Tài liệu CÁC CÔNG THỨC SỬ DỤNG TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN - MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ - BÀI TOÁN HỆ THANH pdf

CÁC CÔNG THỨC SỬ DỤNG TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN - MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ - BÀI TOÁN HỆ THANH
1. Thiết lập ma trận độ cứng phần tử
1.1 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ địa phương
1.1.1 Phần tử thanh hai đầu nút cứng (NN)

































−
−−−
−
−
−
−
=
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l

EF
l
EF
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF
K
e
46
0
26
0
612

0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
][
22
2323
22
2323
(1)
1.1.2 Phần tử thanh đầu i nút cứng, đầu j khớp (NK)

































−−
−
−
−
−
=
000000
0

3
0
33
0
0000
0
3
0
33
0
0
3
0
33
0
0000
][
323
22
323
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF

l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF
K
e
(2)
1.1.3 Phần tử thanh đầu i khớp, đầu j nút cứng (KN)

































−
−−
−
−
−
=
l
EJ

l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF
K
e
33
00
3
0

33
00
3
0
0000
000000
33
00
3
0
0000
][
22
233
233
(3)
1.2 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ tổng thể
1.2.1 Ma trận chuyển phương



















−
−
=
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
][
αα
αα
αα
αα
T
(4)
1.2.2 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ tổng thể
]].[.[][]'[ TKTK
e
T
e
=
(5)
2. Quy đổi tải trọng phần tử thành lực nút tương đương

2.1 Quy đổi tải trọng tác dụng trên phần tử (theo phương hệ toạ độ địa phương) về
thành lực nút tương đương theo phương hệ toạ độ địa phương
2.1.1 Phần tử thanh hai đầu nút cứng (NN)
* Do lực phân bố đều p
x
:
{ }
( )
1 1
. 0 0 . 0 0
2 2
x
T
e x x
p
R p l p l
 
=
 
 
(6)
* Do lực phân bố đều p
y
:
{ }
2 2
( )
1 1 1 1
0 . . 0 . .
2 12 2 12

y
T
e y y y y
p
R p l p l p l p l
 
= −
 
 
(7)
* Do tải trọng tập trung T:
{ }
( )
. .
0 0 0 0
T
e
T
T b T a
R
l l
 
=
 
 
(8)
* Do tải trọng tập trung P:
{ }
2 2 2 2
3 2 3 2

( )
0 ( 2 ) 0 (3 2 )
T
e
P
Pb Pab Pa Pa b
R l a l a
l l l l
 
 
= + − −
 
 
 
(9)
* Do moment tập trung M:
{ }
3 2 3 2
( )
6 6
0 (2 ) 0 (2 )
T
e
M
Mab Mb Mab Ma
R a b b a
l l l l
 
= − − − − −
 

 
(10)
2.1.2 Phần tử thanh đầu i nút cứng, đầu j khớp (NK)
* Do lực phân bố đều p
x
:
{ }
( )
1 1
. 0 0 . 0 0
2 2
x
T
e x x
p
R p l p l
 
=
 
 
(11)
* Do lực phân bố đều p
y
:
{ }
2
( )
5 1 3
0 . . 0 . 0
8 8 8

y
T
e y y y
p
R p l p l p l
 
=
 
 
(12)
* Do tải trọng tập trung T:
{ }
( )
. .
0 0 0 0
T
e
T
T b T a
R
l l
 
=
 
 
(13)
* Do tải trọng tập trung P:
{ }
2 2
2 2 2

( )
0 (3 ) (2 ) 0 (3 ) 0
2
2 2
T
e
P
Pb b Pab Pa a
R l a
l l
l l l
 
 
= − − −
 
 
 
(14)
* Do moment tập trung M:
{ }
2 2 2
2 2 2
( )
3 3
0 (1 ) (1 3 ) 0 (1 ) 0
2 2 2
T
e
M
M b M b M b

R
l l
l l l
 
 
= − − − − −
 
 
 
(15)
2.1.3 Phần tử thanh đầu i khớp, đầu j nút cứng (KN)
* Do lực phân bố đều p
x
:
{ }
( )
1 1
. 0 0 . 0 0
2 2
x
T
e x x
p
R p l p l
 
