Chuyen de 3 Cuc tri dai so

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào đó xác
định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S mà ta có: P(x
0
, y
0
, z
0
)
≥
P(x,
y, , z) hoặc P(x
0
, y
0
, z
0
)
≤
P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ

nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
) trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực đại tại (x
0
,
y
0
, z
0
) hoặc P
max
tại (x
0
, y
0
, z
0

). Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc P
min
tại (x
0
, y
0
, z
0
).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên
miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng và
phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần
chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P
≥
k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác
định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần
chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P
≤
k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác
định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên.

VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x
2
+ (x - 2)
2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có x
2

≥
0 ; (x - 2)
2
≥
0 nên A
≥
0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?
Giải:
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A
≥
0
nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra,
vì không thể có đồng thời:
x
2
= 0 và (x - 2)
2
= 0 .
Lời giải đúng là:
A = x
2
+ (x - 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x +4 = 2x
2
- 4x + 4
1

= 2(x
2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)

2
+ 2
Ta có: (x - 1)
2

≥
0 ,
∀
x

⇒
2(x - 1)
2
+ 2
≥
2
∀
x

⇒
A
≥
2
∀
x
Do đó A = 2
⇔
x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
3. Kiến thức cần nhớ:

Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a
2

≥
0, tổng quát: a
2k

≥
0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0
* -a
2

≤
0, tổng quát: -a
2k

≤
0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0
*
0
≥

a
. (Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0)
* -
aaa
≤≤
. (Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0)
*
baba
+≥+
(Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
ab
≥
0)
*
baba
−≥−
(Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a
≥
b
≥
0 hoặc a
≤
b

≤
0)
*
2
1
≥+
a
a
,
∀
a >0 và
2
1
−≤+
a
a
,
∀
a <0
*
ab
baba
≥






+

≥
+
2
2
22

∀
a,b (Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = b)
* a
≥
b, ab >0
⇒

ba
11
≤
(Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = b)
4. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)
DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x
2
- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.

Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về dạng
A(x)
≥
k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức
2

Lời giải: A(x) = x
2
- 4x+1
= x
2
- 2.2x+1
= (x
2
- 2.2x+4)- 3
= (x- 2)
2
- 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2)
2

≥
0 nên ta có:
A(x) = (x- 2)
2
- 3
≥
-3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2

Đáp số: A(x)
nhỏ nhất
= - 3 với x=2
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x
2
- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x)
về dạng B(x)
≤
k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của
B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức
Lời giải: B(x) = -5x
2
– 4x+1
= -5 (x
2
+
5
4
x) +1
= -5
1
5
2
5
2
5

2
.2
22
2
+














−






++
xx
=
1

25
4
5
2
5
2
+








−






+−
x
= -5
1
5
4
5
2

2
++






+
x
= -5
5
9
5
2
2
+






+
x
Với mọi giá trị của x:
2
5
2







+
x

≥
0 nên -5
2
5
2






+
x

≤
0
suy ra: B(x)= -5
2
5
2







+
x

+
5
9

≤

5
9
Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=
5
9
, khi x = -
5
2
Đáp số: B(x)
lớn nhất
=
5
9
với x = -
5
2
Ví dụ 3: (Tổng quát)

Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+bx + c
3

Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao cho P =
a.A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc
lớn nhất.
Lời giải:
P = a.A
2
(x) + k
= a (x
2
+
a
b
x) + c

2
2
2
2
2
442

2
a
b
c
a
b
a
b
xxa
−+








++=

k
a
b
xa
+







+=
2
2
với
2
2
4a
b
ck
−=

Do
0
2
2
≥






+
a
b
x
nên:
+Nếu a>0 thì
0

2
2
≥






+
a
b
xa
do đó P
≥
k
+Nếu a<0 thì
0
2
2
≥






+
a
b

xa
do đó P
≤
k
Vậy khi x = -
a
b
2
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)
DẠNG 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,GIÁ TRI LỚN NHẤT CỦA ĐA
THỨC BẬC CAO:
Ví dụ4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x
2
+ x + 1)
2
Hướng dẫn giải:
(?) Ta nhận thấy A = (x
2
+ x + 1)
2

≥
0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A có phải bằng 0
hay không? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A
≥
0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì: x
2

+ x
+1 ≠ 0
Do đó A
min
 (x
2
+ x +1)
min

(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất của A?
Trả lời: Ta có x
2
+ x +1 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
-
4
1
+ 1
4

=
2

2
1






+x
+
4
3

≥
4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x + 1 bằng
4
3
với x = -
2
1
Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng
16
9
4
3
2

=






với x = -
2
1
Ví dụ 5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
4
– 6x
3
+ 10x
2
– 6x + 9
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: -Hãy viết biểu thức dưới dạng A
2
(x) + B
2
(x)
≥
0
-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng bao nhiêu?
Lời giải: x

