Bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học

CHUYấN DY S
Kế hoạch bồi dỡng gồm 7 buổi; mỗi buổi 2 tiết.
Buổi 1: Tiết 1: Cung cấp kiến thức về dãy số.
Xác định quy luật của dãy số.
Tiết 2: Dạng 1: Điền thêm số vào sau, giữa hoặc trớc một dãy số.
Buổi 2: Tiết 1: Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không.
Tiết 2: Luyện tập dạng 1, dạng 2.
Buổi 3: Tiết 1: Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy.
Tiết 2: Luyện tập dạng 3.
Buổi 4: Tiết 1: Dạng 4: Tính tổng các số hạng của dãy số.
Tiết 2: Luyện tập dạng 4.
Buổi 5: Luyện tập chung (2 tiết).
Buổi 6: Tiết 1: Kiểm tra 40 phút.
Tiết 2: Chữa bài.
Buổi 7: Trả bài kiểm tra, nhận xét bài làm của học sinh.
- Ra bài tập tự luyện.
1. Muốn làm đợc các bài toán về dãy số ta cần phải nắm đợc các kiến thức sau:
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số
chẵn Vì vậy, nếu:
Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lợng các số lẻ bằng số lợng các số
chẵn.
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lợng các số chẵn bằng
số lợng các số lẻ.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lợng các số lẻ nhiều
hơn các số chẵn là 1 số.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lợng các số chẵn
nhiều hơn các số lẻ là 1 số.
a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lợng các số trong dãy số
chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.
b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lợng các số trong dãy
số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trớc số đầu tiên.

2. Các bài toán về dãy số có thể phân ra các nhóm sau:
+ Dãy số cách đều:
- Dãy số tự nhiên.
- Dãy số chẵn, lẻ.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó.
+ Dãy số không cách đều.
- Dãy có tổng(hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số.
3. Cách giải các dạng toán về dãy số:
Dạng 1: Điền thêm số vào sau, giữa hoặc trớc một dãy số
Trớc hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:
+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng số đứng trớc nó cộng(hoặc trừ) với một số tự nhiên a.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng số đứng trớc nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q
khác 0.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 3) bằng tổng 2 số đứng trớc nó.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 4) bằng tổng của số đứng trớc nó cộng với số tự nhiên d rồi
cộng với số thứ tự của số ấy.
+ Số đứng sau bằng số đứng trớc nhân với số thứ tự.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trớc.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trớc trừ đi 1.
Ví dụ 1:
1. Điền thêm 3 số vào dãy số sau:
1; 2 ; 3 ;5 ; 8 ; 13; 2 ; 34 ; ; ; .
Muốn giải đợc bài toán trên trớc hết phải xác định quy luật của dãy số nh sau:
Ta thấy: 1 + 2 = 3 3 + 5 = 8
2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
Dãy số trên đợc lập theo quy luật sau: Kể từ số thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng tổng
của hai số liền trớc nó.
Vậy dãy số đợc viết đầy đủ là: 1; 2; 3; 5; 8; 13; 34; 55; 89; 144
2. Viết tiếp 3 số vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27
Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15

15 = 3 + 4 + 8
Từ đó ta rút ra đợc quy luật của dãy số là: Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng tổng của ba số
đứng trớc nó.
Viết tiếp ba số, ta đợc dãy số sau: 1; 3; 4; 8; 15; 27; 50; 92; 169.
3. Tìm số đầu tiên của các dãy số sau :
a ; ; 32 ; 64 ; 128 ; 25 ; 512 ; 1024 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số .
b ; ; 44 ; 5 ; 66 ; 77 ; 88 ; 99 ; 110 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số .
*) Giải:
a. Ta nhận xét :
Số thứ 10 là : 1024 = 512
ì
2
Số thứ 9 là: 512 = 256
ì
2
Số thứ 8 là: 256 = 128
ì
2
Số thứ 7 là : 128 = 64
ì
2

Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số đầu tiên là: mỗi số của dãy số gấp đôi số
ng liền trớc đó.
Vậy số đầu tiên của dãy là: 1
ì
2 = 2.
b. Ta nhận xét :
Số thứ 10 là: 110 = 11
ì

10
Số thứ 9 là: 99 = 11
ì
9
Số thứ 8 là: 88 = 11
ì
8
Số thứ 7 là: 77 = 11
ì
7

Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số bằng 11 nhân với số thứ tự
của số ấy.
Vậy số đầu tiên của dãy là : 1
ì
11 = 11.
4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :
a. 3 ; 9 ; 27 ; ; ; 729, ;
b. 3 ; 8 ; 23 ; ; ; 608, ;
Muốn tìm đợc các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tìm đợc quy luật của mỗi dãy số
đó.
a. Ta nhận xét : 3
ì
3 = 9 ; 9
ì
3 = 27
Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trớc.
Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là:
27
ì

3 = 81 ; 81
ì
3 = 243 ; 243
ì
3 = 729 (đúng).
Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243.
b. Ta nhận xét: 3
ì
3 1 = 8 ; 8
ì
3 1 = 23.

Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, số sau bằng 3 lần số trớc trừ đi 1, vì vậy,
các số còn thiếu ở dãy số là:
23
ì
3 1 = 68 ; 68
ì
3 1 = 203 ; 203
ì
3 1 = 608 (đúng).
608
ì
3 1 = 1823
Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203 ; 1823.
5. Lúc 7giờ sáng, một ngời đi từ A đến B và một ngời đi từ B đến A ; cả hai cùng đi
đến đích của mình lúc 2giờ chiều. Vì đờng đi khó dần từ A đến B ; nên ngời đi từ A, giờ
đầu đi đợc 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Ngời đi từ B giờ cuối cùng đi đợc
15km, cứ mỗi giờ trớc đó lại giảm 1km. Tính quãng đờng AB.
*) Giải:

2 giờ chiều là 14 giờ trong ngày.
2 ngời đi đến đích của mình trong số giờ là:
14 7 = 7 (giờ).
Vận tốc của ngời đi từ A đến B lập thành dãy số:
15; 14; 13; 12; 11; 10; 9.
Vận tốc của ngời đi từ B đến A lập thành dãy số:
9; 10; 11; 12; 13; 14; 15.
Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đờng AB là:
9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (km).
Đáp số: 84 km
* Bài tập tự luyện:
1. Viết số hạng còn thiếu trong dãy số sau:
a. 7; 10; 13; ; ; 22; 25.
b. 103, 95, 87, ; ; ; 55, 47.
c. 2; 4 ;8; 16; ; ; ;256.
2. 13; 19; 25; ,
Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào?
Số nào suy nghĩ thấp cao?
Đố em đố bạn làm sao kể liền?
Lu ý dạng1 : Trong bài toán về dãy số thờng ngời ta khụng cho biết cả dãy số (vì dãy
số có nhiều số không thể viết ra hết đợc) vì vậy, phải tìm ra đợc quy luật của dãy mới tìm
đợc các số mà dãy số không cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số
không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật.
Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?
Cách giải của dạng toán này:
- Xác định quy luật của dãy;
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không?
Ví dụ:
1. Cho dãy số: 2; 4; 6; 8;
a. Nêu quy luật viết dãy số?

b. Số 93 có thuộc dãy trên không? Vì sao?
*) Giải:
a. Ta nhận thấy: Số thứ 1: 2 = 2
ì
1
Số thứ 2: 4 = 2
ì
2
Số thứ 3: 6 = 2
ì
3

Số thứ n: ? = 2
ì
n
Quy luật của dãy số là: Một số bằng 2 nhân với số thứ tự của số ấy trong dãy.
b. Ta nhận thấy các số trong dãy là số chẵn, mà số 93 là số lẻ, nên số 93 không phải
là số thuộc dãy trên.
2. Cho dãy số: 2; 5;8 ;11;14; 17;
Viết tiếp 3 số vào dãy số trên?
Số 2000 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
*) Giải:
Ta thấy: 8 5 = 3; 11 8 = 3;
Dãy số trên đợc viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số bằng số đứng
liền trớc nó cộng với 3.(Dãy cách đều 3 đơn vị, số đầu tiên của dãy là 2). Vậy 3 số tiếp
theo của dãy số là: 20, 23, 26.
* Số 2000 thuộc dãy số trên. Vì (2000 2 ): 3
3. Em hãy cho biết:
a. Các số 60; 483 có thuộc dãy 80; 85; 90; hay không?
b. Số 2002 có thuộc dãy 2; 5; 8 ; 11; hay không?

c. Số nào trong các số 798; 1000; 9999 có thuộc dãy 3; 6; 12; 24; giải thích tại
sao?
*) Giải:
a. Cả 2 số 60; 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:
- Các số của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
- Các số của dãy đã cho đều chia hết cho5,mà 483 không chia hết cho5.
b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số của dãy khi chia cho 3 đều d 2, mà
2002 chia 3 thì d 1.
c. Cả 3 số 798; 1000; 9999 đều không thuộc dãy 3; 6; 12; 24; vì:
* Mỗi số của dãy (kể từ số thứ 2) bằng số liền trớc nhân với 2 hoặc quy luật là :
3
ì
2 = 6
3
ì
(2
ì
2) = 12
3
ì
(2
ì
4) = 24
- Các số (kể từ số thứ 3) có số đứng liền trớc chia cho 2 đợc kết quả là số chẵn, mà
798 : 2 = 399 (là số lẻ).
- Các số của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.
- Các số của dãy (kể từ số thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.
4. Cho dãy số: 1996; 1993; 1990; 1997; ; 55; 52; 49.
Các số sau đây có phải là số của dãy không?
100; 123; 456; 789; 1900; 1995; 1999?

