Bài giảng giải tích 12- Nguyên hàm

5/15/2015 1
CH
CH
ƯƠ
ƯƠ
NG III
NG III
NGUY
NGUY
Ê
Ê
N H
N H
À
À
M
M
–
–
T
T
Í
Í
CH PH
CH PH
Â
Â
N V
N V
À
À

Ứ
Ứ
NG D
NG D
Ụ
Ụ
NG
NG
Bài 1: NGUYÊN HÀM
5/15/2015 2
1./ Kh
1./ Kh
á
á
i ni
i ni
ệ
ệ
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m
m

B
B
à
à
i 1: NGUY
i 1: NGUY
Ê
Ê
N H
N H
À
À
M
M
2./ Nguy
2./ Nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a m
a m
ộ
ộ

t s
t s
ố
ố
h
h
à
à
m th
m th
ư
ư
ờ
ờ
ng g
ng g
ặ
ặ
p
p
3./ M
3./ M
ộ
ộ
t s
t s
ố
ố
t
t

í
í
nh ch
nh ch
ấ
ấ
t c
t c
ơ
ơ
b
b
ả
ả
n c
n c
ủ
ủ
a nguy
a nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m
m
5/15/2015 3
VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = 2x
b) f(x) = cosx
Giải :
a)Ta có
nên F(x) =
b) Ta thấy
nên F(x) = sinx
khi
khi
đ
đ
ó
ó
ta n
ta n
ó
ó
i F(x) l
i F(x) l
à
à
nguy
nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c

m c
ủ
ủ
a f(x)
a f(x)
xx 2)(
'2

2
x
xx cos)(sin
'

1./ Kh
1./ Kh
á
á
i ni
i ni
ệ
ệ
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m

m
5/15/2015 4
Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa
khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x)
được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K.
Câu hỏi :
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ?
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ?
Trả lời :
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y=
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y =
x
2
cos
1
10ln
1
x
1./ Kh
1./ Kh
á
á
i ni
i ni
ệ
ệ
m nguy
m nguy
ê

ê
n h
n h
à
à
m
m
5/15/2015 5
Ch
Ch
ú
ú


ý
ý
:
:
• Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) =
f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là:
hay
• Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu
F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng
minh được rằng:
F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)
Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b].
)(
)()(
lim
af

ax
aFxF
ax





)(
)()(
lim
bf
bx
bFxF
bx





1./ Kh
1./ Kh
á
á
i ni
i ni
ệ
ệ
m nguy
m nguy

ê
ê
n h
n h
à
à
m
m
5/15/2015 6
Đ
Đ
Ị
Ị
NH L
NH L
Ý
Ý
1
1
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của
f(x) trên K.
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của
hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao
cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
1./ Kh
1./ Kh
á
á

i ni
i ni
ệ
ệ
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m
m
5/15/2015 7
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu
là:
trong đó f(x)dx là vi phân của F(x).
Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất
kỳ của hàm số f.
f ( x )dx F ( x ) C ,C .  


1./ Kh
1./ Kh
á
á
i ni
i ni

ệ
ệ
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m
m
( f ( x )dx )' f ( x )

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.
5/15/2015 8
2./ Nguy
2./ Nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a m

a m
ộ
ộ
t s
t s
ố
ố
h
h
à
à
m th
m th
ư
ư
ờ
ờ
ng g
ng g
ặ
ặ
p
p
Cdx 

0
Cxdxdx

 1
Cxdx

x


ln
1
)1(
1
1









C
x
dxx
5/15/2015 9
cos( kx b )
sin( kx b )dx C ,k 0.
k

    

x
x
a

a dx C( 0 1 )
ln a

   

kx
kx
e
e dx C
k
 

sin( kx b )
cos( kx b )dx C
k

  

2
1
dx tan x C
cos x
 

2
1
dx cot x C
sin x
  


2./ Nguy
2./ Nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a m
a m
ộ
ộ
t s
t s
ố
ố
h
h
à
à
m th
m th
ư
ư
ờ
ờ

ng g
ng g
ặ
ặ
p
p
5/15/2015 10
[f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
af ( x )dx a f ( x )dx
  

  
 
Định lý 2: Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K,
với a là số thực khác 0 thì:
f ( x )dx ' f ( x )
f ( t )dt F ( t ) C
f [u( x )]u'( x )dx F [u( x )] C
f ( u )du F ( u ) C
[ ] 
 
  
 




3./ M
3./ M
ộ

ộ
t s
t s
ố
ố
t
t
í
í
nh ch
nh ch
ấ
ấ
t c
t c
ơ
ơ
b
b
ả
ả
n c
n c
ủ
ủ
a nguy
a nguy
ê
ê
n h

n h
à
à
m
m
Chú ý:
5/15/2015 11
Ch
Ch
ú
ú


ý
ý
:
:
Nêu f ( x )dx F ( x ) C thì
1
f ( ax b )dx f ( ax b )d( ax b )
a
1
F ( ax b ) C
a
 
   
  

 
Cxudx

xu
xu


)(ln
)(
)('
Cx
x
dx


2
C
xnx
dx
nn





1
)1(
1
Cx
n
n
dxx
n

n
n





1
1
Cx
n
n
x
dx
n
n
n





1
1
3./ M
3./ M
ộ
ộ
t s
t s

ố
ố
t
t
í
í
nh ch
nh ch
ấ
ấ
t c
t c
ơ
ơ
b
b
ả
ả
n c
n c
ủ
ủ
a nguy
a nguy
ê
ê
n h
n h
à
à

m
m
5/15/2015 12
Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai:

 Cedxe.A
xx

 Cxcosxdxsin.C

 Cx2dx2.B

 C
2
x
xdx.D
2
5/15/2015 13
V
V
í
í
d
d
ụ
ụ
1:
1:

T
T
ì
ì
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a h
a h
à
à
m s
m s
ố
ố
:
:
3 3
f ( x ) x 3x 5 x  
3
1

3
1
2
1
33
)5()3(53)( xxxxxxxf 
 
 dxxxxdxxf ])5()3([)(
3
1
3
1
2
1
Cxxx
Cxx
x


3
4
3
3
4
3
4
3
3
4
3

1
3
4
3
1
2
3
4
5
3
4
3
3
2
4
3
5
4
3
3
3
2
Gi
Gi
ả
ả
i
i
5/15/2015 14
x x 2

f ( x ) ( 3 2 ) 
222
)2(2.3.2)3()23()(
xxxxxx
xf 
xxx
46.29 
Cdxxf
xxx


4ln
4
6ln
6
.2
9ln
9
)(
Vậy
V
V
í
í
d
d
ụ
ụ
2:
2:

T
T
ì
ì
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a h
a h
à
à
m s
m s
ố
ố
:
:
Gi
Gi

ả
ả
i
i
5/15/2015 15
Vậy
3
2
sin x 2
f ( x )
3 sin x











x
x
x
x
xf
22
3
sin

1
3
2
3
sin
sin3
2sin
)(
Cxxdx
x
x









cot
3
2
cos
3
1
sin3
2
3
sin

2
V
V
í
í
d
d
ụ
ụ
3:
3:


T
T
ì
ì
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a h

a h
à
à
m s
m s
ố
ố
:
:
Gi
Gi
ả
ả
i
i
5/15/2015 16
Vậy
3
x x
f ( x ) 8 sin 6 sin
3 3
 
3
sin6
3
sin8)(
3
xx
xf 
x

xx
sin2)
3
sin4
3
sin3(2
3

 
 dxxdxxf )sin2()(
Cx
Cx


cos2
)cos(2
V
V
í
í
d
d
ụ
ụ
3:
3:


T
T

ì
ì
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a h
a h
à
à
m s
m s
ố
ố
:
:
Gi
Gi
ả
ả
i
i

5/15/2015 17
Cbax
a
dxbax 

)cos(
1
)sin(
Ce
a
dxe
baxbax



1
Cbax
a
dx
bax



)tan(
1
)(cos
1
2
Cbax
abax

dx



ln
1
)1(
1
)(1
)(
1










C
bax
a
dxbax
Cbax
a
dxbax 

)sin(

1
)cos(
Cbax
a
dx
bax



)cot(
1
)(sin
1
2
a 0 
B
B
ả
ả
ng c
ng c
á
á
c nguy
c nguy
ê
ê
n h
n h
à

à
m m
m m
ở
ở
r
r
ộ
ộ
ng
ng
5/15/2015 18
Vậy
2
1
f ( x )
2 x x 3

 
)
2
3
)(1(
1
2
1
32
1
)(
2





xx
xx
xf
)
2
3
1
1
1
(
5
1
)
2
3
)(1(
)]1()
2
3
[(
5
2
2
1








x
x
xx
xx
]
2
3
1
1
1
[
5
1
)(




 dx
x
dx
x
dxxf
C
x

x
Cxx





2/3
1
ln
5
1
]2/3ln1[ln
5
1
V
V
í
í
d
d
ụ
ụ
4:
4:
t
t
ì
ì
m nguy

m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a h
a h
à
à
m s
m s
ố
ố
:
:
Gi
Gi
ả
ả
i
i
5/15/2015 19
Vậy
1

f ( x )
2 sin x cos x

 
)
4
cos(22
1
cossin2
1
)(





x
xx
xf
)
82
(sin22
1
)]
4
cos(1[2
1
2






x
x
C
x
x
dx
dxxf 





)
82
cot(
2
1
)
82
(sin
22
1
)(
2


V

V
í
í
d
d
ụ
ụ
5:
5:


T
T
ì
ì
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a h
a h
à

à
m s
m s
ố
ố
:
:
Gi
Gi
ả
ả
i
i
5/15/2015 20
x x
f ( x ) e e 2dx

  
||)(2)(
22
2
22
xxxx
xx
eeeeeexf



Xét
x x

2 2
x x
e e 0 x 0
2 2


     
Ceedxeedxxfeexf
xxxxxx



)(2)()()(
222222
x x
2 2
e e 0 x 0

   
Ceedxeedxxfeexf
xxxxxx



)(2)()()(
222222
V
V
í
í

d
d
ụ
ụ
6:
6:


T
T
ì
ì
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c
m c
ủ
ủ
a h
a h
à
à
m s
m s

ố
ố
:
:
Gi
Gi
ả
ả
i
i
Xét
5/15/2015 21
3
2
x 3x 2
f ( x )
x( x 2 x 1 )
 

 
22
3
)1(
42
1
)12(
23
)(






xxxxxx
xx
xf
Ta có
22
)1(1)1(
1




 x
c
x
b
x
a
xx
cxxbxxa  )1()1(1
2
Cho x=0 thì a=1 , x=-1 thì c=-1 , x=1 thì b=-1
Do đó















22
3
)1(
1
1
11
4
2
1
)12(
23
xxxxxxx
xx
C
xx
x
xxdxxf 






1
4
1
ln4||ln2)(
V
V
í
í
d
d
ụ
ụ
7:
7:


T
T
ì
ì
m nguy
m nguy
ê
ê
n h
n h
à
à
m c

m c
ủ
ủ
a h
a h
à
à
m s
m s
ố
ố
:
:
Gi
Gi
ả
ả
i
i