chuyên đề đạo hàm (hot)

Chuyên đề I: Đạo hàm
A- Tóm tắt lý thuyết
I) Hàm số liên tục
+ Cho hàm số
)(xfy
=
xác định trên khoảng
( )
ba;
. Hàm số
)(xfy
=
đợc
gọi là liên tục tại
( )
bax
o
;




o
xx

lim
f(x) =
)(
o
xf
+ Chú ý : Hàm số

)(xfy
=
xác định trên khoảng
);( ba
liên tục tại
( )
bax
o
;








o
xx
lim
f(x) và
+

o
xx
lim
f(x)

o
xx
lim
f(x) =
+

o
xx
lim
f(x) =
)(
o
xf
II
) Đạo hàm
1) Định nghĩa
+ Cho hàm số
)(xfy
=
xác định trên tập xác định của nó và

o
x
TXĐ
đạo hàm của hàm số
)(xfy
=
tại
o
x

kí hiệu
)(
'
o
xy
hay
)(
'
o
xf
là

)(
'
o
xy
=
)(
'
o
xf
=
o
xx

lim
x
y

=
o
xx

lim
x
xfxxf
oo

+
)()(

)()(
oo
xfxfyyy
==
gọi là số gia tơng ứng của h/s tại
o
x

o
xxx
=
gọi là số gia của đối số tại
o
x
+ Hàm số
)(xfy
=
xác định trên tập xác định của nó và

o
x
TXĐ





( )

o
xf
'
và
( )
+
o
xf
'


( )

o
xf
'
=
( )
+

o
xf
'
=
)(
'
o
xf
Với
( )

o
xf
'
=


o
xx
lim
x
y


và
( )
+
o
xf
'

=
+

o
xx
lim
x
y


+ Chú ý : H/s
)(xfy
=
có đạo hàm tại
o
x
thì nó liên tục tại
o
x
ngựơc lại
thì cha chắc
2) Ph ơng trình tiếp tuyến
Cho H/s
)(xfy
=
(C) và M(
oo
yx ;
)
)(C

Phơng trình tiếp tuyến tại M là:
( )
ooo
xxxfyy
=
)(
'
3) Các quy tắc tính đạo hàm

'''
)( vuvu
=

''
.)( ukku
=
với k là hằng số

2
''
'
v
uvvu
v
u

=

uvvuuv
'''
)(
+=

'`1'
..)( uuu

=



R



2
'
'
1
u
u
u
=

y = f(u) và u = g(x) thì
'''
.
xux
uyy
=
4) Bảng đạo hàm
1
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm số hợp
1'
.)(

=


xx
'1'
..)( uuu

=


2
'
11
x

x
=






( )
x
x
2
1
'
=
2
'
'
1
u
u
u
=






u

u
u
2
)(
'
'
=
CosxSinx
=
'
)(
( )
SinxCosx
=
'
( )
xtg
xCos
Tgx
2
2
'
1
1
+==
( )
( )
xCotg
xSin
Cotgx

2
2
'
1
1
+==
( )
CosuuSinu .
'
'
=
( )
SinuuCosu .
'
'
=
( )
)1.(
2'
2
'
'
uTgu
uCos
u
Tgu
+==
( )
)1(
2'

2
'
'
uCotgu
uSin
u
Cotgu
+==
( )
xx
ee
=
'
( )
aaa
xx
ln.
'
=

( )
x
x
1
ln
'
=
( )
ax
x

a
ln
1
log
'
=
( )
uu
eue .
'
'
=
( )
aaua
uu
ln..
'
'
=
( )
u
u
u
'
'
ln
=
( )
au
u

u
a
ln.
log
'
'
=
5) Vi phân
Cho H/s : y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại x

(a;b)
Khi đó
dxydy .
'
=
B- Bài tập trắc nghiệm
1) Đạo hàm của hàm số
123
24
=
xxy
tại
1
0
=
x
bằng
A 8 B 6 C 3 D 0
2) Cho hàm số

<
+
=
1;16
1;4
)(
2
khixx
khixxx
xf
Tính đạo hàm của hàm số tại
1
0
=
x
A -6 B 6 C 5 D 3
3) Tính
)(
'
oy
của hàm số
x
x
y
+
=
1

A -1 B 0 C 2 D 1
4) Tính
)(
'
oy
của hàm số







=
=
0
1
00
khix
x
Cosx
khix
y

A
2
1
B
4
1

C 2 D -
2
1
5) Đạo hàm của hàm số
5
32
2
+

=
x
xx
y
tại x = 0 là
A
5
3

B
5
7

C
25
7

D
5
7
2

6) Đạo hàm của hàm số
73
24
+=
xxy
tại x = -1 là
A
5
1
B
5
1
C
5
D 5
7) §¹o hµm cña hµm sè
1
1
2
2
++
+−
=
xx
xx
y
lµ
A
( )
2

2
2
'
1
242
++
−+
=
xx
xx
y
B
( )
2
2
2
'
1
2
++
=
xx
x
y
C
( )
2
2
2
'

1
22
++
+
=
xx
x
y
D
( )
2
2
2
'
1
22
++
−
=
xx
x
y
8) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng cong
3
xy
=
t¹i M(1;1) lµ
A y = 3x- 2 B y = -3x+2 C y = 3x+2 D y = -3x- 2
9) Cho H/s






<++
≥
=
01
0
)(
2
khixxx
khixe
xf
x
Khi ®ã
?)0(
'
=
f
A -1 B 2 C 1 D 4
10) Cho hµm sè
xxxf 3)(
2
+=
th×
x
fxf
x
∆

−−∆+−
→∆
)1()1(
lim
0
lµ
A -1 B 0 C 1 D 2
11) X¸c ®Þnh
a
vµ b ®Ó hµm sè
( )





≥++
<+
=
−
01
0
)(
2
khixbxax
khixeax
xf
bx
cã ®¹o hµm t¹i x=0
A






=
=
2
1
1
b
a
B





=
=
1
2
1
b
a
C






=
−=
2
1
1
b
a
D





−=
−=
2
1
1
b
a
12) Cho H/s



<+
≥−
=
1;
1;

)(
2
khixbax
khixxx
xf
T×m a vµ b ®Ó H/s cã ®¹o hµm t¹i x= 1
A



−=
=
1
1
b
a
B



=
−=
1
1
b
a
C




−=
−=
1
1
b
a
D



=
=
0
1
b
a
13) §¹o hµm cña hµm sè y = Sinx(1 + Cosx) lµ
A
'
y
= - Cosx-
xCos2
2
1
B
'
y
= - Cosx- Cos2x
C
'

y
= Cosx + Cos2x D
'
y
= Cosx- Cos2x
14) §¹o hµm cña H/s y = Cosx.Cos3x t¹i
8
π
=
o
x
lµ
A
2
2
2
−−
B
2
2
2
+
C
228
−−
D
4
2
2
1

−−
15) §¹o hµm cña H/s
CosxSinx
xCosxSin
y
.
22
−
=
t¹i ®iÓm
6
π
=
o
x
lµ
A
3
8
B
3
16
C
3
8
−
D
3
16
−

16) §¹o hµm cña H/s
tgxxtgy
+=
3
3
1
lµ
A
'
y
= 2
1
2
+
xtg
B
1
4'
−=
xtgy
C
xSin
y
4
'
1
=
D
xCos
y

4
'
1
=
17) Cho H/s
x
exxy )(
2
−=
T×m x ®Ó
0
'
=
y
A 1 B 0;1 C
2
53
±
D
2
51
±−
18) §¹o hµm cña H/s
)
1
ln(
Cosx
tgxy
+=
lµ

A
)1(
2
'
SinxCosx
SinxxCos
y
+
−
=
B
Cosx
y
1
'
=
C
CosxSinx
SinxCosx
y
)1(
1
'
+
−−
=
D
xCos
y
2

'
1
−=
19) Cho H/s
x
y
5
3
+=
víi x
0
≠
khi ®ã
?.
'
=+
yyx
A 5 B 4 C 3 D -3
20) Cho H/s
Sinxxy .
=
ta cã
?.)(2.
'''
=+−−
yxSinxyyx
A 0 B 1 C 2 D 3
21) Cho H/s
Sinx
ey

=
Ta cã
?..
'''
=−−
ySinxyCosxy
A -1 B 1 C 0 D 2
22) Cho H/s
[ ]
)(ln)(ln xSinxCosxy
n
+=
víi x > 0 ta cã

?)1(.)21(.
2'''2
=++−+
ynyxnyx
A 0 B 2 C 4 D 8
23) §¹o hµm cÊp n cña H/s y = lnx lµ
A
n
n
n
x
n
y
)!1()1(
1
)(

−−
=
−
B
n
n
n
x
n
y
!)1(
1
)(
−
−
=

C
n
n
n
x
n
y
)!1()1(
)(
−−
=
D
n

n
x
n
y
)!1(
)(
−
=
24) §¹o hµm cÊp n cña H/s
x
exy .
=
lµ
A
nxn
exy .
)(
=
B
xn
exny )(
)(
+=
C
xn
ey
=
)(
D
xn

exny ..
)(
=
25) §¹o hµm cÊp n cña H/s
xSiny 5
2
=
lµ
A






−
+=
−
2
)1(
10.10.5
1)(
π
n
xSiny
nn
B







−
+=
−
2
)1(
10.10.5
1)(
π
n
xCosy
nn

C






+=
−
2
10.10.5
1)(
π
n
xCosy

nn
D






+
+=
−
2
)1(
10.10.5
1)(
π
n
xSiny
nn

26) Cho H/s
1
23
−
−
=
x
x
y
(C) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C)

BiÕt r»ng tung ®é cña tiÕp ®iÓm b»ng
2
5
A y = -4(x-9) B
)9(
4
1
−=
xy
C y = 4x+36 D
)9(
4
1
−−=
xy
27) Cho H/s
1
23
−
−
=
x
x
y
(C) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C)
Biết rằng tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = -x+3
A y = -x+2 B y =-x+6 C y= x+2 D cả A và B
28) Cho H/s
1
23

=
x
x
y
(C) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 4x + 10
A
)17(
4
1
=
xy
B
)9(
4
1
=
xy
C cả Avà B D
)17(
4
1
+=
xy

29) Đạo hàm của H/s
x
xy

2
=
(x > 0) là
A
12'
.2

=
x
xxy
B
xxy
x
ln.
2'
=
C
)1(ln2
2'
+=
xxy
x
D
xxy
x
ln..2
2'
=
30) Đạo hàm của H/s
Sinx

xy
=
là
A






+=
Sinx
x
Cosxxy
Sinx
1
'
B






=
Sinx
x
xCosxxy
Sinx
1

ln.
'

C
( )
SinxxxCosxxy
Sinx
.ln.
'
+=
D






+=
Sinx
x
xCosxxy
Sinx
1
ln.
'

31) Đạo hàm của H/s
( )
x
xy 1

2
+=
là
A
( ) ( )






+
+++=
1
2
1ln1
2
2
22'
x
x
xxy
x
B
( ) ( )

+
++=
1
2
1ln1
2
2
22'
x
x
xxy
x

C
( ) ( )






+
+++=
1
2
1ln1
2
22'
x

x
xxy
x
D
( ) ( )






+
++=
1
2
1ln1
2
22'
x
x
xxy
x

32) Cho H/s
1
)(
+
==
x
x

xfy
Mệnh đề nào sau đây sai ?
A f(x) liên tục tại x = 0 B f(x) có đạo hàm bên phải x = 0 là 1
C f(x) có đạo hàm tại x = 0 D f(x) xác định khi x
1

33) Cho H/s
)1ln()( xxfy
+==
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A f(x) có đạo hàm bên phải x = 0 là -1
B f(x) có đạo hàm bên trái x = 0 là 1
C f(x) có đạo hàm tại x = 0
D f(x) không có đạo hàm tại x = 0
34) Đạo hàm của H/s
x
xx
y

+
=
1
44
2
bằng 0 tại khi x = ?
A 0 hoặc 1 B 2 C 0 hoặc 2 D -1 hoặc -2
35) Cho H/s
23
23
+=

xxy
tìm x để
3
'
<
y
A
( )
21;21
+
x
B
21
<
x
C
21
+>
x
D
[ ]
21;21
+
x
36) Đạo hàm của H/s
1
2
2
+
+

