Phát triển phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (Development of isogeometric finite element methods) NCS. Thái Hoàng Chiến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (651.39 KB, 28 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
THÁI HOÀNG CHIẾN
PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ĐẲNG HÌNH HỌC
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số chuyên ngành: 62 44 21 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
TP. Hồ Chí Minh – 2015
Công trình được hoàn thành tại:
Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên
Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. NGUYỄN XUÂN HÙNG
2. GS.TS. TIMON RABCZUK
Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Hoài Sơn
Phản biện 2: PGS.TS. Trương Tích Thiện
Phản biện 3: TS. Nguyễn Văn Hiếu
Phản biện độc lập 1: TS. Nguyễn Trọng Phước
Phản biện độc lập 2: TS. Vũ Duy Thắng
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án họp tại
Vào lúc giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Khoa học Tổng hợp TP.HCM
2. Thư viện Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM
1
TÓM TẮT
- Phươngphápgiảitíchđẳnghìnhhọc(ĐHH)làmộtphươngphápmớicho
phântíchtínhtoánkỹthuật.MụctiêuchínhcủagiảitíchĐHHlàhợpnhất
giữamôhìnhhìnhhọc(thiếtkế)vàxấpxỉnghiệmbàitoán(tínhtoán)thông
quahàmcơsở NURBS (Non-UniformRationalB-Spline).Do việcdùng
chunghàmcơsởNURBSnêndữliệutừmôhìnhthiếtkếđượcsửdụngtrực
tiếpchomôhìnhphântíchmàkhôngcầnphảitrảiquaquátrìnhtạolướinhư
trongphươngphápphầntửhữuhạn(PTHH)thôngthường.
- MụcđíchcủađềtàinàylàpháttriểnhơnnữaphươngphápgiảitíchĐHH
nàychophântíchđànhồivàđàndẻocủakếtcấutấm.Việckếthợpgiữa
phươngphápđẳnghìnhhọcvàcáclýthuyếttấmsẵncóhaycáclýthuyết
tấmmớidotácgiả(vàthầyhướngdẫn)đềxuấtchophântíchcủakếtcấu
tấmđượcthựchiệntrongđềtàinày.
- Cáclýthuyếttấmkhácnhauđãđượcápdụngtrongđềtàinàynhưsau:
1)Lýthuyếttấmcổđiển.
2)Lýthuyếttấmbiếndạngcắtbậcnhất.
3)Lýthuyếtbiếndạngcắttừnglớp(layerwise).
4)Lýthuyếtbiếndạngcắtbậccao(dùnghàmphânbốquabềdàytấm
cósẵnvàcáchàmphânbốmới).
-KếtquảsốđạtđượctừphươngphápgiảitíchĐHHsửdụngcáclýthuyết
tấmtrênđượcsosánhsovớinhữngphươngphápvàlýthuyếttấmkhácđã
đượccôngbố.
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
- Ngày nay, các phần mềm phần tử hữu hạn thương mại như ANSYS,
ABAQUS,LS-DYNA,NASTRAN,vv đượcsửdụngrộngrãitrongviệc
tínhtoánvàmôphỏngcácbàitoánkỹthuật.Trongđó,phươngphápphầntử
hữuhạnđãđượcbiếtđếnnhưlàmộtphươngphápphổbiếnnhấtđểgiảicác
bàitoánkỹthuật.Tuynhiên,phươngphápPTHHvẫncòncónhữnghạnchế
nhấtđịnhliênquanđếnkỹthuậtphầntử(phầntửbậccao),kỹthuậttạolưới
(hìnhhọcphứctạp)vàchiphítạolướiv.v…Dođó,việcđềxuấtnhững
phươngpháptínhmớiđểđápứngnhữngyêucầungàycàngcaotrongphân
tíchmôphỏngcácbàitoántrongcôngnghiệphiệnnaylàcầnthiết.
- Gầnđây,Hughesvàcộngsựđãđềxuấtphươngphápgiảitíchđẳnghình
học(hayphươngphápphầntửhữuhạnđẳnghìnhhọc).Ýtưởngthúvịcủa
phươngphápsốhiệnđạinàylàhợpnhấtgiữamôhìnhhìnhhọcvàxấpxỉ
nghiệmbàitoánthôngquahàmcơsởNURBS.Giảitíchđẳnghìnhhọckhông
đòihỏibấtkỳchươngtrìnhtạolướinhưtrongphươngphápphầntửhữuhạn
truyềnthống.Giảitíchđẳnghìnhhọcchophép:1)duytrìhìnhhọcchínhxác
2
tạicấplướithônhất;2)quátrìnhlàmmịnlướichỉdựatrênlướithôbanđầu
màkhôngcầntruyxuấtlạimôhình“computer-aiderdesign”(CAD)banđầu;
3)tănghoặcgiảmbậchàmcơsởcủanghiệmxấpxỉđượcthựchiệnrấtđơn
giản;4)tốcđộhộitụcủanghiệmxấpxỉtươngứngvớibậccủahàmcơsở;
5)đảmbảotínhliêntụccaocủacácđạohàmđếnbậcC
p
-1
(p–bậccủahàm
xấpxỉ).
- Trongnhữngthậpkỹgầnđây,việcpháttriểntrongkhoahọckỹthuậtđã
tạorađộnglựcnghiêncứuchocácnhàkhoahọctìmranhữngvậtliệumới
như:vậtliệunhiềulớp(composite)hayvậtliệucótínhchấtcơlýthayđổi
(functionallygradedmaterial).Nhữngvậtliệunàyđangdầnchứngtỏđược
ưuthếvượttrộicũngnhưviệcứngdụngngàycàngnhiềuvậtliệutrêntrong
rấtnhiềungànhkỹthuật.Tấmlàmộtphầnquantrọngtrongnhiềukếtcấu.
Dođóđểsửdụnghiệuquả,mộtsựhiểubiếttốtvềcácứngxửnhư:chuyển
vị,ứngsuất,tầnsốdaođộngtựnhiên,tảiổnđịnhcủakếtcấunàylàcầnthiết.
- Thôngthườngcácbàitoánthựctếlàdùngmôhìnhbachiều(3D)đểtính
toánmôphỏng.Nhưngmôhìnhtínhtoán3Dthườngrấtphứctạpvàtốnrất
nhiềuchiphítínhtoán.Đểgiảmmứcđộphứctạpvàkhókhăntrongmôhình
tínhtoán 3D, người tagiả thuyếtrằngứngsuấttheophươngtrục zbằng
không(
0
z
)vàchuyểntừmôhình3Dvềmôhình2D(haycòngọilàmô
hìnhtấm).Tổngquát,cáclýthuyếttấmthườnghayđượcsửdụngtrongtính
toánnhưsau:
LýthuyếttấmcổđiểnhaycòngọilàlýthuyếttấmKirchhoff.
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất hay còn gọi là lý thuyết tấm
Mindlin.
Lýthuyếtbiếndạngcắtbậccao.
Lýthuyếtbiếndạngcắttừnglớp.
Lýthuyết“zig-zag”.