4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x +9
= x
4
- 2.x
2
.3x + (3x)
2
+ x
2
- 2x.3 +3
2

= (x
2
- 3x)
2
+ (x - 3)
2

≥
0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
x
2
–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0

  x = 3  x = 3
x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA
ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =  x - 1 + x - 3
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta phải nghỉ tới các
khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
A Nếu A
≥
0
A =
- A Nếu A
≤
0
Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các khoảng
nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ
nhất của A.
Lời giải
+ Trong khoảng x < 1 thì x - 2 = - (x -2) = 2 - x
x - 5 = - (x - 5) = 5 - x
5


⇒
A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x
Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x >3
+ Trong khoảng 2

≤
x
≤
5 thì x - 2 = x - 2
x - 5 = - (x - 5) = 5 - x
⇒
A = x - 2 + 5 - x = 3
+ Trong khoảng x > 5 thì x - 2 = x - 2
x - 5 = x - 5
⇒
A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất
của A bằng 3 khi và chỉ khi 2
≤
x
≤
5
Đáp số: A
min
= 3 khi và chỉ khi 2
≤
x
≤
5
Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn hoặc
bằng tổng các giá trị tuyệt đối.Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Lời giải: A = x - 2+
5
−

x
= x - 2+
x
−
5

Ta có: x - 2 + 5 - x
≥
x - 2 + 5 - x = 3
x - 2
≥
0  (x - 2) (5 - x)
≥
0
A = 3 
5 - x
≥
0  2
≤
x
≤
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2
≤
x
≤
5
DẠNG 4: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ
HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của M =

5 4x - 4x
3
2
+

Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất a
≥
b, ab >0
⇒

ba
11
≤
hoặc theo quy tắc so sánh
hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
Lời giải:
Xét M =
5 4x - 4x
3
2
+
=
414)2(
3
2
++− xx
=
4 1)-(2x
3

2
+
Ta thấy (2x - 1)
2

≥
0 nên (2x - 1)
2
+ 4
≥
4
Do đó:
4 1)-(2x
3
2
+
≤

4
3
Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng
4
3
khi 2x – 1 = 0 => x =
2
1
Đáp số: M
lớn nhất
=
4

3
với x =
2
1
6

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
4 - x-2x
1
2
Hướng dẫn giải:
Ta có: B =
4 - x-2x
1
2
= -
4 2x - x
1
2
+
= -
3 1) -(x
1
2
+
Vì (x - 1)
2

≥
0 => (x + 1)

2
+ 3
≥
3
=>
3 1) -(x
1
2
+

≤

3
1
=> -
3 1) -(x
1
2
+

≥
-
3
1
Vậy B nhỏ nhất bằng -
3
1
khi x – 1= 0 => x =1
Đáp số: M
nhỏ nhất

= -
3
1
với x = 1
Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập luận rằng M (hoặc
B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

3
1
2
−x
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0
Nhưng với x = 0 thì
3
1
2
−x
= -
3
1
không phải là giá trị lớn nhất của phân thức
Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2
−x
= 1 > -

3
1
Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra -
3
1
>
1
1
Vậy từ a < b chỉ suy ra được
a
1
>
b
1
khi a và b cùng dấu .
DẠNG 5:BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN
THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC
Ví dụ 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
2
2
)1(
1
+
++
x
xx
Cách1 :
Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi biến bằng cách
viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của
1

1
+x
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất
của A.
Lời giải: Ta có: x
2
+ x + 1 = (x
2
+ 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)
2
- (x + 1) + 1
Do đó A =
−
+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(
x
x

2
)1(
1
+x
= 1 -
1
1
+x
+
2
)1(
1
+x
7

Đặt y=
1
1
+x
khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 - y + y
2

Ta có: A = 1 - y + y
2
= y
2
– 2.y.
2
1
+ (

2
1
)
2
+
4
3
=
2
2
1






−y
+
4
3

≥

4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
4
3
khi và chỉ khi:

2
1
1
1
2
1
0
2
1
=
+
⇔=⇒=−=
x
yy

⇔
x + 1 = 2

⇔
x = 1
Đáp số: A
nhỏ nhất
=
4
3
khi x = 1
Cách 2:
Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:

( ) ( ) ( )
2
22
2
2
2
2
14
12363
14
144
1
1
+
+−+++
=
+
++
=
+
++
=
x
xxxx
x
xx
x
xx
A
2

22
)1(4
)1()1(3
+
−++
=
x
xx
A
2
2
)1(4
)1(
4
3
+
−
+=
x
x
A
2
)1(2
1
4
3







+
−
+=
x
x
A
A=
4
3
+






+
−
)1(2
1
x
x
2

≥
4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

4
3
khi x-1=0
⇒
x=1
Đáp số: A
nhỏnhất
=
4
3
khi x=1
DẠNG 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU
THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠNG
2
)(
k
xA
≥
0 (HOẶC
2
)(
k
xA

≤
0)
Ví dụ 10:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M
(x)
=

32
1063
2
2
++
++
xx
xx
(Với x thuộc tập hợp số thực)
8

Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Từ M
(x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
ta có:
M
(x)
=
32
1963
2

2
++
+++
xx
xx
=
32
1)32(3
2
2
++
+++
xx
xx
(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x
2
+ 2x + 3 được
không? Vì sao?
Trả lời: Vì x
2
+ 2x + 3 = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)
2
> 0 với mọi giá trị của x. nên
sau khi chia cả tử và mẫu cho x
2
+ 2x + 3 ta được
M(x) = 3 +
2)1(

1
2
++x
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2)2(
1
2
++x
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của
2)(
1
2
++x
từ đó suy ra giá trị lớn nhất của
M(x)
Trả lời: Vì (x+1)
2
≥
0 Với mọi x
Nên (x+1)
2
+ 2
≥
2 với mọi x
Do đó
2)1(
1
2
++x

≤

2
1

Từ đó ta có:
M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x

≤
3 +
2
1
= 3
2
1
Dấu “=” xảy ra khi x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3
2
1
khi và chỉ khi x=-1
Đáp số: M(x)
Lớn nhất
=3
2
1

với x = -1
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x
2
+ x + 4,
b) B = 2x
2
- x + 5,
Lời giải:
x
4
15
4
15
2
1
x
4
15
4
1
xx4xxA :cãTa a)
2
22
∀≥+







+=+






++=++=
A =
4
15
khi và chỉ khi x = -
2
1
.
9

Vậy min A =
4
15
đạt được khi x = -
2
1
.
x
8
39
8

39
4
1
x2
8
39
16
1
2
x
x2B :cãTa b)
2
2
∀≥+






−=+






+−=
B =
8

39
khi và chỉ khi x =
4
1
.
Vậy min B =
8
39
đạt được khi x =
4
1
.
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) M = - x
2
- 3x + 4,
b) N = - 3x
2
+ 2x - 1,
Lời giải:
x
4
25
4
25
2
3
x
4
25

4
9
xx4xx M:cãTa a)
2
22
∀≤+






+−=+






++−=+−−=
33
M =
4
25
khi và chỉ khi x = -
2
3
.
Vậy min M =
4

25
đạt được khi x = -
2
3
.
x
3
2
3
2
3
1
-x-3 N:cãTa b)
∀−≤−






=
2
N =
3
2
−
khi và chỉ khi x =
3
1
.

Vậy min N =
3
2
−
đạt được khi x =
3
1
.
Lời bình:
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2042.
b) B = (x - 1)(x - 4)(x - 5)(x - 8) + 2006.
Lời giải:
a) Ta có A = [(x - 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)] + 2042
= (x
2
+ 5x - 6)(x
2
+ 5x + 6) + 2042
= (x
2
+ 5x)
2
- 6
2
+ 2042
= (x
2
+ 5x)
2

+ 2006 ≥ 2006 ∀x.
A = 2006 khi và chỉ khi x
2
+ 5x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = - 5.
Vậy min A = 2006 khi x = 0 hoặc x = - 5.
b) Ta có B = [(x - 1)(x - 8)][(x - 4)(x - 5)] + 2006
= (x
2
- 9x + 8)(x
2
- 9x + 20) + 2006
= [(x
2
- 9x + 14) - 6].[(x
2
- 9x + 14) + 6] + 2006
= (x
2
- 9x + 14)
2
- 6
2
+ 2006
= (x
2
- 9x + 14)
2
+ 1970 ≥ 1970 vì (x
2
- 9x + 14)

2
≥ 0 ∀x
10

B = 1970 ⇔ x
2
- 9x + 14 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 7.
Vậy min B = 1970 khi x = 2 hoặc x = 7.
Lời bình:
Bài toán ở ví dụ 3 trên có bài toán tổng quát là:
Tìm giá trị nhỏ nhất của: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + e với a, b, c, d, e là các hằng số và
a + b = c + d.
Đối với dạng toán này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phương pháp đổi biến (đặt
ẩn phụ) để đưa về tam thức bậc hai rồi vận dụng cách làm như ví dụ 1, 2.
Khi hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ cần lưu ý: có nhiều cách đặt ẩn phụ đối với dạng
toán này, nhưng thường cách đặt sau đây đem lại hiệu quả và giúp ta có lời giải gọn
hơn:
Biểu thức dạng: [f(x) + a].[f(x) + b] ta đặt ẩn phụ t = f(x) +
2
ba
+
.
Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = (x + 5)
4
+ (x + 1)
4
b) B = (x - 3)
4
+ (x + 7)

4
.
Lời giải:
a) Đặt y = x + 3 ta có:
A = (y + 2)
4
+ (y - 2)
4
= y
4
+ 8y
3
+ 24y
2
+ 24y + 16 + y
4
- 8y
3
+ 24y
2
- 24y + 16
= 2y
4
+ 48y
2
+ 32 ≥ 32 ∀y.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi y = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = - 3.
Vậy min A = 32 khi x = - 3.
b) Đặt y = x + 2 ta có:
B = (y - 5)

4
+ (y + 5)
4
= y
4
- 20y
3
+ 150y
2
- 500y + 625 + y
4
+ 20y
3
+ 150y
2
+ 500y + 625
= 2y
4
+ 300y
2
+ 1250 ≥ 1250 ∀y
B = 1250 khi và chỉ khi y = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2.
Vậy min B = 32 khi x = - 2.
Lời bình:
Ví dụ 4 a, b có bài toán tổng quát là:
Tìm giá trị nhỏ nhất của: (x + a)
4
+ (x + b)
4
(a, b là hằng số).

Với bài toán này ta thường chọn cách đặt ẩn phụ là y = x +
2
ba
+
.
Bằng cách đặt ẩn phụ như vậy sau khi khai triển và rút gọn ta sẽ nhận được một đa
thức dạng a
0
y
4
+ b
0
y
2
+ c
0
với a
0
, b
0
, c
0
> 0. Đến đây hoàn toàn ta có thể giải tiếp được
bài toán.
Bài tập vn:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
11

a) (x - 3)
2

+ (x + 1)
2
b) (x - 1)
2
+ (x + 3)
2
+ (x + 5)
2
c) (x - a)
2
+ (x - b)
2
+ (x - c)
2
, (a, b, c là các hằng số).
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
b) (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7)
c) (x
2
+ 8x + 8)(x
2
+ 8x + 16)
d) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1)
e) (x
2
- 4x - 5)(x
2
- 12x + 27)
2. Biểu thức là đa thức bậc hai nhiều biến:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) M = 2x
2
+ y
2
- 2xy - 2x - 2y + 12
b) N = x
2
+ 5y
2
- 4xy + 6x - 14y + 15.
Lời giải:
a) Ta có:
M = 2x
2
+ y
2
- 2xy - 2x - 2y + 12
= (x
2
+ y
2
- 2xy) + (2x - 2y) + 1 + (x
2
- 4x + 4) + 7
= (x - y)
2
+ 2(x - y) + 1 + (x - 2)
2
+ 7

= (x - y + 1)
2
+ (x - 2)
2
+ 7 ≥ 7 ∀x, y



=
=
⇔



=−
=+−
⇔=
3y
2x
02x
01yx
7M
Vậy min M = 7 khi x = 2 và y = 3.
b) Ta có:
N = x
2
+ 5y
2
- 4xy + 6x - 14y + 15
= x

2
- 2x(2y - 3) + (2y - 3)
2
+ 5y
2
- (2y - 3)
2
- 14y + 15
= (x - 2y + 3)
2
+ (y
2
- 2y + 1) + 5
= (x - 2y + 3)
2
+ (y - 1)
2
+ 5 ≥ 5 ∀x, y.



=
−=
⇔



=−
=+−
⇔=

1y
1x
01y
03y2x
5N
.
Vậy min N = 5 khi x = - 1 và y = 1.
Lời bình:
Lời giải ở ý a) là ta tìm cách tách các hạng tử của M một cách thích hợp để đưa các
biến vào hằng đẳng thức và đưa M về dạng tổng các bình phương. Với cách làm này
khi học sinh áp dụng để làm các câu khác cùng loại thường gặp khó khăn vì thao tác
tách như như thế nào để được kết quả như ý. Như vậy việc đi tìm cách tách đó mang
tính chất mò mẫm, mất nhiều thời gian, không thể hiện được đường lối phương pháp
chung cho loại biểu thực này.
Lời giải ở ý b) đã chỉ rõ cho ta một đường lối để đạt được mục đích là đưa biểu thức
ban đầu về dạng tổng các bình phương đó là:
12

- Đầu tiên ta đi nhóm các hạng tử chứa ẩm x lại rồi thêm bớt để đưa toàn bộ các hạng
tử chứa ẩn x vào bình phương của một đa thức.
- Tiếp đó ta đi thêm bớt để đưa nốt ẩn y vào bình phương của một đa thức còn lại.
Với cách làm này, học sinh chỉ cần nắm vững về hằng đẳng thức đáng nhớ, cùng với
thao tác thêm bớt hạng tử đưa dần từng biến của biểu thức vào các hằng đẳng thức.
Phương pháp này gọi là phương pháp đưa dần các biến vào hằng đẳng thức, vận dụng
phương pháp này học sinh dễ dàng làm tốt các bài tập với biểu thức là đa thức bậc hai
nhiều biến.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
H = 4x
2
+3y

2
- 2xy - 10x - 14y + 30.
Lời giải:
Cách 1: Ta có:
H = 4x
2
+3y
2
- 2xy - 10x - 14y + 30
= (x
2
+ y
2
+ 1 - 2xy + 2x - 2y) + 3(x
2
- 4x + 4) + 2(y
2
- 6y + 9) - 1
= (x - y + 1)
2
+ 3(x - 2)
2
+ 2(y - 3)
2
- 1 ≥ - 1 ∀x, y.



=
=

⇔





=−
=−
=+−
⇔−=
3y
2x
03y
02x
01yx
1H
Vậy min H = - 1 khi x = 2 và y = 3.
Cách 2: Ta có:
H = 4x
2
+3y
2
- 2xy - 10x - 14y + 30
( )
( )
y x,113y
4
11
4
5y

x4
4
99
4
95
96yy.
4
11
4
5y
x4
4
9566y11y
4
5y
x4
3014y
4
5y
3y
4
5y
4
5y
2x.x4
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
∀−≥−−+






+
−=
−++−+






+
−=
+−
+







+
−=
+−






+
−+














+
+







+
−=



=
=
⇔





=−
=
+
−
⇔−=
3y
2x
03y
0
4
5y
x
1H

Vậy min H = - 1 khi x = 2 và y = 3.
Bài tập vn:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) 5x
2
+ 2y
2
+ 2xy - 26x - 16y + 54,
b) (x - y)
2
+ (x + 1)
2
+ (y - 5)
2
+ 2006,
c) (x - 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2
.
13

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
- 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2014,

b) x
2
+ 6y
2
+ 14z
2
- 8yz + 6zx - 4xy + 2005,
c) x
2
+ 5y
2
+ 3z
2
- 4xy + 2xz - 2yz - 6z + 2014.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của:
a) A = 4xy + 8yz - 4x
2
- 10y
2
- 3z
2
- 4xz - 12z + 1969,
b) B = xy, biết x, y là hai số thực thoả mãn x + 2y = 1.
DẠNG 3: Biểu thức là phân thức một biến.
Bài tập 1:
a) Tìm giá trị lớn nhất của:
1112x9x
1
A
2

+−
=
;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2920x4x-
1
B
2
−+
=
.
Lời giải:
a) Ta có: 9x
2
- 12x + 11 = (9x
2
- 12x + 4) + 7 = (3x - 2)
2
+ 7 ≥ 7 > 0 ∀x.
⇒
7
1
1112x9x
1
A
2
≤
+−
=
∀x.

A =
7
1
⇔ 3x - 2 = 0 ⇔ x =
3
2
.
Vậy max A =
7
1
khi x =
3
2
.
b) Ta có: - 4x
2
+ 20x - 29 = - (4x
2
- 20x + 25) - 4 = - (2x - 5)
2
- 4 ≤ - 4 < 0 ∀x.
⇒
4
1
29x204x-
1
B
2
−≥
−+

=
∀x.
B =
4
1
−
⇔ 2x - 5 = 0 ⇔ x =
2
5
.
Vậy min B =
4
1
−
khi x =
2
5
.
Lời bình:
- Biểu thức A và B trong ví dụ trên là phân thức một biến có tử là hằng số và mầu là
tam thức bậc hai. Để biểu thức dạng này tồn tại giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất trên tập
xác định của nó thì mẫu thức luôn phải nhận giá trị âm hoặc dương với mọi giá trị của
biến.
- Với biểu thức dạng này, ta cũng có thể làm theo cách nhận xét về dấu của tử và mẫu
của biểu thức đã cho từ đó chuyển bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất
của mẫu.
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2
2

2x
4126x5x
D
−
+−
=
, với x ≠ 2.
Lời giải:
14

Cách 1: Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
22
2
2
2
2x
1
9.
2x
1
6.5
2x
92x644xx5
2x
4126x5x
D

−
+
−
−=
−
+−−+−
=
−
+−
=
2.x441
2x
3
41
2x
3
2
2x
3
22
≠∀≥+






−
−
=+









+






−
−






−
=
D = 4 ⇔
5x01
2x
3
=⇔=−

−
.
Vậy min D = 4 khi x = 5.
Cách 2:
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
4
2x
5-x
4
2x
2510xx44xx4
2x
4126x5x
D
2
2
2
22
2
2
≥
−
+=
−
+−++−

=
−
+−
=
vì
( )
( )
2x0
2x
5-x
2
2
≠∀≥
−
D = 4 ⇔
( )
( )
5x0
2x
5-x
2
2
=⇔=
−
.
Vậy min D = 4 khi x = 5.
Lời bình:
- Với cách giải 1, hoàn toàn đã thể hiện được phương pháp chung để làm với những
biểu thức loại này. Với cách biến đổi này ta cũng có thể đổi biến bằng cách
đặt

