ÔN TOÁN 9 CẢ NĂM

TÀI LIỆU
ÔN TẬP MÔN TOÁN 9
I. NỘI DUNG CÁC CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)
Tiết 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ:
a) Tính chất:
. .
n
a a a a a
=
142 43
(n
∈
N) a
0
= 1, a
1
= a (a
≠
0)
(n thừa số a)
.
m n m n
a a a
+
=
(m, n
∈
N ) a

m
:a
n
= a
m-n
(m, n
∈
N,m
≥
n)
(x
m
)
n
= x
m.n
(x.y)
n
= x
n
.y
n
;
( )
0
n
n
n
x x
y

y y
 
= ≠
 ÷
 
b) Ví dụ:
a) 3x
5
. 5x
2
= 15x
5+2
=15x
7
b) 15m
9
: 3m
7
= 5m
2
2. Nhân đơn thức với đa thức:
a) Công thức:
b) Ví dụ:
1. 5x(3x
2
- 4x + 1) = 5x.3x
2
+ 5x(-4x) + 5x.1 = 15x
3
– 20x

2
+ 5x
2. (2
53 +
)
3
-
60
= 2
15.43533 −+
= 6 +
15215 −
=
156 −
3. Nhân đa thức với đa thức:
a) Quy tắc: Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa
thức này với đa thức kia rồi cộng tổng các tích vừa tìm được.
b) Công thức
c) Ví dụ:
1. (x - 2)(6x
2
- 5x + 1) = x.6x
2
+ x(-5x) + x.1 + (-2)6x
2
+ (-2)(-5x) + (-2).1
= 6x
3
- 5x
2

+ x - 12x
2
+ 10x - 2 = 6x
3
- 17x
2
+ 11x - 2.
2. (1 -
x
)(1 +
xx +
) = 1 +
xxxxxxx
−−−+
= 1
xx
−
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính:
1
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC
a) (3xy - x
2
+ y)
3
2
x
2
y b) (5x

3
- x
2
)(1 - 5x)
Giải:
a) (3xy - x
2
+ y)
3
2
x
2
y = 3xy.
3
2
x
2
y + (-x
2
).
3
2
x
2
y + y.
3
2
x
2
y

= 2x
3
y
2
-
3
2
x
4
y +
3
2
x
2
y
2
b) (5x
3
- x
2
)(1 - 5x) = 5x
3
- 25x
4
- x
2
+ 5x
3

= - 25x

4
+ 10x
3
- x
2

Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
36x
2
- 12x - 36x
2
+ 27x = 30
15x = 30
⇒
x = 2
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
(
71228 −−
)
7
+ 2
21
=
7.77.3.47.7.4 −−
+ 2
21
=
2 7. 7 2 3. 7 7. 7− −
+ 2

21
= 2.7 –
212
- 7 + 2
21
= 7
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính:
a) (
2
1
x + y)(
2
1
x + y) b) (x -
2
1
y)(x -
2
1
y)
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với
0
≥
a
):
a)
aa 27.3

b)

42
9 ba
c)
aa 123
3
Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm)
a) (
2+x
)(
42 +− xx
) b) (
yx +
)(
yxyx −+
2
)
Tiết 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC (Tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chia đa thức cho đơn thức:
* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức
A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả
với nhau.
Ví dụ:
(15x
2
y
3
+ 12x
3
y

2
- 10 xy
3
) : 3xy
2

= (15x
2
y
3
: 3xy
2
) + (12x
3
y
2
: 3xy
2
) + (-10xy
3
: 3xy
2
)
2
= 5xy + 4x
2
-
3
10
y

2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp.
Ví dụ: Thực hiện phép chia:
1.
2
(6 13 5): (2 5)x x x+ − +
Giải:
2
6 13 5x x
+ −
2 5x
+
- (
2
6 15x x+
)

2 5x
− −
- (
2 5)x− −
0
3 1x −
2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia:

2 3 4 2
(12 14 3 6 ) : (1 4 )x x x x x x− + − + − +
Giải: Ta có
2 3 4 4 3 2
12 14 3 6 6 12 14 3x x x x x x x x− + − + = − + − +
và

2 2
1 4 4 1x x x x− + = − +
4 3 2
6 12 14 3x x x x
− + − +
2
4 1x x− +
- (
4 3 2
4x x x− +
)

3 2
2 11 14 3x x x− + − +
- (
3 2
2 8 2x x x+ −
)

2
3 12 3x x− +

2
(3 12 3)x x− − +
0
2
2 3x x
− +
3. Tính chất cơ bản của phân thức:
a) Định nghĩa phân thức đại số:

Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng
A
B
, trong đó A, B là các đa thức và B
khác đa thức 0.
Ví dụ:
5
22
8
6
yx
yx
;
1
x + 2
b) Phân thức bằng nhau:

Ví dụ:
2
x +1 1
x 1 x -1
=
−
vì (x +1)(x - 1) = x
2
- 1
3
A C
B D
=

nếu AD = BC
c) Tính chất cơ bản của phân thức:

d) Quy tắc đổi dấu:
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không?
a)
2
2
5 5 5( 1)
x x x
x x
−
=
− +
b)
2 2
8 3 24
2 1 6 3
x x x
x x
+ +
=
− −
Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức:
)3(15
)3(45
−
−
xx

xx
=
)3(15
)3(45
−
−−
xx
xx
= – 3
Bài 3. Tính:
a)
23
2300
b)
x
x
7
63
3
với x > 0
Giải:
a)
23
2300
=
23
100.23
=
23
100.23

=
100
= 10
b)
x
x
7
63
3
=
x
xx
7
.7.9
2
=
x
xx
7
73
= 3x với x > 0
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Rút gọn phân thức:
a)
5
22
8
6
yx
yx

b)
2
2
)(15
)(10
yxxy
yxxy
+
+
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
yx
xy
yxxyyx
−=
−+ ))((
với x > 0 và y > 0
b)
3 2
3 2 2 3
3 2 1
2 2
x xy y
x x y xy y x y
+ +
=
+ − − −
TIẾT 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
4
A A.M

=
B B.M
;
A A:N
=
B B:N
(M
≠
0; N
≠
0; B
≠
0)
A -A A A -A
;
B -B B -B B
= =− =−
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức.
Ví dụ:
a) 2x
2
+ 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
b) x - 2
x
y +5
x
- 10y = [(

x
)
2
– 2 y
x
] + (5
x
- 10y)
=
x
(
x
- 2y) + 5(
x
- 2y)
= (
x
- 2y)(
x
+ 5)
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) Phương pháp đặt nhân tử chung :
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được
biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
Công thức:
Ví dụ:
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
2. 3x + 12
x
y = 3

x
(
x
+ 4y)
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng
hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
A
2
- B
2
= (A + B)(A - B)
(A+B)
3
= A
3
+ 3A

2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
-B
3
A
3
+ B
3
= (A+B) (A
2
- AB + B
2
)
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2

+ AB + B
2
)
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. x
2
– 4x + 4 =
( )
2
2x −
2.
2
9 ( 3)( 3)x x x− = − +
3.
[ ] [ ]
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .2 4x y x y x y x y x y x y x y xy+ − − = + + − + − − = =
Cách khác:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2 ( 2 ) 4x y x y x xy y x xy y xy+ − − = + + − − + =
c) Phương pháp nhóm hạng tử:
5
AB + AC = A(B + C)
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được
nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:
1. x
2
– 2xy + 5x – 10y = (x
2

– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)
= (x – 2y)(x + 5)
2. x - 3
x
+
x
y – 3y = (x - 3
x
) + (
x
y – 3y)
=
x
(
x
- 3) + y(
x
- 3)= (
x
- 3)(
x
+ y)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 14x
2
– 21xy
2
+ 28x
2

y
2
= 7x(2x - 3y
2
+ 4xy
2
)
b) 2(x + 3) – x(x + 3)
c) x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = (x + 2)
2
- y
2
= (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2: Giải phương trình sau :
2(x + 3) – x(x + 3) = 0
( ) ( )
x 3 0 x 3
x 3 2 x 0
2 x 0 x 2
+ = = −
 
⇔ + − = ⇔ ⇔
 
− = =
 
Vậy nghiệm của phương trình là x

1
= -3: x
2
= 2
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 10(
x
- y) – 8y(y -
x
) b) 2
x
y + 3z + 6y +
x
y
Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 5
x
(
x
- 2010) -
x
+ 2010 = 0 b) x
3
- 13 x = 0
TIẾT 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (Tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng: ax

2
+ bx + c = ax
2
+ b
1
x + b
2
x + c (
0a
≠
) nếu
1 2
1 2
b b ac
b b b
=


+ =

Ví dụ:
a) 2x
2
- 3x + 1 = 2x
2
- 2x - x +1
= 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)
6
( ) ( )
( ) ( )

3 2 2 2
1 2 1
2 1
y y y y y
y y y
y y
− + = − − +
= − − −
= − −
b)
e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
a) y
4
+ 64 = y
4
+ 16y
2
+ 64 - 16y
2


= (y
2
+ 8)
2
- (4y)
2
= (y
2

+ 8 - 4y)(y
2
+ 8 + 4y)
b) x
2
+ 4 = x
2
+ 4x + 4 - 4x = (x + 2)
2
- 4x
= (x + 2)
2
-
( )
2
2 x
=
( ) ( )
2 2 2 2x x x x− + + +

g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a) a
3
- a
2
b - ab
2
+ b
3

= a
2
(a - b) - b
2
(a - b)
=(a - b) (a
2
- b
2
)
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)
2
(a + b)
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3 3 3
3
3
2 2 2
b) 27 27
(3 )
3 9 3
− = −
 
= −
 
= − + +

x y a b y y x a b
y x ab
y x ab x xab a b

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x
3
+ 4x
2
- y
3
- y
2
= (8x
3
- y
3
) + (4x
2
- y
2
)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3
3 2 2

2
2
2 2
2 4
2 2 2 2 2
2 4 2 2
x y x y
x y x xy y x y x y
x y x xy y x y
 
= − + −
 
 
= − + + + + −
 
= − + + + +
b) x
2
+ 5x - 6 = x
2
+ 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6)
= (x + 6)(x - 1)
c) a
4
+ 16 = a
4
+ 8a
2
+ 16 - 8a

2

= (a
2
+ 4)
2
- (
8
a)
2

= (a
2
+ 4 +
8
a)( a
2
+ 4 -
8
a)
7
Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành
nhân tử:
a) (x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1):(x

3
+ 1)
b) (x
2
- 5x + 6):(x - 3)
Giải:
a) Vì x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1= x
3
(x
2
+ 1) + x
2
+ 1 = (x
2
+ 1)(x
3
+ 1)
nên (x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1):(x

3
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
3
+ 1):(x
3
+ 1)
= (x
2
+ 1)
b) Vì x
2
- 5x + 6 = x
2
- 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)
nên (x
2
- 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
2 2 2
2 2 2
x +xy-y 2x -3x+1
a) b)
2x -3xy+y x +x-2
Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
3 3 2 2

a) 1 b)xy y x x a b a b ab+ + + − + −
TIẾT 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau:
5 7
à
12 30
v
* Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60
* Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu: 60:12=5
60:30=2
* Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.