- Mụcđíchcủađềtàinàylàpháttriểnhơnnữaphươngphápgiảitíchđẳng
hìnhhọcchophântíchtĩnh,tầnsốdaođộng,tảiổnđịnhvàhệsốtảigiớihạn
(phântíchgiớihạn)củakếtcấutấm.Việckếthợpgiữaphươngphápgiải
tíchđẳnghìnhhọcvàcáclýthuyếttấmsẵncóhaycáclýthuyếttấmmớido
tácgiả(vàthầyhướngdẫn)đềxuấtchophântíchcủakếtcấutấmđượcthực
hiệntrongđềtàinày.Trongphươngphápgiảitíchđẳnghìnhhọc,hàmcơsở
NURBSđượcdùngchocảhaimôhìnhthiếtkếhìnhhọccũngnhưphântích
tínhtoán.Dođó,dữliệutừmôhìnhthiếtkếđượcsửdụngtrựctiếpchomô
hình phân tích mà không cần phải trải qua quá trình tạo lưới như trong
phươngphápPTHHthôngthường.Vớilợithếliêntụccủacácđạohàmcủa
hàmcơsởđếnbậcC
p
-1
,phươngphápgiảitíchđẳnghìnhhọcthỏađiềukiện
liêntụcC
1
củacácmôhìnhlýthuyếttấmcổđiểnhaylýthuyếtbiếndạngcắt
bậccaomộtcáchtựnhiên.NhờvàoliêntụcbậccaocủahàmNURBS,giải
3
tíchĐHHchokếtquảchínhxácứngvớicáctầnsốcaotrongbàitoánphân
tíchdaođộnghayphântíchổnđịnh.Kếtquảđạtđượctừcôngviệcnghiên
cứusẽđượcsosánhvớicáckếtquảcôngbốkhác.
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC
2.1. Hàm cơ sở B-spline
- Mộtvectơknot
làmộtdãysốkhônggiảmcácsốthực(gọilàknot),có
tọađộtrongkhônggianthamsố
1 2 1 1
, , , ; , 1, ,
n p i i
i n p
(1)
trongđó,i làchỉsốknot,plàbậccủađathứcB-splinevànlàsốlượngcác
hàmcơsở(hayđiểmđiềukhiển).Nếucácđiểmknotđượcchiađềuthìvectơ
knotgọilàđều(uniform).Nếuknotđầuvàcuốilậplạip+1lầnthìđượcgọi
là open. Hàmcơ sở B-spline thì liên tục C
bên trong một khoảng knot
1
[ )
i i
vàliêntụcC
p
-1
tạigiátrịknotriêngbiệt.Mộtgiátrịcủaknotcó
thểlặplạinhiềulầnvàtạigiátrịknotlậpđóthìchỉliêntụcC
p
-
k
(vớiklàsố
lầnlặplại).
- HàmcơsởB-spline
,
( )
i p
N
củabậcp=0thìđượcđịnhnghĩanhưsau
1
,0
1
1
( )
0
i i
i
i i
N
(2)
- HàmcơsởB-splinecủabậcp>0(p=1,2,3…)đượcđịnhnghĩatheoquy
tắcđệquynhưsau
1
, , 1 1, 1
1 1
i p
i
i p i p i p
i p i i p i
N N N
(3)
- Hình1minhhọahàmcơsởbậc2(quadratic)trong1Dvà2Dtươngứng
vớivectơknot
{0,0,0,1/ 2,1,1,1}
.
Hình1:hàmcơsởB-splinetrong1Dvà2D
2.1.1. MộtvàiđặcđiểmquantrọngcủaHàmcơsởB-spline
4
a. Tổnghàmcơsởbằng1,
,
1
( ) 1
n
i p
i
N
.
b. Mỗi hàm cơ sở thì không âm trên toàn bộ vectơ knot
,
( ) 0,
i p
N
.
c. Độclậptuyếntính
,
1
( ) 0 0, 1,2,
n
i i p k
i
N k n
.
d. Hỗtrợcụcbộ
,
( ) 0
i p
N
trongkhoảng
1
,
i i p
vàbằng0
bênngoài.
e. TổngquátkhôngthỏađăctínhKronecker
,
( )
i p j ij
N
.
2.1.2. Đạohàm
- ĐạohàmbậcnhấtcủahàmB-splinethìviếtdướidạng
, , 1 1, 1
1 1
i p i p i p
i p i i p i
d p p
N N N
d
(4)
- Tổngquát,đạohàmbậccaođượctínhnhưsau
1 1
, , 1 1, 1
1 1
1 1
k k k
i p i p i p
k k k
i p i i p i
d p d p d
N N N
d d d
(5)
2.1.3. ĐườngcongB-spline
- ĐườngcongB-splinebậcpđượcxácđịnhbằngcáchtổhợptuyếntính
củacáchàmcơsởvàcácđiểmđiềukhiểntươngứng
,
1
n
i p i
i
N
C P
(6)
2.1.4. MặtcongB-spline
- Chúngtacóthểxâydựngcácloạiđường,mặtvàkhốivớihàmcơsởB-
spline.HàmcơsởB-splinetronghaichiềuđượcxâydựngbằngcáchtích
tensorcủacáchàmcơsởmộtchiều.Hàmcơsởnàykếthợpvớicácđiểm
điềukhiểnsẽtạonênmặtB-splinevànócóthểviếtdướidạngsau
, , ,
1 1
,
n m
i p j q i j
i j
N M
PS
(7)
2.2. Hàm cơ sở NURBS
- HàmcơsởNURBS(Non-UniformRationalB-Spline)làdạnghữutỉcủa
hàmcơsởB-Spline.Nhờgiatăngthêmtọađộtrọngsố,nênNURBSbiểudiễn
chínhxáccácđườngvàmặtconic.HàmcơsởNURBSđượcđịnhnghĩabởi
, ,
,
,
1
i p i i p i
i p
n
j p i
j
N w N w
R
W
N w
(8)
5
trongđó:
,i p
N
làhàmcơsởB-splinethứi củabậcp,
i
w
làhàmtrọngsốthứi.
- ĐạohàmbậcnhấtcủahàmcơsởNURBSđượcviếtnhưsau
, ,
,
2
i p i p
i p i
N W N W
d
R w
d W
(9)
trongđó,
, , ,
1
;
n
i p i p i p i
i
d
N N W N w
d
- TươngtựgiốngnhưđườngvàmặtB-spline,đườngvàmặtNURBScũng
đượcxậydựngtừviệckếthợptuyếntínhgiữahàmcơsởNURBSvớicác
điểmđiềukhiểnvànóđượcviếtnhưsau
,
1
n
i p i
i
R
C P
và
,
, ,
1 1
, ,
n m
p q
i j i j
i j
n R n
S P
(10)
2.3. Rời rạc đẳng tham số
- Kháiniệmđẳngthamsốnghĩalàsửdụngcùnghàmcơsở(hayhàmdạng)
chocảhìnhhọcvànghiệmxấpxỉcủabàitoán.Kháiniệmđẳngthamsốnày
cũngđượcsửdụngchocảphươngphápPTHHvàgiảitíchĐHH.Tuynhiên
sựkhácbiệtgiữaPTHHvàgiảitíchĐHHnằmởmụcđíchsửdụnghàmcơ
sở,nóđượcthểhiệnnhưsau:
PhươngphápPTHH:hàmcơsởđượcchọnđểxấpxỉnghiệmcủabài
toánthìcũngđượcchọnđểxấpxỉhìnhhọc.
