BÀI GIẢI HHGT CÓ PHÂN DẠNG VÀ GIẢI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (210.82 KB, 20 trang )
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011
Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.
2. Các dạng toán.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
và vuông góc
với đường thẳng d.
0 0 0
HD
P d
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
VTPT n a
→
=
uur uur
Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d:
x 1 2t
y 3t
z 2
= +
= −
=
Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a
→
=
uur uur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P d
n a 2; 3;0= = −
uur uur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
2 x 2 3 y 2 0 z 1 0
2x 4 3y 6 0
2x 3y 2 0
⇔ − − − + + =
⇔ − − + =
⇔ − + =
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a
uur
làm vectơ pháp tuyến.
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng
d:
x 1 y 2 z
1 2 2
− +
= =
−
Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a
→
=
uur uur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
1
1. Kiến thức cần nhớ:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ
n 0≠
r
được gọi là vectơ pháp tuyến của
mp(P) nếu giá của
n
r
vuông góc với (P), viết tắt là
n (P)⊥
r
.
- Nếu hai vectơ
a, b
r r
không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì
mp(P) có một vectơ pháp tuyến là:
P
n a,b
=
uur r r
.
- Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với
2 2 2
A B C 0+ + ≠
- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
có vectơ pháp tuyến
( )
P
n A;B;C=
uur
có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Cần nhớ:
- Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:
( )
0 0 0
moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc mp
moät VTPT n A;B;C
=
r
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P d
n a 1;2; 2= = −
uur uur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 2 2 y 2 2 z 1 0
x 2 2y 4 2z 2 0
x 2y 2z 8 0
⇔1 − + − − + =
⇔ − + − − − =
⇔ + − − =
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a
uur
làm vectơ pháp tuyến.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n AC
→
=
uur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n AC 2;0;2= = −
uur uuur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 0 0 y 2 2 z 0 0
x +2z = 0 x+z=0
⇔ −2 − + − + − =
⇔ −2 ⇔ −
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ
AC
uuur
làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n BC
→
=
uur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n BC 0; 2;2= = −
uur uuur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 0 2 y 2 2 z 0 0
y+4+2z=0 y+2z+4=0
⇔ 0 − − − + − =
⇔ −2 ⇔ −2
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ
BC
uuur
làm vectơ pháp tuyến.
Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2)
VTPT n AB
→
=
uur uuur
- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của AB
( )
I 2;2;2⇒
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n AB 2;2;2= =
uur uuur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 2 2 y 2 2 z 2 0 y+2y+2z-12=0⇔ 2 − + − + − = ⇔ 2
Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại
trung điểm I của đoạn thẳng AB.
2
Kiến thức không được quên
- Trục Ox có VTCP là
( )
i 1;0;0=
r
.
- Trục Oy có VTCP là
( )
j 0;1;0=
r
.
- Trục Oz có VTCP là
( )
k 0;0;1=
r
.
- Mp (Oxy) có VTPT:
( )
n i,j k 0;0;1
= = =
r r r r
.
- Mp (Oxz) có VTPT:
( )
n i,k j 0;1;0
= = =
r r r r
.
- Mp (Oyz) có VTPT:
( )
n j,k i 1;0;0
= = =
r r r r
Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i 1;0;0
→
= =
uur r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n i 1;0;0= =
uur r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0
⇔1 − + − + − =
⇔
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ
i
r
làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j 0;1;0
→
= =
uur r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n j 0;1;0= =
uur r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0
⇔ 0 − + − + − =
⇔
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ
j
r
làm vectơ pháp tuyến.
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n k 0;0;1
→
= =
uur r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n k 0;0;1= =
uur r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z =0
⇔ 0 − + − + − =
⇔ − 3
.
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ
k
r
làm vectơ pháp tuyến.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C
0 0 0
HD
P
Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z )
VTPT n AB,AC
→
=
uur uuur uuur
3
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB,AC
=
uur uuur uuur
Với
( )
( )
AB 1;1;0
AC 1;0;1
= −
= −
uuur
uuur
( )
P
n AB,AC 1;1;1
⇒ = =
uur uuur uuur
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 1 y 0 1 z 0 0
x 1 y z 0 x y z 1 0
⇔1 − + − + − =
⇔ − + + = ⇔ + + − =
Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN).