5 5.5 25
12 12.5 60
7 7.2 14
30 30.2 60
= =
= =
8
2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức:
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của

3
2 4
x
x +
và
2
3
4
x
x
+
−
* Bước 1: Tìm MTC.
- Phân tích các mẫu thành nhân tử.
2x +4 = 2(x + 2)
x
2
- 4 = (x - 2) (x + 2)
- MTC là: 2(x - 2) (x + 2)
* Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu.
+) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2)
+) 2(x - 2)(x + 2): (x
2
- 4) = 2
* Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
( )
( ) ( )
3 2
3 3
2 4 2( 2) 2 2 2

x x
x x
x x x x
−
= =
+ + + −
( )
( ) ( )
2
2 3
3 3
4 ( 2)( 2) 2 2 2
x
x x
x x x x x
+
+ +
= =
− + − + −
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
6x2
5
+
và
9x
3
2
−
MTC: 2(x - 3)(x + 3)

)3x)(3x(2
)3x(5
)3x(2
5
6x2
5
−+
−
=
+
=
+
)3x)(3x(2
6
)3x)(3x(2
2.3
)3x)(3x(
3
9x
3
2
−+
=
−+
=
−+
=
−
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một phân

thức để tìm MTC thuận tiện hơn).
a)
1x
5x3x4
3
2
−
+−
;
1xx
x21
2
++
−
b)
2x
10
+
;
4x2
5
−
9
TIẾT 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC (Tiếp)
I. Luyện tập:
Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau:
16x8x
x2
2
+−

và
x12x3
x
2
−
Phân tích các mẫu:
x
2
- 8x + 16 = (x - 4)
2
3x
2
- 12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)
2
2
2
222
)4x(x3
x6
)4x(x3
x3.x2
)4x(
x2
16x8x
x2
−
=
−
=

−
=
+−
22
)4x(x3
)4x(x
)4x(x3
x
x12x3
x
−
−
=
−
=
−
Bài 2: Rút gọn biểu thức :
1 1
2 3 2 3
+
+ −
Giải: MTC : (2+
3
)(2-
3
)
Quy đồng:
1 1
2 3 2 3
+

+ −
=
2 3 2 3 4
4
4 3 1
− + +
= =
−
Bài 3: Giải phương trình:
( )
x 2 1 2
x 2 x x x 2
+
= +
− −
Giải: ĐKXĐ:
x 0;x 2≠ ≠

( )
x 2 1 2
x 2 x x x 2
+
= +
− −
2 2
x 2x x 2 2 x x 0⇒ + = − + ⇔ + =
( )
x x 1 0⇔ + =
( )
( )

x 0
x 1

=
⇔

= −


kTM®K
TM®K
.Vậy phương trình có tập nghiệm S =
{ }
1−
II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
a)
;
x y x y
x y x y
+ −
− +
; b)
1 1
;
x y x y+ −
;
Bài 2: Chứng minh đẳng thức :
3 2 3 6
6 2 4

2 3 2 6
+ − =
TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
10
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau
và giữ nguyên mẫu thức.

Ví dụ: Tính:
a)
3
2
63
44
63
44
63
22
+
=
+
++
=
+
+
+
+
x
x

xx
x
x
x
x
b)
=
+
++
=
+
+
+
+ 2.2
2.22
2.2
2.22
2.2
22
x
xx
x
x
x
x
( )
( )
2
2
22

2
2
+
=
+
+ x
x
x
2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức
rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Ví dụ:
366
12
−
−
y
y
+
yy 6
6
2
−

MTC: 6y(y - 6)
366
12
−
−
y

y
+
yy 6
6
2
−
=
)6(6
12
−
−
y
y
+
)6(
6
−yy
=
(y -12)y
6y(y-6)
+
6.6
6 ( 6)y y
−
=
)6(6
3612
2
−
+−

yy
yy
=
)6(6
)6(
2
−
−
yy
y
=
y
y
6
6−
*Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán:
A C C A
B D D B
+ = +
- Tính chất kết hợp:
A C E A C E
B D F B D F
   
+ + = + +
 ÷  ÷
   
3. Phép trừ các phân thức đại số:
*Quy tắc: Muốn trừ phân thức
B

A
cho phân thức
D
C
, ta cộng
B
A
với phân thức đối của
D
C

Ví dụ:
a)
1
3
2
−
+
x
x
-
2
1x
x x
+
=
−

)1(
)3(

2
−
+
x
x
+
1
( 1)
x
x x
 
+
−
 
−
 
3
( 1)( 1)
x
x x
+
=
+ −
+
( 1)
( 1)
x
x x
 
+

−
 
−
 

( 3)
( 1)( 1)
x x
x x x
+
=
+ −
+
( 1)( 1)
( 1)( 1)
x x
x x x
 
+ +
−
 
+ −
 
11
B
A
-
D
C
=

B
A
+






−
D
C
B
CA
B
C
B
A +
=+

2
( 3) ( 1)
( 1)( 1)
x x x
x x x
+ − +
=
+ −

2

1 1
( 1) ( 1)
x
x x x x
−
= =
− +
b)
2
3
−
+
x
x
-
)3(
2
x
x
−
+
( 3 )
2
x
x
+
=
−
+









−
+
−
x
x
3
2

( 3 )( 3 )
( 2)( 3 )
x x
x x
+ −
=
− −
+
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 3
x x
x x

 
+ −
 
−
 
− −
 
2 2
3 ( 4)
( 2)( 3 )
x x
x x
− − −
=
− −

2
7 2
( 2)( 3 )
x
x x
−
=
− −
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Thực hiện phép tính sau:
1
2
2
−