GiảitíchĐHH:hàmcơsởdùngđểbiểudiễnhìnhhọcthìcũngđược
chọnđểxấpxỉnghiệmcủabàitoán.
- Vídụtrongkhônggianhaichiều(2D),cảhìnhhọc(tọađộvậtlý)và
trườngchuyểnvịđượcxấpxỉnhưsau
, ,
m n
I I
I
Rx P
và
, ,
m n
h
I I
I
Ru u
(11)
trongđó,
,
I
R
làhàmcơsởNURBS,
I
P
làđiểmđiềukhiểnvà
I
u
vectơ
chuyểnvịtươngứngvớiđiểmđiềukhiểnthứI.
2.4. Đạo hàm trong tọa độ toàn cục (vật lý)
- Đạohàmbậcnhấttrongtọađộtoàncục
, ,
1
, , , , , ,
, ,
J
x y
I x I y I I I I
x y
R R R R R R
với
, ,
, ,
J
x x
y y
- Đạohàmbậchaitrongtọađộtoàncục
, , , , , ,
, , , ,
1
, , 2 2 , , , ,
, , , ,
, , , , , , , , , ,
2
2;
T T
T
I xx I
I x
I y y I
I y
I xy I
R R x y x y
R x x x
R R x y x y
R y y y
R R x x y y x y x y
J J
6
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC CỦA TẤM NHIỀU
LỚP DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT
1
3.1. Giới thiệu
- ChươngnàytrìnhbàygiảitíchĐHHchophântíchtĩnh,độngvàổnđịnh
củatấmnhiềulớpsửdụnglýthuyếtbiếndạngcắtbậcnhất(FSDT)haycòn
gọilàlýthuyếtMindlin.PhầntửNURBSbậchai(quadratic),ba(cubic)và
bốn(quartic)đượcchọnđểkhảosát.KhiápdụnglýthuyếtFSDTchophân
tíchkếtcấutấmthườngxảyrahiệntượng“shearlocking”vàkết quảsố
khôngphùhợpvớithựctếkhitấmtrởnênrấtmỏng.Tươngtựphầntửdùng
nộisuy“Lagrange”,côngthứcđẳnghìnhhọcdùngNURBSvẫnbị“shear
locking”khitấmrấtmỏng,dohiệuứngcắtvẫncòntrongcôngthức.Đểkhắc
phụcđiềunày,mộtcôngthứcổnđịnhchosốhạngcắtđãđượcđềxuất,bằng
cáchápdụngkỹthuậtổnđịnhvàotrongsốhạngcắt.Côngthứcnàyrấtđơn
giảnnhưngrấthiệuquảchophântíchkếtcấutấm.Đâychínhlàđiểmmới
củachươngnày.
3.2. Công thức đẳng hình học cho tấm Mindlin-Reissner nhiều lớp
3.2.1. Chuyểnvị,biếndạngvàứngsuấtcủatấm
Hình2:HìnhhọccủatấmMindlin
- Xem
2
làmặtphẳngtrunghòacủatấm,
0 0 0
, ,u v w
và
,
x y
lần
lượtlàthànhphầnchuyểnvịtheohướngx, y, zvàgócxoayquanhmặtphẳng
y-z và x-z(
Hình
2
)
.TrườngchuyểnvịdùnglýthuyếtFSDTđượcđịnhnghĩa
nhưsau:
0
0
0
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , ,
x
y
u x y z t u x y t z x y t
v x y z t v x y t z x y t
w x y z t w x y t
(12)
- Biếndạngtrongmặtphẳngcủatấmđượcviếtdướidạngsau:
1
ChienH.Thai,H.Nguyen-Xuan,N.Nguyen-Thanh,T.H.Le,T.Nguyen-Thoi,T.Rabczuk.Static,freevibrationand
buckling analyses of laminated composite Reissner-Mindlin plates using NURBS-based isogeometric approach,
International Journal for Numerical Methods in Engineering,91(6):571-603,2012.
7
0
0
zκ
ε
ε
γ
(13)
trongđó
0
, ,ε κ γ
lầnlượtđượcđịnhnghĩalàbiếndạngmàng,biếndạnguốn,
vàbiếndạngtrượtcủatấm.Nóđượcviếtlạidướidạngsau:
0
0
0
0
0
0 0
; ;
x
xx xx
y
y
yz
yy yy
xz
xy xy x
y
x
u
wx
x
v
y
y y
w
u v
x
y x
y x
ε κ γ
(14)
- Phươngtrìnhliênhệgiữaứngsuấtvàbiếndạngcủavậtliệutrựchướng
tronghệtrụctọađộvậtliệuđượcviếtnhưsau
( )
1 1
11 12 16
2 2
12 22 26
61 62 66
12 12
55 54
13 13
45 44
23 23
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
k k
k
k k
k k
k k
k k
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
Q Q
Q Q
(15)
- Cáchệsốtrongmatrận
ij
Q
củalớpthứ(k)trongkếtcấutấmcomposite
lớpđượcđịnhnghĩanhưsau:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 12 2 2
11 12 22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 21 12 21 12 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
66 12 55 13 44 23
, ,
1 1 1
, ,
k k k k
k k k
k k k k k k
k k k k k k
E E E
Q Q Q
Q G Q G Q G
(16)
- Vì vật liệu composite được tạo thành từ nhiều lớp liên tiếp, trong đó
phươngcủasợihayphươngcơbảncủamỗilớpkhácnhau,dođóchúngta
phảichuyểnchúngvềhệtrụctọađộtổngthể.Phươngtrìnhliênhệgiữaứng
suấtvàbiếndạngtronghệtrụctọađộtổngthểđượcviếtlạinhưsau
( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 12 16
( ) ( )
( ) ( ) ( )
21 22 26
( ) ( )
( ) ( ) ( )
61 62 66
( ) ( )
( ) ( )
55 54
( ) ( )
( ) ( )
45 44
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
k k
k k k
xx xx
k k
k k k
yy yy
k k
k k k
xy xy
k k
k k
xz xz
k k
k k
yz yz
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
Q Q
Q Q
(17)
8
- Trongđó
( )k
ij
Q
làhằngsốvậtliệuđãđượcchuyểnđổivàđượcminhhọabởi
4 2 2 4
11 11 12 66 22
2 2 4 4
12 11 22 66 12
cos 2 2 sin cos sin
4 sin cos sin cos
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q
4 2 2 4
22 11 12 66 22
3 3
16 11 12 66 12 22 66
3 3
26 11 12 66 12 22 66
2 2 4 4
66 11 22 12 66 66
2
44 44 55
sin 2 2 sin cos cos
2 sin cos 2 sin cos
2 sin cos 2 sin cos
2 2 sin cos sin cos
cos sin
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q
2
45 55 44
2 2
55 44 55
; sin cos
sin cos
Q Q Q
Q Q Q
(18)
3.2.2. Phươngtrìnhdạngyếucủatấm
- Dạngyếuchomôhìnhphântíchtĩnhcủatấmnhiềulớpsửdụnglýthuyết
biếndạngcắtbậcnhấtcóthểdiễnđạt
0
d d d
T T s
p p
wq
D D
(19)
trongđó
;
b
A B
D =
B D
/2
/2
d , =4,5
h
s
ij ij
h
D Q z i j
/2
2
/2
, , (1, , ) d =1,2,6
h
b
ij ij ij ij
h
A B D z z Q z i, j
(20)
- Chophântíchgiaođộngtựdo,dạngyếucủatấmđượcđịnhnghĩanhưsau
d d d
T T s T
p p
D D u mu
(21)
trongđó
0
/2
0 1 1
2
1 0 2 0 1 2
1 2 2
/2
; ; ; ; , , ( ) 1, ,
0
d
x
h
x
h
u
I I
v I I I z z z z
I I
w
u
m u u u
u
(22)
- Chophântíchổnđịnh,dạngyếucủatấmchịutảitrọngtrongmặtphẳng
đượcviếtdướidạngsau
0
d d d 0
T T s T
p p
h w wD D N
(23)
trong đó,
[ / / ]
T
x y
là toán tử đạo hàm và
0 0
0
0 0
x xy
xy y
N N
N N
N
là
thànhphầnứngsuấttrước.