2x
1
t
−
=
trong ví dụ trên ta sẽ được D = 9t
2
- 6t + 5, đây là biểu thức quen thuộc
đã được xét đến.
- Với cách 2, cơ sở của việc tách đó là không khả thi đối với các biểu thức cùng loại có
hệ số phức tạp. Lẽ dĩ nhiên các biểu thức loại này vẫn có thể sử dụng phương pháp
miền giá trị để làm.
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
1x
34x
A
2
+
+
=
.
Lời giải:
* Vì x
2
+ 1 > 0 ∀x nên A xác định với mọi x.
Cách 1:
Ta có:
( ) ( )
( )
1x

12x
4
1x
44x4x1x4
1x
34x
A
2
2
2
22
2
+
−
−=
+
+−−+
=
+
+
=
⇒ A ≤ 4 ∀x vì
( )
x0
1x
12x
2
2
∀≤
+

−
−
.
A = 4 ⇔ 2x - 1 = 0 ⇔ x =
2
1
.
15

Vậy max A = 4 khi x =
2
1
.
Ta lại có:
( ) ( )
( )
x.1
1x
2x
-1
1x
44xx1x-
1x
34x
A
2
2
2
22
2

∀−≥
+
+
+=
+
++++
=
+
+
=
A = - 1 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2.
Vậy min A = -1 khi x = - 2.
Cách 2:
* Vì x
2
+ 1 ≠ 0 ∀x, nên A xác định với mọi x.
Gọi A
0
là một giá trị nào đó của biểu thức
1x
34x
A
2
+
+
=
, khi đó phương trình:
03A4xxA
1x
34x

A
0
2
0
2
0
=−+−⇔
+
+
=
(1) phải có nghiệm.
+> Nếu A
0
= 0 thì (1) ⇔ - 4x - 3 = 0 ⇔
4
3
x
−=
.
+> Nếu A
0
≠ 0 thì (1) có nghiệm ⇔ ∆' > 0
⇔ 4 - A
0
(A
0
- 3) ≥ 0
⇔ (4 - A
0
)(A

0
+ 1) ≥ 0
⇔ - 1 ≤ A
0
≤ 4.
• A
0
= - 1 khi và chỉ khi ∆' = 0 ⇔
2
A
2
x
0
−==
• A
0
= 4 khi và chỉ khi ∆' = 0 ⇔
2
1
A
2
x
0
==
Vậy max A = 4 khi x =
2
1
.
Vậy min A = -1 khi x = - 2.
Lời bình:

Ta thấy, theo cách 1 thì ta cần tách tử thức thành tổng của một đa thức chia hết cho
mẫu thức và một đa thức có thể viết được dưới dạng bình phương của một nhị thức.
Điều này có thể hiểu như sau:
Ta có:
( ) ( )
1x
a34xax1xa
1x
34x
A
2
22
2
+
−++−++
=
+
+
=
Ta cần tìm a để - ax
2
+ 4x + 3 - a là một bình phương của một nhị thức.
⇒ ta phải có: ∆' = 4 + a(3 - a) = 0
⇔ a
2
- 3a - 4 = 0
⇔ a = - 1 hoặc a = 4.
+ Với a = 4, ta có cách tách để tìm max A như trên.
+ Với a = - 1, ta có cách tách để tìm min A như trên.
16

Đến đây ta thấy, để giải được bài toán dạng này học sinh cần phải biết cách tìm điều
kiện để một tam thức bậc hai có thể viết được dưới dạng bình phương của một nhị thức
khi mà chưa được học về phương trình bậc hai. Vậy trước khi dạy đến dạng này giáo
viên nên cho học sinh tìm điều kiện của a, b, c để ax
2
+ bx + c có thể viết được thành
bình phương của một nhị thức (b
2
- 4ac = 0).
Bài tập vn:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
1210x25x
7
A a)
2
−+−
=
;
3)x (víi
≠
+−
+−
=
9x6x
1127011x
B b)
2
2
x

;
1)x (víi
≠
+−
+−
=
1x2x
1x
C c)
2
2
x
.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
12x44x
5
M a)
2
+−
=
;
)x (víi 3
9x6x
2010x
N b)
2
2
−≠
++
++

=
x
;
1)x (víi
≠
+−
−+
=
1x2x
144x
P c)
2
2
x
.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
2x
12x
D a)
2
+
+
=
;

5x2x
922x
E b)
2
2

++
+−
=
x
;
( )

1x
1x2
F c)
2
2
+
++
=
x
;
0) x(
yx
yxyx
G d)
22
22
≠
+
++
=
víi
.
*************** **************

DẠNG 4: Biểu thức có chứa căn thức (DẠNG TOÁN DÀNH CHO LỚP 9)
Kiến thức cần nhớ:

)
*
2n
N n(víi 0A nghÜacã A
∈≥⇔
;
)
*
2n
N n(víi 0A0 A
∈=⇔=
Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki, Mincôpxki.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
34xxA a)
2
+−=
17

