bài giảng giải tích 12 chương 3 bài 1 nguyên hàm

BÀI GIẢNG TOÁN GIẢI TÍCH 12
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
:
:
•
Câu hỏi 1
Câu hỏi 1
:
:
Tìm đạo hàm của các hàm số:
Tìm đạo hàm của các hàm số:
2
1. y = x
2

3x - 1
2. y =
3
2

3. y = x + 5
y' = 2x
y' = 2x
y' = 2x
Nhận xét
Nhận xét
:
:
Cả ba hàm số đã cho có cùng đạo hàm.
Cả ba hàm số đã cho có cùng đạo hàm.

Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
:
:
Câu hỏi 2:
2
y = f(x) = 3x
1
g (x),
3
g (x)
2
g (x),
1 2 3
' ' '
g (x) = g (x) = g (x) = f(x)
Cho hàm số:
Hãy tìm ba hàm số khác nhau:
sao cho:
Nhận xét:
Nhận xét:
Có vô số hàm số thỏa mãn
Có vô số hàm số thỏa mãn
yêu cầu của câu hỏi 2.
yêu cầu của câu hỏi 2.
Các hàm số đó gọi là các nguyên
hàm của hàm số f(x).
Chương III
Chương III
:

:
§
§
1
1
.
.


Nguyên hàm và tích phân
Nguyên hàm và tích phân
1.
1.
Định nghĩa
Định nghĩa
.
.
- Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a; b) nếu: ∀x∈(a; b) ta có:
F’(x) = f(x).
-
+
F'(a ) = f(a), F'(b ) = f(b)
- Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên đoạn [a; b] nếu: F(x) là nguyên hàm
của f(x) trên khoảng (a; b) và:
Tìm mối liên hệ giữa các hàm số
1
g (x)
và

2
g (x)
1 2
g (x), g (x).


Giả sử tr
Giả sử tr
ên khoảng (a; b),
ên khoảng (a; b),


hàm số y = f(x)
hàm số y = f(x)
có các nguyên hàm là:
có các nguyên hàm là:
( ) ( ) ( )
1 2
' '
x x x
x (a; b): g = g = f∀ ∈
( ) ( )
2 1
' '
x x
g - g = 0
⇔
( ) ( )
'
2 1

g x - g x
= 0
⇔
 
 
x (a;b)∀ ∈
F(x) = c,
x (a;b)∀ ∈
(ở đó, c là hằng số).
Bài toán:
Bài toán:
Chứng minh rằng, nếu hàm
Chứng minh rằng, nếu hàm
số y = F(x) có F’(x) = 0 với
số y = F(x) có F’(x) = 0 với
thì
( ) ( ) ( )
1 2
' '
x x x
x (a; b): g = g = f∀ ∈
( ) ( )
2 1
' '
x x
g - g = 0
⇔
( ) ( )
'
2 1

g x - g x
= 0
⇔
 
 
( ) ( )
2 1
x x
g - g = c
⇔
( ) ( )
2 1
x x
g = g + c
⇔
Từ kết quả đó,
nêu kết luận
tổng quát
1/ Với mọi hằng số c, F(x) + c cũng là một
nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b).
2/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên
khoảng (a; b) đều có dạng F(x) + c, với c là một
hằng số.
Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên khoảng (a; b) thì:
trên khoảng (a; b) thì:
Định lý:
Định lý:
- Bài toán tìm nguyên hàm của hàm số là một bài

- Bài toán tìm nguyên hàm của hàm số là một bài
toán đa trị.
toán đa trị.
- Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) ký hiệu là:
f(x)dx
∫
- Mỗi hàm số có một họ các nguyên hàm.
- Mỗi hàm số có một họ các nguyên hàm.
:
∫
Dấu tích phân.
f(x): Hàm số dưới dấu tích phân.
f(x)dx: Biểu thức dưới dấu tích phân.
(Đây chính là vi phân của F(x): f(x)dx = dF(x))
Như vậy:
Với F(x) là một nguyên hàm
của f(x), c là hằng số
∫
f(x)dx = F(x) + c
Một số ví dụ:
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ
nguyên hàm của các hàm số:
1/
2xdx
∫
2/
x
e dx
∫

3/
2
1
dx
x
∫
4/
sinx.dx
∫
2
2xdx = x + c
∫
x x
e dx = e + c
∫
2
1 1
dx = - + c
x x
∫
sinx.dx = - cosx + c
∫
Một số ví dụ:
Một số ví dụ:
Ví dụ 2: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ
nguyên hàm của các hàm số:
1/
x
3 dx
∫

2/
2
1
dx
sin x
∫
x
x
3
3 dx = + c
ln3
∫
2
1
dx = - cotgx + c
sin x
∫
Một số ví dụ:
Một số ví dụ:
Ví dụ 3:
Đáp số:
3
x - 4
F(x) =
3
2
y = f(x) = x
Thỏa mãn: đồ thị của F(x) cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng -1.
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số:

Tóm tắt bài học.
Tóm tắt bài học.
1/ Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu:
F’(x) = f(x).
2/ Một hàm số có vô số nguyên hàm (gọi là họ
các nguyên hàm). Mỗi nguyên hàm sai khác nhau một
hằng số.
3/ Họ các nguyên hàm của f(x), với F(x) là một
nguyên hàm, là:
f (x)dx F(x) c= +
∫
Trân trọng cám ơn các
thầy giáo, cô giáo cùng
toàn thể các em học
sinh đã chú ý lắng nghe.