- SửdụnghàmdạngNURBS,cảhìnhhọcvàchuyểnvịcủatấmđượcxấp
xỉnhưsau
9
, ,
m n
h
I I
I
Rx P
;
, ,
m n
h
I I
I
Ru q
(24)
trongđó,n×mlàsốcủahàmcơsởhayđiểmđiềukhiển,
T
x yx
làtọa
độvậtlý.
,
I
R
làhàmcơsởhữutỉNURBS,
I
P
làđiểmđiềukhiểnvà
0 0
T
I I I I xI yI
u v w
q
làbậctựdocủachuyểnvịu
h
kếthợpvới
điểmđiềukhiểnthứI.
- Côngthứcchophântíchtĩnh,daođộngtựdovàổnđịnhcủatấmđược
rútgọnlạidướidạngsau
Kq = F
;
2
K M q 0
and
cr g
K K q 0
(25)
trongđó
d
T
m m
sT s s
b
b b
A B
B B
K B D B
B D
B B
;
1 0 1 1
2 1 2 2
d
T
I I
I I
N N
M
N N
và
0
d
T
g g
g
K B N B
(26)
và
, ,
, ,
, , , ,
, ,
, ,
1 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 , 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 , 0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0 0 0 0
I x I x
m b
I I y I I y
I y I x I y I x
I x I I x
s
I y I I y
I
I
g
I I
I
I I
R R
R R
R R R R
R R R
R R R
R R
R R
R
B B
B B
N N
(27)
3.3. Một kỹ thuật cải tiến cho số hạng cắt
- TươngtựnhưphươngphápPTHH,hiệntượng“shearlocking”vẫnxuất
hiệnkhiphầntửNURBSbậcthấp(hai,bavàbốn)đượcsửdụng.Hiệntượng
nàylàdohiệuứngcắtvẫncòntồntạitrongcôngthứckhitấmtrởnênmỏng.
Đểkhắcphụchiệntượngnày,mộtkỹthuậtổnđịnhđượcthêmvàotrong
biếndạngcắt.Kỹthuậtnàyrấtđơngiảnnhưnggiảiquyếtđượcchophầntử
NURBSbậcthấp.
- Matrậnvậtliệucủabiếndạngcắtđượchiệuchỉnhnhưsau
10
2
2 2
s s
h
h l
D D
(28)
trongđó:llàchiềudàicạnhlớnnhấtcủaphầntửNURBS;
0
làhằngsố
dương.Dựavàokhảosátthựcnghiệmsố,
0.1
đượcchọntrongtínhtoán.
3.4. Ví dụ số
Phầnkếtquảsốđượctrìnhbàychitiếttrongbàibáo
1
haytrongluậnvăn.
3.5. Kết luận
- PhươngphápgiảitíchĐHHkếthợpvớilýthuyếtbiếndạngcắtbậcnhất
đãđượcápdụngchophântíchtấmnhiềulớp.Việcápdụnglýthuyếtbiến
dạngcắtbậcnhấtchophântíchkếtcấutấmxảyrahiệntượng“shearlocking”
vàkếtquảsốkhôngphùhợpvớithựctếkhitấmtrởnênrấtmỏng.Đểkhắc
phụcđiềunày,mộtcôngthứcổnđịnhcắtđãđượcđềxuất,bằngcáchápdụng
kỹthuậtổnđịnhvàotrongsốhạngcắt.Côngthứcnàyđơngiảnnhưnghiệu
quảchocácphầntửNURBSbậcthấp(bậc2,3và4).
CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC CỦA TẤM
COMPOSITE VÀ SANDWICH DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG
CẮT TỪNG LỚP (LAYERWISE)
2
4.1. Giới thiệu
- Việckếthợpgiữaphươngphápđẳnghìnhhọcvàlýthuyếtbiếndạngcắt
từnglớp(layerwise)đượcápdụngđầutiênchophântíchtấm“composite”
và“sandwich”.Trườngchuyểnvịcủalýthuyếtnàyđượcgiảthuyếtlàbiến
đổituyếntínhquatừnglớpvàápliêntụcchuyểnvịtạivịtrítiếpxúcgiữa
cáclớp.Dođóhệsốhiệuchỉnhcắtđượcbỏqua,đâychínhlàđiểmkhácbiệt
so với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Kết quả đạt được từ lý thuyết
“layerwise”chophântíchtấm“composite”và“sandwich”chínhxáchơnlý
thuyếtbiếndạngcắtbậcnhấtkhisosánhvớilờigiảiđànhồi3D.
4.2. Công thức đẳng hình học dùng lý thuyết biến dạng layerwise
- Môhìnhchuyểnvịlayerwisetrongchươngnàygiảthuyếtlàbiếnđổibậc
nhấtquatừnglớpvàápliêntụcchuyểnvịtạilớptiếpgiáp.Đểminhhọarõ
ràng,tấmcomposite3lớp(xemFigure3)đượcchọnđểgiảmkíchthướcvà
phứctạptrongcôngthứclayerwise.Lýthuyếthiệntạicũngdễdàngmởrộng
ápdụngchotấmcósốlớpbấtkỳ.
2
Chien H. Thai, A.J.M. Ferreira, E. Carrera, H. Nguyen-Xuan. Isogeometric analysis of laminated
compositeandsandwichplatesusingalayerwisedeformationtheory.Composite Structures,104:196-
214,2013.
11
Figure3:1Drepresentationofthelayerwisekinematics
- Trườngchuyểnvịtạimặtphẳngtrunghòacủalớpgiữa(thứ2)thìđược
địnhnghĩanhưsau
(2) (2) (2)
0
(2) (2) (2)
0
(2)
0
( , , ) ( , ) ( , )
( , , ) ( , ) ( , )
( , , ) ( , )
x
y
u x y z u x y z x y
v x y z v x y z x y
w x y z w x y
(29)
trongđóu,vvàwlàcácthànhphầnchuyểnvịtạimộtđiểmbấtkỳ(x,y,z);
u
0
, v
0
, w
0
,
(2)
,
x
(2)
y
địnhnghĩathànhphầnchuyểnvịlầnlượttheohướng
x,y,zvàgócxoaytheomặtphẳngy-zvàx-z.
- Trườngchuyểnvịcholớp3vàlớp1cóthểđượcviếtnhưsau
3 2 3 3
(3)
3
2
0
3 2 3 3
(3)
32
0
3
0
, , ,
2 2
, , ,
2 2
, , ,
x x x
y y y
hh
u x y z u x y z
h
h
v x y z v x y z
w x y z w x y
(30)
1 2 1 1
(1)
2 1
0
1 2 1 1
(1)
2 1
0
1
0
, , ,
2 2
, , ,
2 2
, , ,
x x x
y y y
h h
u x y z u x y z
h h
v x y z v x y z
w x y z w x y
(31)
trongđóh
k
và
/ 2, / 2
k
k k
z h h
lầnlượtlàbềdàylớpthứk
th
vàtọađộz.
- Thànhphầncủabiếndạngtrongmặtphẳngvàcắtcholớpthứkđượcviết
nhưsau:
0
0
;
xx xx xx xx
k
xz
k
k
y
k
k m k mb k b k
k
x
k m k mb k b k
yy yy yy yy
k
k
k m k mb k b k
y
z
xy xy xy xy
z
w
x
w
y
(32)
12
trongđó
0
0
0 0
; ;
xx xx xx
k k
x x
m k b k b k
k k
y y
m k b k b k
yy yy yy
m k b k b k
xy xy xyk
k k
y y
x x
u
x x
x
v
x y y
u v
y x
y x y
k
x
(33)
- Thànhphầncouplinggiữabiếndạngmàngvàuốncholớp1,2,and3
đượcchobởi
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
0
; 0
2 2
0
2 2
xx xx
x x
mb mb
y ymb mb
yy yy
mb mb
xy xy
y y
x x
h h
x x
h h
y y
h h
y x y x
2 3
32
3
2 3
3
32
3
2 3
2 3
32
2 2
2 2
2 2
xx
x x
mb
y ymb
yy
mb
xy
y y
x x
hh
x x
hh
y y
hh
y x y x
(34)
- Phươngtrìnhliênhệgiữaứngsuấtvàbiếndạngcủavậtliệutrựchướng
tronghệtrụctọađộvậtliệuđượcviếtnhưsau
( )
1 1
11 12 16
2 2
12 22 26
61 62 66
12 12
55 54
13 13
45 44
23 23
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
k k
k
k k
k k
k k
k k
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
Q Q
Q Q
(35)
- Cáchệsốtrongmatrận
ij
Q
củalớpthứ(k)trongkếtcấutấm“composite”
lớpđượcđịnhnghĩanhưphươngtrình(16).
13
- Phươngtrìnhliênhệgiữaứngsuấtvàbiếndạngtronghệtrụctọađộtổng
thểđượcviếtlạinhưsau
( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 12 16
( ) ( )
( ) ( ) ( )
21 22 26
( ) ( )
( ) ( ) ( )
61 62 66
( ) ( )
( ) ( )
55 54
( ) ( )
( ) ( )
45 44
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
k k
k k k
xx xx
k k
k k k
yy yy
k k
k k k
xy xy
k k
k k
xz xz
k k
k k
yz yz
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
Q Q
Q Q
(36)
trongđó
( )k
ij
Q
làhằngsốvậtliệuđãđượcchuyểnđổi.
- Dạngyếuchomôhìnhphântíchtĩnhcủatấmnhiềulớpsửdụnglýthuyết
“layerwise”đượcrútgọnnhưsau
3 3
( ) ( )
0
1 1
d
T T
k k k k
k k
p p
k k
d d w p
D C
(37)
trongđó
( ) ( )
( )
( ) ( )
k k
k
k k
A B
B D
D
;
/2
( )
/2
1 ( , 4,5)
k
k
h
k k
ij ij
h
C Q dz i j
và
/2
2
/2
)( , , 1, , ( , 1, 2,6)
k
k
h
k k k
k
ij ij ij ij
h
A B D z z Q dz i j
(38)
- Tươngtựchophântíchdaođộngtựdovàphântíchổnđịnhcũngđược
viếtdướidạngsau
3 3 3
1 1 1
d d
k
T
T T
k
k k k k
p p
k k k
d
D C u mu
(39)
3 3
0 0 0
1 1
ˆ
d
T T
k k k k
T
p p
k k
d d w w
D C
(40)
- Trườngchuyểnvịcóthểđượcviếtdướidạng
3
1
k
k
u
u
.Vớigiảthuyết
1 2 3
0 0 0
w w w w
, trường chuyển vị có thể diễn đạt dưới dạng rút gọn
1 1 2 2 3 3
T
x y x y x y
w
u
.SửdụnghàmdạngNURBS,chuyển
vịvàgócxoaycủatấmđượcxấpxỉnhưsau
14
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
3 3
3 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
I
I
x xI
I
y yI
I
n m n m
x xI
I II
I I
y yI
I
x xI
I
y yI
I
w w
R
R
R
R
R
R
R
Ru q
(41)
- Côngthứccuốicùngchophântíchtĩnh,độngvàổnđịnhcủatấmnhiều
lớpdùngthuyếtthuyếtbiếndạngcắtlayerwiseđượctrìnhbàynhưsau:
Kq = f
;
2
K M q 0
và
cr g
K K q 0
(42)
trongđó
3
1
d
T
mb k k k mb k
T
s k k s k
b k k k b k
k
B B B
K = B C B
B B
A
D B
3
1 0 1 1
1
2 1 2 2
d
T
k k k k
k k k k
k
I I
I I
N N
M
N N
and
dp
f N
0
d ;
T
g g
g
h
K B B
(43)
4.3. Các ví dụ số
- Phầnkếtquảsốđượctrìnhbàichitiếttrongbàibáo
2
haytrongluậnvăn.
4.4. Kết luận
- Giảitíchđẳnghìnhkếthợpvớilýthuyếtbiếndạngcắttừnglớpchophân
tíchtĩnh,tầnsốdaođộngvàtảiổnđịnhđượctrìnhbày.Nhờvàoviệcápliên
tụcchuyểnvịtạivịtrítiếpxúcgiữacáclớpnênkhôngcầnsửdụnghệsố
hiệuchỉnhcắt.Thôngquacáckếtquảsốđạtđược,phươngpháphiệntạicho
kếtquảtốtchotấmmỏngđếntấmdày.Trongkhilýthuyếtbiếndạngcắtbậc
nhấtchỉphùhợpchotấmmỏngđếntầmdàyvừa(moderatethicknessplate).