42xxB b)
2
+−=
Lời giải:
a) * Điều kiện để A có nghĩa: x
2
- 4x + 3 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3.
Ta có:
( )

( )
x. 012x144xx34xxA
2
22
∀≥−−=−+−=+−=
A = 0 ⇔ (x - 2)
2
= 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.
Vậy min A = 0 khi x = 1 hoặc x = 3.
b) * Ta có: x
2
- 2x + 4 = (x - 1)
2
+ 3 > 0 ∀x, vậy B có nghĩa với mọi x.
Ta có:
( )
( )
x3
∀≥+−=++−=+−=
31x312xx42xxB
2
22
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x - 1)
2
= 0 ⇔ x = 1.
Vậy min B =
3
khi x = 1.
Lời bình:
Biểu thức A, B trong ví dụ 1 có dạng tổng quát là

cbxaxM
2
++=
với a > 0 và a,
b, c là các số cho trước.
Với a > 0 ta có:
4a
4acb
2a
b
xacbxaxM
2
2
2
−
−






+=++=
+ Nếu b
2
- 4ac ≥ 0 thì min M = 0;
+ Nếu b
2
- 4ac < 0 thì min
4a

4acb
M
2
−
−=
;
+ M không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
7x2x-C a)
2
++=
52x3x-D b)
2
++=
Lời giải:
a) * Điều kiện để C có nghĩa: - x
2
+ 2x + 7 ≥ 0 ⇔
221x221
+≤≤−
Ta có:
( )
( )
x881x812xx72xx-C
2
22
∀≤+−−=++−−=++=
C =
8
⇔ (x - 1)

2
= 0 ⇔ x = 1 (TMĐK)
Vậy max C =
8
khi x = 1.
b) * Điều kiện để D có nghĩa: - 3x
2
+ 2x + 5 ≥ 0 ⇔
3
341
x
3
341
+
≤≤
−
Ta có:
3
16
3
16
3
1
x3
3
16
9
1
x
3

2
x352x3x-D
2
22
≤+






−−=+






+−−=++=
D =
3
16
⇔
3
1
x0
3
1
x
=⇔=−

(TMĐK)
18

Vậy max D =
3
16
đạt được khi
3
1
x
=
.
Lời bình:
Biểu thức tổng quát của biểu thức C và D là:
cbxaxN
2
++=
với a < 0 và a, b, c là
các số cho trước.
Với a < 0 ta có:
4a
4acb
2a
b
xacbxaxN
2
2
2
−
−







+=++=
+ Nếu b
2
- 4ac < 0 thì N vô nghĩa;
+ Nếu b
2
- 4ac = 0 thì N = 0 ⇔
2a
b
x
−=
;
+ b
2
- 4ac > 0 thì max N =
4a
4acb
2
−
−
và min N = 0.
Với những bài toán chứa căn thức khi dạy giáo viên cần chú ý yêu cầu học sinh tìm điều
kiện để biểu thức có nghĩa trước khi sử dụng các phép biến đổi biểu thức.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a)
2xxA −+=
b)
35xx2B +−+=
c)
.52xxC ++−=
Lời giải:
a)
x
có nghĩa khi và chỉ khi x ≥ 0.
Do đó
2xxA −+=
≥ - 2 ∀x ≥ 0.
⇒ A = - 2 ⇔ x = 0
Vậy min A = - 2 khi x = 0.
b)
5-x
có nghĩa khi và chỉ khi x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5.
Do đó ta có:
35xx2B +−+=
≥ 2.5 + 0 + 3 = 13.
B = 13 ⇔ x = 5.
Vậy min B = 13 khi x = 5.
c)
2x
+
có nghĩa khi và chỉ khi x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 2.
Do đó ta có:

( )

x.
4
11
4
11
2
1
2x
4
11
4
1
2x2x52xxC
2
∀≥+






−+=+






++−+=++−=
C =

4
11
⇔
.
4
7
x
4
1
2x
2
1
2x
−=⇔=+⇔=+
Vậy min C =
4
11
khi x =
4
7
−
.
Lời bình:
19

Các biểu thức loại này, ta cần lưu ý đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa trước khi biến
đổi. Với điều kiện để biểu thức có nghĩa thường làm cho miền xác định (D) của biểu
thức bị thu hẹp so với tập R. Chính vì điều này mà học sinh rất dễ nhầm lẫn khi thực
hiện biến đổi để chỉ ra điều kiện 1, điều kiện 2 của bài toán, chẳng hạn ở ví dụ 3a) học
sinh thường sai như sau:

4
9
4
9
2
1
x
4
1
2
4
1
xx2xxA
2
−≥−






+=−++=−+=
⇒ min A =
4
9
−
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a)
( )( )
x62-xA −=

b)
( )( )
7xx-1B −=
Lời giải:
a) Điều kiện để A có nghĩa: (x - 2)(6 - x) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 6 (1).
Với điều kiện (1) thì x - 2 ≥ 0 và 6 - x ≥ 0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta được:
( )( )
2
2
x62x
x62-xA =
−+−
≤−=
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 2 = 6 - x ⇔ x = 4 (TMĐK (1))
⇒ max A = 2 khi x = 4.
Ta lại có A ≥ 0 với mọi 2 ≤ x ≤ 6.
A = 0 ⇔ x - 2 = 0 hoặc 6 - x = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6.
⇒ min A = 0 khi x = 2 hoặc x = 6.
b) Điều kiện để B có nghĩa (1 - x)(x - 7) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 7 (2).
Với điều kiện (2) thì x - 1 ≥ 0 và 7 - x ≥ 0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta được:
( )( ) ( )( )
3
2
x71x
x71x7xx-1B =
−+−
≤−−=−=
B = 3 khi và chỉ khi x - 1 = 7 - x ⇔ x = 4.

⇒ max B = 3 khi x = 4.
B ≥ 0 với mọi 1 ≤ x ≤ 7. B = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 7.
Lời bình:
- Với biểu thức như ở ví dụ 3, để tìm giá trị lớn nhất ta hoàn toàn có thể khai triển biểu
thức dưới dấu căn rồi biến đổi theo cách làm như ở ví dụ 2.
- Đối với học sinh lớp 9, giáo viên khi hướng dẫn học sinh làm theo cách sử dụng bất
đẳng thức Côsi cần lưu ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Côsi và điều kiện dấu "="
xảy ra. Trong ví dụ 3b) học sinh rất dễ sai với cách biến đổi như sau:
20

( )( )
3
2
7xx1
7xx-1B −=
−+−
≤−=
⇒ max B = - 3.
Như vậy học sinh sai vì không chú ý đến điều kiện của các số hạng khi vận dụng bất
đẳng thức Côsi phải không âm, trong khi đó với điều kiện 1 ≤ x ≤ 7 thì 1 - x ≤ 0 và x -
7 ≤ 0. Do đó cần đổi dấu hai nhân tử dưới dấu căn của B trước khi áp dụng bất đẳng
thức Côsi.
Bài toán tổng quát của dạng này là:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
xcb-axM d−=
với a, b, c, d là các số dương
cho trước.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1xx1xxA

22
+−+++=
Lời giải:
Vì
x 0
4
3
2
1
x1xx vµ x 0
4
3
2
1
x1xx
2
2
2
2
∀≠+






−=+−∀≠+







+=++
nên A xác định ∀x.
Cách 1: Vì A > 0 nên ta có:
( )( )
1xx1xx21xx1xxA
22222
+−++++−+++=
( )
4221xx222x
x1x222x
242
2
2
22
=+≥++++=
−+++=
vì x
2
≥ 0 và x
4
≥ 0 ∀x
⇒ A ≥ 2 ∀x, A = 2 ⇔ x = 0.
Vậy min A = 2 khi x = 0.
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
( )( )
21xx21xx1xx21xx1xxA

4
24
4
2222
≥++=+−++≥+−+++=
0x
1xx1xx
0x
khichØ vµ ra khi yx¶ "" DÊu
22
2
=⇔





+−=++
=
=
Vậy min A = 2 khi x = 0.
Cách 3:
Áp dụng bất đẳng thức Mincôpxki ta có:
1xx1xxA
22
+−+++=
21

231
2

3
2
3
x
2
1
2
1
x
2
3
x
2
1
2
3
2
1
x
2
3
2
1
x
2
3
2
1
x
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
=+=








++






−++≥
≥









+






−+








+






+=









+






−+








+







+=
A = 2 ⇔
0xx
2
1
2
3
2
1
x
2
3
=⇔






−=






+
Vậy min A = 2 khi x = 0.
Lời bình:
Với cách 1 giáo viên khi dạy hoàn toàn có thể hướng dẫn cho học sinh lớp 9. Để làm

theo cách 2 hay cách 3, khi trình bầy giáo viên cần yêu cầu học sinh chứng minh bất
đẳng thức phụ trước khi vận dụng. Điều hạn chế của cách 2 là hiện nay học sinh lớp 9
không được giới thiệu về căn bậc n, các em chỉ được học về căn bậc hai và căn bậc ba.
Do vậy, khi dạy cho học sinh cách này giáo viên cần giới thiệu cho học sinh về căn bậc
n trước.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
96xx12xxA a)
22
++++−=
1-x8-15x1-x43xB b)
++−+=
4-x4-x4-x4xC c)
++=
.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
x-53xM a)
+−=
x-142xN b)
++=
3x-513xP c)
+−=
.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
2x-52xD a)
+−=
x-531x2E b)
+−=
2x-931x2F c)
+−=

3x-15512x3H d)
+−=
.
*****************************
22