=
x
mxx
y
( m là tham số ) dơng
1

x
khi và chỉ khi
A m < -3 B m > 3 C m < 1 D m < -6
37) Cho H/s
( )
CosxSinxey
x
+=
Tìm
a
và b để
0.
'''
=++
byyay

x

A



=

=
2
2
b
a
B



=
=
2
2
b
a
C



=
=
2
2
b
a
D



=

=
2
2
b
a
38) Tìm vi phân của H/s
62
24
=
xxy
A
dxxxdy )44(
3
+=
B
dxxxdy )44(
3
=

C
dxxxdy )44(
3
+=
D
dxxxdy )44(
3
=

39) Tìm vi phân của H/s
tgxey

x
.
=

A
( )
dxTgxxTgedy
x
1
2
++=
B
dx
xCos
xTgedy
x






=
2
2
1

C
( )
dxxTgedy

x 2
1
+=
D
( )
dxTgxedy
x
+=
1

5
Chơng 1 phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề I
:
Phơng trình đờng thẳng
A Tóm tắt lý thuyết
1- Các dạng ph ơng trình
a) phơng trình tổng quát:
a
x + by + c = 0
( )
0
22
+
ba

);( ban
gọi là véc tơ pháp tuyến
Ngựơc lại nếu biết Vtpt
);( ban

và một điểm M
( )
oo
yx ;
thì PT là

0)()(
=+
oo
yybxxa
b) phơng trình tham số :



+=
+=
tuyy
tuxx
o
o
2
1

);(
21
uuu
gọi là véc tơ chỉ phơng và M
( )
oo
yx ;

* Nếu
);(
21
uuu
là véc tơ chỉ phơng thì hệ số góc
1
2
u
u
k
=
với
0
1

u
* phơng trình chính tắc :
21
u
yy
u
xx
oo

=

c) các dạng khác:
+ phơng trình đoạn chắn: phơng trình đi qua 2 điểm A(
a
;0) và B(0;b)

1
=+
b
y
a
x
+ phơng trình đi qua M
( )
oo
yx ;
và có hệ số góc k là :
)(
oo
xxkyy
=
+ phơng trình đi qua 2 điểm A
( )
11
; yx
và B
( )
22
; yx
có dạng là

21
1
21
1

yy
yy
xx
xx


=



+ phơng trình chùm đờng thẳng: phơng trình đi qua giao điểm của 2
đờng thẳ ng
0
111
=++
cybxa
và
0
222
=++
cybxa
và thoả mãn điều
kiện nào đó có dạng: m(
)
111
cybxa
++
+n(
0)
222

=++
cybxa
với
0
22
+
nm
d) chú ý : Nếu
);( ban
là Vtpt thì Vtcp là
);( abu

hay
);( abu

2-vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng
Cho 2 đờng thẳng :
1


0
111
=++
cybxa

2


0
222

=++
cybxa
Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ




=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa






=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
(I)
+ Nếu (I) có 1 nghiệm thì
1

cắt
2

+ Nếu (I) vô số nghiệm thì
1

trùng
2

+ Nếu (I) vô nghiệm thì
1

song song
2

3- Góc giữa hai đ ờng thẳng
Cho 2 đờng thẳng :
1


0
111
=++
cybxa
có Vtpt
);(
11
ban

2


0
222
=++
cybxa
có Vtpt
);(
22
ban

Gọi là góc giữa 2 đờng thẳng
1

và
2

:

Cos
=
( )
2
2
2
2
2
1
2

1
2121
21
21
2
1
.
;
baba
bbaa
nn
nn
nnCos
++
+
==
Chú ý :
1



2




0
2121
=+
bbaa

4- Khoảng cách từ một điểm tới một đ ờng thẳng
Cho đờng thẳng

:
0
=++
cbyax
với
( )
0
22
+
ba
và M
( )
oo
yx ;

( )
22
;
ba
cbyax
Md
oo
+
++
=
B Bài tập trắc nghiệm
1) Đờng thẳng đi qua M(-5;2) và nhận

)2;1(

n
làm véc tơ pháp tuyến có
Phơng trình tổng quát là
A x+2y+1=0 B x-2y+1=0 C x-2y+1=0 D -x+2y+1=0
2) Đờng thẳng đi qua A(2;3) và nhận
)3;1(

u
làm véc tơ chỉ phơng có
Phơng trình tổng quát là
A 3x+y+9=0 B -x+3y-9=0 C 3x+y-9=0 D x-3y-9=0
3) Đờng thẳng đi qua N(2;-1) và nhận
)6;7(

u
làm véc tơ chỉ phơng có
Phơng trình tham số là
A



+=
=
ty
tx
71
62
B

=
+=
ty
tx
61
72
C



=
+=
ty
tx
62
71
D



+=
=
ty
tx
72
61
4) Đờng thẳng đi qua K(- 4;5) và nhận

)2;3(n
làm véc tơ pháp tuyến có
Phơng trình tham số là
A



+=
=
ty
tx
35
24
B



+=
=
ty
tx
31
2
C



=
+=
ty

tx
3
21
D



+=
=
ty
tx
34
25
5) Cho phơng trình tham số



=
+=
ty
tx
22
4
có phơng trình tổng quát là
A 2x+y-10=0 B x+2y-10=0 C 2x-y-10=0 D 2x+y+10=0
6) Phơng trình đi qua 2 điểm A(-9;0) và B(0;6) là
A
1
69
=

yx
B
1
96
=

+
yx
C
1
69
=+

yx
D
1
69
=+

yx
7) Phơng trình đi qua 2 điểm M(3;1) và N(2;-2) là
A 3x-y- 8=0 B 3x-y+8=0 C x-3y- 8=0 D 3x+y- 8=0
8) Góc giữa 2 đờng thẳng
1
d
: x+2y+4=0 và
2
d
: x-3y+6=0 là

A
o
30
B
o
45
C
o
60
D
o
90
9) Khoảng cách từ M(1;0) đến đờng thẳng

: x- 4y+1=0 là
A
17
2
B
17
3
C
17
4
D
17
5

10) Hai đờng thẳng
1

: 4x-10y+1=0 và
2

: x+y+2=0
A cắt nhau B trùng nhau C song song D vuông góc
11) Phơng trình đờng thẳng qua I(-1;-3) và vuông góc với
đờng thẳng x-2y+1=0 là
A 2x+y+5=0 B -2x+y+5=0 C 2x-y+5=0 D 2x+y-5=0
12) Cho 2 đờng thẳng
1
d
: 2x+ y+ 4 m = 0

2
d
: (m + 3)x+ y - 2m 1= 0

1
d
song song
2
d
khi
A m = 1 B m = -1 C m = 2 D m =3
13) Đờng thẳng nào không cắt đờng thẳng 2x + 3y -1 = 0
A 2x+3y+ 1 = 0 B x 2y + 5 = 0 C 2x- 3y + 3 = 0 D 4x-6y-2 = 0
14) Đờng thẳngnào song song với đờng thẳng x-3y + 4 = 0
A

+=
+=
ty
tx
32
1
B



+=
=
ty
tx
32
1
C



+=
=
ty
tx
2
31
D

=
=
ty
tx
2
31

15) Đờng thẳngnào song song với đờng thẳng



+=
=
ty
tx
21
3
A



=
+=
ty
tx
2
5
B

=
+=
ty
tx
2
5
C



=
=
ty
tx 25
D



=
+=
ty
tx
2
45
16) Đờng thẳngnào vuông góc với đờng thẳng 4x 3y + 1 = 0
A

=
=
ty
tx
33
4
B



+=
=
ty
tx
33
4
C



=
=
ty
tx
33
4
D

+=
=
ty
tx
3
8
17) Đờng thẳng nào vuông góc với đờng thẳng



+=
+=
ty
tx
21
1
A 2x+ y +1 = 0 B x + 2y + 1 = 0 C 4x -2y + 1 = 0 D
2
1
1
1
+
=
+
y
x
18) Với giá trị nào của tham số m thì 2 đờng thẳng sau đây vuông góc

1

: mx + y +3 = 0 và
2

: x y + m = 0
A m =1 B m =-1 C m =2 D m = 0
19) Xét vị trí tơng đối của cặp đờng thẳng sau
d :



+=
=
ty
tx
42
51
và
:
'
d




=
+=
ty
tx

42
56
A cắt nhau B trùng nhau C song song D vuông góc
20) Xét vị trí tơng đối của cặp đờng thẳng sau
d :



+=
=
ty
tx
22
41
và
:
'
d
2x + 4y 10 = 0
A cắt nhau B trùng nhau C song song D vuông góc
21) Cho hai đờng thẳng song song
1
d
: 5x -7y + 4 = 0

2
d
: 5x 7y + 6 = 0
Phơng trình đờng thẳng song song và cách đều
1

d
và
2
d
A 5x-7y + 2 = 0 B 5x-7y-3 = 0 C 5x-7y + 3 = 0 D 5x-7y + 5 = 0
22) Phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng

1
d
: x y 2 = 0 ;
2
d
: 3x y 5 = 0 và vuông góc với đờng
thẳng
: x 4y 1 = 0 là
A 4x + y 11 = 0 B 4x + y 5,5 = 0
C 4x + y + 5,5 = 0 D 4x +y + 11 = 0
23) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng
x+2y -3 = 0 ; 4x y + 1 = 0 và đi qua điểm A (2;0)
A 13x + 17y- 26 = 0 B 13x + y +26 = 0
C 13x -17y-26 = 0 D -13x +17y +26 = 0
24) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng
3x -5y + 2 = 0 và 5x -2y + 4 = 0 đồng thời song song với đờng
thẳng 2x y + 4 = 0
A 5x + y -14 = 0 B 4x -3y -13 = 0
C 38x -19y +30 = 0 D 2x-3y -28 = 0
25) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng
2x + y 3 = 0 và x -2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đờng thẳng
: y 1 = 0 một góc là
o

45
A 2x + y = 0 và x y - 1 = 0 B x+ 2y = 0 và x- 4y = 0
C x y = 0 và x+ y -2 = 0 D 2x+1 = 0 và x -3y = 0
26) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M(2;-2) và cách điểm B(3;1) một
đoạn bằng 3
A 3x+ 4y - 2 = 0 và y-2 = 0 B 3x - 4y +2 = 0 và x+ 2 = 0
C 3x+4y + 2 = 0 và y+ 2 = 0 D -3x + 4y + 2 = 0 và x- 2 = 0
27) Tìm toạ độ điểm N đối xứng với M(-5;13) qua đờng thẳng 2x -3y -3 = 0
A (2;2) B (3;2) C (11;-11) D (3;1)
28) Viết phơng trình đờng trung trực của đoạn AB với A(3;-5) và B(5;9)
A



+=
+=
ty
tx
72
4
B



+=
+=
ty
tx
77
1

C



+=
+=
ty
tx
2
74
D



=
+=
ty
tx
2
74
29) Trong mặt phẳng oxy cho A(1;4) và B(3;-2) ; đờng thẳng



+=
+=
ty
tx
2
21

Tìm toạ độ điểm C sao cho C

và ABC cân tại C
A (5;7) B (17;6) C (-6;17) D (-17;6)
30) Tính khoảng cách từ A(-1;2) đến đờng thẳng d :



=
+=
ty
tx
2
21
A 1 B 2 C
3
D
2






Chuyên đềII : Sự đồng biến, nghịch biến
Của hàm số
A Tóm tắt lý thuyết
1- Cho H/s y = f(x) xác định trên khoảng (a;b)
+ f(x) đồng biến trên (a;b)

21
; xx
(a;b) ;
)()(
2121
xfxfxx <<
+ f(x) nghịch biến trên (a;b)



21
; xx
(a;b) ;
)()(
2121
xfxfxx ><
2- Định lý lagrăng
Nếu H/s f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì
Tồn tại một điểm c

(a;b) sao cho
)(
)()(
'
cf
ab
afbf
=

3- Cho H/s y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)
a) Nếu
0)(
'
>
xf
;
( )
bax ;

thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó
b) Nếu
0)(
'
<
xf
;
( )
bax ;

thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó
Mở rộng:
Cho H/s y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu
0)(
'

xf
(hoặc

0)(
'

xf
)
Và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì
Hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó
4- Điểm tới hạn
Cho H/s y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

o
x
(a;b) Điểm
o
x
gọi là
một điểm tới hạn của hàm số nếu tại điểm đó
)(
'
o
xf
không xác định
hoặc bằng 0
B Bài tập trắc nghiệm
1) Cho H/s y =
xx 2
2

