SKKN một số PP viết số thập phân vô hạn tuần hoàn

A. Đặt vấn đề
I: lời mở đầu:
Trong trờng THCS việc nâng cao chất lợng dạy và học là vấn đề th-
ờng xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lợng học sinh ngày càng
đợc nâng cao yêu cầu ngời giáo viên phải có một phơng pháp giảng dạy phù
hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tợng học sinh.
Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có đợc những kiến thức và kỹ năng
giải đợc thành thạo các loại toán dạng này, đáp ứng đợc mục tiêu t duy
tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc đặc
biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung
cấp cho các em một số phơng pháp giải cơ bản về loại toán này.
Tôi mong rằng qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả năng t
duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về cách viết số thập
phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong chơng trình môn toán THCS - Toán 7, tiết 13 (PPCT) đã đề cập
đến bài dạy số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn, song
với thời lợng 1 tiết đó tôi nghĩ rằng cha đủ để giúp học sinh đào sâu, nắm
bắt đợc cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số. Bởi vì,
trong chơng trình chỉ mới đa ra 1 số ví dụ điển hình và các nhận xét. Và
qua các ví dụ này chỉ có những em ham học hỏi, thông minh mới tìm ra lời
giải. Còn đa số học sinh vẫn cha hiểu đợc lời giải. Qua thực tế điều tra ban
đầu tại 3/4 lớp 7, Trờng THCS Đa Lộc trên tổng số 150 học sinh. Thông
qua bài tập, viết số 0,2(5) dới dạng phân số. Thì kết quả thật là ngạc nhiên.
Số em làm đợc: 35/150 em; số em cha làm đợc 115/150 em. Trên cơ sở đó
qua một thời gian 2 năm bản thân tiếp cận đối tợng, nghiên cứu tài liệu, học
hỏi và đã mạnh dạn đa ra 1 số phơng pháp để giúp tất cả các em biết cách
giải dạng toán này.
Tôi mạnh dạn đa ra đề tài:
1
Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 Một vài phơng pháp viết số thập

phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số .
B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện:
Đề tài đợc thực hiện trong thời gian hạn hẹp, thiếu các phơng tiện
nghiên cứu cần thiết, năng lực bản thân còn hạn chế. Do vậy mà đề tài chỉ
dám đề cập đến một số nội dung chính sau:
1. Nghiên cứu tâm lý học tập của học sinh THCS.
2. Dạy học sinh một vài phơng pháp viết số thập phân vô hạn tuần
hoàn dới dạng phân số.
3. Dạy học sinh giải một số bài toán liên quan đến số thập phân vô
hạn tuần hoàn.
4. Theo dõi kết quả học tập bộ môn của học sinh khối 7 trong hai
năm học 2006-2007 và 2007-2008.
5. Thống kê kết quả và rút ra kết luận.
Với những nội dung trên đề tài đợc thực hiện theo các phơng pháp sau:
II. Các biện pháp thực hiện:
Một vài phơng pháp viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới
dạng phân số.
Trớc hết ta giúp học sinh hiểu đợc khi nào phân số viết đợc dới dạng
số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.
* Nếu một phân số tối giản với mẫu dơng mà mẫu không có ớc nguyên
tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn.
Ví dụ:
a.
6
0, 24
25
=
mẫu 25 = 5
2

không có ớc nguyên tố khác 2 và 5
b.
3
0,1875
16
=
mẫu 16 = 2
4
không có ớc nguyên tố khác 2 và 5
2
* Nếu một phân số tối giản với mẫu dơng mà mẫu có ớc là số nguyên tố
khác 2 và 5 thì phân số đó viết đợc dới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ:
a.
7
0,2333 0,2(3)
30
= =
mẫu 30 = 2.3.5 có thừa số nguyên tố 3 khác 2
và 5
b.
4
0,444 0,(4)
9
= =
mẫu 9 = 3
2
khác 2 và 5
Số trong dấu ngoặc đơn gọi là chu kỳ.
* Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kỳ bắt đầu ngay

sau dấu phẩy.
Ví dụ

: 0,(12); 0, (4) gọi là vô hạn tuần hoàn đơn.
* Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là tạp nếu chu kỳ không bắt đầu
ngay sau dấu phẩy, phần thập phân đứng trớc chu kỳ gọi là phần bất thờng.
Ví dụ 1:

0,2(3) -> số thập phân VHTH tạp.
Chu kỳ là 3; phần bất thờng là 2.
1. Phơng pháp 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân
số dựa vào quy tắc sau:
1.1. Quy tắc 1:
)(, ba
= a +
9
b
; (b 9); Số trong ngoặc tròn là chu kỳ.
Ta đi chứng minh quy tắc 1: Từ
9
)(,
b
aba +=
; (b9)
Đặt M = a,(b)
M = a,b b b b b b.
M = a + 0,b b b b b.
M -a = 0,b + 0,0b + 0,00b + 0,000b + b (1)
Nhân 2 vế của (1) với 10 ta có:
10 (M-a) = b + 0,b + 0,0b + 0,00b + + b (2)

3
Theo (1) ta có: a, b + 0,0b + 0,00b + b = M a
Thay vào (2) ta đợc:
10 (M - a) = b + (M - a)
9 (M - a) = b M - a =
9
b
M = a +
9
b
Ví dụ 1:
a.
2 29
3,(2) 3
9 9
= + =
b. 0,(4) = 0 +
4 4
9 9
=
c. 12,(4) = 12 +
9
112
9
4
=
Bài tập tự giải 1:

Viết các số thập phân sau dới dạng phân số:
0,(5); 0,(6); 2,(7); 8,(3); 15,(6)

* Trên cơ sở quy tắc 1 ta cũng chứng minh đợc các quy tắc sau:
1.2. Quy tắc 2:
Ví dụ:
a. 2, (42) =
42 14 80
2 2
99 33 33
+ = + =
b. 1, (25) =
25 124
1
99 99
+ =
Bài tập tự giải 2

: Viết các số thập phân sau dới dạng phân số:
3,(24); 0,(12); 12,(45); 4,(03)
1.3. Quy tắc 3:
Ví dụ 1:

1, (123)=
123 41 374
1 1
999 333 333
+ = + =
Ví dụ 2:

0,(245) = 0 +
245 245
999 999

=
Bài tập tự giải 3

: Viết các số thập phân sau dới dạng phân số:
4
)(, bca
= a +
99
bc
)(, bcda
= a +
999
bcd
2,(256); 0,(801); 14,(245); 0,(422)
Tổng quát

:
Quy tắc:

Muốn viết số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn( chu kì sau
dấu phẩy) thành phân số. Ta lấy chu kì làm tử , còn mẫu số là các chữ số 9 (
số chữ số 9 bằng các chữ số của chu kì)
Ví dụ:

Viết các số thập phân sau dới dạng phân số.
a. 2,(2345) = 2+
2345 22343
9999 9999
=
b. 0,(123456) = 0 +

123456 41152
999999 33333
=
Bài tập tự giải 4

: Viết các số thập phân sau dới dạng phân số.
Câu 1:

3,(12) ; 2,(29); 5, (57) ; 1, (95);
Câu 2:

6, (763); 5, (134); 6, (241); 1, (302)
Câu 3:

0,(12345678); 12, (3456); 26, (1375); 1, (0647)
2. Phơng pháp 2: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân
số dựa vào quy tắc sau:
2.1. Quy tắc 5:
Ta đi chứng minh quy tắc 5:
Đặt N = a,b(c)=a + 0,bc.c

N a = 0,bc c

N a = 0,bc + 0,00c + 0,000c + + 0,c (1)