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON
→ =
uur uuuur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n OM,ON
=
uur uuuur uuur
Với
( )
( )
OM 1;1;1
ON 1; 1;1
=
= −
uuuur
uuur
( )
P
n OM,ON 2;0; 2
⇒ = = −
uur uuuur uuur
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 0 0 y 0 2 z 0 0
x 2z 0
⇔ 2 − + − − − =
⇔ 2 − =
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
và song song
với mp(Q)
0 0 0
HD
P Q
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
VTPT n n
→
=
uur uur
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với
mp(Q): 2x+2y+z=0.
Bài giải
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A(1;2;3)
VTPT n n
→
=
uur uur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P Q
n n 2;2;1= =
uur uur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 9 0
⇔ 2 − + − + − =
⇔ 2 − + − + − =
⇔ 2 + + − =
Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.
4
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm
M(1;2;3) và song song với mp(ABC)
Bài giải
HD
P ABC
Ñieåm ñi qua M
VTPT n n AB,AC
→
= =
uur uuuur uuur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P ABC
n n AB,AC
= =
uur uuuur uuur uuur
Với
( )
( )
AB 1;1;0
AC 1;0;1
= −
= −
uuur
uuur
( )
P
n AB,AC 1;1;1
⇒ = =
uur uuur uuur
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 1 y 2 1 z 3 0
x 1 y 2 z 3 0
x y z 6 0
⇔1 − + − + − =
⇔ − + − + − =
⇔ + + − =
Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i,j k 0;0;1
→
= = =
uur r r r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n i,j k 0;0;1
= = =
uur r r r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z-3=0
⇔ 0 − + − + − =
⇔
Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i,k j 0;1;0
→
= = =
uur r r r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n i,k j 0;1;0
= = =
uur r r r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0
⇔ 0 − + − + − =
⇔
Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j,k i 1;0;0
→
= = =
uur r r r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
5
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n j,k i 1;0;0
= = =
uur r r r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0
⇔1 − + − + − =
⇔
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và
vuông góc với mp(Q)
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,n
→
=
uur uuur uur
Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp
(Q): 2x-y+3z-1=0
Bài giải
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,n
→
=
uur uuur uur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:
( )
( )
Q
AB 1; 2;5
n 2; 1;3
= − −
= −
uuur
uur
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P Q
: n AB,n 1;13;5
= = −
uur uuur uur
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 3 13 y 1 5 z 1 0
x-13y-5z+5=0
⇔ −1 − + − + + =
⇔
Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,k
→
=
uur uuur r
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:
( )
( )
AB 1; 2;5
k 0;0;1
= − −
=
uuur
r
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB,k
=
uur uuur r
=(-2;1;0)
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 3 1 y 1 0 z 1 0
x+y+5=0
⇔ −2 − + − + + =
⇔ −2
Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua O
VTPT n OA,i
→
=
uur uuur r
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
6
- Hai vect khụng cựng phng cú giỏ song song hoc nm trờn (P) l:
( )
( )
OA 1;1;1
i 1;0;0
=
=
uuur
r
- Mt phng (P) cú vect phỏp tuyn l
P
n OA,i
=
uur uuur r
=(0;1;-1)
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0 + + =
( ) ( ) ( )
x 0 1 y 0 1 z 0 0
y-z=0
0 + =
Vn 2: Phng trỡnh ng thng.
2. Cỏc dng toỏn.
Dng 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A, B.
HD
AB
ẹieồm ủi qua A
VTCP a AB
=
uuur uuur
Cn nh: ng thng AB cú vect ch phng l vect
AB
uuur
.
Bi 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A(1;2;3), B(2;1;4).
Bi gii
HD
AB
ẹieồm ủi qua A
VTCP a AB
=
uuur uuur
- ng thng AB qua im A(1;2;3).
- ng thng AB cú vect ch phng l:
AB
a AB=
uuur uuur
=(1;-1;1).
- Pt tham s ca AB l:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 t
z 3 t
z z ct
= +
= +
= + =
= +
= +
.
Bi 2: Cho ba im A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gi G l trng tõm tam giỏc ABC.
