Giải bài toán đưa về pt bậc hai

Sáng kiến kinh nghiệm
i. LờI NóI ĐầU
Đây là tài liệu nói về phơng pháp học giải toán bằng cách lập phơng
trình bậc hai nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ
và tìm lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học. Tài liệu
này là cầu nối giữa lí thuyết và thực hành toán học.
Học giải toán là một cách t duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn
đề trừu tợng và khá khó đối với học sinh, nhng đó lại là điều rất cần thiết
cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trờng THCS.
Nội dung giới thiệu:
1. Các bài toán điển hình, mỗi bài toán đều gồm:
Đề bài
Tìm hiểu đề bài
Hớng dẫn cách tìm lời giải
Cách giải
Khai thác bài toán.
2. Các bài toán tự giải
Các vị phụ huynh học sinh, các thầy cô giáo có thể dùng tài liệu này
làm tài liệu hớng dẫn con em mình học tập. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ
giúp ích nhiều cho học sinh để có thể phát huy nội lực trong giải toán nói
riêng và học toán nói chung.
- 1 -
Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
ii. Nội dung
Giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai
A. Các bài tập điển hình
Bài 1:
a. Tìm hai số biết tổng là 22 và tổng các bình phơng là 250.
b. Tìm một số có hai chữ số biết rằng số này gấp 8 lần tổng hai chữ số
của nó và nếu thêm 13 và tích hai chữ số đó thì sẽ đợc số viết theo thứ tự

ngợc lại.
Tìm hiểu đề bài
Đây là bài toán tìm số. ở câu a phải tìm hai số khi biết tổng và tổng
các bình phơng của chúng. ở câu b phải tìm một số có hai chữ số theo một
số điều kiện cho trớc.
Hớng dẫn cách tìm lời giải
a. Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là 22 - x. Tổng các bình phơng
của chúng là x
2
+ (22 - x)
2
= 250. Tiếp tục giải phơng trình bậc hai này.
b. Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị heo thứ tự là x và y. Số phải tìm
sẽ là 10x + y, số viết theo thứ tự ngợc lại là 10y + x. Từ đó mà lập phơng
trình.
Cách giải
a. Gọi số thứ nhất là x (x > 0), số thứ hai sẽ là 22 - x. Theo bài ra ta có
phơng trình:
x
2
+ (22 - x)
2
= 250, hay x
2
+ 484 - 44x + x
2
- 250 = 0;
2x
2
- 44x + 234 = 0 hay x

2
- 22x + 117 = 0.
Giải ra ta sẽ tìm đợc
1
x
= 13;
1
x
= 9, thỏa mãn điều kiện ở trên. Vậy
hai số phải tìm là 13 và 9.
- 2 -
Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
b. Gọi chữ số hàng chục là x (0 < x

9), chữ số hàng đơn vị là y (0 <
y

9) với x > y.
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
( ) ( )
( )
10 8 1
10 13 2
x y x y
y x xy
+ = +


+ = +

(1)

10x + y = 8x + 8y => 2x = 7y => x =
7y
x
Thay giá trị x vào (2) ta đợc:
10y +
7
2
y
=
7
2
y
.y +13 => 7y
2
- 27y + 26 = 0
=>
1
y
= 2;
2
13
7
y =
(loại).
Từ đó suy ra
7 7.2

7
2 2
y
x = = =
, thỏa mãn điều kiện ở trên.
Vậy số phải tìm là 72.
Khai thác bài toán
Có thể giải hai bài toán tơng tự:
a. Tổng các bình phơng của hai số hơn kém nhau 3 thì bằng 98. Tìm
hai số đó.
b. Phân tích số 270 thành hai thừa số mà tổng bằng 33.
- Với bài toán a ta gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là x + 3. Theo bài
ra ta có phơng trình: x
2
+ (x + 3)
2
=89

2x
2
+ 6x - 80 = 0
=>
1 2
5; 8x x
= =
(loại)
Vậy hai số phải tìm là 5 và 8.
- Với bài toán b nếu gọi số thừa số thứ nhất là x thì thừa số thứ hai là
33 - x. Theo bài ra ta có phơng trình:
x(33 - x) = 270

x
2
- 33x + 270 = 0.
=>
1 2
18; 15x x
= =
- 3 -
Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
Vậy số 270 có thể phân tích thành hai thừa số là 18 và 15.
Bài 2:
a. Đa giác mà số đờng chéo lớn hơn số cạnh là 12 là đa giác gì?
b. Đờng cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền
thành hai đọan hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền.
Tìm hiểu đề
Đây là loại toán có nội dung hình học. Câu a đòi hỏi phải nắm đợc
công thức tính số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh. Câu b liên quan
đến hệ thức lợng trong tam giác vuông.
Hớng dẫn cách tìm lời giải
a. Một đa giác lồi n cạnh có số đờng chéo là
( )
3
2
n n
. Từ đó mà lập ph-
ơng trình để tìm n khi biết số đờng chéo hơn số cạnh là 12.
b. Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6. áp dụng
hệ thức lợng trong tam giác vuông h

2
= b'.c' (h là độ dài đờng cao, b' và c'
là hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền). Từ đó tìm đợc x và độ dài cạnh
huyền của tam giác vuông.
Cách giải
a. Gọi n là số cạnh của đa giác (n là số nguyên dơng). Ta biết rằng số
đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh là
( )
3
2
n n

Theo bài ra ta có phơng trình:
( )
1
2
2
8
3
12 5 24 0
3 ( )
2
n
n n
n n n
n loai
=


= =

=


Vậy đa giác phải tìm là bát giác (hình tám cạnh).
- 4 -
Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
b. Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6 (m) với
x > 0.
Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: h2 = b'.c' hay:
9,62 = x(x + 5,6)

x2 + 5,6x - 92,16 = 0
=>
1
x
= 7,2 (thỏa mãn)

2
x
= -12,8 (loại)
Ta có hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là 7,2m và 7,2 + 5,6 =
12,8m. Vậy cạnh huyền có độ dài là: 7,2 + 12,8 = 20m.
Khai thác bài toán
Bài toán có nội dung hình học đòi hỏi phải nắm vững kiến thức về
hình học. Ta có thể xét thêm bài toán sau:
Cho một số điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào
thẳng hàng thì số đờng thẳng qua từng cặp điểm một là
( )

1
2
n n
(đờng
thẳng).
Theo bài ra ta có phơng trình:
( )
1
2
n n
= 45

n2 - n - 90 = 0 => n = 10
Lu ý: nếu trong n điểm có đúng 3 điểm thẳng hàng thì số đờng thẳng
vẽ đợc sẽ giảm đi 2 (vì qua 3 điểm không thẳng hàng thì vẽ đợc 3 đờng
thẳng còn qua 3 điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ đợc một đờng thẳng).
Bài 3:
a. Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc dòng 36 km.
Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi
dòng hơn vận tốc khi ngợc dòng là 6 km/h. Tìm vận tốc của canô khi xuôi
và khi ngợc dòng.
- 5 -
Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
b. Một ngời đi xe đạp từ địa điểm M đến địa điểm N trong một thời
gian đã định. Khi còn cách N 30 km ngời ấy nhận thấy nếu giữ nguyên
vận tốc đang đi thì sẽ đến N chậm mất
1
2
giờ , do đó đã tăng vận tốc lên 5

km/h nên đến sớm hơn
1
2
giờ. Tìm vận tốc xe đạp lúc đầu?
Tìm hiểu đề bài
Đây là loại toán chuyển động. ở câu a là canô xuôi dòng và ngợc
dòng, ở câu b là ngời đi xe đạp sẽ đến nơi chậm và đến nơi sớm hơn thời
gian dự định nếu tăng vận tốc. ở cả hai câu đều yêu cầu tìm vận tốc.
Hớng dẫn cách tìm lời giải
a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h, vận tốc khi ngợc dòng sẽ
là x - 6 km/h. Hãy tính thời gian khi xuôi dòng và khi ngợc dòng, từ đó
mà lập đợc phơng trình bậc hai. Sẽ tìm đợc hai đáp số.
b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h. Hãy tính thời gian đi 30 km
lúc đầu và thời gian đi 30 km khi đã tăng vận tốc thêm 5 km/h. Từ đó mà
lập đợc phơng trình bậc hai.
Cách giải
a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h (x > 0), vận tốc khi ngợc
dòng sẽ là x - 6 km/h.
Thời gian xuôi dòng là
90
x
giờ, khi ngợc dòng là
36
6x
giờ. Do thời
gian xuôi nhiều hơn thời gian ngợc là 2 giờ nên ta có phơng trình:
2
90 36 45 18
2 1 33 270 0
6 6

hay x x
x x x x
= = + =

=>
1
15x
=
(t/m) ;
2
18x
=
(t/m)
Vậy vận tốc canô khi xuôi dòng là 15 km/h hoặc 18 km/h.
- 6 -
Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa