Giải hệ phuong trình vi phân chuyển động của cơ hệ bằng phương trình lagrang 2

85
KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA HỆ HAI BẬC TỰ DO CÓ CẢN

NCS. NGUYỄN ĐẮC HƯNG

Tóm tắt: Việc khảo sát dao động của hệ hai bậc tự do có cản là thiết lập và giải hệ phương
trình vi phân cấp hai không thuần nhất. Đây là vấn đề khá phức tạp, nên người ta chỉ tìm nghiệm
riêng mà chưa tìm được nghiệm tổng quát. Trong công trình này, tác giả trình bày cách thiết lập và
giải bài toán nói trên và tìm nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng giải tích. Kết quả này là cơ
sở nghiên cứu bài toán hạ chìm kết cấu là vật rắn tuyệt đối vào đất bằng cách ghép hai máy rung.

Đặt vấn đề
Trong các tài liệu [1], [2], [3], [4] đã có một
số tác giả nghiên cứu bài toán dao động của hệ
có hai bậc tự do và ứng dụng của nó vào bài
toán hạ chìm kết cấu được coi là vật rắn tuyệt
đối vào đất bằng cách ghép. Nhưng các tác giả
chưa tìm được nghiệm tổng quát của bài toán
dưới dạng giải tích tường minh. Trong công
trình này, chúng tôi tiếp tục khảo sát bài toán
dao động của hệ có hai bậc tự do và tìm nghiệm
tổng quát dưới dạng giải tích tường minh.
Thiết lập bài toán
1. Mô tả bài toán
Hệ dao động gồm hai máy rung khối lượng
m
1
, m
2
đặt trên hệ lò xo có đó cứng là C

1
, C
2
và
bộ giảm chấn có hệ số là α
1
, α
2
, chịu lực cưỡng
bức P
1
, P
2
. Vận tốc góc của 2 máy rung là ω.
Toạ độ của máy một và

máy hai tại vị trí cân
bằng là h
1
, h
2
.

F
ms
là ma sát nhớt ở mặt bên của
máy một (hình 1).
2. Thiết lập và giải phương trình vi phân
chuyển động
2.1. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động

Áp dụng phương trình Lagrange loại II, ta có:
i
ii
Q
q
T
q
T
dt
d






)(

i=1,2 (1)
T: động năng của hệ:
2
22
2
11
2
1
2
1
qmqmT



(2)
Q
i
(i=1,2) là các lực suy rộng gồm lực có
thế, lực cản, lực kích động.
p
i
ii
i
Q
qq
Q 








(3)
 : thế năng của hệ.
2
122
2
11
)(
2
1

2
1
qqCqC 

(4)
 : hàm hao tán của hệ.
2
1
2
122
2
11
2
1
)(
2
1
2
1
qkqqq



(5)
Q
i
p
(i=1,2) là các lực cưỡng bức suy rộng:
Q
1

p
= P
1
cosωt + P
2
cosωt;
Q
2
p
= P
2
cosωt (6)
Đạo hàm T,  và  theo toạ độ và vận tốc suy
rộng, sau đó thay vào (1) ta có:
 








tPqqCqqqm
tPPqqCqC
qqqkqm



cos)(

cos)()(
)()(
212212222
2112211
1221111


(7)
2.2. Giải hệ phương trình vi phân chuyển
động (7)
Điều kiện đầu : q
1
(0) = h
1
; q
2
(0) = h
2
;

h
2
h
1
C
1

1

2

C
2
q
2

q
1

F
ms


P
2
P
1
m
2
m
1

86

0)0(;0)0(
21

qq


Các hệ số m, m

2
, α
1
, α
2,
C
1
, C
2
, P
1
, P
2
, k, ω,
h
1
, h
2
là các hằng số không âm.
Biến đổi hệ (7) về dạng sau:
 





tPqqCqqqm
tPPqCqkqmqm



cos)(
cos)2()(
212212222
2111112211


(7’)
Hệ (7’) viết dưới dạng phương trình ma trận là:
FCQQBQA 

(8)
Trong đó:









2
21
0 m
mm
A
;












22
1
0


k
B
;










22
1
0
cc

c
C
;









2
1
q
q
Q











tP
tPP

F


cos
cos)2(
2
21

2.2.1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần
nhất tương ứng
Hệ thuần nhất tương ứng của (8) là:
0 CQQBQA

