chuyên đề 3 cực trị hàm số

ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh

1
CHUYấN3.
Chohms
()yfx=
liờntctrờn
(;)ab
v
()fx
cúohmtrờn
0
(; )ax
v
0
(;)xb
.Tacú:
x

a

0
x

b

'( )fx

+

0

-

()fx

C



Gis
()fx
cúohmcphaitrờn
(;)ab
v
0
(;)xabẻ
.Khiúnu

0
0
'( ) 0
''( ) 0
fx
fx
ỹ
ù
=
ù

ý

ù
<
ù
ỵ
hmstcciti
0
x


0
0
'( ) 0
''( ) 0
fx
fx
ỹ
ù
=
ù

ý
ù
>
ù
ỵ
hmstcctiuti
0
x

Chohms

32
(0)yax bx cxda=+++ ạ

HmscúC,CT

phngtrỡnh
2
'3 2 0yaxbxc=++=
cú2nghimphõnbit.
ngthngqua2imcctrcxỏcnhnhsau:Chia
y
cho
'y
tacú:
2
2
'
39 3 3 9
xb b bc
yycxd
aaa
ổử
ổử ổử
ữ
ữữ
ỗ
ỗỗ
ữ
ữữ

=+ + - +-
ỗ
ỗỗ
ữ
ữữ
ỗ
ỗỗ
ữ
ữữ
ỗỗ
ỗ
ốứ ốứ
ốứ

Gi
00
(;)Mx y
limcctrtacú:
22
0
000 0
22
'( )
39 3 3 9 3 3 9
x
b b bc b bc
yyxcxdcxd
aaaaa
ổử
ổử ổử

ổử ổử
ữ
ữữ
ỗ
ữữ
ỗỗ
ỗỗ
ữ
ữữ
ữữ
ỗ
=+ +- +-= - +-
ỗỗ
ỗỗ
ữ
ữữ
ữữ
ỗ
ỗỗ
ỗỗ
ữ
ữữ
ữữ
ỗỗ
ữỗ ỗ
ỗ
ốứ ốứ
ốứ ốứ
ốứ

Doúphngtrỡnhngthngqua2imcctrl:
2
2
33 9
bbc
yc xd
aa
ổử
ổử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
=- +-
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ốứ
ốứ

x

a

0
x

b

'( )fx


-

0

+

()fx



CT
ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

2
Bàitập1.Chohàmsố
32 2 2
1
(2)(31)5
3

yxmmx m xm= + -+ + + +-
.Tìm
m
đểhàm
sốđạtcựctiểutại
2x =-

Hướngdẫn:
YCBT
'( 2) 0
''( 2) 0
y
y
ì
ï
-=
ï

í
ï
->
ï
î

Bàitập2.Tìm
m
để
32
() 2 3( 1) 6( 2) 1fx x m x m x=+ - +
cóđườngthẳngđiquaCĐ,

CTsongsongvớiđườngthẳng
yaxb=+

Hướngdẫn:
2
'( ) 0 ( ) ( 1) 2 0fx gx x m x m= = + - + -=

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình
() 0gx =
phảicó2nghiệmphânbiệt
3m¹

+Thựchiệnchia
()fx
cho
()gx
tacó:
22
() (2 1)() ( 3) ( 3 3)fx x m gx m x m m=+- +


PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà:
22
(3)( 33)ymxmm=- - - - +

Bàitập3.Tìm
m
để
32
() 2 3( 1) 6 (1 2 )fx x m x m mx=+ -+ -

cóCĐ,CTnằmtrênđường
thẳng
:4dy x=-

Hướngdẫn:
2
'( ) 0 ( ) ( 1) (1 2 ) 0fx gx x m x m m= = + - + - =

+Thựchiệnchia
()fx
cho
()gx
tacó:
2
( ) (2 1) ( ) (3 1) ( 1)(1 2 )fx mx m gx m x mm m=+- +


PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà:
2
(3 1) ( 1)(1 2 )ymxmm m=- - + - -

+YCBT
2
(3 1) 4
1
(1)(12)0
m
m
mm m
ì

ï
=-
ï
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î

Bàitập4.Tìm
m
để
32
() 7 3
f
xxmx x=+ ++
cóđườngthẳngđiquaCĐ,CTvuônggóc
với
:37dy x=-
.
Hướngdẫn:
2
'( ) 0 3 2 7 0fx x mx= + +=

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình
'( ) 0fx=
phảicó2nghiệmphânbiệt

21m>

+Chia
()fx
cho
'( )fx
tacó:
2
12 7
() (3 ) '() (21 ) 3
99 9
m
fx x mf x m x=+ +-+-


PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà:
2
27
(21 ) 3
99
m
ymx=-+-

+YCBT
2
2310
(21 ).3 1
92
mm- =-=
ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


3
Bàitập5.Tìm
m
để
32
11
() ( 1) 3( 2)
33
fx mx m x m x= +-+
đạtcựctrịtại
12
;xx
thỏa
mãn:
12
21xx+=

Hướngdẫn:
2
'( ) 0 2( 1) 3( 2) 0fx mx m x m= - - + - =

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình
'( ) 0fx=
phảicó2nghiệmphânbiệt:
0
66
11
22
m

m
ì
ï
¹
ï
ï
ï

í
ï
-<<+
ï
ï
ï
î

+Khiđótacó
12
;xx
lànghiệmphươngtrình
'( ) 0fx=
,kếthợpvớiyêucầubàitoántacó:
12 1
12 2
12
12
2( 1) 3 4
2
3( 2) 2
.

2
3
21 3(2)
.
mm
xx x
mm
m
mm
xx x
mm
m
xx m
xx
m
ìì
ïï

ïï
+= =
ïï
ïï
é
ïï
=
ïï
ê

ïï
ïï

ê
==
íí
ê
ïï
=
ïï
ê
ïï
ë
+= -
ïï
ïï
=
ïï
ïï
ïï
îî

 Bài tập 6. Tìm
m
để
32
1
() 1
3
fx x mx mx=-+-
đạtcựctrịtại
12
;xx

thỏamãn:
12
8xx-³

Hướngdẫn:
2
'( ) 0 2 0fx x mx m= - + =

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình
'( ) 0fx=
phảicó2nghiệmphânbiệt:
(;0)(1; )mÎ-¥È+¥

+Khiđótacó
12
;xx
lànghiệmphươngtrình
'( ) 0fx=
,kếthợpvớiyêucầubàitoántacó:
12
2
12
12
165
2
2
.160
165
8
2

xx m
m
xx m m m
m
xx
é
ì
ï
-
+=
ê
ï
£
ï
ê
ï
ï
ê
= ³
í
ê
ï
+
ï
ê
ï
³
-³
ï
ê

ï
î
ë

Bàitập7.Tìm
m
để
32 2 2
33( 1)3 1yx x m xm=- + + - - -
cóCĐ,CTcáchđềugốctọađộ
Hướngdẫn:
22
'( ) 0 2 1 0fx x x m= - - +=

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì
'( ) 0fx=
phảicó2nghiệmphânbiệt
2
00mm>¹

+Khiđó2điểmcựctrịlà
22
(1 ; 2 2 ); (1 ; 2 2 )Am mB m m +-+

+Theobàiratacó:
22
1
2
OA OB OA OB m= = =


ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

4
Bàitập8.Tìm
m
để
322 2
( ) 2( 1) ( 4 1) 2( 1)fx x m x m m x m=+ - + - + - +
đạtcựctrịtại

12
;xx
thỏamãn:
()
12
12
111
2
xx
xx
+= +
.
Hướngdẫn:
22
'()0 3 4( 1) ( 4 1)0fx x m x m m= + - + - +=

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì
'( ) 0fx=
phảicó2nghiệmphânbiệt
23