CHƯƠNG 5. PHÂN TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC CỦA TẤM
“COMPOSITE” VÀ “SANDWICH” DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN
DẠNG CẮT BẬC CAO
3
3
ChienH.Thai,A.J.M.Ferreira,T.Rabczuk,S.P.A.Bordas,H.Nguyen-Xuan.Isogeometricanalysisof
laminatedcompositeandsandwichplatesusinganewinversetrigonometricsheardeformationtheory.
European Journal of Mechanics- A/Solids,43:89-108,2014.
15
5.1. Giới thiệu
- Lýthuyếtbiếndạngcắtbậccaomớixuấtpháttừlýthuyếtcổđiểnđược
đềxuấttrongchươngnày.Mộtcôngthứcdùnggiảitíchđẳnghìnhhọckết
hợpvớilýthuyếtbiếndạngcắtbậccaomớinàythìđượctrìnhbàychophân
tíchcủatấm“composite”và“sandwich”.Lýthuyếthiệntạiyêucầuliêntục
C
1
,hàmcơsởNURBStronggiảitíchĐHHthìthỏatựnhiênđiềukiệnnày.
Kếtquảđạtđượctừlýthuyếthiệntạitốthơncáclýthuyếtkhácđãcôngbố
trướckhisovớilờigiảichínhxácđànhồi3D.
5.2. Công thức đẳng hình học cho tấm nhiều lớp và sandwich dùng lý
thuyết biến dạng cắt bậc cao
5.2.1. Chuyểnvị,biếndạngvàứngsuấtcủatấm
- Trườngchuyểnvịdùnglýthuyếtbiếndạngcắtbậccaoxuấtpháttừlý
thuyếtcổđiểnđượcviếtdướidạngsau
0
0
, , , ,
, , , ,
, , ,
x
y
w
u x y z u x y z f z x y
x
w
v x y z v x y z f z x y
y
w x y z w x y
,
2 2
h h
z
(44)
- Trongphươngtrìnhtrênf(z)làhàmdạngxácđịnhbiếndạngvàứngsuất
thôngquabềdàycủatấm.Mộtvàihàmdạngđượcđềxuấtbởicácnhànghiên
cứukhácđượctrìnhbàitrongBảng1.
Bảng1:Mộtvàihàmphânbố
Theory f(z)
Arya(2002)
sin( / )
z h
Soldatos(1992)
sinh( / ) cosh(1/ 2)h z h z
Hàmđềxuất(2014)
1
tan (2 / )h z h z
- Liênhệgiữabiếndạngvàchuyểnvịđượcviếtnhưsau
0 1 2
[ ] ( )
T
p xx yy xy
z f z
( )
T
xz yz s
f z
γ ε
(45)
trongđó
16
0
0
0
0 0
u
x
v
y
v u
x y
,
2
2
2
1
2
2
2
w
x
w
y
w
x y
,
2
x
y
y
x
x
y
x y
,
x
s
y
(46)
5.2.2. Phươngtrìnhdạngyếucủatấm
- Dạngyếuchomôhìnhphântíchtĩnhcủatấmnhiềulớpsửdụnglýthuyết
biếndạngcắtbậccaocóthểviết
0
d d d
T T s
p p
wq
D D
(47)
trongđó
;
A B E
D = B D F
E F H
/2
2
/2
( ) d , , =4,5
h
s
ij ij
h
D f z Q z i j
/2
2 2
/2
, , , , , (1, , , ( ), ( ), ( )) d , , =1,2,6
h
ij ij ij ij ij ij ij
h
A B D E F H z z f z zf z f z Q z i j
(48)
- Chophântíchdaođộngtựdo,dạngyếucủatấmđượctrìnhbàynhưsau
d d d
T T s T
p p
D D u mu
(49)
trongđó
1
1 2 4 0 ,
2 3 5 2 1 0 2 , 3
4 5 6
3
/2
2 2
1 2 3 4 5 6
/2
; ; ; ;
0 0
, , , , , ( ) 1, , , ( ), ( ), ( )
x x
y x
h
h
I I I u w
I I I v w
I I I w
I I I I I I z z z f z zf z f z z
u
m u u u u u
u
d
(50)
- Chophântíchổnđịnh,dạngyếucủatấmdướitảitrọngtrongmặtphẳng
đượcviếtdướidạngsau
0
d d d 0
T T s T
p p
h w wD D N
(51)
trongđó,
và
0
N
đượcđịnhnghĩanhưtrongphươngtrình(23).
- SửdụnghàmdạngNURBSgiốngphươngtrình(24)vàthaythếvàotrong
phươngtrình(47),(49)và(51),côngthứcchophântíchtĩnh,daođộngtựdo
vàổnđịnhcủatấmthìđượcviếtdướidạngsau
Kq = F
;
2
K M q 0
và
cr g
K K q 0
(52)
17
trongđó
1 1
2 2
d
T
m m
b b sT s s
b b
B B
A B E
K B B D F B B D B
E F H
B B
0 1 2 4 0
1 2 3 5 1
2 4 5 6 2
d
T
I I I
I I I
I I I
N N
M N N
N N
và
0
d
T
g g
g
K B N B
(53
)
, ,
0 1
, ,
, , ,
,
2
,
, ,
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ; 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 ;
0 0 0 0
0 0 0
I x I xx
b b
I I y I I yy
I y I x I xy
I x
I
b s
I I y I
I
I y I x
R R
R R
R R R
R
R
R
R
R R
B B
B B
,
0 1 , 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
;
0
I I x I
I I y I
I
R R R
R R R
R
N N N
(54
)
5.3. Các ví dụ số
- Phầnkếtquảsốđượctrìnhbàichitiếttrongbàibáo
3
haytrongluậnvăn.
5.4. Kết luận
- Giảitíchđẳnghìnhhọckếthợpvớilýthuyếtbiếndạngbậcmớichophân
tíchtấm“composite”và“sandwich”đượctrìnhbày.Điềukiệnứngsuấtcắt
tựdotạimặttrênvàmặtdướicủatấmcủalýthuyếthiệntạiđượcthỏadođó
hệsốhiệuchỉnhcắtđượcbỏqua.Lýthuyếtbậccaodùnghàmphânbốmới
này,kếtquảđạtđượctốthơncáclýthuyếtkhácđãcôngbốtrướcsovớilời
giảichínhxácđànhồi3D.
- Lýthuyếthiệntạidễdàngápdụngchocáclýthuyếtbậccaokhácbằng
cáchthayđổihàmphânbốf(z)dọctheochiềudàycủatấm.
18
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO TỔNG
QUÁT CHO TẤM CÓ TÍNH CHẤT CƠ LÝ THAY ĐỔI DÙNG XẤP
XỈ ĐẲNG HÌNH HỌC
4
6.1. Giới thiệu
- LýthuyếtbiếndạngtổngquátkếthợpvớigiảitíchĐHHchophântích
tĩnh, động và ổn định của tấm có tính chất cơ lý thay đổi (Functionally
GradedMaterial(FGM))đượctrìnhbàytrongchươngnày.Cóhaihàmphân
bốmớiđượcđềxuấttrongcôngthứchiệntại.Nhữnghàmnàyxácđịnhphân
bốứngsuấtvàbiếndạngquabềdàycủatấm.Lýthuyếthiệntạixuấtpháttừ
lýthuyếtcổđiểnnênhiệntượng“shearlocking”khôngxảyra.Lýthuyếtnày
cócùngsốbậctựdovớilýthuyếtFSDTnhưngkhôngcầnhệsốhiệuchỉnh
cắt.Từlýthuyếtnày,lýthuyếttấmbiếndạngcắtbậcnhấtvàlýthuyếttấm
cổđiểnđượcxácđịnhbằngcáchthiếtlậphàmphânbốứngsuấtvàbiếndạng
quachiềudàycủatấm.Kếtquảđạtđượctừphươngpháptrênphùhợpvới
cáckếtquảcôngbốkhác.
6.2. Lý thuyết biến dạng tổng quát cho tấm có tính chất cơ lý thay đổi
6.2.1. Côngthứcbàitoán
- CóbaloạitấmFGMkhácnhauđượcđịnhnghĩatrongchươngnày:1)
tấmFGMđẳnghướng;2)tấmsandwichvớilớpgiữa(core)FGMvàhailớp
ngoài(skin)đẳnghướng;3)tấmsandwichvớilớpgiữađẳnghướngvàhai
lớpngoàiFGM.
6.2.1.1.TấmFGMđẳnghướng(kiểuA)
- VậtliệuFGMđẳnghướngđượctạotừhaivậtliệukhácnhaugồmgốm
(ceramic)ởmặttrênvàkimloại(metal)ởmặtdưới.Đốivớivậtliệunày,
cácthôngsốvậtliệuthayđổithayđổiquabềdàycủatấmbởiquyluậthàm
sốmũnhưsau:
1
( )
2
n
c
z
V z
h
,
/ 2, / 2 ;z h h
1
m c
V V
(55)
trongđó,cvàmlầnlượtđượcđịnhnghĩalàceramicvàmetal.Cácthôngsố
vậtliệutươngđươngthìđượcđịnhnghĩa,
( ) ( )
e c c m m
P PV z P V z
(56)
trongđó
,
c m
P P
tươngứngđặctrưngvậtliệucủagốmvàkimloại.
e
P
cóthể
làmodunYoung(E),hệsốPoisson(
)vàkhốilượngriêng(
).
6.2.1.2.TấmsandwichvớicoreFGM(loạiB)
4
ChienH.Thai,S.Kulasegaram,LocV.Tran,H.Nguyen-Xuan.Generalizedsheardeformationtheory
for functionallygradedisotropicand sandwich platesbasedon isogeometricapproach.Computer and
Structures,141:94-112,2014
19
- TấmsandwichvớilớpgiữaFGMvàhailớpngoàiđẳnghướng(xemHình
4a).LớpgiữaFGMthìđượcđịnhnghĩanhưsau:
1
( )
2
n
c
c
c
z
V z
h
,
1
m c
V V
(57)
trongđó
2 3
[ , ]
c
z z z
,h
c
=z
3
-z
2
làbềdàycủalớpgiữa.
a)KiểuBb)KiểuC
Hình4.Tấmsandwich.
6.2.1.3.TấmsandwichvớicoređẳnghướngvàlớpngàiFGM(kiểuC)
- TấmsandwichvớilớpgiữađướngđẳngvàhailớpngoàiFGM(xemHình
4b).Tấmnàyđượcđịnhnghĩanhưsau:
1
2
2 1
2 3
4
3
4 3
( ) , ,
2
( ) 1, ,
( ) , ,
2
1
n
c
c
n
c
m c
z z h
V z h z
z z
V z h z z
z z
h
V z h z
z z
V V
(58)
6.2.2. Lýthuyếtbiếndạngcắtbậccaotổngquát
- Giốngnhưtrongchương5,trongchươngnàycũngdùnglýthuyếtbiến
dạng cắt bậc cao nhưng được trình bài dưới dạng tổng quát hơn. Trong
chươngnày,chúngtôiđãđềxuấthaihàmphânbốmới(xemBảng
- Table2).Trongcôngthứchiệntạinếuhàmphânbố
( )f z
đượcchọnbằng
khôngthìlýthuyếtbiếndạngcắtbậccaosẽquayvềlýthuyếtcổđiển(xem
phương trình (59)). Tuy nhiên, khi thiết lập
( ) f z z
và thay thế
,
w
X X X
vàophươngtrình(44),thìlýthuyếtbiếndạngcắtbậcnhất
cóthểđạtđược.
20
0
0
, , ,
, , ,
, , ,
w
u x y z u x y z
x
w
v x y z v x y z
y
w x y z w x y
,
2 2
h h
z
(59)
0
0
( , , )
( , , )
( , , )
x
y
u x y z u z
v x y z v z
w x y z w
,
2 2
h h
z
(60)
Table2:Mộtvàihàmphânbốvàđạohàm
Model
( )f z
( )f z
Reddy(1984)
4
3 2
3
/z z h
2 2
1 4 /z h
Karama(2003)
2
2( / )z h
ze
2
4
2 2( / )
2
(1 )
z h
h
z e
Arya(2002)
sin( )
h
z
cos( )
h h
z
Nguyen-Xuan(2013)
2 4
7 2 2
3 5
8
h h
z z z
2 4
7 6 10
2 4
8
h h
z z
Thai(2013)
2
1
tan ( )
h
h z z
2 2
2 2
(1 ( ) ) / (1 ( ) )
h h
z z
Môhìnhđềxuất1(2013)
1
tan (sin( ))
h
z
2
cos( ) / (1 sin ( ))
h h h
z z
Môhìnhđềxuất2(2013)
1
sinh (sin( ))
h
z
2 1/2
cos( ) / (1 sin ( ))
h h h
z z
6.3. Các ví dụ số
- Phầnkếtquảsốđượctrìnhbàichitiếttrongbàibáo
4
haytrongluậnvăn.
6.4. Kết luận
- Mộtlýthuyếtbiếndạngcắtbậccaotổngquátđượcđềxuất.Từlýthuyết
này,chúngtacóthểthulạiđượclýthuyếttấmbiếndạngcắtbậcnhấtvàlý
thuyếttấmcổđiểnbằngcáchthiếtlậphàmphânbốứngsuấtvàbiếndạng
quachiềudàycủatấm.Haihàmphânbốmớiđãđượcđềxuất.Kếtquảđạt
đượctừlýthuyếthiệntạitốtsovớicáclýthuyếtkháckhisovớilờigiảiđàn
hồi3D.
CHƯƠNG 7. PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CẬN TRÊN CHO TẤM
MỎNG DÙNG CÔNG THỨC ĐẲNG HÌNH HỌC VỚI GÓC XOAY
TỰ DO
5
5
H.Nguyen-Xuan,ChienH.Thai,J.Bleyer,VinhPhuNguyen.Upperboundlimitanalysisofplatesusing
arotation-freeisogeometricapproach.Asia PacificJournal on Computational Engineering,1:12,2014.