(9)
Tìm Q = Ze
λt
với
0
2
1











z
z
Z
.
Đạo hàm QQ

, thay vào (9) và chia hai vế
cho e
λt
, ta được:
(λ
2
A + λB+ C)Z = 0 (10)
Vì Z ≠ 0 nên từ (9) suy ra:
det(λ
2
A + λB+ C) = 0 (11)
Suy ra













222
2
22
2
2
111
2
2
)(
cmc
mckm
CBA




↔
0
234
 dcba

(12)
Trong đó:

;
.
;
.
21
221221221

2
2221221
mm
cmcmkcm
b
mm
mkmmm
a








;
.
;
.
21
21
21
21212
mm
cc
d
mm
ckcc
c





(13)
Giải (12) theo phương pháp Ferrary để
tìm λ
Lập phương trình phụ trợ:
y
3
– by
2
+ (ac –4d)y + (4bd –a
2
d – c
2
) = 0 (14)
Áp dụng công thức Cardano để tìm một
nghiệm của (14) ta được:
3
32
3
32
0
2742
27423
pqq
pqq
b
y



(15)
Trong đó:
22
3
2
27
2
3
8
;
3
4
cda
bbdabc
q
b
dacp





Theo Ferrary từ (12) suy ra:










0)
2
()
2
(
0)
2
()
2
(
0
2
0
2


y
a
y
a

với
0
2
4
yb

a


;


4
2
0
cay


(16)
Bốn nghiệm của (16) cũng là nghiệm của
(12) và có các trường hợp như sau:
a. Trường hợp λ là một nghiệm thực, đơn
của phương trình đặc trưng.
t
e
c
cm
q
q
Q
























22
221
2
2
1
1
(17)
b. Trường hợp λ là một nghiệm thực, kép
của phương trình đặc trưng.
Khi đó Q
1
như (17), nghiệm










22
21
2
q
q
Q
= Q
1
u(t),
với u(t) là ma trận hàm cần tìm.









)(
)(
)(

2
1
tu
tu
tu
.

87
Đạo hàm Q
2

theo t và thay
222
,, QQQ

vào (9) ta có:
0)2(
111
 uBQQAuAQ



(18)






0

0
222
111
uGu
uGu



)(
)(
b
a

với












22
122
2
2211

11
1
)(
2
)(
2
zm
zz
G
zmzm
zk
G




(19)
Giải phương trình (a), (b). ta được:
1
1
1
1
G
e
dteu
tG
tG






;
2
2
2
G
e
u
tG






















tG
tG
e
G
z
e
G
z
Q
)(
2
2
)(
1
1
2
2
1


(20)
c. Trường hợp λ là cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng λ
1,2
= α ± iβ
Thì
































)sin(cos
)()(
)2()(

)sin(cos
)()(
)2()(
222
2222
2
2
2
2
2
222
2222
2
2
2
2
1
tite
ic
micmm
Q
tite
ic
micmm
Q
t
t










Đặt
22
2
2
2
2
cmmH 

;

22
2

mL
(21)
22
cM


;

2

N

Thì
);sin(cos
1
tite
iNM
iLH
Q
t















);sin(cos
2
tite
iNM
iLH
Q

t






























)sincos(
)sincos(
;
12
11
12
11
1
tNtMeq
tLtHeq
q
q
Q
t
t




















)sincos(
)sincos(
;
22
21
22
21
1
tMtNeq
tHtLeq
q
q
Q
t
t






NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH (9)
Q = C
1
Q
1

+ C
2
Q
2
+ C
3
Q
3
+ C
4
Q
4

Với C
1
, C
2
, C
3
, C
4
là các hằng số được xác định từ điều kiện đầu của bài toán.
2.2.2 Tìm nghiệm riêng của hệ không thuần nhất
 





tPqqCqqqm

tPPqCqkqmqm


cos)(
cos)2()(
212212222
2111112211


(7’)
Tìm nghiệm riêng dưới dạng:














tbtaq
tbtaq
q
q
Q



sincos
sincos
;
222
111
2
1

Với a
1
, a
2
, b
1
, b
2
được xác định nhờ ma trận sau đây:
(22)

88




















0
00)(
0)(
2
22222
222
2
222
2
2
2
111
211
2
2
2
11





mcc
pmcc
mmck
ppkmmc
(23)
Đặt A
1
=
)(
22
2
zxvuzcxuv 
A
2
=
)(
22
2
zxyuxcuvz 

B
1
=
xuvvuyuz 
2
B
2
=

2
2
ucuvzxyu 
(24)
C
1
=
)2)((
212
ppvuuvuzp

C
2
=
)2)((
212
ppxyuc


D = A
1
B
2
– A
2
B
1
; D
1
= B

2
C
1
– B
1
C
2
; D
2
= A
1
C
2
– A
2
C
1
; (25)
;
1
1
D
D
a 

;
2
2
D
D

a 

;
2
2121
1
Dz
uDxDDpDp
b



;
)()2(
21
22
21
2
Duz
xuDDzxxppD
b



3. Nghiệm của bài toán
QQCQCQCQCQ 
44332211

Trong đó: C
1

, C
2
, C
3
, C
4
là các hằng số. Q
1
, Q
2
, Q
3
, Q
4
là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất.









2
1
q
q
Q

là nghiệm riêng được xác định ở trên.
Các trường hợp nghiệm của bài toán phụ thuộc vào ∆
1
, ∆
2
(trong đó ∆
1
, ∆
2
là biệt thức của
phương trình thứ nhất và thứ hai của (16).
3.1. Trường hợp thứ nhất: ∆
1
, ∆
2
>0
Phương trình đặc trưng có 4 nghiệm đơn, thực λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4





tbtaelCelCelCelCq

tbtaekCekCekCekCq
t
t
tt
t
t
tt








sincos
sincos
22443322112
11443322111
4321
4321
(27)
Trong đó:
22
222
2
cl
cmk
ii
iii





(i = 1,2,3,4) (28)
C
1
, C
2
, C
3
, C
4
được xác định nhờ ma trận hệ số là:





















244332211
144332211
224321
114321
bllll
bkkkk
ahllll
ahkkkk
(29)
3.2. Trường hợp thứ hai: ∆
1
>0, ∆
2
= 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm đơn λ
1
, λ
2
và một nghiệm kép λ
3
= λ
4






























tbtae
G
l
CelCelCelCq
tbtae

G
k
CekCekCekCq
tGttt
tGt
tt





sincos
sincos
22
)(
32
3
43322112
11
)(
31
3
43322111
323321
313321
(30)
(26)

89
Trong đó:

32
332
332
3231
31
331
)(
2
)(
2
lm
kl
G
lmkm
kk
G









(31)
C
1
, C
2

, C
3
, C
4
được xác định nhờ ma trận hệ số là:































2323
32
3
332211
1313
31
3
332211
22
32
3
321
11
31
3
321
)(
)(
bG
G
l
lll
bG
G
k

kkk
ah
G
l
lll
ah
G
k
kkk
(32)
3.3. Trường hợp thứ ba: ∆
1
= ∆
2
= 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm kép λ
1
= λ
2
và λ
3
= λ
4

















































tbtae
G
l
CelCe
G
l
CelCq
tbtae
G
k
CekCe
G
k
CekCq
tGttGt
tGttGt





sincos
sincos
22
)(
32
3
433
)(
12
1
2112
11
)(
31
3
433
)(
11
1
2111
3233
1211
3133
1111
(33)
Trong đó:
12
112
112
121

11
111
)(
2
)(
2
lm
kl
G
lmmk
kk
G









(34)
C
1
, C
2
, C
3
, C
4

được xác định nhờ ma trận hệ số là:































2323
32
3
33121
12
1
11
1313
31
3
33111
11
1
11
22
32
3
3
12
1
1
11
31
3
3
11
1
1
)()(

)()(
bG
G
l
lG
G
l
l
bG
G
k
kG
G
k
k
ah
G
l
l
G
l
l
ah
G
k
k
G
k
k
(35)

3.4. Trường hợp thứ tư: ∆
1
>0, ∆
2
< 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực đơn λ
1
,λ
2
và cặp nghiệp phức α ± iβ












tbtatMtNeC
tNtMeCelCelCq
tbtatHtLeC
tLtHeCekCekCq
t
t
tt
t

t
tt










sincos)sincos(
)sincos(
sincos)sincos(
)sincos(
224
322112
114
322111
21
21
(36)

90

Trong đó:
22
2
2

2
2
cmmH 

;

22
2

mL


22
cM


;

2
N
(37)
C
1
, C
2
, C
3
, C
4
được xác định nhờ ma trận hệ số là:





















22211
12211
2221
1121
bMNNMll
bHLLHkk
ahNMll
ahLHkk
(38)
3.5. Trường hợp thứ năm: ∆

1
=0, ∆
2
< 0
Phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép λ
1
=λ
2
và cặp nghiệm phức α ± iβ





































tbtatMtNeC
tNtMeCe
G
l
CelCq
tbtatHtLeC
tLtHeCe
G
k
CekCq
t
t
tGt
t
t

tGt










sincos)sincos(
)sincos(
sincos)sincos(
)sincos(
224
3
)(
12
1
2112
114
3
)(
11
1
2111
1211
1111
(39)

C
1
, C
2
, C
3
, C
4
được xác định nhờ ma trận hệ số là:
































2121
12
1
11
1111
11
1
11
22
12
1
1
11
11
1
1
)(
)(
bMNNMG
G

l
l
bHLLHG
G
k
k
ahNM
G
l
l
ahLH
G
k
k
(40)
3.6. Trường hợp thứ sáu: ∆
1
<0, ∆
2
< 0
Phương trình đặc trưng có 2 cặp nghiệm phức α ± iβ và α
*
± iβ
*














tbtatMtNeCtNtMeC
tMtNeCtNtMeCq
tbtatHtLeCtLtHeC
tHtLeCtLtHeCq
tt
tt
tt
tt








sincos)sincos()sincos(
)sincos()sincos(
sincos)sincos()sincos(
)sincos()sincos(
22
**
4

**
3
212
11
**
4
**
3
211
(41)
Trong đó:
2
*
2
2*
2
2*
2
*
cmmH 

;
*
2
**
2
*
2

 mL

2
*
2
*
cM 

;
C
1
, C
2
, C
3
, C
4
được xác định nhờ ma trận hệ số là:

91





















2
********
1
********
22
**
11
**
bMNNMMNNM
bHLLHHLLH
ahNMNM
ahLHLH
(43)
KẾT LUẬN
Các hệ số
,,,,,,
212121
CCmm

,,,

21
kPP

21
,, hh

là hằng số dương, nên nghiệm λ
1
, λ
2
,
λ
3
, λ
4
có giá trị âm. Do đó thành phần dao động
tự do của
2211
,,, qqqq

sẽ tiến dần tới 0, khi đó
hệ làm việc trong chế độ bình ổn.
Mô hình của bài toán trong bài báo này phức
tạp hơn các bài toán trong [1], [2] [3], [4].
Phương pháp giải bài toán cũng có sự thay đổi
bằng cách đưa hệ phương trình vi phân cấp hai
thuần nhất dạng tổng quát về phương trình bậc 4
tổng quát và sử dụng phương pháp Ferrary để
tìm nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng
giải tích tường minh và xét tới caá trường hợp

của nghiệm có thể xảy ra mà trước đó chưa có
công trình nào nghiên cứu.
Kết quả nghiên cứu này là cơ sở cho việc
khảo loại bài toán hạ chìm kết cấu vào đất bằng
cách ghép hai máy rung.

Tµi liÖu tham kh¶o:
A. Sách tiếng Việt:
[1]. Nguyễn Văn Khang (2001), Dao động kỹ thuật, NXB Khoa học và kĩ thuật, Hà Nội.
[2]. Nguyễn Đình Chiều, Nguyễn Trọng, Nguyễn Anh Tuấn (2004)- Cơ sở lý thuyết kỹ thuật
rung trong xây dựng, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.
B. Sách tiếng Nga
[3]. Barcan D.D (1959) – Phương pháp rung trong xây dựng, NXB Khoa học Ma - xcơ – va.
[4]. Babacôp I.M (1965) - Lý thuyết dao động, NXB Khoa học Ma - xcơ – va.

Abstract
Study on vibration of two freedom blocked system

Nguyen Dac Hung

Studying vibration of the two freedom blocked system is setting up and solving unhomogeneous
differential equation system. This problem is rather complex, so only specific solution is found but
not general one. In this article, the author explains the way to set up and solve the above mentioned
task and find out the general analytic solution. This result is a foundation for studying task to lower
absolute solid structure into the earth by combining two vibrators.

Ngêi ph¶n biÖn: PGS.TS. Khæng Do·n §iÒn