*) Giải:
Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.Và số có giá trị bé nhất trong dãy chia cho
3 d 1.Nên kể từ số thứ hai của dãy lấy đem chia cho chia cho 3 đều d 1.
- Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 1999 không
phải là số của dãy số đã cho.
- Mỗi số trong dãy số đã cho là số chia cho 3 d 1. Do đó số 100 và số 1900 không
thuộc dãy số đó.
Các số 123; 456; 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó cũng không phải là
số thuộc dãy số đã cho.
* Bài tập tự luyện:
1. Cho dãy số: 1; 4; 7; 10;
a. Nêu quy luật của dãy số.
b. Số 31 có phải là số thuộc dãy trên không, nếu phải thì số thứ bao nhiêu?
c. Số 1995 có thuộc dãy này không? Vì sao?
2. Cho dãy số: 1004; 1010; 1016; ; 3008.
Số 2004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?
3. Cho dãy số: 1; 7; 13; 19; ;
a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số tiếp theo.
b. Trong hai số 1999 và 2001 thì số nào thuộc dãy số trên ? Vì sao?
Lu ý dạng 2 : Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không?
Ta cần xem dãy số cho trớc và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia
hết cho một số nào đó hoặc có cùng số d) thỡ số đó thuộc dãy đã cho.
Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy.
* Cách giải ở dạng này là:
- Sử dụng phơng pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây). Ta có công thức
sau:
Số các số hạng của dãy = số khoảng + 1.
- Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trớc ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số thì số đó
bằng tổng bấy nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì đợc tính theo công thức:
( 1)

2
nx n
Ví dụ:
1. Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; ; 1992.
a. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
b. Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là số mấy?
*) Giải:
a. Ta có:
2 4 6 8 10 1992
4 2 = 2 ; 8 6 = 2
6 4 = 2 ;
Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trớc cộng
với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.
Dựa vào công thức trên:
S s hng = (Số hạng cuối số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Ta có: Số các số hạng của dãy là:
(1999 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).
b. Ta nhận xét:
Số thứ 2 là: 4 = 2 2 = 2 + (2 1)
ì
2
Số thứ 2 là: 6 = 2 + 4 = 2 + (3 1)
ì
2
Số thứ 2 là: 8 = 2 + 6 = 2 + (4 1)
ì
2

Số thứ 2002 là: 2 + (2002 1)
ì

2 = 4004
Đáp số: a. 996 số hạng.
b. 4004 số hạng.
2. Cho 1; 3; 5; 7; là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên. Hỏi 1981 là số hạng thứ bao
nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?
(Đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học 1980 1981)
*) Giải:
Ta thấy:
Số hạng thứ nhất bằng: 1 = 1 + 2
ì
0
Số hạng thứ hai bằng: 3 = 1 + 2
ì
1
Số hạng thứ ba bằng: 5 = 1 + 2
ì
2

Còn số cuối cùng: 1981 = 1 + 2
ì
990
Vì vậy, số 1981 là số thứ 991 trong dãy số đó.
3. Cho dãy số: 1; 2; 3; 4; .; 195.
a. Tính số chữ trong dãy.
b. Chữ số thứ 195 là chữ số nào?
*) Giải:
a. Ta viết lại dãy số:
1; 9; 10; 99; 100; ; 195.
Trong dãy có 9 số gồm 1 chữ số; các số này cho 9 chữ số.
Có 90 số gồm 2 chữ số; các số này cho 2

ì
90 = 180 chữ số.
Có 96 số gồm 3 chữ số; các số này cho 3
ì
96 = 288 chữ số.
Vậy chữ số trong dãy là:
9 + 180 + 288 = 477 (chữ số)
b. Trên đây ta đã tính đợc số chữ số trong từng đoạn của dãy.
1 9, 10 99, 100 , 195
9 180 288
477
Vì < 195 < 477, nên chữ số thứ 195 là chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến 195, vì 195
189 = 6, nên đây là chữ số thứ 6 trong đoạn từ 100 đến 195.
Ta thấy đó là chữ số 1 (nằm trong số 101)
* Bài tập tự luyện:
1. Cho dãy số: 3; 8; 13; 23;
Tìm số hạng thứ 30 của dãy số trên?
2. Cho dãy số: 1; 4; 9; 16;
a. Nêu quy luật của dãy?
b. Số 625 là số hạng thứ bao nhiêu?
c. Số hạng thứ 100 là số nào?
3. Ngời ta viết các số chẵn liên tiếp có 2 chữ số liền nhau thành một số lớn theo quy
tắc sau:
10 12 14 16 18 96 98
a. Số đó có bao nhiêu chữ số?
b. Trong đó có bao nhiêu số 6?
4. Xét dãy số: 100; 101; ; 789.
a. Dãy này có bao nhiêu số?
b. Số thứ 100 là số nào?
c. Dãy này có bao nhiêu chữ số?

d. Chữ số 789 là chữ số nào?
Lu ý dạng 3 : Có các yêu cầu sau:
+ Tìm tất cả các chữ số của dãy.
+ Tìm tất cả các số hạng của dãy.
Khi giải cũng tính bằng một công thức nh ở phần cách giải đã nói.
+ Tìm chứ số thứ n của dãy.
Ta cần phải tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n của dãy là số có bao
nhiêu chữ số, từ đó tìm ra câu hỏi của bài toán.
+ Tìm số hạng thứ n của dãy.
Ta chỉ cần tìm đấn quy luật của dãy là đợc (nếu là dãy số cách đều), nếu là dãy số
(không cách đều) đợc tính theo công thức n
ì
(n 1) : 2
Dạng 4: Tớnh tổng các số hạng của dãy số.
* Phng phỏp lm:
Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số
hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy:
Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng (số hạng đầu và cuối )
nhân với số s hạng của dãy chia cho 2.
Viết thành công thức tính:
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối)
ì
(số s hạng : 2)
Ta suy ra:
Số đầu của dãy = tổng
ì
2 : số số hạng số hạng cuối.
Số cuối của dãy = tổng
ì
2 : số số hạng số đầu.

Ví dụ:
1. Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên
*) Giải: 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
1; 3; 5; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37.
Ta thấy: 1 + 37 = 38 5 + 33 = 38
3 + 35 = 38 7 + 31 = 38
Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta đợc các cặp số đều có tổng số là 38.
Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) d một số hạng.
Số hạng d này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19 số lẻ liên
tiếp đầu tiên là:
39
ì
9 + 19 = 361
Đáp số: 361.
Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ cũn lại số hạng ở
chính giữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng
còn lại không sắp sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể làm cách 2:
19 1 = 18 (số hạng) (trừ ra số đầu hoặc cuối cùng của dãy)
Ta thấy: 3 + 37 = 40 ; 7 + 33 = 40
5 + 35 = 40 ; 9 + 31 = 40

Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì đợc các cặp
số có tổng là 40.
Số cặp số là: 18 : 2 = 9 (cặp số)
Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
1 + 40
ì
9 = 361
Hoặc: (1 + 35)
ì

9 + 37 = 361
Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số
cuối) để còn lại số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng
với số hạng đã để lại thì đợc tổng của dãy số.
- Từ ví dụ trên, ta thấy khi giải toán bằng phơng pháp của lý thuyết tổ hợp, phải
phân biệt rạch ròi cặp sắp xếp thứ tự với cặp không sắp xếp thứ tự.
Lu ý dạng 4 : Có các yêu cầu:
+ Tìm tổng các số hạng của dãy.
+ Tính nhanh tổng.
* Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có
tổng đều bằng nhau, sau đó tìm cặp số, tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số
cặp số mà còn d một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số d đó vào.
* Bài tập tự luyện:
1. Tính tổng:
a. Của tất cả các số lẻ bé hơn 100
b. 1 + 4 + 9 + 16 + + 169
2. Tính nhanh tổng của các só trên mặt đồng hồ? Cho ví dụ tơng tự rồi suy ra cách tính
của dãy số cách đều?
3. Tính nhanh các tổng sau:
a. 1 + 2 + 3 + + 999
b. 1 + 4 + 7 + 10 + +
x
(cho biết
x
là số hạng thứ 50)
c. 1; 2 ; 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; 96 ; 192 ; 384.
Dãy số trên có 10 số hạng
Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh
Đố em, đố chị, đố anh
Tìm ra phơng pháp tính nhanh mới tài.

*Bài tập ôn luyện:
1. Tìm số thứ tự 18 của mỗi dãy số sau:
a/. 2; 4; 6; 8; 10; .
b/. 1; 5; 9; 13; 17; .
2. Cho dãy số :
0; 3; 6; 9; 12; .
Em hãy xem xét những số sau đây, số nào thuộc dãy số trên và là số thứ mấy trong dãy
số đó:
172; 366; 218; 427.
3. Tìm xem mỗi dãy số sau đây bao nhiêu số:
a/. 1; 2; 3; 4; ; 127.
b/. 1; 6; 11; 16; 21; ; 256.
4. Dãy các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 428 có tất cả bao nhiêu số.
5. Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ 25 đến 746 có tất cả bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu
số lẻ?.
6. Cho dãy số: 1; 2; 3; 4; 2004; 2005; 2006.
Hỏi dãy số có tất cả bao nhiêu chữ số?
KIM TRA
(Thi gian 40 phỳt)
Bi 1: (2 im)
Viết tiếp 5 số thích hợp vào mỗi dãy số sau:
a/. 1; 3; 5; 7; 9; .
b/. 2; 6; 18; 54; .
Bi 2: (4 im)
Điền số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng:
a. Bằng 142
25 87
b. Bằng 143
29 58
Bi 3: (6 im)

Cho dãy số: 1; 3; 6; 10; 15; ; 45; 55;
a. Số 1997 có phải là số thuộc dãy số này hay không?
b. Số 561 có phải là số của dãy số này hay không? Nếu số đó đúng là số của dãy số
đã cho thì số đó ở vị trí thứ mấy của dãy số đó?
B i 4: (7 im)
Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ 46 đến 455 có tổng của các số lẻ hơn tổng các số chẵn
bao nhiêu đơn vị?
Trỡnh by bi khoa hc,ch vit p: 1 im.
CHUYấN TèM HAI S KHI BIT TNG (HOC HIU) V T S CA HAI S ể
Kế hoạch bồi dỡng gồm 8 buổi; mỗi buổi 2 tiết.
Buổi 1: Tiết 1: Ôn kiến thức cơ bản Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó.
Tiết 2: Bài tập nâng cao (BTNC) dạng toán ẩn tổng số.
Buổi 2: Tiết 1: BTNC dạng toán ẩn tỷ số.
Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn cả tổng và tỷ số.
Buổi 3: Luyện tập chung (2tiết)
Buổi 4: Tiết 1: Ôn kiến thức cơ bản Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn hiệu số.
Buổi 5: Tiết 1: BTNC dạng toán ẩn tỉ số.
Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn cả hiệu và tỉ số.
Buổi 6: Luyện tập tổng hợp cả chuyên đề (2 tiết).
Buổi 7: Tiết 1: Kiểm tra (40 phút)
Tiết 2: Chữa bài kiểm tra.
Buổi 8: Trả bài kiểm tra, nhận xét. Ra bài tập tự luyện.
A. Tỡm hai s khi bit tng s v t s ca hai s ú.
Khi gii bi toỏn tỡm hai s khi bit tng s v t s ca hai s ú trc ht phi tỡm
c:
a) Tng s ca hai s ú.(Tng ú cú khi c phỏt biu bng nhiu hỡnh thc khỏc
nhau m khụng cho rừ tng s).
Chng hn : Tng s ca hai s ú bng tớch gia s l nh nht cú hai ch s vi s
chn ln nht cú hai ch s. Khi ú tng ca hai s ú l:

11
ì
98 = 1078
b) T s ca hai s ú. (Cú khi t s ny cng c phỏt biu di hỡnh thc khỏc).
Chng hn: T s ca hai s bng thng gia s ln nht cú hai ch s vi s l nh
nht cú hai ch s. Lỳc ú t s ca hai s l:
99 : 11 = 9
c) Tìm tổng số phần bằng nhau của hai số.
d) Tìm giá trị của mỗi phần.
Giá trị 1 phần = Tổng các số : Tổng số phần.
e) Tìm mỗi số phải tìm.( số lớn ,số bé)
Bài toán: Tổng của hai số bằng số lớn nhất có 4 chữ số. Tỉ số giữa số lớn so với số bé
bằng số nhỏ nhất có hai chữ số. Tìm hai số đó.
Phân tích: Số lớn nhất có 4 chữ số là 9999. Vậy tổng của hai số đó là 9999.
Số nhỏ nhất có hai chữ số là 10. Vậy tỉ số giữa số lớn so với số bé là 10 hay số lớn
bằng 10 lần so với số bé. Từ đó vẽ sơ đồ ta tìm được hai số đó.
Giải: Số lớn nhất có 4 chữ số là số 9999. Vậy tổng của hai số đó là 9999. Số nhỏ nhất
có hai chữ số là số 10. Vậy tỉ số giữa số lớn so với số bé là 10 hay số lớn bằng 10 lần số
bé.
Ta có sơ đồ:
Số bé
Số lớn
}
9999
9999 bằng mấy lần số bé ?
1 + 10 = 11
Số bé là: 9999 : 11 = 909
Số lớn là: 999 – 909 = 9090
Đáp số: 909 và 9090
Bài tập áp dụng:

1. a) Khi viết thêm một chữ số 0 vào bên phải một số, ta được số mới. Số mới đó bằng
bao nhiêu lần số ban đầu?
b) Cho biết tổng của số mới với số ban đầu là 297. Hỏi số ban đầu là bao nhiêu?
Híng dÉn gi¶i:
a) Khi viết thêm một chữ số 0 vào bên phải một số ta được số mới. Số mới đó gấp
10 lần số ban đầu.
b) Theo bài ra ta có sơ đồ:
Số mới
Số ban đầu 297
297 bằng mấy lần số ban đầu?
10 + 1 = 11 (lần)
Số ban đầu là:
297 : 11 = 27
Đáp số: a) 10 lần
b) 27
2. a) Cho một số, viết thêm vào bên phải số đó một chữ số 0 ta được số mới thứ nhất.
Thay chữ số 0 vừa viết thêm ở số mới thứ nhất bằng chữ số 4, ta được số mới thứ hai.
1) So sánh số mới thứ hai với số mới thứ nhất.
2) So sánh số mới thứ hai với số đã cho.
b) Nếu tổng của số mới thứ hai với số ban đầu là 433 thì số ban đầu đã cho là bao
nhiêu?
Híng dÉn gi¶i:
a) 1/. Số mới thứ hai hơn số mới thứ nhất 4 đơn vị.
2/. Số mới thứ hai bằng 10 lần số đã cho cộng với 4.
b) Theo đề bài, ta có sơ đồ: 4
Số mới thứ 2
Số đã cho
433

Số ban đầu là: (433 - 4) : (10 + 1) = 39

Đáp số: a) 1/. 4 đơn vị
2/. 10 lần cộng với 4
b): 39
3. Tìm một số biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó một chữ số 7 ta được số mới
và tổng của số mới với số phải tìm là 1074.
Híng dÉn gi¶i:
Khi viết thêm một chữ số 7 vào bên phải một số bất kỳ, ta được số mới bằng 10 lần
số ban đầu cộng với 7. Vì vậy ta có sơ đồ: 7
Số mới
Số phải tìm
1074

Số phải tìm là: (1074 - 7) : (10 + 1) = 97
Đáp số: 97
4. Một phép cộng có hai số hạng. Biết số hạng thứ hai bằng 4 lần số hạng thứ nhất và
tổng các số: số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai, tổng số bằng 250. Tìm phép cộng đó.
Híng dÉn gi¶i:
Cách 1: Theo đề bài ta có sơ đồ:
Số hạng 1

205 bằng mấy lần số hạng thứ nhất?
1 + 4 + 5 = 10 lần
Số hạng thứ nhất là: 250 : 10 = 25
Số hạng thứ hai là: 25 x 4 = 100
Tổng số là: 25 x 5 = 125
Phép cộng đó là: 25 + 100 = 125
Đáp số: 25 + 100 = 125
Cách 2: Ta có: Số hạng 1 + Số hạng 2 + Tổng số = 250
Tổng số + Tổng số = 250
Tổng số là: 250 : 2 = 125

Vậy ta có sơ đồ:
Số hạng 1
Số hạng 2

125
Nhìn vào sơ đồ ta thấy:
Số hạng thứ nhất là: 125 : ( 1 + 4 ) = 25
Số hạng thứ hai là: 25
×
4 = 100
Phép cộng đó là: 25 + 100 = 125
Đáp số: 25 + 100 = 125
5. Tìm một số có hai chữ số biết rằng nếu viết thêm vào bên phải và bên trái số đó mỗi
bên một chữ số 3 ta được số mới và tổng của số mới với số phải tìm bằng 3322.
Híng dÉn gi¶i:
Cách 1: Khi viết thêm vào bên phải một số một số có hai chữ số một chữ số 3 ta được
số mới thứ nhất có ba chữ số bằng 10 lần số phải tìm cộng với 3 đơn vị.
Khi viết thêm vào bên trái số có ba chữ số một chữ số 3 thì chữ số 3 đó ở hàng nghìn
nên được số mới thứ hai lớn hơn số mới thứ nhất 3000 đơn vị.
Như vậy, số mới thứ hai bằng 10 lần số phải tìm cộng với 3003.
Giải ra ta có đáp số: 29.
Cách 2: Gọi số phải tìm là
ab
, theo đề bài ta có số mới là
33ab
:
mà
33ab
=
ab

×
10 + 3003.
Ta có sơ đồ:
3003
Số phải tìm
Số mới
3322

Giải ra ta có đáp số là: 29.
Cách 3: Gọi số phải tìm là
ab
thì số mới là
33ab
ta có:

33ab
b = 9 vì chỉ có 3 + 9 = 12 viết 2 nhớ 1
+

ab
Vậy a = 2 vì 9 + 1 nhớ +a = 12
3322
Số phải tìm là 29.
Đáp số: 29
Cần lưu ý: Chữ số viết thêm bên trái số đó đứng ở hàng nào để xác định số đó tăng
thêm bao nhiêu đơn vị.
Bài tập tự luyện:
6. Cho một số, nếu viết thêm vào bên phải số đó một chữ số ta được số mới và tổng
của số mới với số đã cho bằng 1994. Tìm:

a) Số đã cho.
b) Chữ số viết thêm.
7. Cho một số. Nếu viết thêm vào bên phải số đó một chữ số ta được số mới. Đem số
mới chia cho số đã cho ta có phép chia có tổng các số: số bị chia, số chia, số thương, số dư
bằng 1093. Tìm:
a) Số đã cho.
b) Chữ số viết thêm.
8. Cho một số, biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó một số có hai chữ số ta
được số mới. Đem số mới chia cho số đã cho ta có phép chia có tổng các số: số bị chia, số
chia, số thương, số dư bằng 9181. Tìm:
a) Số đã cho.
b) Chữ số viết thêm.
9. Cho số có hai chữ số. Nếu ta viết thêm vào bên phải hoặc bên trái số đó chính số đó
ta được số mới có 4 chữ số và tổng của số mới với số đã cho bằng 8466. Tìm số đã cho.
10. Cho hai số có hai chữ số mà số lớn bằng 3 lần số bé. Nếu đem số bé viết vào bên
phải và bên trái số lớn ta được 2 số mới mỗi số có 4 chữ số. Tổng của hai số có 4 chữ số
đó bằng 4848. Tìm hai số đã cho.
11. Cho hai số có hai chữ số mà nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 4. Nếu
đem số lớn ghép vào bên phải hoặc bên trái số bé ta được hai số có 4 chữ số và tổng của
hai số có 4 chữ số đó bằng 12120. Tìm hai số đã cho.
12. Cho một số có chữ số ở hàng đơn vị là 3. Nếu xoá chữ số 3 đó ta được số mới. Biết
tổng của số mới đó với số đã cho là 135. Tìm số đã cho
II.2. Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của hai số đó.
Người ra đề bài thường phát biểu về hiệu của hai số hoặc tỉ số của hai số dưới hình
thức khác, nên khi giải bài toán: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó nhất thiết
phải tìm được:
a) Hiệu của hai số phải tìm.
b) Tỉ số của hai số phải tìm.
c) Tìm số phần ứng với hiệu số.
d) Tìm giá trị của mỗi phần.

Giá trị 1 phần = hiệu các số : hiệu số phần.
e) Tìm mỗi số phải tìm.
* Bài toán: Cho hình chữ nhật có tỉ số chiều rộng so với chiều dài là
5
2
. Chiều dài
hơn chiều rộng 45m. Tính:
a) Chu vi hình chữ nhật đã cho.
b) Diện tích hình ch÷ nhật đã cho.
Phân tích: Tỉ số chiều rộng so với chiều dài là
5
2
thì chiều rộng chia thành 2 phần
bằng nhau, chiều dài có 5 phần như thế.
Giải: (Sau khi phân tích như trên ta giải tiếp như sau):
Ta có sơ đồ:
Chiều rộng
45m
Chiều dài
45m chia thành mấy phần bằng nhau ?
5 – 2 = 3 (phần)
Giá trị của một phần là:
45 : 3 = 15 (m)
Chiều rộng là:
15
×
2 = 30 (m)
Chiều dài là:
30 + 45 = 75 (m)
a) Chu vi hình chữ nhật là:

(30 + 75)
×
2 = 210 (m)
b) Diện tích hình chữ nhật là:
75
×
30 = 2250 (m
2
)
Đáp số: a) 210m
b) 2250m
2
Bài tập áp dụng:
1. Cho một số có chữ số hàng đơn vị là 0. Nếu xoá chữ số 0 đó ta được số mới. Biết số
đã cho lớn hơn số mới 549. Tìm số đã cho.
Hướng dẫn giải:
Khi xoá một chữ số 0 ở hàng đơn vị của một số bất kỳ, ta đã chia số đó cho 10. Vậy
số đã cho bằng 10 lần số mới. Ta có sơ đồ:
Số đã cho
549
549 bằng mấy lần số mới?
10 – 1 = 9 (lần)
Số mới là:
549 : 9 = 61
Vậy số đã cho là: 610
Đáp số: 610
2. Cho hai số. Số lớn hơn trong hai số đó có hàng đơn vị là 8. Nếu xoá chữ số 8 đó ta
được số bé. Hiệu của hai số đó là 485. Tìm hai số đã cho.
Hướng dẫn giải:
Số lớn bằng 10 lần số bé cộng với 8 đơn vị.

Ta có sơ đồ:
8
Số lớn
Số bé
485
485 bằng mấy lần số bé cộng với 8 đơn vị.
10 – 1 = 9
9 lần số bé là:
485 – 8 = 477
Số bé là:
477 : 9 = 53
Vậy số lớn là : 538
Đáp số: 53 ; 538
3. Có hai số mà hiệu của chúng là 9702. Nếu viết thêm hai chữ số giống nhau vào bên
phải số bé ta được số lớn. Tìm hai số đó. Có mấy cặp số như thế?
Hướng dẫn giải:
Số lớn bằng 100 lần số bé cộng với số có hai chữ số giống nhau viết thêm. Nếu 9702
bằng 99 lần số bé cộng số viết thêm. Nếu 9702 chia hết cho 99 thì số viết thêm là 00 hoặc
99. Nếu 9702 không chia hết cho 99 thì số dư là số viết thêm. Mà 9702 : 99 = 98 (không
dư).
Vậy 98 là số bé, số viết thêm là 00.
Nếu số viết thêm là 99 thì số bé là:
(9702 – 99) : 99 = 97
Số lớn sẽ là 9799.
Đáp số: Có hai cặp số là:
24 và 240 ; 23 và 239
4. Cho hai số biết tỉ số giữa hai số đã cho bằng số lớn nhất có một chữ số. Hiệu của hai
số đã cho bằng 504. Tìm hai số đã cho.
Hướng dẫn giải:
Số lớn nhất có một chữ số là 9. Vây tỉ số giữa hai số là 9, nghĩa là số lớn bằng 9 lần

số bé.
Ta có sơ đồ:
Số lớn
Số bé
504
504 bằng mấy lần số bé?
9 – 1 = 8 (lần)
Số bé là: 504 : 8 = 63
Số lớn là: 63 + 504 = 567
Đáp số: 567 ; 63
Bài tập tự luyện:
5. Cho hai số biết tỉ số giữa hai số đã cho bằng tỉ số giữa hai số lẻ có 3 chữ số giống
nhau trong đó số bé là số bé nhất chia hết cho 3, số lớn là số lớn nhất chia hết cho 9. Hiệu
của hai số đó là số có hai chữ số giống nhau chia hết cho 8. Tìm hai số đã cho.
6. Tuổi cháu có bao nhiêu tháng thì tuổi ông có bấy nhiêu năm. Ông hơn cháu 66 tuổi.
Tính tuổi ông, tuổi cháu.
7. Minh hỏi chị Hồng: “Chị Hồng ơi, năm nay chị bao nhiêu tuổi?”. Chị Hồng đáp:
“15 năm nữa thì tuổi của chị sẽ gấp 3 lần tuổi của chị 15 năm trước”. Tôi không tính được
tuổi của chị Hồng. Nhờ các bạn tính giúp tôi.
8. Cho hai số 53 và 13. Hỏi cùng phải bớt ở mỗi số cùng một số là bao nhiêu để được
hai số mới có tỉ số là
5
1
?
Bµi tËp «n luyÖn:
1. Bác Ba nuôi gà và vịt tổng cộng 80 con. Bác Ba đã bán hết 10 con gà và 7 con vịt
nên còn lại số gà bằng
5
2
số vịt.Hỏi lúc chưa bán bác Ba có bao nhiêu con gà? Bao nhiêu

con vịt?
Đáp số: 28 con gà
52 con vịt.
2. Một nhà máy có 136 công nhân chia thành hai tổ, biết
3
1
số công nhân của tổ một
bằng
5
1
số công nhân của tổ hai. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân?
Đáp số: Tổ một: 51 công nhân
Tổ hai: 85 công nhân
3. Biết tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ, tuổi cháu bằng
6
1
tuổi mẹ,biết tổng số tuổi của cháu và
bà là: 65 tuổi. Hỏi bà bao nhiêu tuổi? Mẹ bao nhiêu tuổi? Cháu bao nhiêu tuổi?
Đáp số: Bà: 60 tuổi
Mẹ: 30 tuổi
Cháu: 5 tuổi
4. Một nhà máy có 3 tổ công nhân, tổ một có số người gấp đôi tổ hai, tổ một có số
người bằng
3
1
tổ ba, tổng số người của ba tổ là 108 người. Hỏi mỗi tổ công nhân có bao
nhiều người?
Đáp số: Tổ một: 24 người
Tổ hai: 12 người
Tổ ba: 72 người

Đáp số: An: 26 viên kẹo
Bình: 2 viên kẹo
5. Hai lớp 4A và 4B tham gia trồng cây. Biết rằng nếu lớp 4A trồng thêm được 18 cây
thì số cây lớp 4A trồng được sẽ bằng số cây lớp 4B. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu
cây? Biết rằng lớp 4 A trồng đượcsố cây bằng
5
3
số cây lớp 4B.
Đáp số: Lớp 4A: 27 cây
Lớp 4B: 45 cây
6. Hiện nay bố 32 tuổi, em 5 tuổi. Hỏi bao nhiêu năm nữa tuổi của bố gấp 4 lần tuổi
con? Đáp số: 4 năm
7. Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 50 tuổi, tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Hỏi bao
nhiêu năm nữa tuổi bố gấp 3 lần tuổi con? Đáp số: 5 năm
8. Biết
2
1
tuổi của Dũng cách nay 3 năm bằng
3
1
tuổi của Dũng 3 năm tới. Hỏi hiện
nay Dũng bao nhiêu tuổi? Đáp số: 15 tuổi
9. Hiện nay tổng số của hai mẹ con bằng 64 tuổi, tuổi con bằng
3
1
tuổi mẹ. Hỏi trước
đây mấy năm tuổi mẹ gấp 9 lần tuổi con. Đáp số: 12 năm.

ĐỀ BÀI KIỂM TRA:
(Thời gian 40 phút)

Bài 1 : (1,5điểm)
Tìm hai số có hiệu bằng 516,biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương
bằng 4.
Bài 2: ( 1,5( điểm)
Hồng và Lam có tổng cộng 40 quyển vở. Biết 3 lần số vở của Hồng thì bằng 2 lần số
vở của Lam. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở?
Bài 3: ( 2,5 điểm)
An có nhiều hơn Bình 24 viên kẹo, biết rằng nếu An cho Bình 6 viên kẹo thì số kẹo của
Bình bằng
5
2
số kẹo của An. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên kẹo?
B i 4à : (4 điểm)
Cho hai số có hai chữ số mà nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 4. Nếu
đem số lớn ghép vào bên phải hoặc bên trái số bé ta được hai số có 4 chữ số và tổng
của hai số có 4 chữ số đó bằng 12120. Tìm 2 số đã cho.
Một số điểm “mấu chốt” giúp học sinh dễ làm bài tập khi gặp dạng toán trong chuyên
đề “Tìm hai số khi biết tổng hoặc hiệu số và tỉ số của hai số đó” như sau:
Bước 1: Xác định, tìm đúng tổng hoặc hiệu số và tỉ số của hai số đó.
Bước 2: Lập luận hoặc vẽ sơ đồ minh hoạ cho bài toán.
Bước 3: Tìm tổng (hoặc hiệu) số phần bằng nhau của hai số.
Nhìn vào sơ đồ:
Tổng số phần = Số phần lớn + số phần bé.
Hiệu số phần = Số phần lớn - số phần bé.
Bước 4: Tìm giá trị số ứng với mỗi phần bằng nhau.
Giá trị mỗi phần = Tổng hai số : tổng số phần bằng nhau.
Giá trị mỗi phần = Hiệu hai số : hiệu số phần bằng nhau.
Bước 5: Tìm giá trị của mỗi số.
Số lớn = Giá trị mỗi phần
×

số chỉ phần lớn.
Số bé = Giá trị mỗi phần
×
số chỉ phần bé.
(Giáo viên cần để cho học sinh phát hiện, tìm ra nhiều cách giải khác nhau).