10(N -a) = b,c + 0,0c + 0,00c + +0, c (2)
Mà: N- a 0,bc = 0,00c + .+0,.c

10(N -a) = b,c + 0,0c + (N - a - 0,bc)

9( N - a) = b,c +0,0c - 0,bc
5
n
aaaa (,
21
) = a +
9 999
321 n
aaaa
n chữ số 9
(
)c(b,a
) = a +
109.
bbc

9.10(N - a) = bc + 0,c - b,c
= bc + 0,c - b - 0,c
= bc - b

N - a =
9.10
bc b


N +
9.10
bc b
Ví dụ:
a. 1,3 (4) = 1 +

34 3 31 121
1
9.10 90 90

= + =

b. 2,4 (6) = 2 +
46 4 42 111
2
9.10 90 45

= + =

Bài tập tự giải 5

: Viết các số thập phân sau dới dạng phân số
2,2(3); 0,4(6); 12,4(8); 8,0(1)
* Trên cơ sở quy tắc 5 ta cũng chứng minh đợc quy tắc sau:
2.2. Quy tắc 6
Muốn viết số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp ( chu kì không bắt
đầu ngay sau dấu phẩy)
Ví dụ:
a. 4,3 (42) = 4 +
990
3342
=
4359 1453
990 330
=
b. 0,2 (56) = 0 +

990
2256
=
990
254
=
495
127
Bài tập tự giải 6:

Viết các số thập phân sau dới dạng phân số
4,0(44); 3,2(12); 7,9(24); 0,0(12)
6
(
)cd(b,a
) = a +
1099.
bbcd
2.3. Quy t¾c 7: ( c¸ch kh¸c cña quy t¾c 5)
Ta cã: (
)c(b,a
) =
,( ) 0,( ) 1
( )
10 10 10 9
ab c ab c c
ab
+
= = +
VÝ dô 1:

2.3 ( 6) =
10
1
x (23 +
6 71
)
9 30
=

VÝ dô 2:

2,4 (6) =
10
1
x (24 +
9
6
) =
15
37
Bµi tËp tù gi¶i 7

: ViÕt c¸c sè thËp ph©n sau díi d¹ng ph©n sè
2,9(4); 9,1(2); 5,7(4); 3,1(6)
2.4. Quy t¾c 8: ( c¸ch kh¸c cña quy t¾c 7)
VÝ dô 1:

1,2 (43) =
10

1
x (12 +
99
43
) =
990
1231
VÝ dô 2:

5,4 (75) =
10
1
x (54 +
99
75
) =
330
1807
Bµi tËp tù gi¶i 8:

3,3(23); 0,1(12); 14,2(24); 10, 3(25)
2.5. Quy t¾c 9:
VÝ dô 1:

2,35 (7) =
100
1
x (235 +
9
7

) =
450
1061
VÝ dô 2:

3,45 (296) =
100
1
x (345 +
999
296
) =
2700
9323
Bµi tËp tù gi¶I 9:

ViÕt c¸c sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn sau díi
d¹ng ph©n sè.
7
(
)c(b,a
) =
10
1
x
( )
)c(,ab
=
10
1

x






+
9
c
ab

)(, cdba
=
10
1
x
( )
)cd(,ab
=
10
1
x









+
99
cd
ab

)d(bc,a
=
100
1
x
( )
)d(,abc
=
100
1
x








+
9
d
abc
1. 6,7 (5); 2,5 (2); 2,3 (12);

2. 12,31 (2); 3,44 (11); 2,231 (214);
3. Tính
( ) ( ) ( )
( )
451234
311271352
,
,, ++
3. Phơng pháp 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân
số dựa vào số đã biết 0, (1) =
9
1
;
1
0,(01)
99
=
;
1
0,(001)
999
=
3.1. Quy tắc 10:
+ 0, (b) = 0, (1).b =
9
1
.b =
9
b
+ a, (b) = a + 0, (b) = a + 0, (1).b = a +

9
b
+ a, (bc) = a + 0, (bc) = a + 0, (01). bc
= a +
99
1
.bc = a +
99
bc

, ( ) 0, ( ) 0,(001).
999
a bcd a bcd a bcd
bcd
a
+ = + = +
= +
3.2. Bài tập tự giải 10

: Viết các số thập phân dới dạng phân số.
0, (5); 2, (7); 5, (24)
4. Một số dạng bài tập liên quan.
4.1. Dạng 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dới dạng phân số.
0, (9); 0,(26); 0,(123); 4,01(8); 0,12(63)
4,41(3); 0,12 (63); 0,1 (25); 0,(12); 0,(6789)
4.2. Dạng 2: Thực hiện phép tính.
Câu 1:
a. 0,(32) + 0,(67)
b. 10,(3) +0,(4) - 8,(6)
c.[12,(1) - 2,3(6)]: 4, (21)

8
d. 12, (31) -
990
1219
+ 1,2 (31)
4.3. Dạng 3: So sánh số thực sau:
a. 0,123 và 0,(123); c. 2,3 (496) và
20
47
b.
7
3
và 0,(4); d. [0,(5)]
2
và (0,5)
2
e. [0,(24)]
2
và (0,24)
2
; g. [0,3 (54)]
2
và
121
16
4.4. Dạng 4: Tìm x, y biết.
a. 0, (12): 1,(6) = x : 0,(3) ; Đs : x =10
b.
[ ]
0,(37) 0,(62) . 10x+ =

; Đs: x =
1
55
c.
3
0,(3) 0,(384615)
50
13
0,0(3) 13 85
x+ +
=
+
; Đs: x =
1
30
9
c.
)x(y,)y(x, 00
= 0,00(1).8 và x + y = 9
Gợi ý:
90
0
xxy
)y(x,

=
90
0
yyx
)x(y,

=
Qua các phơng pháp, ví dụ, các dạng bài tập trên chúng ta thấy đợc
rằng việc nắm vững kiến thức về số thập phân vô hạn tuần hoàn không
những phục vụ cho cách giải các bài toán về số thập phân mà còn cực kỳ
quan trọng, là công cụ đắc lực cho việc giải quyết các dạng bài tập liên
quan. Với phơng pháp này chúng ta có thể giải quyết hàng loạt các bài toán
tơng tự và phơng pháp này có thể áp dụng đợc trong mọi điều kiện của nhà
trờng.
9
C. Kết Luận:
Trên đây là một số phơng pháp thờng dùng và có hiệu quả ở trờng
học cơ sở. Cùng với phơng pháp đó trong quá trình giảng dạy cho học sinh
tôi thấy các em học tập có kết quả tốt hơn, có hứng thu hơn trong khi tiếp
thu kiến thức mới. Đó là việc giải quyết vấn đề nhanh chóng, hiệu quả, chủ
động tìm ra phơng án đúng để giải quyết. Do vậy mà bớc đầu đã thu đợc
một số kết quả.
Sau 2 năm nghiên cứu thực hiện đề tài với đối tợng là học sinh khối 7
là 4 lớp tổng số là 150 học sinh. Với hình thức kiểm tra nhanh 10 phút với
kết quả đợc nh sau.
Điểm
Lớp
Dới trung bình Trung bình-> Khá Giỏi
7A 0% 20% 80%
7B 0% 30% 70%
7C 1% 27% 72%
7D 1% 36% 63%
Trong quá trình viết đề tài tôi đã nghiên cứu tài liệu, tham khảo ý
kiến đóng góp của các đồng nghiệp. Mặc dù đề tài đã thu đợc một số kết
quả nhng do năng lực, điều kiện, thời gian nghiên cứu còn hạn chế. Nên tôi

rất mong đợc sự đóng góp ý kiến dể đề tài có hiệu quả hơn trong công tác
giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đa Lộc, ngày 20/01/2011
Ngời viết
Trần Văn Thắng
10