Vit phng trỡnh ng thng OG.
Bi gii
HD
OG
ẹieồm ủi qua O
VTCP a OG
=
uuur uuur
7
1. Kin thc cn nh:
- Vect ch phng ca ng thng l vect cú giỏ song song vi t hoc trựng vi t.
- ng thng d qua im
0 0 0
M(x ;y ;z )
cú vect ch phng
( )
d
a a;b;c=
uur
:
Cú pt tham s:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
.
Cú phng trỡnh chớnh tc:
0 0 0
x x y y z z
, a.b.c 0
a b c
= =
Cn nh: vit pt ng thng ta tỡm:
( )
0 0 0
d
moọt ủieồm M(x ;y ;z ) thuoọc ủửụứng thaỳng
moọt VTCP a a;b;c
=
uur
- Ta có G(2;3;4)
- Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0).
- Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là:
OG
a OG=
uuur uuur
=(2;3;4).
- Pt tham số của OG là:
0
0
0
x x at
x 0 2t
y y bt y 0 3t
z 0 4t
z z ct
= +
= +
= + ⇔ = +
= +
= +
.
Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là
OG
uuur
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P).
HD
d P
Ñieåm ñi qua M
VTCPa n
→
=
uur uur
Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.
Bài giải
HD
d P
Ñieåm ñi qua M
VTCP a n
→
=
uur uur
- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d P
a n=
uur uur
=(1;-2;-1).
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 2t
z 3 t
z z ct
= +
= +
= + ⇔ = −
= −
= +
.
Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp làm VTCP.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ
và vuông góc mp(ABC).
Bài giải
HD
d ABC
Ñieåm ñi qua O
VTCP a n AB,AC
→
= =
uur uuuur uuur uuur
- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d ABC
a n AB,AC
= =
uur uuuur uuur uuur
=(1;1;1).
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x t
y y bt y t
z t
z z ct
= +
=
= + ⇔ =
=
= +
.
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).
Bài giải
HD
d
Ñieåm ñi qua M
VTCP a i, j k
→
= =
uur r r r
- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d
a k=
uur r
=(0;0;1).
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1
y y bt y 2
z 3 t
z z ct
= +
=
= + ⇔ =
= +
= +
.
8
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz).
Bài giải
( )
HD
d
Ñieåm ñi qua M
VTCP a i,k j 0;1;0
→
= = =
uur r r r
- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d
a j=
uur r
=(0;1;0).
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1
y y bt y 2 t
z 3
z z ct
= +
=
= + ⇔ = +
=
= +
.
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz).
Bài giải
( )
HD
d
Ñieåm ñi qua M
VTPCP a j,k i 1;0;0
→
= = =
uur r r r
- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d
a i=
uur r
=(1;0;0).
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2
z 3
z z ct
= +
= +
= + ⇔ =
=
= +
.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’.
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường
thẳng d’:
x 1 t
y 2 3t
z 3 4t
= +
= −
= +
Bài giải
HD
d d'
Ñieåm ñi qua M
VTCP a a
→
=
uur uur
- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d d'
a a=
uur uur
=(1;-3;4).
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 3t
z 3 4t
z z ct
= +
= +
= + ⇔ = −
= +
= +
.
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường
thẳng d’:
x 12 y 23 z
1 3 4
− +
= =
−
Bài giải
HD
d d'
Ñieåm ñi qua M
VTCP a a
→
=
uur uur
- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d d'
a a=
uur uur
=(1;-3;4).
9
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 3t
z 3 4t
z z ct
= +
= +
= + ⇔ = −
= +
= +
.
Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1). Viết phương trình đường thẳng d
qua điểm A và song song với đường thẳng BC.
Bài giải
HD
d
Ñieåm ñi qua A
VTCP a BC
→
=
uur uuur
- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d
a BC=
uur uuur
=(1;-3;4).
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 3t
z 3 4t
z z ct
= +
= +
= + ⇔ = −
= +
= +
.
Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox.
Bài giải
HD
d
Ñieåm ñi qua A
VTCP a i
→
=
uur r
- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d
a i=
uur r
=(1;0;0).
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2
z 3
z z ct
= +
= +
= + ⇔ =
=
= +
.
Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy.