21
7.1. Giới thiệu
- Chươngnàytrìnhbàyphântíchgiớihạncậntrên(upperbound)củatấm
mỏng(Kirchhoff)theotiêuchuẩn“vonMises”dùnggiảitíchđẳnghìnhhọc.
Bàitoántốiưutrongphântíchgiớihạnđượcthiếtlậpbằngcáchcựctiểu
côngtiêutánvàchịucácràngbuộcgồmđiềukiệnbiênvàcôngngoại.Chỉ
cóbậctựdochuyểnvị(khôngcógócxoay)đượcxấpxỉtrongbàitoántối
ưu.Bàitoánnàyđượcbiếnđổisangdạngphùhợpđểtìmnghiệmtốiưubằng
chươngtrìnhtốiưuhóahìnhnónbậchai(SOCP).
7.2. Công thức đẳng hình học cho phân tích giới hạn của tấm mỏng
Kirchhoff
- Xem
2
làmặtphẳngtrunghòacủatấmvà
w
làvậntốccủachuyển
vịtheophươngtrụcz.Biênđộnghọcvàbiêntĩnhhọclầnlượtđượcđịnh
nghĩanhưsau:
1
n
w w
và
2
n
m m
,trongđónlàphápvectơ.
CôngthứctổngquátchophântíchgiớihạncủatấmmỏngKirchhoffđược
viếtnhưsau:
Phương trình cân bằng:chọntrường momentuốn
, , ][
T
xx yy xy
m m mm
saochothỏamãnđiềukiệncânbằng
2
( ) 0
T
q
m
,trongđó
q
và
lầnlượtlàtảitrọngtheophươngzvàhệsốtảigiớihạn,toántử
2
thìđược
địnhnghĩa
2 2 2
2
2 2
[ 2 ] .
T
x y
x y
Điều kiện tương thích:Liênhệgiữavậntốccủachuyểnvịvàvậntốcbiến
dạnguốnđượcviếtdướidạng
2
[ , ,2 ]
T
xx yy xy
w
(61)
- Tốcđộtiêutándẻothìđượcviết
/2
0
/2
( ) dz d d
T
t
p
t
T
p
D A m
(62)
trongđó,
2
0
/ 4
p
m t
,
T
xx yy xy
z
và
4 2 0
1
2 4 0
3
0 0 1
.
- Dùnglýthuyếtphântíchcậntrên,hệsốtảitrọnggiớihạnđượcxácđịnh
nhưsau
min ( )d
p
D
(63)
- SửdụnghàmcơsởNURBStrongphươngtrình(24),sauđóthaythếvào
phươngtrình(61),vậntốcbiếndạnguốnđượcviếtnhưsau
22
I I
I
w
B
trongđó
, , ,
T
xx yy xy
R R R
(64)
- Nănglượngtiêutándẻođượcviếtlại
1
d d
e
nel
h
p p p
T T
e
D m m
(65)
- PhươngtrìnhtrênđượctínhtoánthôngquacôngthứctíchphânGauss
1
NG
h
p
T
ii i
i
ip
D m
J
(66)
trongđó,NG=nelxnG làtổngsốđiểmGausscủabàitoán,nellàtổngsố
phầntử,nGlàsốđiểmGausscủamỗiphầntử,
i
làtrọngsốGaussvà
i
J
làmatrậnJacobiởđiểmGauss.
- BâygiờvậntốcbiếndạngđượcđánhgiátạiđiểmGauss
1,
i i i
i Nw G B
(67)
- CôngngoạicũngđượcđánhgiátạiđiểmGauss
1
( ) ( , ) 1
NG
ext i i i i
i
i
wW w q
J N
(68)
trongđó,
1 2
[ ( , ), ( , ), , ( , )]
i i i i nCP i i
N N N
N
làvectơhàmcơsởtoàncục.
- CuốicùngbàitoántốiưukếthợpvớigiảitíchĐHHđượcviếtlại:
1
.
1
1
min
B , 1,
s.t 0and 0on
( ) ( , ) 1
NG
T
p i i i i
i
i i i
n
NG
ext i i i i i
i
m
w i NG
w w
W w q w
J
J N
(69)
- Bàitoánphântíchgiớihạnlàbàitoántốiưukhôngtuyếntínhvớiràng
buộcbằng. Bài toáncóthểbiến đổisang bài toáncựctiểutổngcủamột
chuẩn.Nănglượngtiêutándẻocóthểđượcviếtdướidạngtổngcủa một
chuẩnnhưsau
1
NG
T
int p i i i
i
W m
J C
(70)
23
trongđó,
2 0 0
1
1 3 0
3
0 0 1
C
làhệsốCholeskyof
.
- Cuốicùngbàitốiưunàycóthểbiếnđổisangbàitoánlậptrìnhhìnhnón
bậchaibởigiớithiệuthêmbiếnphụ
1
min
, 1,
s.t 1,
NG
p i i i
i
i i
T
i i
ec e
i
c
m t
t i NG
iw NG
J
C B
B w b
(71)
- Ràngbuộcthứnhấtlàdạnghìnhnónbậchai.Bàitoántốiưutrêncóthể
giảibằngphầnmềmMosek.
7.3. Các ví dụ số
- Phầnkếtquảsốđượctrìnhbàichitiếttrongbàibáo
5
haytrongluậnvăn.
7.4. Kết luận
- Giảitíchđẳnghìnhhọcvớigócxoaytựdochophântíchgiớihạncậntrên
củatấmmỏngđượctrìnhbày.Mộtvàikếtluậnđượcrútranhưsau:
Chỉcóbậctựdochuyểnvịđượcxấpxỉtrongbàitoántốiưu.
Điềukiệnbiêngócxoayđượcáptrựctiếpthôngquachuyểnvị.
Kếtquảđạtđượctừphươngpháphiệntạiphùhợpvớicáclờigiảiđã
đượccôngbốthôngquacácvídụsố.
CHƯƠNG 8. KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
8.1. Kết luận
- Trongluậnvănnày,phươngphápgiảitíchđẳnghìnhhọcđãđượcápdụng
chophântíchđànhồivàđàndẻocủakếtcấutấm.Mụctiêucủaphươngpháp
giảitíchĐHHlàhợpnhấtgiữamôhìnhhìnhhọcvàxấpxỉnghiệmbàitoán
thôngquahàmcơsởNURBS.HìnhhọcdùngtronggiảitíchĐHHlàhình
họcchínhxác.Cáckỹthuậtlàmmịnlưới(h-refinement)haytăngbậccủa
hàm cơ sở (p-refinement) trong phương pháp đẳng hình học giống với
phươngphápphầntửhữuhạnthôngthường.Môtkỹthuậtmới(k-refinement)
đượcxuấttrong giảitích ĐHHbằngcách kết hợp“h-refinement” và “p-
refinement”.Thôngquacácvídụsốđãđượckiểmtra,phươngphápđẳng
hìnhhọcphùhợpchophântíchđànhồivàđàndẻocủakếtcấutấm.Mộtvài
kếtluậnđượcrútranhưsau:
