bài giảng giải tích 12 chương 1 bài 4 đường tiệm cận

y

y

)
f(x
=

O

x


Định nghĩa tiệm cận
Cho đồ thị (C) có nhánh vơ tận.

 x → ±∞
∀M ∈ (C ), M ( x; y ) → ±∞ ⇔  y → ±∞

 x → ±∞ ∧ y → ±∞


(d) là 1 đường thẳng

đ/
∀M ∈ (C ), lim d ( M , d ) = 0 ←n →(d ) là tiệm cận thẳng của (C)


y

M → ±∞

M

(C)

O

d
x


I. Đường tiệm cận ngang:
Định nghĩa 1:
Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận
ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu xlim y = y 0 hoặc xlim y = y 0
→+∞
→−∞
y

y0

O

y

y=

y = y0
y = f(x)

x

y0

O
Đường thẳng y=y0 là tiệm cận
∞
ngang của đồ thị ( khi x →+ )

y = y0

f ( x)

x

Đường thẳng y=y0 là tiệm cận
∞
ngang của đồ thị ( khi x →− )


II. Đường tiệm cận đứng:
Định nghĩa 2:

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận
đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn:
lim y = +∞

lim y = +∞

−
x → x0

+
x → x0

lim y = −∞

lim y = −∞

−
x → x0

+
x → x0


y

O

x0

y = f(x)

y = f(x
)

y

x

y

O

O

x0

x

x0

x

y

x0

x

y = f(x)

Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng
−
của đồ thị (khi x = x o )

O

y=

f(x)

Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng
+
của đồ thị (khi x = xo )


− 2x − 2
y=
x +3

Giải

− 2x − 2
Xét hàm số: y =
x +3

lim y = +∞
x →−3+

TXĐ: D = R\{-3}

lim y = −∞
x → −3 −

=> Đg thẳng x= - 3 là TCĐ của đồ thị khi x → − 3 + và khi x → −3 −

lim y = −2
x →+∞

lim y = −2
x → −∞

=> Đg thẳng y= - 2 là TCN của đồ thị khi x → +∞ và khi x → −∞


x2 + x +1
y=
3 − 2 x − 5x 2

3
TXĐ : D = R \ {−1; }
5
 x 2 + x +1 
 x 2 + x +1
lim  3 − 2 x −5 x 2  = +∞lim  3 − 2 x −5 x 2



+
−
x →−1 
x →−1 



 = −∞




 x 2 + x +1
lim  3 − 2 x −5 x 2

+
3 
x→


 = +∞



5


 x 2 + x +1
 = −∞lim 

 3 − 2 x −5 x 2
−
3 

x→
5

Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = -1 khi x → − 1+ và x → −1−
Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = 3/5 khi x → 3 / 5+ và x → 3 / 5−

 x 2 + x +1
lim  3 − 2 x − 5 x 2

x →+∞ 
( x →−∞ )


1
=−

5


Vậy ĐTHS có TCN là y = -1/5


III. Đường tiệm cận xiên:

Định nghĩa 3:
Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm
cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu
lim [ f ( x ) − ( ax + b ) ] = 0
x →+∞
hoặc

lim [ f ( x) − ( ax + b ) ] = 0
x →−∞

y

y

y=

y = f(x)

y

+
ax
=

ax

+

b

b

O
Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi x →+ )
∞

y = f(x)

x

O

x

Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi x →− )
∞


3x 2 + x − 1
y=
x−2
TXĐ: D = R\{2}

3x 2 + x − 1
13
Ta có: y = x − 2 = 3x + 7 + x − 2

13
lim [ f ( x ) − ( 3x + 7) ] = lim x − 2 = 0
x → +∞
x → +∞
13
lim [ f ( x ) − ( 3x + 7 ) ] = lim x − 2 = 0
x → −∞
x → −∞

=> Đg thẳng y= 3x+7 là TCX của đồ thị khix → +∞ và khi x → −∞

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
3
2
3
a)

y = f ( x) = x − 3 x + 2
b) y = f ( x ) = x + cos 2 x
x
c) y = f ( x) = 2 x − 1 +

4 x 2 − 5x + 1


Chú ý:

a n x n + ... + a1 x + a 0
y = f ( x) =
(m, n ∈ N * )
Với hàm số có dạng:
bm x m + ... + b1 x + b0

TCN

TCX

n
y=0

Khơng có

n=m

an
y=
bm

Khơng có

n = m+1 Khơng có Có ( viết dạng y = ax+b+ ε (x)
với lim ε ( x) = 0
x → ±∞


y = f ( x) = x − 3x + 2
3

=
=

[

3

3

TXĐ: D=R

]

2

( x 3 − 3x 2 + 2) 2 + ( x − 1)3 x 3 − 3x 2 + 2 + ( x − 1) 2
x → +∞ 3

lim [ f ( x) − ( x − 1)] = lim
x → −∞

2

x − 3x + 2 − ( x − 1) + ( x − 1)
− 3x + 3
3

lim [ f ( x) − ( x − 1)] = lim
x → +∞

3

x → −∞ 3

+ ( x − 1)

− 3x + 3
( x − 3x + 2) + ( x − 1) x − 3x + 2 + ( x − 1)
3

2

2

3

3

2

2

− 3x + 3
( x − 3x + 2) + ( x − 1) x − 3x + 2 + ( x − 1)
3

2

2

3

3

2

2

=0
=0

=> Đg thẳng y = x-1 là TCX của (C) khi x → +∞ và x → −∞


cos 2 x
y = f ( x) = x +
x
TXĐ: D = R\{0}

lim f ( x ) = +∞
x →0 +

lim f ( x ) = −∞
x →0 −

=> Đg thẳng x = 0 là TCĐ của (C) khi x → 0+

và

x → 0−

cos 2 x
lim [ f ( x) − x] = lim x = 0
x →+∞
x→
+∞
cos 2 x
lim [ f ( x) − x] = lim x = 0
x →−∞
x→
−∞

=> Đg thẳng y = x là TCX của (C) khi x → +∞ và x → −∞


y = f ( x) = 2 x − 1 + 4 x − 5 x + 1
2

1

TXĐ : D =  − ∞;  ∪ [1;+∞)
4


=> Khơng có TCĐ

lim (2 x − 1 +
x → −∞

4x 2 − 5x + 1

)

4x 2 − 4 x + 1 − 4 x 2 + 5x − 1

x

1
= lim
= lim
=

2
2
4
x → −∞
x → −∞ 2 x − 1 − 4 x − 5 x + 1
2x − 1 − 4 x − 5x + 1
=> ĐTHS có TCN: y = 1/4 khi x → −∞
2 x − 1 + 4 x 2 − 5x + 1
=4=a
lim
x
x → +∞

lim (2 x − 1 +
x → +∞

)

4 x 2 − 5x + 1 − 4 x =

−9
=b
4

=> ĐTHS có TCX: y=4x-9/4 khi x → +∞


y

y

)
f(x
=

O

x