Bài giải
HD
d
Ñieåm ñi qua A
VTCP a j
→
=
uur r
- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
d
a j 0;1;0= =
uur r
.
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1
y y bt y 2 t
z 3
z z ct
= +
=
= + ⇔ = +
=
= +
.
Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz.
Bài giải
HD
d
Ñieåm ñi qua A
VTCP a k
→
=
uur r
- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là
( )
d
a k 0;0;1= =
uur r
x 1
Pt : y 2
z 3 t
=
⇒ =
= +
10
Phương trình các trục tọa độ
Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là
( )
i 1;0;0=
r
có pt tham số là:
x t
y 0
z 0
=
=
=
.
Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là
( )
j 0;1;0=
r
có pt tham số là:
x 0
y t
z 0
=
=
=
.
Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là
( )
k 0;0;1=
r
có pt tham số là:
x 0
y 0
z t
=
=
=
.
Phương trình các mặt phẳng tọa độ.
Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT:
( )
n i,j k 0;0;1
= = =
r r r r
có pt: z=0.
Bài 2: Mp (Oxz) qua O(0;0;0) có VTPT:
( )
n i,k j 0;1;0
= = =
r r r r
có pt: y=0.
Bài 3: Mp (Oyz) qua O(0;0;0) có VTPT:
( )
n j,k i 1;0;0
= = =
r r r r
có pt: x=0.
Kiến thức không được quên:
• Pt mp(Oxy) là: z=0
• Pt mp(Oxz) là: y=0
• Pt mp(Oyz) là: x=0
Vấn đề 2: Các dạng toán khác.
Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d:
x 1 t
y 1 t
z 2t
= − +
= − +
= −
và mp(P):x+y-2z-4=0.
Bài giải.
- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
- Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0
t+4-4=0
-2+2t=0 2t=2 t=1
x=-1+1=0
y=-1+1=0 H(0;0; 2)
z=-2.1=-2
⇔ −2 + 2
⇔ ⇔ ⇔
⇒ ⇒ −
Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số.
Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d:
x 1 y 1 z
1 1 2
+ +
= =
−
và mp(P):x+y-2z-4=0.
Bài giải.
• Viết phương trình tham số của đường thẳng d.
- Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0).
11
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
( )
d
a 1;1; 2= −
uur
.
- Phương trình tham số của d là:
x 1 t
y 1 t
z 2t
= − +
= − +
= −
• Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(P).
- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
- Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0
t+4-4=0
-2+2t=0
2t=2
t=1
x=-1+1=0
y=-1+1=0 H(0;0; 2)
z=-2.1=-2
⇔ −2 + 2
⇔
⇔
⇔
⇒ ⇒ −
Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước.
Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của
đường thẳng AB và mp(P).
Bài giải
• Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
- Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1).
- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là:
AB
a AB=
uuur uuur
=(1;-3;2).
- Pt tham số của AB là:
0
0
0
x x at
x 0 t
y y bt y 2 3t
z 1 2t
z z ct
= +
= +
= + ⇔ = −
= +
= +
.
• Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P).
- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
- Xét pt: 2t+2-3t+3(1+2t)=0
( )
( )
t+2-3t+3+6t=0
5t+5=0
5t=-5 t=-1
x=-1
y=2-3 -1 5 H( 1;5; 1)
z 1 2 1 1
⇔ 2
⇔
⇔ ⇔
⇒ = ⇒ − −
= + − = −
Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0). B(0;1;0), C(0;0;1). Xác định hình chiếu vuông góc của A lên
BC.
Hướng dẫn:
- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC.
- Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC.
- Bước 3: Tìm giao điểm H của BC và (P), H chính là hình chiếu của A lên BC.
12
Dng 2: Chng minh hai ng thng vuụng gúc vi nhau:
Cn nh: Hai ng thng d v d vuụng gúc vi nhau
d d'
a .a 0 =
uur uur
Bi 1: Chng minh hai ng thng d:
x t
y 2 3t
z 1 2t
=
=
= +
v d:
x 2t
y 2 2t
z 1 2t
=
= +
= +
vuụng gúc vi nhau
Bi gii
- ng thng d cú vect ch phng:
( )
a 1; 3;2=
r
.
