2;2]
−
D.
( ; )
−∞ +∞

Câu 11. Cho
hà
m s
ố
( ) 2sin sin 2
f x x x
= −
. Ph
ươ
ng
trì

nh
'( ) 0
f x
=
có
nghi
ệ
m
là
:
A.
2 ,
2
x k k
π
π
= + ∈
ℤ
B. ,
4 2
k
x k
π π
= + ∈
ℤ

C.
2
,
3

k
x k
π
= ∈
ℤ
D. 2 ,x k k
π
= ∈
ℤ

Câu 12. Cho
hà
m s
ố
( ) sin cos 2
f x x x x
= + − . Ph
ươ
ng
trì
nh
'( ) 0
f x
=
có
nghi
ệ
m
là
:

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 21
A.
2 ,
4
x k k
π
π
= − + ∈
ℤ
B.
2
,
3
x k k
π
π
= + ∈
ℤ

C. ,
4
k
x k
π
= ∈
ℤ
D. 2 ,
3
x k k

π
π
= ± + ∈
ℤ

Câu 13. Cho
hà
m s
ố
5
3y
x
= +
. Bi
ể
u th
ứ
c thu
gọ
n
củ
a
'
K xy y
= +
là:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 14. Cho hàm số
( ) sin ( 1)cos (2 1)
f x m x m x m x

= + + − +
. ðiều kiện của m ñể phương trình
'( ) 0
f x
=
có nghiệm là:
A.
0 1
m
≤ ≤
B.
2
m
≥
C.
1 0
m
− ≤ ≤
D.
1 2
m
≤ ≤

Câu 15. Cho
hà
m s
ố
2
( ) sin
f x x mx

= −
.
ð
i
ề
u ki
ệ
n
củ
a m
ñể
ph
ươ
ng
trì
nh
'( ) 0
f x
=
có
nghi
ệ
m
là
:
A.
2
m
≥
B.

0
m
<
C.
1 2
m
< <
D.
1
m
≤

Câu 16. Ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a
ñồ thị hà
m s
ố
4
1
y
x
=
−
tạ
i

ñ
i
ể
m
có hoà
nh
ñộ
x = – 1
có
ph
ươ
ng
trì
nh
là
:
A. y = – x – 3 B. y = – x + 2 C. y = x – 3 D. y = – x + 3
Câu 17. Ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a
ñồ thị hà
m s
ố
1
2
y

x
= tạ
i
ñ
i
ể
m
có hoà
nh
ñộ
1
2
x
=
có
ph
ươ
ng
trì
nh
là
:
A. 2x – 2y = –1 B. 2x – 2y = 1 C. 2x + 2y = – 3 D. 2x + 2y = 3
Câu 18. Ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a

ñồ thị hà
m s
ố
3 2
( ) 1
3 2
x x
f x x
= − − +
tạ
i
ñ
i
ể
m
có hoà
nh
ñộ
x = 1
có
ph
ươ
ng
trì
nh
là
:
A.
1
6

y x
= −
B.
5
6
y x
= − +
C.
5
6
y x
= − −
D.
5
6
y x
= +

Câu 19. Ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a
ñồ thị hà
m s
ố
2 1
( )

2
x
f x
x
−
=
+

tạ
i
ñ
i
ể
m
có hoà
nh
ñộ
x = 0
có
ph
ươ
ng
trì
nh
là
:
A.
5 1
4 2
y x

= −
B.
5 1
4 2
y x
= − +
C.
5 1
4 2
y x
= +
D.
5 1
4 2
y x
= − +

Câu 20. Ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a
ñồ thị hà
m s
ố
3
2 1
y x x

= − +

tạ
i
ñ
i
ể
m
có hoà
nh
ñộ
x = 1
có
ph
ươ
ng
trì
nh
là
:
A. y = – x – 1 B. y = x – 1 C. y = 2x – 1 D. y = 2 – x
Câu 21. Cho
hà
m s
ố
3
( )
x
f x
x

−
=
v
ớ
i
0
x
<
. Khi
ñó
:
A.
3
3
'( )
2 ( 3)
f x
x x
=
−
B.
2
3
'( )
3
f x
x
x
x
−

=
−

C.
1
'( )
3
2
f x
x
x
=
−
D.
3
'( )
3
2
f x
x
x
=
−

Câu 22. Vi phân của hàm số
cos2
y x
= là:
A.
sin 2

cos2
x
dy dx
x
= B.
sin 2
2 cos2
x
dy dx
x
=
C.
sin 2
2 cos2
x
dy dx
x
−
= D.
sin 2
cos2
x
dy dx
x
−
=
Câu 23. Vi phân của hàm số
2
3 1
y x x

= + −
là:
A.
2
1
3 1
dy dx
x x
=
+ −
B.
2
2 3
3 1
x
dy dx
x x
+
=
+ −

C.
2
1
2 3 1
dy dx
x x
=
+ −
D.

2
2 3
2 3 1
x
dy dx
x x
+
=
+ −

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp
Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 22
Câu 24. Vi phân của hàm số
sin3
y x
=
là:
A. 3cos3
dy xdx
=
B. 3sin3
dy xdx
=

C. 3cos3
dy xdx
= −
D. 3sin3
dy xdx
= −

Câu 25. Vi phân của hàm số
2
1
x
y
x
=
+
là
:
A.
( )
2
2
2
1
1
x
dy dx
x
−
=
+
B.
( )
2
2
1
1

dy dx
x
=
+

C.
2
2
1
1
x
dy dx
x
−
=
+
D.
( )
2
2
1
1
x
dy dx
x
−
=
+

Câu 26. Vi phân

củ
a
hà
m s
ố
sin cos
y x x x
= +
là
:
A.
( cos sin )
dy x x x dx
= −
B. cos
dy x xdx
=

C.
(cos sin )
dy x x dx
= −
D. sin
dy x xdx
=

Câu 27. Cho
3
( ) 5( 1) 4( 1)
f x x x

= + + +
. T
ậ
p nghi
ệ
m
củ
a ph
ươ
ng
trì
nh
''( ) 0
f x
=
là
:
A.
[ 1;2]
−
B.
( ;0]
−∞
C.
{
}
1
−
D.
O

Câu 28.
ðạ
o
hà
m c
ấ
p 2010
củ
a
hà
m s
ố
cos
y x
=
là
:
A. sinx B. – sinx C. cosx D. – cosx
Câu 29. N
ế
u
3 2
( ) sin
f x x x
= +
thì
''
2
f

π
 
−
 
 
b
ằ
ng:
A. 0 B. 1 C. – 2 D. 5
Câu 30. Cho
hà
m s
ố
2 1
( )
1
x
f x
x
−
=
+
. Ph
ươ
ng
trì
nh
'( ) ''( )
f x f x
=

có
nghi
ệ
m
là
:
A.
3
x
= −
B.
3; 2
x x
= =
C.
4
x
=
D.
5; 6
x x
= =

Câu 31. Cho
hà
m s
ố
2 2
( ) sin 2
f x x x

= +
.
Giá trị
l
ớ
n nh
ấ
t
củ
a
''( )
f x
là
:
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
Câu 32. Cho
hà
m s
ố
2
( ) cos 2
f x x
= .
Giá trị
l
ớ
n nh
ấ
t
củ

a
''( )
f x
là
:
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
Câu 33. Cho
hà
m s
ố
2
( ) sin
f x x
= . Khi
ñó
(4)
( )
f x
b
ằ
ng:
A. 6 B. 8 C. 10 D. – 8
Câu 34. Cho
hà
m s
ố
( ) sin3 cos
f x x x
=
. Khi

ñó
(3)
(0)
f b
ằ
ng:
A. 32 B. 36 C. – 36 D. – 38
Câu 35. Cho
hà
m s
ố
(
)
3
2
( ) 1
f x x
= +
. Khi ñó
(3)
( )
f x
bằng:
A.
(
)
2
12 1
x
+

B.
(
)
2
24 1
x
+
C.
(
)
2
24 5 3
x x
+
D.
(
)
2
24 3
x x
+