De thi HSG Toan 7 co Dap an

§Ò thi häc sinh giái cÊp trêng n¨m häc 2009-2010
M«n: to¸n
Líp 7
Thêi gian: 120 phót
ĐỀ BÀI
Bài 1(4 điểm)
a/ Tính:
A=
3 3 3 1 1 1
4 11 13 2 3 4
5 5 5 5 5 5
7 11 13 4 6 8
− + − +
+
− + − +
b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:
z
zyx
y
yxz
x
xzy
−+
=
−+
=
−+
Hãy tính giá trị biểu thức:
B =
1 1 1
x y z

y z x
 
  
+ + +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
.
Bài 2 (4điểm)
a/ Tìm x,y,z biết:
2
1 2
0
2 3
x y x xz− + + + + =
b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
chia hết cho 10.
Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người
đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4
phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang
bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia
MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng

minh: I, M, K thẳng hàng.
c/ Từ E kẻ EH
⊥
BC (H
∈
BC). Biết góc HBE bằng 50
0
; góc MEB bằng 25
0
,
tính các góc HEM và BME ?
Bài 5(2điểm): Tìm x, y
∈
N biết:
( )
2
2
36 8 2010y x− = −
Híng dÉn chÊm

Bµi ý
Nội dung Điểm
1
4 ®iÓm
a
8
5
6
5
4

5
4
1
3
1
2
1
13
5
11
5
7
5
13
3
11
3
4
3
+−
+−
+
+−
+−
+







+−
+−
+






+−






+−
4
1
3
1
2
1
2
5
4
1
3
1

2
1
13
1
11
1
7
1
5
13
1
11
1
4
1
3
=
13117
1295
13114
1353
xx
x
xx
x
+
5
2
=
1295

13117
13114
1353
x
xx
x
xx
x
+
5
2
=
5
2
172
189
+
=
5172
21725189
x
xx
+
=
860
1289
2
b
Ta có:
y z x z x y x y z

x y z
+ − + − + −
= =

1 1 1
y z z x x y
x y z
+ + +
⇒ − = − = −
( )
2
2
x y z
y z z x x y
x y z x y z
+ +
+ + +
⇒ = = = =
+ +
1 1 1
 
  
⇒ = + + +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
x y z
B
y z x

. .
x y y z z x
y z x
+ + +
=

. . 2.2.2 8
x y z x y z
z y x
+ + +
= = =
Vậy B=8
0,5
0,5
0,5
0,5
2
4 điểm
a

2
1 2
0
2 3
x y x xz− + + + + =
Áp dụng tính chất
A

≥

0
( )
2
1
1
0
0
2
2
2 2
0 0
3 3
0
0
x
x
y y
x x z
x xz


− =
− =






⇒ + = ⇒ + =

 
 
 
+ =
+ =
 



1
2
2
3
1
2
x
y
z x

=



⇒ = −



= − = −



Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
0,25
1,5
0,25
b
Ta có:
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
=
2 2
(3 3 ) (2 2 )
n n n n+ +
+ − +

( ) ( )
2 2
3 3 1 2 2 1
n n
= + − +

3 .10 2 .5= −
n n
= 10.(3
n
– 2
n-1
)
Vì 10.(3

n
– 2
n-1
) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương
Suy ra điều phải chứng minh.
0,75
0,5
0,5
0,25
3
4điểm
Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được
theo thứ tự là x,y,z.
Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ
nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3
người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.
Do đó ta có:
1 1 1
: : : : 12 :15 :10
5 4 6
x y z = =
.
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
555
15
12 15 10 12 15 10 37
x y z x y z+ +
= = = = =
+ +
180; 225; 150x y z⇒ = = =

.
Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần
lượt là: 180, 225, 150 .
0,5
1,0
0,75
0,75
0,75
0,25
a (2 điểm)
Xét
AMC
∆
và
EMB∆
có :
K
H
E
M
B
A
C
I
Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa.
K
H
E
M
B

A
C
I