- ng thng d cú vect ch phng:
( )
a' 2;2;2=
ur
.
- Ta cú:
a.a' 1.2 3.2 2.2 0= + =
r ur
- Vy: ng thng d v ng thng d vuụng gúc vi nhau.
Cn nh: CM hai t vuụng gúc vi nhau ta i chng minh tớch vụ hng ca hai
VTCP bng 0.
Bi 2: Cho im A(1;-3;2). Chng minh hai t OA v d:
x 2t
y 2 2t
z 1 2t
=
= +
= +
vuụng gúc vi nhau
Bi gii
- ng thng OA cú vect ch phng:
( )
OA 1; 3;2=
uuur
.
- ng thng d cú vect ch phng:
( )
a 2;2;2=
r
.
- Ta cú:
OA.a 1.2 3.2 2.2 0= + =
uuur r
- Vy: ng thng OA v ng thng d vuụng gúc vi nhau.
Bi 3: Chng minh ng thng d:
x 2
y 2 8t
z 1 9t
=
= +
=
vuụng gúc vi trc Ox
Bi gii
- ng thng d cú vect ch phng:
( )
a 0;8;10=
r
.
- Trc Ox cú vect ch phng:
( )
i 1;0;0=
r
.
- Ta cú:
a.i 0.1 8.0 10.0 0= + + =
r r
- Vy: ng thng d vuụng gúc vi trc Ox.
Dng 3: Chng minh hai ng thng song song vi nhau.
Cn nh: Hai t song song khụng cú im chung:
Ta chửựng minh
hai VTCP cuứng phửụng
1 ủieồm ủt naứy khoõng ủt kia
Bi 1: Chng minh hai ng thng d:
x t
y 2 t
z 1 t
=
= +
= +
v d:
x 2t
y 2 2t
z 3 2t
=
= +
= +
song song vi nhau.
Bi gii
- ng thng d qua im A(0;2;1).
13
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương:
( )
a 1;1;1=
r
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương:
( )
a' 2;2;2=
ur
.
+ Ta chứng minh hai VTCP cùng phương:
Cách 1:
a và a' cùng phương do
r ur
1 1 1
2 2 2
= =
.
( )
Cách 2: Do a' =2 a nên a và a' cùng phương.
Cách 3: Do a,a' 0;0;0 0 nên a và a' cùng phương.
= =
ur r r ur
r ur r r ur
+ Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng khơng thuộc d’.
Thế tọa độ điểm A vào pt của d’:
0 2t t 0
2 2 2t t 2
1 5 2t t 3
= =
= − + ⇔ =
= − + =
suy ra A khơng thuộc d’.
Vậy: d và d’ song song với nhau.
Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’
ba t bằng nhau A d'
ba t không bằng nhau A d'
⇒ ∈
⇒ ∉
.
Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng
phương và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng khơng thuộc đường thẳng kia.
Đề thi Tốt nghiệp năm 2008.
Cho điểm M(-2;1;-2) và đt d:
x 1 y 1 z
2 1 2
− +
= =
−
. CMR đường thẳng OM song song đt d.
Bài giải
- Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0)
- Đường thẳng OM có vectơ chỉ phương:
( )
OM 2;1; 2= − −
uuuur
.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương:
( )
a' 2; 1;2= −
ur
.
Ta có:
OM và a cùng phương do
uuuur r
2 1 2
1
2 1 2
− −
= = = −
−
Thế tọa độ điểm O vào pt của d ta có:
0 1 0 1 0
2 1 2
− +
= =
−
. Suy ra điểm O thuộc đường
thẳng OM nhưng khơng thuộc đt d.
Vậy: Đt OM song song đường thẳng d.
Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d
ba phân số bằng nhau d
ba phân số không bằng nhau d
⇒ Ο∈
⇒ Ο∉
.
Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mp:
Ta chứng minh
a.n 0=
r r
và một điểm thuộc đt nhưng khơng thuộc mp.
Bài 1: Chứng minh đường thẳng d:
x 1 2t
y 2 3t
z 3 6t
= −
= +
= −
song song mp(P): 3x+4y+z-9=0.
Bài giải
14
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương:
( )
a 2;3; 6= − −
r
.