−
x
xx
+
x
x
−
−
1
1
+
1
2
2
−
−
x
x

=
1
2
2
−
−
x
xx
-
1
1

−
−
x
x
+
1
2
2
−
−
x
x
2
2
1
x
x
−
=
−

2
( 1)
1
x
x
−
=
−

1x= −
Bài 2: Rút gọn biểu thức
P
1 2 ( 1)( 2) 2 ( 2)
4
2 2
x x x x x x
x
x x
+ + + + −
= + =
−
− +

2 2 2 4
4
x x x x x
x
+ + + + −
=
−

3 2
4
x x
x
− +
=
−
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Tính:
1
11
−
−
xx
Bài 2: Cho biểu thức: P
1 2 2 5
4
2 2
x x x
x
x x
+ +
= + −
−
− +
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x = 1.
TIẾT 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phép nhân các phân thức đại số:
Ví dụ:
a)
4
1
)2)(2(
)1)(1(
2
1

.
2
1
2
2
−
−
=
−+
−+
=
−
+
+
−
x
x
xx
xx
x
x
x
x
12
DB
CA
D
C
B
A

.
.
. =
(B; D ≠ 0)
b)
1
3
)1)(1(
)3)(3(
1
3
.
1
3
2
2
−
−
=
−+
−+
=
−
−
+
+
x
x
xx
xx

x
x
x
x
2. Phép chia các phân thức đại số:

Ví dụ:
a)
1
7
1
2
.
2
7
2
1
:
2
7
+
−
=
+
+
+
−
=
+
+

+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(x
≠
-2, x
≠
-1)
b)
2
22
2
2
)2(
)2(
)1(
.
)1(
2
1
.2

:
2
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x −
=
+
−
−
−
=
−
+
−
−
(x
≠
1, x
≠
-
2
)
3. Biến đổi biểu thức hữu tỉ:

- Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân
thức đại số.
- Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ
nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân
thức .
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Thực hiện phép tính:
23
22
323
6)414(3
)27(
414
.
3
27414
:
3
27
y
x
xxy
yxx
x
yx
xy
x
yx
x
xy

x
=
+
+
=
+
+
=
++
Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q =
x
x
x
x
x
x
−
−
−








+
+
−

1
3
11
(đ/k: )
=
x
x
x
xxxx
−
−
−
−
−++
1
3
1
)1()1(
=
x
x
x
x
x
+
−
=
−
−−
=

−
−
1
3
1
)1(3
1
33
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn biểu thức: A=
x
x
x
x
x
x
4
2
.
22
−








+

+
−
Bài 2: Tính:
1
3
.
3
2
:
2
1
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
13
: . ( , , 0)
= ≠
A C A D
B C D

B D B C
a,
2
A A 0
A A
A A 0
⇔ ≥

= =

− ⇔ <

b,
( )
A.B A. B A 0,B 0= ≥ ≥

c,
( )
A A
A 0,B 0
B
B
= ≥ >
d,
( )
2
A B A B B 0
= ≥
Ví dụ:
a) Rút gọn biểu thức:

2 8 2 2 2 250 2 5 8+ + = + + =
b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
2
1 10a 25a 4a
− + −
, tại a =
2
2 2
1 10a 25a 4a (1 5a) 4a
1 5a 4a
− + − = − −
= − −
Thay a =
2
vào biểu thức trên ta được:
1224251 −=−−
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn
20 45 75 180 2 5 3 5 5 5 6 5 2 5− + − = − + − = −
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1 2
:
1
1 1
a
A
a
a a a a
 
 

= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A
b) Tìm a để A > 0
Giải: a) Điều kiện A xác định:
0; 1a a> ≠
Ta có:
1 1 2
:
1 ( 1) 1 ( 1)( 1)
a
A
a a a a a a
 
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
− − + − +
 
 
. 1 1 2 1 1 1
: .

( 1) ( 1)( 1) ( 1) 1
a a a a a a
a a a a a a a a
− − + − − −
= = =
− − + − +
b) A > 0
1
0 1 0 1
a
a a
a
−
> ⇔ − > ⇔ >
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn:
3 2
3 1 3 1
B = +
+ −
Bài 2: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2 2
a a b
Q 1 :
a b a b a a b
 
= − +
 ÷
− − − −
 

a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b
Bài 3: Cho biểu thức P
2 x 2 x 4x x 3
:
x 4
2 x 2 x 2 x x
 
+ − −
= − −
 ÷
 ÷
−
− + −
 
a) Rút gọn P.
14
b) Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0.
c) Tìm giá trị của x sao cho
P 1
=
.
TIẾT 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (Tiếp )
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a)
( ) ( )
2 2
A B A B A 0,B 0 ; A B A B A 0,B 0
= − < ≥ = ≥ ≥

;
b)
( )
A 1
AB AB 0,B 0
B B
= ≥ ≠
c)
( )
A A B
B 0
B
B
= >
;
d)
( )
( )
C A B
C
A 0,B 0,A B
A B
A B
−
= ≥ ≥ ≠
−
+
.
( )
( )

C A B
C
A 0,B 0,A B
A B
A B
+
= ≥ ≥ ≠
−
−
Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết:
1a2a
1a
:
1a
1
aa
1
M
+−
+






−
+
−
=

với
1a,0a
≠>
Giải:
2
1 1 1
:
1 2 1
1 1
:
( 1) ( 1)
1 1
1
a
M
a a a a a
a a
a a a
a
a a
+
 
= +
 ÷
− − − +
 
 
+ +
=
 ÷

− −
 
−
= = −
Suy ra
1
a
1
1M
<−=
(Vì
1a,0a
≠>
). Vậy M < 1
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
5 5 5 5
5 5 5 5
+ −
+
− +
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
5 5 5 5
20

5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
3
5 5 5 5 5 5 5 5
+ −
+ +
− +
+ + − − + + −
= = =
− + + −
15
Bài 2: Cho biểu thức: P=
2
x x x x 1 x 1
.
4
4 x x 1 x 1
   
+ −
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− +
   
a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P?
b) Tìm giá trị của x để P = 0
Giải:
a) Điều kiện:
x 0;x 1> ≠

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
3
x 1 x 1
x x x x 1 x 1 x x. x x
P . .
4
4 x x 1 x 1 4 x
x 1 x 1
x 1 x 1 . x 1 x 1
x x 1 x 1
x x 2 x 2
. .
x 1 x 1
4 x 4 x
x x 1 x 1
2 x
+ − −
   
+ − −
= − − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− +

− +
   
+ + − + − +
− +
− −
= =
− −
+ −
=
b) Để P = 0
( )
x x 1 0
⇔ + =
⇔
x 0
x 1
=


= −

Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
5 5 5 5
5 5 5 5
+ −
+
− +
Bài 2: Cho biểu thức Q =

1 x x
1 x
−
−
a) Tìm điều kiện xác định Q?
b) Rút gọn Q.
c) Tìm x để Q = 1.
Bài 3: Cho phân thức P =
2
2 2 2
6x 1 6x 1 x 36
.
x 6x x 6x 12x 12
+ − −
 
+
 ÷
− + +
 
;
a) Tìm điều kiện xác định của P?
b) Rút gọn P.
c)Tính giá trị của P tại
9 4 5x
= +
.
TIẾT 11: LUYỆN TẬP
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:
a)
( )

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− + −
− + − − +
− + − −
= = = =
− + − + − + − −
2
2
2 2
y 3y xy 3x
y y 3 x y 3 y 3 x y
y 3y xy 3x y 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
16
b)
( )
( )
( )
2
2
3
2
2 2 4
2 4 8 2
8 2

2 2 4
x x
x x
x x
x x x
− +
− +
= =
+ +
+ − +
Câu 2 : Cho biểu thức:
2
1 1 1
2
1 1 2
x x x
P
x x x
  
− +
= − −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  
a). Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
P
x

>
Giải:
a) Điều kiện:
0: 1x x
≥ ≠
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2
2
2
1 1
1 1 1 2 2
2
1 1 2 4
1 1
1
4 1 4 1
1 1 4
2
x x
x x x x
P
x x x x
x x
x
x x x x
x x x

x x
 
− − +
  
− + −
 
 ÷
= − − =
 ÷ ÷
 ÷
 ÷ ÷
 ÷
+ −
− +
 
 ÷
  
 
   
−
− −
 
= = =
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
− −
 
   
b) Để

( )
2
1 1
2 2
3
P x
x
x
x
−
> ⇔ > ⇔ <
. Kết hợp với điều kiện ta được:
1
0
3
x
< <
Câu 3: Giải phương trình:
2
14 1
1
x 3
x 9
= +
−
−
Giải: Ta có phương trình
2
14 1
1

x 3
x 9
= +
−
−
( ) ( )
14 1
1
x 3 x 3 x 3
⇔ = +
+ − −
ĐKXĐ: x ≠
3
±
.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
14 1
1 14 x 3 x 3 x 3
x 3 x 3 x 3
= + ⇒ = + − + +
+ − −
2
2
14 x 9 x 3
x x 20 0
⇔ = − + +
⇔ + − =
∆ = 1 + 4.20 = 81 > 0,
81 9∆ = =

1 2
1 9 1 9
x 4;x 5
2 2
− + − −
= = = = −
,
x
1
= 4; x
2
= -5 đều thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
= 4; x
2
= -5.
TIẾT 12: KIỂM TRA
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:
17
a)
2 3
2
x 4x 3
x 5x 6
− +
− +
b)
2 2

4 4x 9y 12xy
2x 2 3y
− − −
+ +
c)
2 3 2 3
xy 4y 2xy 4y
x y x y
− +
+
Câu 2: Tính:
2 1 3 1
:
2 1
4 2 3
+ +
−
−
Câu 3: Cho biểu thức

1 x x
A x
x x 1 x 1
 
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
+ −

 
 

a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
3
4
c) Tìm x để A < 8.
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Tính:
( ) ( )
2 2
1 1
2 5 2 5
−
− +
Câu 2: Giải phương trình:
4
2 0 (1)
2
x x
x
− + + =
+
Câu 3: Cho biểu thức:
3 2 3 9
1 :
9
3 2 6
a a a a a

A
a
a a a a
   
− − − −
= − + −
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a) Rút gon A.
b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên.
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)
ĐỀ SỐ 1
18
Câu Lời giải Điểm
Câu 1
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2
x 1 x 3
x 4x 3 x 1
a)
x 5x 6 x 2 x 3 x 2
− −
− + −
= =
− + − − −

( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
4
4x 12xy 9y
4 4x 9y 12xy
b)
2x 2 3y 2x 3y 2
4
2x 3y 2 2x 3y 2 2x 3y
2 2x 3y
2x 3y 2 2 2x 3y
−
+ +
− − −
=
+ + + +
−
+ + + − −
= = = − −
+ + + +
2 3 2 3 2 3 2 3 2
xy 4y 2xy 4y xy 4y 2xy 4y 3xy 3
c)
x y x y x y x y xy
− + − + +
+ = = =

1 đ
1 đ
1đ
Câu 2
( )
( ) ( )
2
2 1 3 1
:
2 1
4 2 3
2 1 2 1
x
4 2 3
3 1
2 1 1 1
16 12 2
4 2 3 4 2 3
+ +
−
−
+ −
=
−
+
−
= = =
−
− +
2 đ

Câu 3
a) Với x > 0 và x ≠ 1 ta có:
( ) ( )
x x 1 x x 1
x 1
A
x 1
x
 
− + +
−
 
 
=
 ÷
 
−
 
 
( )
( )
2 2
x 1
x x x x
A .
x 1
x
−
− + +
=

−
2
2 x
A 2 x
x
= =
b) Với x =
3
4
⇒
3
A 2 3
4
= =
c) A < 8 ⇔
2 x 8 x 4 x 16< ⇔ < ⇔ <
kết hợp với điều kiện
0 x 16;x 1< < ≠
.
1 đ
1 đ
2 đ
1 đ
ĐỀ SỐ 2
Câu Lời giải Điểm
Câu 1
Ta có:
19
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 1
2 5 2 5
1 1 1 1
5 2 5 2
5 2 5 2
5 2 5 2
4
4
5 4
5 2 5 2
−
− +
= − = −
− +
− +
+ − −
= = =
−
+ −
1 đ
1 đ
Câu 2
Giải: Điều kiện:
0 2 0x x
≥ ⇒ + >
, Ta có:

( )
( )
(1) 2 4 2 0
2 2 (2)
x x x
x x x
⇔ + − + + =
⇔ + = −
Điều kiện:
2 0 2x x− ≥ ⇔ ≤
.
Kết hợp điều kiện của bài ta có:
0 2x≤ ≤
Bình phương hai vế của (2) ta có:
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
2 4 4
3
x x x
x x x x x
+ = −
⇔ + = − + ⇔ =
Vậy nghiệm của phương trình là
2
3
x
=

.
1 đ
1 đ
1 đ
Câu 3
a) TXĐ:
0; 4a a≥ ≠
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3
( 3) 2 3
1 :
3 2
3 3 2 3
a a
a a a a
A
a a
a a a a
   
− +
− − −
 ÷  ÷
= − + +
 ÷  ÷
+ −
+ − − +
   
2 3 3

1 :
3 3 2 2
a a a a
A
a a a a
   
− − −
= − + −
 ÷  ÷
+ + − −
   
3 2
:
3 3
a
A
a a
−
=
+ +
3
2
A
a
=
−
b) Giả sử
a Z∈
. Để
3

2
A Z Z
a
∈ ⇔ ∈
−
( )
2a
⇔ −
là ước của 3
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
1 đ
20
2 1 3 9
2 1 1 1
2 3 5 25
2 3 1( )
a a a
a a a
a a a
a a l
 
− = = ⇔ =
 
− = − = ⇔ =
 
⇔ ⇔
 
− = = ⇔ =

 
 
− = − = −
 
2 đ
CHUYÊN 2:ĐỀ PH NG TRÌNHƯƠ
PH N I: PH NG TRÌNH B C NH TẦ ƯƠ Ậ Ấ
Ti t 13: PH NG TRÌNH B C NH T M T N V C CH GI Iế ƯƠ Ậ Ấ Ộ Ẩ À Á Ả
I. Ki n th c c b n:ế ứ ơ ả
1. nh ngh a: Đị ĩ
Ph ng trình d ng ax+b=0ươ ạ , v i a v b l hai s ã cho v aớ à à ố đ à
≠
0, c g iđượ ọ
l ph ng trình b c nh t m t n.à ươ ậ ấ ộ ẩ
Ví d :ụ
5x + 8 = 0: l ph ng trình b c nh t m t n, trong ó a = 5; b = 8à ươ ậ ấ ộ ẩ đ
-2x + 4 = 0: l ph ng trình b c nh t m t n, trong ó a = -2; b= 4à ươ ậ ấ ộ ẩ đ
-7x – 3 = 0: l ph ng trình b c nh t m t n, trong ó a = -7; b = -3à ươ ậ ấ ộ ẩ đ
2. Hai quy t c bi n i ph ng trình:ắ ế đổ ươ
a) Quy t c chuy n v :ắ ể ế
Trong m t ph ng trình, ta có th chuy n m t h ng t t v n y sang vộ ươ ể ể ộ ạ ử ừ ế à ế
kia v i d u h ng t ó.à đổ ấ ạ ử đ
Ví d 1:ụ Cho ph ng trình: x – 2 = 0, chuy n h ng t -2 t v trái sang v ph iươ ể ạ ử ừ ế ế ả
v i d u th nh +2 ta c x = 2 à đổ ấ à đượ
Ví d 2:ụ Cho ph ng trình: ươ
3
2
+ x = 0, chuy n h ng t ể ạ ử
3
2

t v trái sang v ph iừ ế ế ả
v i d u th nh - à đổ ấ à
3
2
ta c x = - đượ
3
2
b) Quy t c nhân v i m t s :ắ ớ ộ ố
Trong m t ph ng trình ta có th nhân c hai v v i cùng m t s khác 0.ộ ươ ể ả ế ớ ộ ố
Ví d 3:ụ Cho ph ng trình: ươ
2
1
x = 3, nhân hai v c a ph ng trình v i 2 ta c:ế ủ ươ ớ đượ
x = 6
Trong m t ph ng trình ta có th chia c hai v cho cùng m t s khác 0.ộ ươ ể ả ế ộ ố
Ví d 4:ụ Cho ph ng trình 3x = -2, chia hai v c a ph ng trình cho 3 ta c: xươ ế ủ ươ đượ
=
3
2−
c) Cách gi i ph ng trình b c nh t m t nả ươ ậ ấ ộ ẩ
T m t ph ng trình, dùng quy t c chuy n v hay quy t c nhân, ta luônừ ộ ươ ắ ể ế ắ
nh n c m t ph ng trình m i t ng ng ph ng trình ã cho.ậ đượ ộ ươ ớ ươ đươ ươ đ
Ví d 5: ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
3x – 6 = 0
Gi i:ả 3x – 6 = 0
⇔
3x = 6 (Chuy n -6 sang v ph i v i d u)ể ế ả à đổ ấ

⇔
x = 2 (Chia hai v cho 3)ế

V y ph ng trình có t p nghi m S={2}ậ ươ ậ ệ
II. B i t p v n d ng.à ậ ậ ụ
21
B i 1: Ch ra ph ng trình n o l ph ng trình b c nh t trong các ph ng trìnhà ỉ ươ à à ươ ậ ấ ươ
sau:
a) 2 – x = 0; b) 8x – 3 = 0; c) 0x – 3 = 0 ; d)
3x – 2 = 3.
B i 2:à Gi i ph ng trình: a) 3 - ả ươ
x
2
1
= 0
b) x + 8 = 0
c) -4x + 2 = 4
Gi i:ả
a) 3 -
x
2
1
= 0
⇔
-
x
2
1
= -3
⇔
(-2).(-
2
1

) x = (-2).(-3)
⇔
x = 6.
V y ph ng trình có t p nghi m S = {6}ậ ươ ậ ệ
b) x + 8 = 0
⇔
x = -8
V y ph ng trình có t p nghi m S = {-8}ậ ươ ậ ệ
c) -4x + 2 = 4
⇔
-4x = 4 - 2
⇔
-4x = 2
⇔
x =
2 1
4 2
x− ⇔ = −

V y ph ng trình có t p nghi m S = {ậ ươ ậ ệ
1
2
−
}
III. B i t p nghà ậ đề ị
B i 1: Trong các ph ng trình sau, ph ng trình n o l ph ng trình b c nh tà ươ ươ à à ươ ậ ấ
m t n:ộ ẩ
a) 4x – 20 = 0 b) 5y = 0
c) 12 + 7x = 0 d) x
2

- x = 0
e) 0x - 2 = 0 f) 2x – x + 10 = 0
B i 2: Gi i các ph ng trình sau: à ả ươ
a)
03
2
1
=−x
b) 1 + x = 0
c) x + 2=3 d) 3x + 2x - 5 = 0
Ti t 14: PH NG TRÌNH A C V D NG ax + b = 0ế ƯƠ ĐƯ ĐƯỢ Ề Ạ
I. Ki n th c c b n ế ứ ơ ả
Các b c ch y u gi i ph ng trình a c v d ng ax + b = 0:ướ ủ ế để ả ươ đư đượ ề ạ
- Quy ng m u hai v v kh m u (n u có).đồ ẫ ế à ử ẫ ế
- Th c hi n phép tính b d u ngo c (n u có).ự ệ để ỏ ấ ặ ế
- Chuy n các h ng t ch a n sang m t v , các h ng s sang v kia. ể ạ ử ứ ẩ ộ ế ằ ố ế
- Thu g n v gi i ph ng trình nh n c.ọ à ả ươ ậ đượ
Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình:ả ươ
x – 2 = 4 - x
Gi i:ả Ta có: x - 2 = 4 - x
⇔
x + x = 4 + 2
⇔
2x = 6
⇔
x = 3
Ph ng trình có t p nghi m S = {3}ươ ậ ệ
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình:ả ươ
8 – (x – 6) = 12 - 3x
Gi i:ả

- Th c hi n phép tính b d u ngo c: ự ệ để ỏ ấ ặ
8 – x + 6 = 12 – 3x
- Chuy n các h ng t ch a n sang m t v v chuy n các h ng s sang v kiaể ạ ử ứ ẩ ộ ế à ể ằ ố ế
- x + 3x = 12 – 8 – 6
22
- Thu g n v gi i ph ng trình v a tìm c:ọ à ả ươ ừ đượ
2x = -2
⇔
x = -1
Ph ng trình có t p nghi m : S = {-1}ươ ậ ệ
Ví d 3:ụ Gi i ph ng trình:ả ươ
5 2 7 3
6 4
x x
x
+ −
− =
Gi i:ả
- Qui ng m u hai v c a ph ng trình: đồ ẫ ế ủ ươ

5 2 7 3
6 4
x x
x
+ −
− =
- Nhân hai v c a ph ng trình v i m u chung kh m u:ế ủ ươ ớ ẫ để ử ẫ
12x - 10x + 4 = 21 - 9x
- Chuy n các h ng t ch a n sang m t v v chuy n các h ng t t do sang vể ạ ử ứ ẩ ộ ế à ể ạ ử ự ế
kia:

12x – 10x + 9x = 21 – 4
- Thu g n v gi i ph ng trình v a tìm c:ọ à ả ươ ừ đượ
11x = 17
⇔
x =
11
17
Ph ng trình có t p nghi m ươ ậ ệ






=
11
17
S
Ví d 4:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
x+
2
x -3 = 0
Gi i:ả
- t nhân t chung:Đặ ử x +
2
x -3 = 0
⇔
(1+
2
) x -3 = 0

- H s a = 1+ệ ố
2
; b = -3
- Ta có: (1+
2
) x -3 = 0
⇔
(1+
2
) x = 3
⇔
x=
21
3
+
Ph ng trình có t p nghi m: ươ ậ ệ S =






+ 21
3
II. B i t p áp d ng.à ậ ụ
B i 1:à Gi i ph ng trình:ả ươ
3x – 2 = 2x - 3
Gi i:ả
3x – 2 = 2x – 3
⇔

3x – 2x = 2 – 3
⇔
x = -1
Ph ng trình có t p nghi m ươ ậ ệ S = {-1}
B i 2à : Gi i ph ng trình:ả ươ
4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t
Gi i:ả
4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t
⇔
-2t + 5t – t + 3t = 24 – 4 – 12
⇔
5t = 8
⇔
t =
5
8
Ph ng trình có t p nghi m ươ ậ ệ S={
5
8
}
B i 3: Gi i ph ng trình:à ả ươ
(x - 1) – (2x -1) = 9 - x
Gi i:ả (x - 1) – (2x -1) = 9 - x

⇔
x - 1 - 2x + 1 = 9 – x

⇔
x – 2x + x = 9 – 1 + 1
23

⇔
0x = 9 (Không có giá tr n o c a x tho mãn ph ng trình) ị à ủ ả ươ
V y ph ng trình vô nghi m hay t p nghi m c a ph ng trình l : S = ậ ươ ệ ậ ệ ủ ươ à ∅
B i 4: Gi i ph ng trình: à ả ươ
x - 2 = x – 2
Gi i:ả x - 2 = x – 2
⇔
x – x = - 2 + 2
⇔
0x = 0
Phương với mọi x ∈ R
B i 5: Gi i ph ng trình: à ả ươ
2 1
4 3 6
x x x
x
+
− = −
Gi i:ả







=
=⇔
=⇔

=+−−⇔
−=+−⇔
−
=
+−
⇔
−=
+
−
5
4
5
4
45
412283
122483
12
122
12
483
63
12
4
S
x
x
xxxx
xxxx
xxxx
x

xxx
B i 6:à Gi i ph ng trình:ả ươ
3
6
2
2
2
3
2
=
−
−
−
+
− xxx
Gi i:ả
3
6
2
2
2
3
2
=
−
−
−
+
− xxx

⇔
3
6
1
2
1
3
1
)2( =






−+−x

⇔
(x – 2)
3
2
= 3

⇔
x – 2 =
2
9

⇔
x =

2
13

Ph ng trình có t p nghi m: S= {ươ ậ ệ
2
13
}
III. B i t p nghà ậ đề ị.
Gi i các ph ng trình:ả ươ
B i 1:à 8x-3 = 5x +12
B i 2: 32 (x+1) = 48xà
B i 3: à
4
22
3
23 −
=
−
+
xx
x

B i 4: 2x – 4 – (12 + 4x) - 1 = 3xà
B i 5:à
2
3
3
4
3
6

3
=
−
+
−
−
− xxx

Ti t 15: PH NG TRÌNH T CHế ƯƠ Í
I. Ki n th c c b nế ứ ơ ả
24
Ph ng trình có t p nghi mươ ậ ệ :
* Tích hai s : a.b = 0 ố
⇔
ho c a = 0 ho c b = 0ặ ặ
* Ph ng trình tích có d ng: A(x).B(x) = 0; ươ ạ Trong ó A(x), B(x) l a th cđ à đ ứ
- Cách gi i: A(x).B(x) = 0 ả
⇔
A(x) = 0 ho c B(x) = 0ặ
Ví d :ụ Gi i ph ng trình:ả ươ
(3x 5)(x + 3) = 0–
Ta có: (3x – 5)(x + 3) = 0
⇔
3x – 5 = 0 ho c x + 3 = 0ặ
* 3x – 5 = 0 3x = 5
⇔
x =
3
5
* x + 3 = 0

⇔
x = -3
V y ph ng trình ã cho có hai nghi m x = ậ ươ đ ệ
3
5
v x = -3à
T p nghi m c a ph ng trình l S = {ậ ệ ủ ươ à
3
5
; -3}
* Các ki n th c tr ng tâm liên quan n gi i ph ng trình tíchế ứ ọ đế ả ươ
- Nh ng h ng ng th c áng nhữ ằ đẳ ứ đ ớ
- Phân tích a th c th nh nhân tđ ứ à ử
- Quy t c bi n i v cách gi i ph ng trìnhắ ế đổ à ả ươ
- Ph ng trình a c v d ng ax + b = 0ươ đư đượ ề ạ
II. B i t p áp d ngà ậ ụ
B i 1: Gi i các ph ng trình sau:à ả ươ
a) (2x + 10)(4x + 8) = 0
b) (2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0
c) (3x – 1)






−
−
+
4

17
7
)12(2 xx
= 0
d) (3x
2
- 5x + 1)(x
2
- 4) = 0
Gi i: ả
a) Ta có: (2x + 10)(4x + 8) = 0
⇔
2x + 10 = 0 ho c 4x + 8 = 0ặ
* 2x + 10 = 0
⇔
2x = -10
⇔
x = - 5
* 4x + 8 = 0
⇔
4x = -2
⇔
x = - 2
T p nghi m c a ph ng trình l : S = {- 5; - 2} ậ ệ ủ ươ à
b) Ta có:
(2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0
⇔
2,5 + 5x = 0 ho c 0,1x - 1,2 = 0ặ
* 2,5 + 5x = 0
⇔

5x = - 2,5
⇔
x = - 0,5
* 0,1x - 1,2 = 0
⇔
0,1x = 1,2
⇔
x = 12
T p nghi m c a ph ng trình l S = {- 0,5 ; 12} ậ ệ ủ ươ à
c) Ta có:
(3x – 1)






−
−
+
4
17
7
)12(2 xx
= 0
⇔
3x – 1 = 0 ho c ặ
4
17
7

)12(2 −
−
+ xx
= 0
* 3x – 1 = 0
⇔
3x = 1
⇔
x =
3
1
*
4
17
7
)12(2 −
−
+ xx
= 0
⇔

7
)12(2 +x
=
4
17 −x

⇔

28

)12(8 +x
=
28
)17(7 −x

⇔
)17(7)12(8 −=+ xx

⇔

874916749816
−−=−⇔−=+
xxxx
25