Tìm mệnh đề đúng
A H/s luôn đồng biến

x


B H/s đồng biến khoảng
( )
1;

và nghịch biến khoảng
( )
+
;1
C H/s nghịch biến khoảng
( )
1;

và đồng biến khoảng
( )
+
;1
D H/s nghịch biến khoảng
( )
0;

và đồng biến khoảng
( )
+
;2
2) Khoảng đồng biến của hàm số
( )
2

3 xxy
=
là
A (1;3) B
( ) ( )
+
;31;
C (0;3) D
( ) ( )
+
;30;

3) Khoảng nghịch biến của hàm số
42
2 xxy
=
là
A
( ) ( )
+
;10;1
B
( ) ( )
1;01;

C (-1;1) D (0;1)
4) Khoảng nghịch biến của hàm số
x
x
y

1
2
+
=
là
A (-1;1) B
( ) ( )
1;00;1

C
( ) ( )
+
;11;
D (0;1)
5) Cho H/s
3
152
2


=
x
xx
y
Tìm mệnh đề đúng
A H/s luôn đồng biến
x


B H/s luôn nghịch biến

3

x
C H/s đồng biến trên khoảng
( ) ( )
+
;33;
D H/s nghịch biến trên khoảng
( ) ( )
+
;33;
6) Tìm m để H/s
2)512()12(3
23
++++=
xmxmxy
luôn đồng biến ?
A







6
6
;
6
6

m
B









6
6
;
6
6
m
C
( )
6;6

m
D
( )
6;0

m
7) Tìm m để H/s
34
2

2
+

=
xx
mxx
y
luôn luôn nghịch biến ?
A
( ) ( )
+
;31;m
B
31

m
C
m

D
(
] [
)
+
;31;m
8) Cho H/s
cxbxaxxfy 632)(
23
++==
liên tục [0;1] và có đạo hàm (0;1)

Phơng trình
0.
2
=++
cbxxa
có nghiệm thuộc (0;1) Khi
?632 =++ cba
A
1632
=++
cba
B
0632
=++
cba
C
1632
=++
cba
D
2632
=++
cba
9) Tìm số c trong định lí lagrăng áp dụng cho H/s
352)(
2
+==
xxxfy
Trên [0;4]
A

2
1
B 1 C
2
3
D 2
10) Hàm số
xaaxx
a
y )23(
3
1
23
++

=
luôn luôn đồng biến khi
A
2

a
B
21
<
a
C
2

a
hay

2
1

a
D
2
2
1

a
C Bài tập tự luận
1) Cho
ab <<0
Chứng minh rằng :
b
ba
b
a
a
ba

<<

ln
2) Xét sự biến thiên của H/s
44
)21(2 xxy
+=
từ đó suy ra nghiệm của
Phơng trình

27
1
)21(2
44
=+
xx
3) Cho 0 < x < y < 1 Chứng minh rằng:
)(4
1
ln
1
ln xy
x
x
y
y
>



4) Chứng minh rằng :
0
>
x
ta đều có
a)
2
1
2
x

xe
x
++>
b)
xSinx
x
x
<<
6
3
5) Cho
6

a
;
8

b
;
3

c
CMR
1

x
ta có
0
24

cbxaxx
6) CMR nếu x + y = 1 thì
8
1
44
+
yx
dấu bằng xảy ra khi nào ?
7) Lập bảng biến thiên của các hàm số sau
a)
xxy
++=
223
b)
xxy
=
312
c)
)13(
2
+=

xxey
x
d)
x
x
y
ln
=

Chuyên đề II: Phơng trình đờng tròn
A Tóm tắt lý thuyết
1- Định nghĩa
Phơng trình đờng tròn tâm I
( )
ba;
bán kính R có dạng tổng quát

( ) ( )
2
2
2
Rbyax
=+
Dạng khai triển :

022
22
=++
cbyaxyx
có tâm I
( )
ba;
bán kính
cbaR
+=
22

2- Phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn

Cho Pt đờng tròn:

02),(
22
=++=
cbyaxyxyxF
(C) với
0
22
>+
cba
Và một điểm M
( )
oo
yx ;

Phơng tích của M đối với đờng tròn là
P M/(C) =
cbyaxyxyxF
oooooo
++=
2),(
22

+ Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài đờng tròn (C)
+ Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong đờng tròn (C)
+ Nếu P M/(C) = 0 thì M

(C)