- MP(P) có vectơ pháp tuyến:
( )
n 3;4;1=
r
.
- Ta có:
a.n 2.3 3.4 6.1 0= − + − =
r r
.
- Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P).
- Vậy: ĐT d vuông góc mp(P).
Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng của VTCP và
VTPT bằng 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp
Bài 2: Chứng minh đường thẳng d:
x 1 2t
y 9
z 10 6t
= −
=
= −
song song mp(Oyz).
Bài giải
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương:
( )
a 2;0; 6= − −
r
.
- MP(Oyz) có vectơ pháp tuyến:
( )
j 0;1;0=
r
.
- Ta có:
a.j 2.0 0.1 6.0 0= − + − =
r r
- Mặt khác điểm A(1;9;10) thuộc d nhưng không thuộc (Oyz).
- Vậy: ĐT d song song mp(Oyz).
Chú ý: Ta không cần viết pt mp(Oyz) mà ta chỉ cần VTPT của mp(Oyz).
Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(2; 1;3) và mp(P): 2x+2y-3z-9=0. Chứng minh đường
thẳng AB song song mp(P).
Bài giải
- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương:
( )
a 1; 1;0= −
r
.
- MP(P) có vectơ pháp tuyến:
( )
n 2;2; 3= −
r
.
- Ta có:
a.n 1.2 1.2 0.( 3) 0= − + − =
r r
- Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P).
- Vậy: ĐT AB song song mp(P).
Dạng 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp:
→
Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với nhau.
Bài 1: CM đt d:
x 1 t
y 2 2t
z 4 3t
= +
= +
= +
vuông góc mp(P): 2x+4y+6z+8=0.
Bài giải
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương:
( )
a 1;2;3=
r
.
- MP(P) có vectơ pháp tuyến:
( )
n 2;4;6=
r
.
- Ta có:
( )
1
a. n hoaëc n 2a
2
= =
r r r r
nên
a, n
r r
cùng phương với nhau.
- Vậy: ĐT d vuông góc mp(P).
Vấn đề 4: Các bài toán về tam giác.
15
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
Ta chứng minh:
AB,AC
uuur uuur
không cùng phương.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh ba điểm A, B, C là ba
đỉnh một tam giác.
Bài giải
- Ta có:
( )
( )
AB 1;1;0
AC 1;0;1
= −
= −
uuur
uuur
- Nhận xét:
( )
AB,AC 1;1;1 0
= ≠
uuur uuur r
nên
AB,AC
uuur uuur
không cùng phương nên A, B, C là ba
đỉnh một tam giác.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Ta chứng minh:
AB,AC
uuur uuur
cùng phương.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng
hàng.
Bài giải
- Ta có:
( )
( )
AB 1;1;1
AC 8;8;8
=
=
uuur
uuur
- Nhận xét:
( )
AB,AC 0;0;0 0
= =
uuur uuur r
nên
AB,AC
uuur uuur
cùng phương nên A, B, C thẳng hàng.
Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Bài 1: Chứng minh tam giác ABC vuông tại A với A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0).
Bài giải
- Ta có:
( )
( )
AB 0; 3;4
AC 12;0;0
= −
=
uuur
uuur
- Do
AB.AC 0.12 3.0 4.0 0 AB AC AB AC= − + = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
uuur uuur uuur uuur
nên
∆
ABC vuông tại A.
Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân.
Bài 1: Chứng minh tam giác ABC cân tại A với A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;2;1).
Bài giải
- Ta có:
( )
( )
AB 2;0; 1 AB 3
AC 2;1;0 AC 3
= − − ⇒ =
= ⇒ =
uuur uuur
uuur uuur
- Do
AB AC 3= =
uuur uuur
nên
∆
ABC cân tại A.
Cần nhớ:
• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông vuông góc với nhau.
• Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau.
• Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.
Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
16
Bài 1: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
- Ta có:
( )
( )
( )
AB 1;1;0 AB 2
AC 1;0;1 AC 2
BC 0; 1;1 BC 2
= − ⇒ =
= − ⇒ =
= − ⇒ =
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
- Do
AB AC AC 2= = =
uuur uuur uuur
nên
∆
ABC là tam giác đều.
Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp.
Bài 1: Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0.
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P).
2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).
Bài giải
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P).
- Gọi d là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với (P).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
d P
a n 1;2; 2= = −
uur uur
.
- Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 2 t
y y bt y 1 2t
z 2t
z z ct
= +
= − +
= + ⇔ = +
= −
= +
.
• Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
- Xét pt: -2+t+2(1+2t)-2.(-2t)-9=0
2 t 2 4t 4t 9 0
9t 9 0
9t 9
t 1
x
y=3 H( 1;3; 2)
z=-2
⇔ − + + + + − =
⇔ − =
⇔ =
⇔ =
= −1
⇒ ⇒ − −
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên (P) là H(-1;3;-2).
2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).
- Do A và A’ đối xứng nhau qua (P) nên H là trung điểm của AA’.
- Áp dụng công thức:
( )
/
/
/
/
/
/
2
2 2 2 0
2 6 1 5 A'= 0;5;-4
2
2 4 0 4
2
+
=
= − = − + =
+
⇔ = ⇒ = − = − = ⇒
= − = − − = −
+
=
A
A
H
H A
A
A
A
H H A
A
H A
A
A
A
H
x x
x
x x x
y y
y y y y
z z z
z z
z
Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(0;5;-4).
Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt.
17
A
H
)P
d
A
/
Bài 1: Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d:
x 1 2t
y 1 t
z t
= +
= − +
= −
.
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.
2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.
Bài giải
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.
- Gọi (P) là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với d.
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P d
n a 2;1; 1= = −
uur uur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
( ) ( ) ( )
x 1 1 y 1 1 z 8 0 x+y-z+5=0⇔ 2 − + − − − = ⇔ 2
• Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên d.
- Xét pt: 2(1+2t)+-1+t+t+5=0=0
t+2t+4=0
x=-1
6t=-6 t=-1 y=-2 H( 1; 2;1)
z=1
⇔ 2 + 4
⇔ ⇔ ⇒ ⇒ − −
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên d là H(-1;-2;1).
2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.
- Do A và A’ đối xứng nhau qua d nên H là trung điểm của AA’.
- Áp dụng công thức:
( )
/
/
/
/
/
/
2
2 2 1 3
2 4 2 5 A'= -3;-5;-6
2
2 2 8 6
2
+
=
= − = − − = −
+
⇔ = ⇒ = − = − − = − ⇒
= − = − = −
+
=
A
A
H
H A
A
A
A
H H A
A
H A
A
A
A
H
x x
x
x x x
y y
y y y y
z z z
z z
z
Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(-3;-5;-6).
Vấn đề 7: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn điểm không đồng phẳng là bốn
đỉnh của một tứ diện).
→
Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
⇔
AB,AC .AD 0
≠
uuur uuur uuur
.
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3).
1. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Giải
- Tính
( ) ( ) ( )
AB 3; 4;3 , AC 4; 1; 1 , AD 0; 3;3= − = − − = −
uuur uuur uuur
.
- Tính
( )
AB,AC 7;15;13 , AB,AC .AD 45 39 6
= = − + = − ≠ 0
uuur uuur uuur uuur uuur
.
- Vậy: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Cần nhớ: Để chứng minh A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh
AB,AC .AD 0
=
uuur uuur uuur
2. Tính thể tích tứ diện ABCD.
18
A
A
/
•
H
P)
(d)
.
Giải
- Tính
( ) ( ) ( )
AB 3; 4;3 , AC 4; 1; 1 , AD 0; 3;3= − = − − = −
uuur uuur uuur
- Tính
( )
AB,AC 7;15;13 , AB,AC .AD 45 39 6
= = − + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
.
- Thể tích tứ diện ABCD:
ABCD
1 1
V AB,AC .AD 6 1
6 6
= = − =
uuur uuur uuur
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh rằng OABC là một tứ
diện, tính thể tích tứ diện OABC.
Giải
• Chứng minh OABC là một tứ diện.
- Tính
( ) ( ) ( )
OA 1;0;0 , OB 0;1;0 , OC 0;0;1= = =
uuur uuur uuur
- Tính
( )
OA,OB 0;0;1 , OA,OB .OC 0.0 0.0 1.1 1 0
= = + + = ≠
uuur uuur uuur uuur uuur
.