=
 
 
(16)
* Do lực phân bố đều p

y
:
{ }
2
( )
3 5 1
0 . 0 0 . .
8 8 8
y
T
e y y y
p
R p l p l p l
 
= −
 
 
(17)
* Do tải trọng tập trung T:
{ }
( )
. .
0 0 0 0
T
e
T
T b T a
R
l l
 

=
 
 
(18)
* Do tải trọng tập trung P:
{ }
2 2
2 2 2
( )
0 (3 ) 0 0 (3 ) (2 )
2
2 2
T
e
P
Pb b Pa a Pab
R l b
l l
l l l
 
 
= − − − −
 
 
 
(19)
* Do moment tập trung M:
{ }
2 2 2
2 2 2

( )
3 3
0 (1 ) 0 0 (1 ) (1 3 )
2 2 2
T
e
M
M a M a M a
R
l l
l l l
 
 
= − − − − −
 
 
 
(20)
Vectơ tải trọng nút tương đương do tải trọng tác dụng trên phần tử quy đổi thành
lực nút tương đương theo phương hệ toạ độ địa phương:
{ } { } { } { } { } { }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y
e e e e e e
p p T P M
R R R R R R= + + + +
(21)
2.2 Quy đổi tải trọng tác dụng trên phần tử (theo phương hệ toạ độ địa phương) về
thành lực nút tương đương theo phương hệ toạ độ tổng thể:
{ } { }

e
T
e
RTR .]['
=
(22)
3. Lập ma trận độ cứng tổng thể, xác định chuyển vị nút, xác định nội lực:
3.1 Lắp ghép:
Ma trận
]'[
e
K
của từng phần tử ⇒ ma trận
][
S
K
.
Vectơ
}'{
e
R
của từng phần tử ⇒ vectơ
}'{
S
R
Cộng vectơ
}'{
S
R
với vectơ tải trọng tác dụng trực tiếp tại nút

}{
P
R
⇒ vectơ lực
tổng cộng tại nút
}{
S
R
}{}'{}{
PSS
RRR
+=
(23)
3.2 Xét điều kiện biên, khử trùng lặp:
Ma trận
][
S
K
⇒ ma trận
]*[
s
K
Vectơ
}{
S
R
⇒ vectơ
}*{
S
R

3.3 Giải hệ phương trình:
[ ]
{ } { }
SSS
RuK **.*
=
[ ]
}*{*}*{
1
SSS
RKu
−
=
(24)
3.4 Vectơ chuyển vị nút của phần tử:
Lắp ghép các chuyển vị nút (gồm những chuyển vị tại các liên kết và những
chuyển vị xác định từ kết quả giải hệ phương trình) ⇒ vectơ chuyển vị nút của phần tử trong hệ
toạ độ tổng thể
{ }
e
u'
.
Vectơ chuyển vị nút của phần tử trong hệ toạ độ địa phương
{ }
e
u
.
[ ]
}'{}{
ee

uTu
=
(25)
3.5 Vectơ nội lực của phần tử:
[ ]
{ }
eeee
RuKF
−=
}{}{
(26)
Nội lực tại 2 đầu thanh:
{ }
)1(
ei
FN
−=
;
{ }
)2(
ei
FQ
=
;
{ }
)3(
ei
FM
−=
(27)

{ }
)4(
ej
FN
=
;
{ }
)5(
ej
FQ
−=
;
{ }
)6(
ej
FM
=
1. Rời rạc hóa kết cấu và lập bảng số liệu:
+ Tiến hành rời rạc kết cấu thành 2 phần tử và 3 nút.
+ Bảng số liệu phần tử:
Phần tử Nút i Nút j E.J E.F l
Cos(
α
) Sin(
α
)
Loại PT
1 1 2 2'560 192'000 4 1 0 NN
2 2 3 1'080 144'000 5 0.8 -0.6 NK
+ Bảng số liệu tải trọng trên phần tử:

Phần tử p
x
p
y
T a b P a b M a b
1 -1.8
2 2.4 2.5 2.5 -3.2 2.5 2.5
+ Bảng số liệu tải trọng tác dụng tại nút:
Nút P
X
P
Y
M
Z
2 -5
+ Bảng số liệu điều kiện biên:
Nút u
X
u
Y
r
Z
1 0 0 0
2 ≠ 0 ≠ 0 ≠ 0
3 0 0 không xđ
2. Thiết lập ma trận độ cứng phần tử:
2.1. Phần tử 1: (Áp dụng công thức 1, 4, 5)
Ma trận [K
e
]

48'000 0 0 -48'000 0 0
0 480 960 0 -480 960
0 960 2'560 0 -960 1'280
-48'000 0 0 48'000 0 0
0 -480 -960 0 480 -960
0 960 1'280 0 -960 2'560
Ma trận [T]
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0