Giải BT nghiệm nguyên bằng cách đưa về PT tổng

giải bài toán nghiệm nguyên bằng cách đa về phơng
trình tổng
I. đặt vấn đề:
Môn Toán là một bộ môn giúp học sinh phát triển t duy lôgíc, lí luận
chặt chẽ nó cũng là bộ môn cơ bản để giúp học sinh phát triển đầu óc, khả
năng sáng tạo và linh động trong lúc giải các bài toán.
Đối với học sinh lớp 8, 9 khi gặp phải bài toán tìm nghiệm nguyên của
một phơng trình nào đó. Chẳng hạn: "Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng
trình
16954
22
=+ yxyx
" các em thờng gặp phải những khó khăn và lúng túng
trong cách giải, thậm chí không giải đợc. Để giúp các em giải quyết vấn đề
này ta phải làm gì?
Không có con đờng nào khác là thầy giáo phải hớng dẫn cho học sinh
các cách giải đối với từng loại, từng dạng toán một cách hợp lý thì học sinh sẽ
giải quyết đợc những khó khăn lúng túng mắc phải. Từ đó thêm yêu thích và
say mê học tập.
Trong quá trình giảng dạy toán 8 và 9. Đặc biệt là Đại số - Nhiều lúc
gặp bài toán nghiệm nguyên của phơng trình tôi nhận thấy loại bài toán giải
phơng nguyên nghiệm nguyên là một vấn đề khó và đa dạng đối với học sinh
thờng xuất hiện trong các kì thi và đặc biệt là kì thi học sinh giỏi.
Vi vây, tôi nhận thấy cần phải làm gì đó để giúp các em không gặp phải
khó khăn lúng túng khi đứng trớc những bài toán đó. Đặc biệt là khâu phát
hiên và bồi dỡng những học sinh giỏi, là nhân tài cho đất nớc.
Do đó ở đây tôi đa ra một cách giải bài toán nghiệm nguyên bằng cách
đa về phơng trình tổng để bạn đọc tham khảo và mong muốn lớn hơn là giúp
học sinh áp dụng để giải đợc các bài toán tơng tự từ đó thêm say mê nghiên
cứu và yêu thích toán học.
ii. giải quyết vấn đề:

1. Thực trạng của vấn đề:
Bài toán đặt ra: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình
16954
22
=+ yxyx
Để giải bài toán trên và những bài toán có dạng tơng tự trên đối với học
sinh các em gặp nhiều khó khăn. Vì các em cha biết cách giải. Trong chơng
trình học tập của các em cũng cha hớng dẫn cách giải cho dạng toán này.
Do đó khi giáo viên đa ra bài toán, học sinh nhiều em không giải đợc và
không có hớng giải quyết trớc bài toán đó.
2. Số liệu điều tra:
Khi đa ra bài toán trên cho học sinh giải kết quả cho thấy nh sau:
1
Lớp Không giải đợc Giải đợc
9B 75% 25%
9G 80% 20%
3. Giải pháp thực hiện:
Để giúp học sinh giải đợc bài toán trên và cá bài toán có dạng trên giáo
viên đa ra cách giải đó là đa phơng trình trên về phơng trình tổng.
Đây chính là nội dung sáng kiến kinh nghiệm của tôi.
iii. nội dung của kinh nghiệm.
1. Tổng quát.
Giả sử phơng trình nghiệm nguyên có dạng:
f (x; y; ) = a
Để giải phơng trình nghiệm nguyên ở trên ta có thể biến đổi chúng về
dạng:
Với k; a
1
; a
2

, , a
n
Z.
f
1
(x; y; ) ; f
2
(x; y; ); ; f
n
(x; y; ) Z.
Xét mọi trờng hợp có thể xảy ra từ đó tìm đợc nghiệm thích hợp.
2. Cụ thể:
Ví dụ 1: Giải bài toán đặt ra ở trên:
16954
22
=+ yxyx
(1)
Giải
(1) (x - 2y)
2
+ y
2
= 169
Số 169 chỉ có 2 cách phân tích thành tổng hai số chính phơng.
169 = 13
2
+ 0
2
= 12
2

+ 5
2
mà y Z
+
; x - 2y N
do đó có các khả năng sau:
* x - 2y = 0; y = 13 suy ra x = 26 ; y = 13.
* x - 2y = 5; y = 12 suy ra x = 29; y = 12.
hoặc x = 19; y = 12
* x - 2y = 12; y = 15 suy ra x = 22; y = 5
hoặc x = -2; y = 5 (loại)
Thử lại ta có nghiệm nguyên dơng (x; y) của phơng trình là: (26; 13);
(29; 12); (19; 12); (22; 5).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
2
k
n
kkk
n
kk
aaayxfyxfyxf
+++=+++
; );( ; );(; );(
2121
x
2
- x - 6 = - y
2
(3)
Giải

(3) 4x
2
- 4x - 24 = -4y
2
(2x - 1)
2
+ 4y
2
= 25
(2x - 1)
2
+ (2y)2 = 25
Số 25 chỉ có 2 cách phân tích thành tổng là:
25 = 0
2
+ 5
2
= 3
2
+ 4
2
; mà 2y N; 2x - 1 N
Do đó có các khả năng sau:
* 2x - 1 = 0
2
1
=x
2y = 5 y =
2
5

loại
* 2x - 1 = 3 x = 2 ; x = 2
2y = 4 y = 2 y = - 2
* 2x - 1 = 3 x = -1 ; y = 2
2y = 4 x = -1 y = -2
* 2x - 1 = 4 2x - 1 = 4
2y = 3 y = +
2
3
loại
* 2x - 1 = 5 x = 3 ; x = -2
2y = 0 y = 0 y = 0
Vậy nghiệm nguyên (x; y) của phơng trình là:
(3; 0); (-2 ; 0); (2; 2); (-1; 2); (2; -2); (-1; -2)
3. áp dụng :
+ Bài tâp 1:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
+ 13y
2
= 100 + 6xy (2)
Giải
(2) x
2
+ 13y
2
= 6xy = 100
(x - 3y)
2

+ (2y)
2
= 100
( x - 3y)
2
+ (2y
2
= 100
Mà 100 = 0
2
+ 10
2
= 6
2
+ 8
2
; x - 3y, 2y N
Do đó ta có các khả năng sau:
* x - 3y = 0 x = 15 x = - 15
3






2y = 10 y = 5 y = - 5
* x - 3y = 10 x = 10 x = - 10
2y = 0 y = 0 y = 0
* x - 3y = 6 x = 18 x = 6

2y = 8 y = 4 y = 4
x = - 6 x = - 18
y = - 4 y = - 4
* x - 3y = 8 x = 17 x = 1
2y = 6 y = 3 y = 3
x = - 1 x = - 17
y = - 3 y = - 3
VËy nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh lµ:
(15; 5); (-15; -5); (10; 0); (-10; 0); (18; 4); (-18; -4); (6; 4); (-6; -4);
(17; 3); (-17; -3); (1; 3); (-1; -3).
+ Bµi tËp 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh.
3x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 4xy + 2xz = 26 - 2yz. (4)
Gi¶i
(4) ⇔ x
2
+ (x
2
+ 2xy + y
2
) + (x
2
+ y
2
+ z

2
+ 2xy + 2xz + 2yz) = 26
⇔ x
2
+ (x + y)
2
+ (x + y + z)
2
= 26
V× x, y, z nguyªn d¬ng nªn 1 < x < x + y < x + y + z.
Mµ 26 = 1
2
+ 3
2
+ 4
2
.
x + y + z = 4
Do ®ã ta cã: x + y = 3
x = 1
x = 1
⇔ y = 2
z = 1
NghiÖm nguyªn d¬ng lµ (1; 2; 1)
+ Bµi tËp 3: T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph¬ng tr×nh.
x
2
+ y
3
- 3y

2
= 65 - 3y (5)
Gi¶i
* NÕu y = 0 th× x
2
= 65 ⇒ x ∉ Z
* NÕu y > 1 th× x
2
+ y
3
- 3y
2
= 65 - 3y
⇔ x
2
+ (y
3
- 3y
2
+ 3y - 1 ) = 64
4
⇒
⇒
⇒
x
2
+ (y - 1)
3
= 64
Mà x, y - 1 N, 64 = 0

2
+ 4
3
= 8
2
+ 0
3
Nên ta có: * x = 0 x = 0
y - 1 = 4 y = 5
* x = 8 x = 8
y - 1 = 0 y = 1
Một số bài tập áp dụng:
+ Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 4x
2
+ 4x + y
2
= 24
+ Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình
x
2
- 8xy + 17y
2
= 169
4. Kết quả:
Sau khi giáo viên đã hớng dẫn cho học sinh cách giải này thì đại đa số
học sinh biết áp dụng và giải đợc các bài toán trên và các bài toán có dạng t-
ơng tự.
Kết quả thu đợc.
Lớp Không giải đợc Giải đợc
9B 43% 57%

9G 48% 52%
iv. kết luận:
Trên đây là một số bài toán về giải phơng trình nghiệm nguyên. Mặc
dầu ban đầu nó khó với học sinh và nhiều em cha giải đợc, nhng sau khi tôi h-
ớng dẫn học sinh giải cách đa về phơng trình tổng thì nhiều em đã giải đợc và
chắc chắn rằng nó sẽ giúp cho các em, bạn đọc làm giàu thêm vốn kiến thức
của mình. Tuy nhiên đối với phơng trình nghiệm nguyên thì nó có rất nhiều
cách giải và cũng thực sự là khó. Do đó tôi rất mong muốn đón nhận đợc
nhiều ý kiến đóng góp của bạn đọc để hoàn chỉnh hơn sáng kiến của mình.
Xin chân thành cảm ơn !
5