23
m
m
é
<- -
ê

ê
ê
>- +
ë

+Tacó:
()
12
12
12
12
1
0
111
1
2
2
5
m
xx
xx m
xx
xx

m
é
=
ê
é
+=
ê
ê
+= +  =-
ê
ê
=
ê
ê
ë
=
ê
ë

Bàitập9.Tìm
m
để
32
1
() ( 2) (5 4) 3 1
3
fx x m x m x m=+-++++
đạtcựctrịtại

12

;xx

thỏamãn:
12
2xx<<
.
Hướngdẫn:
2
'( ) 0 2( 2) 5 4 0fx x m x m= + - + +=

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì
'( ) 0fx=
phảicó2nghiệmphânbiệt
0
9
m
m
é
<
ê

ê
>
ê
ë

+Tacó:
122 1
2(2)(2)00xxx x m<<  - - > <


 Bài tập 10.Chohàmsố
32
1
1
3
yxmxxm= ++
. Tìm
m
đểkhoảngcáchgiữacác
điểmcựctrịcủahàmsốlànhỏnhất.
Hướngdẫn:
+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì
'( ) 0fx=
phảicó2nghiệmphânbiệt
m"

+Chia
()fx
cho
'( )fx
tacó:
()
2
11 2 2
() '() 1 1
33 3 3
fx x mf x m x m
æö
÷
ç

÷
=- - +++
ç
÷
ç
÷
ç
èø


PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà:
()
2
22
11
33
ymxm=- + + +

+Khoảngcáchgiữahaiđiểmcựctrịlà:

222 222
21 21
4 4 13 4.13
()(1)()(44)
9999
AB x x m x x m m
æö
÷
ç
÷

=- + + - = + + ³
ç
÷
ç
÷
ç
èø

min
2
13 0
3
AB m==

ChunđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

5
Bàitập11.Chohàmsố
32 232
33(1)yx mx mxmm=- + + - + -
.Viếtphươngtrình
đườngthẳngqua2điểmcựctrị
Đápsố:
2
2yxmm=- +

Chohàmsố

432
(0)yax bx cx dxea= ++++ ¹

.
Xétphươngtrình
có đúng 1 nghiệm
1 nghiệm kép
có đúng 1 cực trò
có đúng 2 nghiệm:
1 nghiệm đơn
có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trò gồm CĐ, CT
'0:y
é
ü
ï
ï
ê
ï
ê
ï
ì
ï

ý
ê
ï
ï
=
í
ê
ï
ï
ï

ê
ï
ï
ỵ
þ
ê
ê

ë

Bàitập1.Chohàmsố
42
() 6 8 1yfx x x x== +
.Tìmcựctrịcủahàmsố.
Bàitập2.(B_2002).Tìm
m
để
42 2
(9)10ymx m x=+-+
có3điểmcựctrị.
Hướngdẫn:
3
'0 4 2( 9) 0ymxmx= + - =

+YCBT

phươngtrình
'0y =
có3nghiệmphânbiệt
3

03
m
m
é
<-
ê

ê
<<
ê
ë

Bàitập3.Tìm
m
để
42 4
() 2 2fx x mx m m=- + +
cóCĐ,CTlậpthànhtamgiácđều.
Hướngdẫn:
2
0
'0
x
y
xm
é
=
ê
=
ê

=
ê
ë

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình
'0y =
phảicó3nghiệmphânbiệt
0m>

+Khiđó3điểmcựctrịlà:

42 4 42
(; 2),(0; 2),(; 2)Ammm mBm mCmmm m + + -+


4
,2AB BC m m AC m== + =

+Để
ABCD
đềuthì
3
4
23AB BC AC m m m m== += =

Bàitập4.Tìm
m
để
422
() 2 1

f
xx mx=- +
có3điểmcựctrịlà3đỉnhcủamộttamgiác
vngcân.
Hướngdẫn:
22
0
'0
x
y
xm
é
=
ê
=
ê
=
ê
ë

+Đểhàmsốcó3cựctrịthìphươngtrình
'0y =
phảicó3nghiệmphânbiệt
0m¹

+Khiđó3điểmcựctrịlà:

44
(0;1), ( ;1 ), ( ;1 )ABmmCmmABAC -  =


+Để
ABCD
vngcânthì
.0 1AB AC m= =
 


ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

6
Chohàmsố
2
ax bx c
y
mx n
++
=
+

 Hàmsốcócựctrị

hàmsốcóCĐ,CT


'( ) 0fx=
có2nghiệmphânbiệt.
 Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịđượcxácđịnhnhưsau:
Đặt

2

() , ()ux ax bx c vx mx n=++ =+

()
()
ux
y
vx
=
. Gọi
00
(;)
Mx y
làđiểmcựctrị.
Khiđótacó:
00
000
00
'( ) ( )
2
'( ) 0
'( ) ( )
ux ux
b
yx y x
vx vx m m
= =  = +


Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịlà
2 b

yx
mm
=+

Bàitập1.Tìm
m
để
2
3
()
4
xxm
yfx
x
-+ +
==
-
có
CÑ CT
4yy-=

Hướngdẫn:
+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt
'( ) 0fx=
có2nghiệmphânbiệt
2
8120xxm- + - - =
có2
nghiệmphânbiệtkhác
4

4m<

+Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịlà:
23yx=- +
. Gọi 2 điểm cực trị là

11 22
(;2 3), (;2 3)
Ax x Bx x-+ -+
.Tacó
CÑ CT
12
423yy xx m-=-==

Bàitập2.Tìm
m
để
2
3(21)
1
mx mx m
y
x
+++
=
-
cóCĐ,CTnằmvề2phíacủa
Ox

Hướngdẫn:

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt
'( ) 0fx=
có2nghiệmphânbiệt
()
1
;0;
6
m
æö
÷
ç
÷
 Î -¥ - È +¥
ç
÷
ç
÷
ç
èø

+Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịlà:
23ymxm=+
.Gọi2điểmcựctrịlà

11 22
(;2 3), (;2 3)
Ax mx m Bx mx m++

+CĐ,CTnằmvề2phíacủa
Ox

12
(2 3 )(2 3 ) ( 4) 0 0 4
mx m mx m m m m+ +=-<<<

Bàitập3.Tìm
m
để
2
25
1
xmx
y
x
-+ -
=
-
cóCĐ,CTnằmvề2phíacủa
2yx=

Hướngdẫn:
+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt
'( ) 0fx=
có2nghiệmphânbiệt
3m<

+Phươngtrìnhđườngthẳngqua2điểmcựctrịlà:
22yxm=- +
.Gọi2điểmcựctrịlà

11 22

(;2 ), (;2 )
Ax x m Bx x m-+ -+

+CĐ,CTnằmvề2phíacủa
2yx=
()
11 22
(2 )(2 ) 0 2 2 6; 2 2 6xyxy m- -<Î +

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

7
Bàitập4.(A.2007)Tìm
m
để
22
2( 1) 4
2
xmxmm
y
x
++++
=
+
cóCĐ,CTcùngvớigốctọa
độtạothànhmộttamgiácvuôngtạiO.
Hướngdẫn:
+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt
'( ) 0fx=
có2nghiệmphânbiệt

0m¹

+Gọi
,AB
là2điểmcựctrị
()( )
2;2, 2;42Am B mm -+ -

+Để
OABD
vuôngtạiO
.0 426OAOB m==-


Bàitập5(B.2005)Cho
2
(1) 1
1
xmxm
y
x
++++
=
+
.Chứngminhrằngvới
m
bấtkì,đồthị
hàmsốluôngcóCĐ,CTvàkhoảngcáchgiữahaiđiểmđóbằng
20
.

Bàitập6.(B.2005)Cho
( )
1
m
ymx C
x
=+
.Tìm
m
đểhàmsốcócựctrịvàkhoảngcách
từđiểmcựctiểuđếntiệmcậnxiêncủa
()
m
C
bằng
1
2

Hướngdẫn:
+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt
'( ) 0fx=
có2nghiệmphânbiệt
0m>

+LậpbảngbiếnthiêntacóđiểmCTlà
1
;2Am
m
æö
÷

ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø

+Tiệmcậnxiên
()
2
1
:0, 2101
2
mx y d A m m mD-=D=-+==


BÀITẬPLUYỆNTẬP
Bàitập1.Chohàmsố
2
1
xmx
y
x
+
=
-
.Tìm
m

đểhàmsốcóCĐ,CTvàkhoảngcáchgiữachúng
bằng
10

Đápsố:
4m =

Bàitập2.Tìm
m
để
2
23xxm
y
xm
-+
=
-
cóCĐ,CTtại

12
,xx
saocho
21
() () 16yx yx->

Đápsố:
117
117
m
m

é
<-
ê
ê
ê
>+
ë

Bàitập3.Tìm
m
để
2
1
xxm
y
x
++
=
+
cóCĐ,CTnằmvề2phíađốivớitrục
Oy

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

8
Đápsố:
1m >

Bàitập4.Tìm
m

để
( )
2
23
1
m
xmx
yC
x
++
=
+
cócựctrịvàkhoảngcáchtừ2điểmcựctrịđến
đườngthẳng
20xy++=
bằngnhau.
Đápsố:
1
2
m =

Bàitập5.Tìmthamsố
0m >
đểhàmsố
22 2
253xmxm m
y
x
++-+
=

đạtCĐ,CTtạihoành
độ
x
thỏamãn
(0,2 )xmÎ

Đápsố:
1
1
2
3
2
m
m
é
ê
<<
ê
ê
ê
>
ê
ë

Bàitập6.Chohàm
2
3
4
xxm
y

x
-+ +
=
-
.Tìm
m
để
12
4yy=+
với

12
,yy
lầnlượtlàcácgiátrị
CĐ,CT.
Đápsố:
3m =

Bàitập7.Tìm
m
để
2
23xxm
y
xm
++
=
-
cócựctrịthỏamãn
CÑ CT

8yy->

Đápsố:
12
12
m
m
é
<- -
ê
ê
ê
<- +
ë

Bài tập 8.Tìm
m
để
22 3
2(41)322
2
mx m x m m
y
xm
+++ +
=
+
cómộtđiểmcựctrịthuộcgóc
phầntưthứhaivàđiểmcựctrịcònlạithuộcgócphầntưthứtưcủamặtphẳngtọađộ.
Đápsố:

1
25
m <-

Bàitập9.Tìm
m
để
22
(1) 42
1
xmxm m
y
x
-+-+ -
=
-
cócựctrịvàtích các giá trị cực trị
bằngnhỏnhất.
Đápsố:
7
5
m =

Bàitập10.Tìm
m
để
32 2
11
(1)
32

yx xmxm=++++
cócựcđạivàcựctiểutạiđiểmcó
hoànhđộ
xm>
.
ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

9
Đápsố:

3
(1)
4
mm<- ¹-

Bàitập11.Tìm
m
để
32
11
(1 ) 3( 2)
33
yx mx mx=+- +-+
cócựctrịtại

12
,xx
thỏamãn
12
21xx+=

.
Đápsố:
19 3 7
16
m
-
=

Bàitập12.Tìm
m
để
32
33(3)113yx m x m=+- +-
cóhaiđiểmcựctrịtại
,AB
saocho

,,(0;1)ABC -
.
Đápsố:
4m =

Bàitập13.Tìm
m
để
42
221yx mx m=- + -
có3cựctrịvàcáccựctrịtạothànhmộttam
giáccóchuvibằng
()

41 65+

Đápsố:
4m =

Bàitập14.Tìm
m
để
32
51yx mx x m=- +- +
cócựctrịvàkhoảngcáchgiữahaiđiểmcực
trịbéhơn
2

Đápsố:
Bàitập15.Tìm
m
để
32
33(2)1yx x mmx=- + + + +
cócựctrịvàkhoảngcáchgiữahai
điểmcựctrịbằng
25
.
Đápsố:
Bàitập16.Tìm
m
để
42
21yx mx=- +

cóbađiểmcựctrịtạothànhmộttamgiáccótrọng
tâmlàgốctọađộ.
Đápsố:
Bàitập17.Tìm
m
để
()
422
11
1
42
yx mxmm= +-
có3cựctrịlậpthànhmộttamgiác
đều.
Đápsố:
