ĐỀ HSG TOÁN 7 CÓ ĐÁP ÁN

PHềNG GD & T THANH CHNG
TRNG THCS THANH PHONG
THI HC SINH GII CP TRNG.
NM HC 2010-2011. MễN THI: TON
Thi gian:120 phỳt (Khụng k thi gian giao )
Bi 1: a) So sỏnh hp lý:


200
16
1






v
1000
2
1







b) Tớnh A =
3 10 9
6 12 11

16 .3 120.6
4 .3 6
+
+
c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x
2
= yz , y
2
= xz , z
2
= xy. Chứng minh rằng: x = y = z
Bi 2: (1,5 Tỡm x bit:
a) (2x-1)
4
= 16 b) (2x+1)
4
= (2x+1)
6

c)
2083x =+
d)
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ = +
Bi 3: Tỡm cỏc s x, y, z bit :
a) (3x - 5)
2006
+(y

2
- 1)
2008
+ (x - z)
2100
= 0
b)
4
z
3
y
2
x
==
v x
2
+ y
2
+ z
2
= 116
Bi 4 : a) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x
1
, x
2
là hai giá trị bất kì của x; y
1
, y
2
là hai

giá trị tơng ứng của y.Tính y
1
, y
2
biết y
1
2
+ y
2
2
= 52 và x
1
=2 , x
2
= 3.
b) Cho hàm số : f(x) = a.x
2
+ b.x + c với a, b, c, d Z
Biết
(1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f M M M
.Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
c) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ :

2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
+
chia ht cho 10
Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, M l trung im BC. Ly im D bt kỡ thuc
cnh BC. H v I th t l hỡnh chiu ca B v C xung ng thng AD. ng thng AM

ct CI ti N. Chng minh rng:
a) BH = AI.
b) BH
2
+ CI
2
cú giỏ tr khụng i.
c) ng thng DN vuụng gúc vi AC.
d) IM l phõn giỏc ca gúc HIC.
Hết
CHNH THC
( gm 01 trang)
ỏp ỏn Toỏn 7
Bi 1: (1,5 im):
a) Cỏch 1:
200
16
1






=
800200.4
2
1
2
1

=






>
1000
2
1







Cỏch 2:
200
16
1

>
200
32
1






=
1000200.5
2
1
2
1






=

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
4 9
10 2
12 10
12 10 10 12
6
12 12 11 11 11 11
2 11
12
12 10 11 11
11 11 11 11
2 .3 3.2.5.2 . 2.3
2 .3 1 5
2 .3 3 .2 .5
)
2 .3 2 .3 2 3 2.3 1
2 .3 2.3

6.2 .3 4.2 .3 4
7.2 .3 7.2 .3 7
b P
+
+
+
= = =
+ +
+
= = =

c) Vì x, y, z là các số khác 0 và x
2
= yz , y
2
= xz , z
2
= xy
; ;
x z y x z y x y z
y x z y x z y z x
= = = = =
.áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
1
x y z x y z
x y z
y z x y z x
+ +
= = = = = =
+ +

Bi 2: (1,5 im):
a) (2x-1)
4
= 16 .Tỡm ỳng x =1,5 ; x = -0,5
(0,25im)
b) (2x+1)
4
= (2x+1)
6
. Tỡm ỳng x = -0,5 ; x = 0; x = -15
(0,5im)
c)
2083x =+
2083x =+

2083x =+
;
2083x =+

2083x =+

283x =+


x = 25; x = - 31

2083x =+

123x =+

: vụ nghim
d)
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ = +
1 2 3 4
1 1 1 1
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ = +
2010 2010 2010 2010
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ = +
2010 2010 2010 2010
0
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ =
( )
1 1 1 1
2010 0
2009 2008 2007 2006
x

+ =
ữ

2010 0 2010x x

= =

Bi 3:
a) (3x - 5)
2006
+(y
2
- 1)
2008
+ (x - z)
2100
= 0

(3x - 5)
2006
= 0; (y
2
- 1)
2008
= 0; (x - z)
2100
= 0


3x - 5

= 0; y
2
- 1 = 0 ; x - z

= 0

x = z =
3
5
;y = -1;y = 1
b)
4
z
3
y
2
x
==
v x
2
+ y
2
+ z
2
= 116
T gi thit

4
29
116
1694
2
z
2

y
2
x
16
2
z
9
2
y
4
2
x
==
++
++
===

Tỡm ỳng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 )
Bi 4: a) Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên:
2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2
2 1 1
2
1 1
2 52
4
3 2 3 2 3 9 4 9 4 13
) 36 6
x y y y y y y y y y y

x y y
y y
+
   
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = =
 ÷  ÷
+
   
+ = ⇒ = ±
Víi y
1
= - 6 th× y
2
= - 4 ;
Víi y
1
= 6 th× y
2
= 4 .
b)Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

( )
( )
) (0) 3 3
) (1) 3 3 3 1
) ( 1) 3 3 3 2
f c
f a b c a b
f a b c a b
+ ⇒

+ ⇒ + + ⇒ +
+ − ⇒ − + ⇒ −
M M
M M M
M M M
Tõ (1) vµ (2) Suy ra (a + b) +(a - b)
3 2 3 3a a⇒ ⇒M M M
v× ( 2; 3) = 1
3b⇒ M
VËy a , b , c ®Ịu chia hÕt cho 3
c)
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
=
2 2
3 3 2 2
n n n n+ +
+ − −
=
2 2
3 (3 1) 2 (2 1)
n n
+ − +
=
1
3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n−
× − × = × − ×

= 10( 3
n
-2
n-1
)
Vậy
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
M
10 với mọi n là số ngun dương.
Bài 5:
a. ∆AIC = ∆BHA ⇒ BH = AI
(0,5điểm)
b. BH
2
+ CI
2
= BH
2
+ AH
2
= AB
2

(0,75điểm)
c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ⇒ N là trực tâm ⇒ DN
⊥
AC

(0,75điểm)
d. ∆BHM = ∆AIM ⇒ HM = MI và ∠BMH = ∠IMA
(0,25điểm)
mà : ∠ IMA + ∠BMI = 90
0
⇒ ∠BMH + ∠BMI = 90
0

(0,25điểm)
⇒ ∆HMI vng cân ⇒ ∠HIM = 45
0

(0,25điểm)

mà : ∠HIC = 90
0
⇒∠HIM =∠MIC= 45
0
⇒ IM là phân giác ∠HIC
(0,25điểm)

*) Ghi chú:
Nếu học sinh có cách giải khác đúng, vẫn được điểm tối đa.
H
I
M
B
A
C
D

N