- Vậy: OABC là một tứ diện.
• Thể tích tứ diện ABCD:
ABCD
1 1 1
V OA,OB .OC 1
6 6 6
= = =
uuur uuur uuur
Vấn đề 8: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau
a,a' .AB 0
⇔ ≠
r ur uuur
.
Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:
x 2 t
y 3 t
z 4
= −
= +
=
và d’:
x 7 t
y 8
z 9 t
= −
=
= +
chéo nhau.
Giải
- Đường thẳng d qua điểm A(2;3;4) có vectơ chỉ phương là
( )
a 1;1;0= −
r
.
- Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ chỉ phương là
( )
a' 1;0;1= −
ur
.
- Tính
( ) ( )
a,a' 1;1;1 , AB 5;5;5
= =
r ur uuur
.
- Tính
a,a' .AB 1.5 1.5 1.5 15 0
= + + = ≠
r ur uuur
.
- Vậy: d và d’ chéo nhau.
Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:
x 1 y 2 z
2 2 1
− −
= =
−
và d’:
x y 5 z 4
2 3 1
+ −
= =
− −
chéo nhau.
Giải
- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ chỉ phương là
( )
a 2; 2;1= −
r
.
- Đường thẳng d qua điểm B(0;-5;4) có vectơ chỉ phương là
( )
a' 2;3; 1= − −
ur
.
- Tính
( ) ( )
a,a' 1;0;2 , AB 1; 7;4
= − = − −
r ur uuur
.
- Tính
( ) ( ) ( )
a,a' .AB 1 1 0. 7 2.4 9 0
= − − + − + = ≠
r ur uuur
.
- Vậy: d và d’ chéo nhau.
Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CM
a,a' .AB 0
=
r ur uuur
.
Vấn đề 9: Tìm giao điểm của hai đường thẳng.
19
Bài 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d:
x 1 t x=2-2t'
y 2 3t, d': y=-2+t'
z 3 t z=1+3t'
= +
= +
= −
Giải
- Gọi H là giao điểm của d và d’.
- Xét hệ phương trình:
1 t 2 2t' (1)
2 3t 2 t' (2)
3 t 1 3t' (3)
+ = −
+ = − +
− = +
- Giải hệ pt gồm pt (1) và (2):
1 t 2 2t' t 2t' 1 t 1
2 3t 2 t' 3t t' 4 t' 1
+ = − + = = −
⇔ ⇔
+ = − + − = − =
- Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-(-1)=1+3.t (thỏa).
- Thế t=-1 vào pt d:
x 1 1 0
y 2 3( 1) 1 H(0; 1;4)
z 3 ( 1) 4
= − =
= + − = − ⇒ −
= − − =
Cần nhớ:
• Nếu thế t=-1 và t’=1 vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’.
• Ta có thể thế t’=1 vào pt của d’ để tìm tọa độ điểm H.
Bài 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d:
x 1 t x=2-2t'
y 2 3t, d': y=-2+t'
z 3 t z=9+3t'
= +
= +
= +
Giải
- Gọi H là giao điểm của d và d’.
- Xét hệ phương trình:
1 t 2 2t' (1)
2 3t 2 t' (2)
3 t 9 3t' (3)
+ = −
+ = − +
+ = +
- Giải hệ pt gồm pt (1) và (2):
1 t 2 2t' t 2t' 1 t 1
2 3t 2 t' 3t t' 4 t' 1
+ = − + = = −
⇔ ⇔
+ = − + − = − =
- Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-1=9+3.t (vô lí).
- Vậy: d và d’ không cắt nhau.
Cần nhớ:
• Hệ phương trình:
1 t 2 2t' (1)
2 3t 2 t' (2)
3 t 9 3t' (3)
+ = −
+ = − +
+ = +
có hai ẩn là t và t’. Nghiệm của hệ pt là cặp giá
trị t, t’ thỏa cả ba pt (1), (2), (3).
• Để tìm t, t’ ta có thể giải hệ gồm pt (1) và (2) hoặc (1) và (3) hoặc (2) và (3). Rồi thế t
và t’ vào pt còn lại.
Hết
20
