TUYỂN CHỌN LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC ĐẶC SẮC NHẤT

TUYỂN CHỌN LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC ĐẶC SẮC NHẤT
CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

22
asin u bsinucosu ccos u d++=

Cách giải :
()
Tìm nghiệm u k lúc đó cos u 0 và sin u 1
2
π
•=+π==±

2
Chia hai vế phương trình cho cos u 0 ta được phương trình :•≠

()
22
atg u btgu c d 1 tg u++=+
Đặt ta có phương trình :
ttgu=
()
2
adt btcd0−++−=

Giải phương trình tìm được t = tgu

Bài 127 : Giải phương trình
(
)

22
cos x 3 sin 2x 1 sin x *−=+

Vì cosx = 0 không là nghiệm nên
Chia hai vế của (*) cho
2
cos 0
≠
ta được
()
()
22
* 1 2 3tgx 1 tg x tg x⇔− = + +

Đặt t = tgx ta có phương trình :
2
2t 2 3t 0+=
t0t 3⇔=∨=−

Vậy
()
*
π
⇔= =−⇔=π =−+π∈tgx 0 hay tgx 3 x k hay x k , k
3


Bài 128 : Giải phương trình
(
)

33 2
cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 *−− +=
•
Khi
xkthìcosx0vàsinx
2
π
=+π = =±1

thì (*) vô nghiệm
•
Do không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos
3
x
=cos x 0
ta có (*)
(
)
32 2
1 4tg x 3tg x tgx 1 tg x 0⇔− − + + =
()
()
⇔+−−=
⇔+ −=
⇔=−∨=±
ππ
⇔=−+π∨=±+π∈

32
2

3tg x 3tg x tgx 1 0
tgx 1 3tg x 1 0
3
tgx 1 tgx
3
xkxk,k
46


Bài 129 : Giải phương trình
(
)
4224
3cos x 4sin xcos x sin x 0 *−+=

Do cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho
4
cos x 0≠
Ta có : (*)
24
34tgxtgx 0⇔− + =
⇔=∨=
ππ
⎛⎞ ⎛
⇔=±=±∨=±
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
ππ
⇔=±+π∨=±+π∈
⎞

⎟
⎠

22
tg x 1 tg x 3
tgx 1 tg tgx tg
43
xkxk,k
43


Bài 130 : Giải phương trình
(
)
sin 2x 2tgx 3 *+=

Chia hai vế của (*) cho
2
cos x 0
≠
ta được
(*)
22
2sin xcosx 2tgx 3
cosx cosx cosx
⇔+=
2

()
(

)
22
2tgx 2tgx 1 tg x 3 1 tg x⇔+ + =+

32
ttgx
2t 3t 4t 3 0
=
⎧
⇔
⎨
−+−=
⎩

()
()
=
⎧
⎪
⇔
⎨
−−+
⎪
⎩
2
ttgx
t12t t3 0=

⇔=
π

⇔=+π∈
tgx 1
xk,k
4


Bài 131
: Giải phương trình
(
)
3
sin x sin 2 x sin 3 x 6 cos x *+=

()
23
* 2sin x cos x 3sin x 4 sin x 6cos x⇔+−=
3

(
)
•==±Khi cos x 0 ( sin x 1) thì * vô nghiệm

• Chia hai vế phương trình (*) cho
3
cos x 0
≠
ta được
()
*
⇔

23
22
2sin x 3sin x 1 sin x
.4
cos x cos x cos x cos x
+−
3
6=

()
()
()
⇔+ +−=
⇔− −+=
⇔− −=
⇔==α∨=±
π
⇔=α+π∨=±+π∈ α=
223
32
2
2tg x 3tgx 1 tg x 4tg x 6
tg x 2tg x 3tgx 6 0
tgx 2 tg x 3 0
tgx 2 tg tgx 3
xkx k,k(vớitg
3
2)

Bài 132 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003)
Giải phương trình
()
2
cos2x 1
cot gx 1 sin x sin 2x *
1tgx 2
−= + −
+

Điều kiện
sin

2x 0 v à tgx 1≠≠−
Ta có :
(
)
22
22
cos x cos x sin x
cos2x cos x sin x
sin x
1tgx cosxsinx
1
cos x
−
−

==
++
+

()(
=− =− +cosx cosx sinx do tgx 1 nên, sinx cosx 0
)
≠

Do đó :
()
()
22
cos x 1
* 1 cos x sin x cos x sin x sin 2x
sin x 2
⇔−= − + −

()()
()
−
⇔=−
⇔−= −
⇔−= = −
2
cos x sin x
1sin2x
sin x
cosx sinx sinx cosx sinx
cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x sin x (**)

()
()
=≠⎡
⎢
⇔
⎢
=− ≠
⎢
⎣
2
2
tgx 1 nhận so với tg x 1
1sinx
tg x do cos x 0
cos x
cos x
−

()
()
π
⎡
=+π∈
⎢
⇔
⎢
−+=
⎢
⎣

π
⇔=+π ∈ ≠


2
xk,k
4
2tg x tgx 1 0 vô nghiệm
x k , k nhận do sin 2x 0
4

Lưu y
ù : có thể làm cách khác
() ()
11
** 1 sin2x 1 cos2x
22
⇔− + −
=0
⇔= +
π
⎛⎞
⇔= +
⎜⎟
⎝⎠
3sin2xcos2x
3 2 sin 2x : vô nghiệm
4

Bài 133 : Giải phương trình

(
)
sin 3x cos 3x 2cos x 0 *++ =

()
()
(
)
33
*3sinx4sinx4cosx3cosx2cosx⇔− + −+ 0=
=

33
3sinx4sinx4cosxcosx0⇔− + −

Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho ta
được
3
cos x 0≠
()
()
(
)
23 2
* 3tgx 1 tg x 4tg x 4 1 tg x 0⇔+−+−+=

()
()
⇔− − + + =
=

⎧
⇔
⎨
+−−=
⎩
=
⎧
⎪
⇔
⎨
+−=
⎪
⎩
⇔=−∨=±
ππ
⇔=−+π∨=±+π∈

32
32
2
tg x tg x 3tgx 3 0
ttgx
tt3t30
ttgx
t1t 3 0
tgx 1 tgx 3
xkxk,k
43

Bài 134 : Giải phương trình

()
3
5sin4x.cosx
6sin x 2cos x *
2cos2x
−=


Điều kiện :
22
cos2x 0 cos x s in x 0 tgx 1≠⇔ − ≠⇔ ≠±
Ta có : (*)
3
10sin 2x cos2x cos x
6sinx 2cos x
2cos2x
cos2x 0
⎧
−=
⎪
⇔
⎨
⎪
≠
⎩

3
6sinx 2cos x 5sin2xcosx
tgx 1
⎧

−=
⇔
⎨
≠±
⎩

(
)
32
6sin x 2cos x 10sinxcos x **
tgx 1
⎧
−=
⎪
⇔
⎨
≠±
⎪
⎩

Do cosx = 0 không là nghiệm của (**), chia hai vế phương trình (**) cho
ta được
3
cos x
()
2
6tgx
210tgx
**
cos x

tgx 1
⎧
−=
⎪
⇔
⎨
⎪
≠±
⎩


()
2
ttgxvớit 1
6t 1 t 2 10t
=≠
⎧
⎪
⇔
⎨
+−=
⎪
⎩
±

=≠±=≠±
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
−

−= − + + =
⎩⎩
32
t tgx với t 1 t tgx với t 1
3t 2t 1 0 (t 1) (3t 3t 1 ) 0


=≠±
⎧
⇔
⎨
=
⎩
t tgx với t 1
: vô nghiệm
t1
Bài 135 : Giải phương trình
(
)
3
sin x 4 sin x cos x 0 *−+=


•
Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho cos
3
x thì
()
()
23 2

*tgx1tgx4tgx1tgx⇔+−++ 0=

()
()
=
⎧
⇔
⎨
−+++=
⎩
=
⎧
⎪
⇔
⎨
−++
⎪
⎩
⇔=
π
⇔=+π∈
32
2
ttgx
3t t t 1 0
ttgx
t13t 2t1 0
tgx 1
xk,k
4

=


Bài 136 : Giải phương trình
(
)( )
22
tgx sin x 2 sin x 3 cos 2x sin x cos x *−= +


Chia hai vế của phương trình (*) cho cos
2
x
()
()
22
32
2
3 cos x sin x sin x cos x
*tgx2tgx
cos x
−+
⇔− =

()
⇔− =−+
32 2
tg x 2tg x 3 1 tg x tgx

()

()
⇔+−−=
=
⎧
⇔
⎨
+−−=
⎩
=
⎧
⎪
⇔
⎨
+−=
⎪
⎩
⇔=−∨=±
ππ
⇔=−+π∨=±+π∈

32
32
2
tg x tg x 3tgx 3 0
ttgx
tt3t30
ttgx
t1t 3 0
tgx 1 tgx 3
xkxk,k

43


Bài 137
: Cho phương trình
() ()
(
)
(
)
(
)
32
46msinx32m1sinx2m2sinxcosx 4m3cosx0*−+−+− −−=

a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên 0,
4
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦

Khi
x
2
π
=+πk
thì cosx = 0 và
sin x 1

=
±
nên
(*) thành :
(
)( )
46m 32m1 0±− ± −=


10vônghiệm
⇔
=

chia hai về (*) cho
3
cos x 0
≠
thì
() ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
()
322
* 4 6m tg x 3 2m 1 tgx 1 tg x 2 m 2 tg x 4m 3 1 tg x 0⇔− + − + + − − − + =
2
)

()() (
32
ttgx
t2m1t32m1t4m30**
=
⎧
⎪
⇔
⎨
−++ −−+=
⎪
⎩

()
()
2
ttgx
t1t 2mt4m3 0
=
⎧
⎪
⇔
⎨
−−+−=
⎪
⎩

a/ Khi m = 2 thì (*) thành

()
()
2
ttgx
t1t 4t5 0
=
⎧
⎪
⎨
−
−+=
⎪
⎩

π
⇔=⇔=+π∈

tgx 1 x k , k
4


b/ Ta có : x0,
4
π
⎡
∈
⎢
⎣⎦
⎤
⎥

thì
[
]
tgx t 0,1=∈

Xét phương trình :
(
)
2
t2mt4m302−+−=

()
2
t32mt2⇔−= −

2
t3
2m
t2
−
⇔=
−
(do t = 2 không là nghiệm)
Đặt
() ()
2
t3
yft C
t2
−

==
−
và (d) y = 2m
Ta có :
()
()
2
2
t4t
y' f t
t2
−+
==
−
3



Do (**) luôn có nghiệm t = 1
[
]
0,1∈
trên yêu cầu bài toán
()
(
)
() ()
⎡=
⇔
⎢

=
⎢
⎣
d y 2m không có điểm chung với C
d cắt C tại1điểm duy nhất t 1

3
2m 2m 2
2
⇔<∨≥

3
mm
4
⇔<∨≥1

Cách khác :
Y C B T f(t) =
⇔
(
)
2
t2mt4m302−+−=
vô nghiệm trên
[
.
)
,01
Ta có (2) có nghiệm
[]

()
,().()
()
af
f f hay
af
S
Δ≥
⎧
⎪
≥
⎪
⎪
∈⇔ ≤
⎨
≥
⎪
⎪
≤
≤
⎪
⎩
0
00
01 0 1 0
10
01
2

()()

mm
m
m m hay
m
m
⎧
−
+≥
⎪
−>
⎪
⇔− −≤
⎨
−>
⎪
⎪
≤≤
⎩
2
430
430
43220
220
01
m
⇔
≤≤
3
1
4

Do đó (2) vô nghiệm trên
[
)
,(m hay m hay f )
⇔
<>
3
01 1 1 0
4
=


3
mm
4
1
⇔
<∨ ≥


BÀI TẬP

1. Giải các phương trình sau :
a/
32
cos x sin x 3sin x cos x 0+− =
b/
()
(

)
2
sin x tgx 1 3sin x cos x sin x 3
+
=−+
=

c/
2
2cos x cos2x sinx 0++
d/
3
2
3
1cosx
tg x
1sinx
−
=
−

e/
32 23
sin x 5sin x cos x 3sin x cos x 3cos x 0−−+=
f/
32
cos x sin x 3s in x cos x 0+− =
g/ 1tgx22sinx+=
h/
33

sin x cos x sin x cos x+=−
k/
22
3tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0++ + +=
m/
(sin)
cos ( )
cos
x
x
tg x tgx
x
π
+
−+ − −=
22
2
31
38
42
0

n/
sin x cos x
1
sin 2x
+
=

2. Cho phương trình :
()
(
)
22
sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m+− −+ =

a/ Tìm m để phương trình có nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = -2
[
]
(
)
ĐS : m 2,1∈−


Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn





CHƯƠNG VIII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu
A

0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0

Bài 156 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=

Ta có:
()
(
)
⇔−++
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
π

⎧
=± + π ∈
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
π
⇔=−+ π ∈


22
(*) 2 cos x 3 3tgx 1 0
3
cos x
2
1
tgx
3
xk2,k
6
1
tgx
3
xk2,k
6
=

Bài 157
Giải phương trình:

(
)
2
8cos 4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− +=

Ta có:
() ( )
⇔
+++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0=
()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=− =−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
==π∈
⎩⎩

2
2
4cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 0

2cos4x 1 1 cos3x 0
11
cos 4x cos 4x
22
cos 3x 1 3x k2 , k
=

⎧
=−
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=∈
⎪
⎩

1
cos 4x
2
k2
x , k (có 3 đầu ngọn cung)
3


=

= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2hay xm2hayxm2,m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
=
k1 vaứ loaùi k = 0 )

Baứi 158 Giaỷi phửụng trỡnh:

()
()
2

233
sin 3x
sin x cos 3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x *
3sin4x
++=
2

Ta coự:
33
cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x+
()
(
)
()
= +
= + =
==
33 33
33 2
4cosx 3cosxsinx 3sinx 4sinxcosx
3cos x sin x 3 sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
33
sin 2x.cos 2x sin 4x
24
2

()
()
+ =

+=



+ =


22 2
2
242
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
244
11
sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
24




+=

=


= =


2
22
2
11
sin 3x sin x sin 6x 0 vaứ sin 4x 0
216
sin 4x 0
1
sin 3x sin x
2
sin3x0cos3x0








==

=

=



sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0(VN)
sin 3x 1





=



=

3
sin 4x 0
1
sin x
2
3sinx 4sin x 1

≠
⎧
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
≠
⎧
⎪
⇔
ππ
⎨
=+ π∨ + π∈
⎪
⎩
ππ
⇔=+π∨= +π∈


sin 4x 0
1
sin x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k

66
5
xk2x k2,k
66


Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A
BM
=
=

Bài 159 Giải phương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)


Ta có: (*)
⇔−=+

22
sin x cos x sin x cos x


⇔− = +
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
=+
⎪
⎩
≤
⎧
≤
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
=±
−=
⎪
⎩
⎩
⇔=−
π
⇔=+π∈
2

2
cos 2x sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos 2x 1 )
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có
−≤ ≤≤+
44 4
x cos x sin x sin x sin x cos xsin

Do đó
=
⎧
⎪
⇔⇔=
⎨
=
⎪
⎩
4
cos x 0
(*) cos x 0

sin x sin x
π
=+π∈xk,k
2

⇔

Bài 160: Giải phương trình:
()

2
cos 2x cos 4x 6 2sin 3x (*)−=+

Ta có: (*)
22
4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔=+
• Do: và
2
sin 3x 1≤
2
sin x 1
≤

nên
22
4sin 3xsin x 4
≤

• Do nên
62≥−sin 3x 1 sin3x4

+
≥

Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
⎧
=
⎧
⎪
=
=⇔
⎨⎨
=
−
⎩
⎪
=−
⎩
2
2
2
sin 3x 1
sin x 1
sin x 1
sin 3x 1
sin 3x 1

π
⎧
=± + π ∈
π
⎪
⇔⇔=+
⎨
⎪
=−
⎩

π∈

xk2,k
xk2,k
2
2
sin 3x 1


Bài 161 Giải phương trình:
33
cos x sin x
2cos2x(*)
sin x cos x
−
=
+

Điều kiện:

si

n x 0 cos x 0≥∧ ≥
Ta có: (*)
()( )
(
)
(
)
22
cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − +

()
()
−=
⎡
⎢
⇔
+=+ +
⎢
⎣
cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)

Ta có:

(1)
π
⇔=⇔=+π∈


tgx 1 x k , k
4



Xét (2)
Ta có: khi
si
thì
n x 0≥
≥≥
2
sin x sin x sin x
Tương tự ≥≥
2
cos x cos x cos x
Vậy
si
và
n x cos x 1+≥
sin x cos x 1
+
≥
Suy ra vế phải của (2) thì 2≥
Mà vế trái của (2):
13
1sin2x
22
+≤

Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈

xk,k
4


Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)−− +=


Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ +

()
3cosx 5cosx4cosx1
2cosx 1 4 cosx 1
⇔− =+ + +
⇔− + = +

Ta có:
(
)
2cosx 1 0 x−+≤∀

mà 4cosx 1 0x+≥∀
Do đó dấu = của (*) xảy ra
cos x 1
⇔

=−


⇔
=π+ π ∈

xk2,k




Bài 163: Giải phương trình:

(
)
22
cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = +

Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:

222 2
A
XBY A B.X Y+≤ + +

nên:
(
)
222
1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− =

Dấu = xảy ra
2
cos3x 2 cos 3x⇔=−


22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥
⎧
⇔
⎨
=−
⎩
≥
⎧
⇔⇔
⎨
=±
⎩
=
Mặt khác:
()
2
21 sin 2x 2+≥
dấu = xảy ra
sin 2x 0⇔=

Vậy:
(
)
22
cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ +
dấu = của (*) chỉ xảy ra khi:

=∧ =
=
⎧
⎪
⇔
⎨
π
=∈
⎪
⎩
⇔= π ∈


cos 3x 1 sin 2x 0
cos 3x 1
k
x,k(có4đầungọncun
2
x2m,m
g)


Bài 164: Giải phương trình:

22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠


Điều kiện:
sin 2x 0
≠

• Do bất đẳng thức Cauchy:
22
tg x cotg x 2
+
≥
dấu = xảy ra khi tgx cotgx
=

• Mặt khác:
sin x 1
4
π
⎛⎞
+
≤
⎜⎟

⎝⎠

nên
5
2sin x 2
4
π
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠

dấu = xảy ra khi
sin x 1
4
π
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠

Do đó:
22 5
tg x cotg x 2 2sin x
4
π
⎛⎞
+≥≥ +
⎜⎟

⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=
⎧
⎪
⇔
π
⎨
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩


⎧
=
⎪
⇔
⎨
π
=
+π∈
⎪

⎩
π
⇔=+ π∈


2
tg x 1
xk2,k
4
xk2,k
4


Trường hợp 3:
Áp dụng: Nếu
A
MvàB M A M
thì
A
BMN BN
≤≤
⎧⎧
⎨⎨
+= + =
⎩⎩
=


=
⎧

+=⇔
⎨
=
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1


=
⎧
−=⇔
⎨
=
−
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1


=
−
⎧
+=−⇔
⎨
=
−
⎩
sin u 1

sin u sin v 2
sin v 1

Tương tự cho các trường hợp sau

±=± ±=±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2

Bài 165: Giải phương trình:
()
3x
cos 2x cos 2 0 *
4
+−=

Ta có:
()
3x
*cos2xcos
4
⇔+ 2=

3x
Do cos 2x 1 và cos 1
4
≤
≤

nên dấu = của (*) chỉ xảy ra
()
=π ∈

=
⎧
⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔=π
π
⎨⎨
=∈
=
⎪⎪
⎩
⎩
π
π= ⇔ =
=∈Ζ =

∈


xk,k
cos 2x 1
x8m,m
8h
3x
x,h
cos 1
3
4
8h 8h
Do : k k

33
để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m )

Cách khác
==π∈
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔=π∈
⎨⎨
π
==
⎪⎪
⎩⎩


cos 2x 1 x k , k
x8m,m
3x 3k
cos 1 cos 1
44


Bài 166:
Giải phương trình:
()
cos2x cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x 2 *++= +


()
2

cos2x cos4x cos6x 2cos3x cos x 2cos 3x 1
2cos3x cosx cos3x 1
4 cos3x.cos2x.cos x 1
++ = + −
=
+−
=−

Vậy:
()
1
cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos 4x cos 6x 1
4
=
+++

Do đó:
() ()
()
⇔++= ++
⇔++=
19
* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x
44
39
cos2x cos4x cos6x
44
+

⇔
++=
==π∈
⎧⎧
⎪⎪
⇔=⇔=
⎨⎨
⎪⎪
==
⎩⎩

cos2x cos4x cos6x 3
cos 2x 1 2x k2 , k (1)
cos 4x 1 cos 4x 1 (2)
cos 6x 1 cos 6x 1 (3)

⇔ = π∈⇔=π∈

2x k2 ,k x k ,k

( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)
Bài 167:
Giải phương trình:
(
)
cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+=

Ta có:
()
⎛⎞⎛

⇔=− + + +
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
13 31
* 2 cos2x sin 2x sin x cos x
22 22
⎞
⎟
⎟
⎠


ππ
⎛⎞⎛
⇔= − + +
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2sin2x sinx
66
⎞
⎟
⎠

⎧π
⎛⎞
ππ
⎧
−=
−

=+ π∈
⎜⎟
⎪
⎪
⎪⎝ ⎠ ⎪
⇔⇔
⎨⎨
ππ
π
⎛⎞
⎪⎪
+=+ π∈
+=
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+π∈
⎪
π
⎪
⇔⇔=+π
⎨
π
⎪
=+ π∈

⎪
⎩
∈





sin 2x 1
2x k2 ,k
6
62
xh2,h
sin x 1
62
6
xk,k
3
xh,h
3
xh2,h
3

Cách khác

⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
−=

−=
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠ ⎪
⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+
=+ π∈
⎜⎟
⎪⎪
⎩
⎝⎠
⎩

sin 2x 1
sin 2x 1
6
6
(*)
sin x 1
xh2,h
6

62

⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎪
π
⎪
⎝⎠
⇔⇔=+
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩
π∈


sin 2x 1
6
xh,h
3
xh2,h
3


Bài 168: Giải phương trình:
()

4cosx2cos2xcos4x1*−−=

Ta có:
()
(
)
(
)
⇔
−−−−
22
* 4 cos x 2 2 cos x 1 1 2sin 2x 1=

⇔− + =
⇔= −+ =
222
2
4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x cos x 0

(
)
⇔= + −=
⇔= − =
2
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *)

()
⇔= − + =

⇔=∨ +=
1
cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0
2
cos x 0 cos 3x cos x 2

=
⎧
⇔=∨
⎨
=
⎩
cos 3x 1
cos x 0
cos x 1

=
⎧
⇔=⇔
⎨
−
=
⎩
⇔=∨=
π
⇔=+π∨= π∈
3
cos x 1
cos x 0
4cos x 3cosx 1

cos x 0 cos x 1
xkxk2,k
2

Cách khác
⇔= =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1
−


==
⎧⎧
⇔=∨ ∨
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos x 1 cos x 1
cos x 0
cos2x 1 cos2x 1


=π∈ =π+π∈
⎧⎧
π
⇔=+π∈∨ ∨
⎨⎨
==−
⎩⎩



xk2,k x k2,k (loại
xk,k
cos 2x 1 cos 2x 1
2
)


π
⇔=+π∨= π∈

xkxk2,k
2

Bài 169: Giải phương trình:

()
1
tg2x tg3x 0 *
sin x cos 2x cos3x
++ =


Điều kiện:
sin 2x cos 2x cos3x 0
≠

Lúc đó:
()
⇔++
sin 2x sin 3x 1

*0
cos2x cos3x sin x.cos2x.cos3x
=
+=
=



()
⇔+
⇔++
sin2xsinxcos3x sin3xsinx.cos2x 1 0
sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0

()
⇔=−
⇔− − =−
⇔−=
==
⎧⎧
=
⎧
⎪⎪
⇔⇔−=⇔−
⎨⎨ ⎨
=−
⎩
⎪⎪
=
−=−

⎩⎩
33
2
sin x.sin 5x 1
1
cos6x cos4x 1
2
cos 6x cos 4x 2
tcos2x tcos2x
cos6x 1
4t 3t 1 4t 3t 1
cos4x 1
t0
2t 1 1
=

Do đó: (*) vô nghiệm.
Cách khác
=
=−
⎧⎧
⇔=−⇔
⎨⎨
=
−=
⎩⎩
sin x 1 sin x 1
sin x.sin 5x 1 hay
sin 5x 1 sin 5x 1

ππ
⎧⎧
=+ π∈ =−+ π∈
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
=− =
⎩⎩
xk2,k x k2,k
hay
22
sin 5x 1 sin 5x 1

x⇔∈∅



Bài 170: Giải phương trình:
(
)
22
cos 3x.cos2x cos x 0 *−=


Ta có:
() () ()
⇔
+−+
11

* 1 cos 6x cos2x 1 cos2x 0
22
=


()
⇔
=
⇔
+=
⇔+=
=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
⎧
−=
⇔
⎨
=
⎩
⎧
=
⇔
⎨
=
⎩
⇔=

⇔=π∈
π
⇔= ∈


2
2
cos 6x cos 2x 1
1
cos 8x cos 4x 1
2
cos 8x cos 4x 2
cos 8x 1
cos 4x 1
2cos 4x 1 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
4x k2 ,k
k
x,k
2

Cách khác

⇔=cos 6x cos 2x 1

=
=−

⎧⎧
⇔
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos2x 1 cos2x 1
hay
cos6x 1 cos6x 1

=π∈ =π+π∈
⎧⎧
⇔
⎨⎨
==−
⎩⎩
2x k2 , k 2x k2 , k
hay
cos 6x 1 cos 6x 1

π
=∈

k
x,k
2

Cách khác
==
⎧⎧

⇔
⎨⎨
==π∈
⎩⎩
cos8x 1 cos8x 1
cos 4x 1 4x k2 , k


π
⇔= ∈

k
x,k
2


Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
y = a
x
là hàm giảm khi 0< a <1.
Do đó ta có

sin sin , ,
cos s , ,
mn
mn
xxnmxkk
xcoxnmx kk
π
π

π
π
<⇔>∀≠+∈
<⇔>∀≠+
2
2
∈



sin sin ,
cos s ,
mn
mn
x
xnmx
x
co x n m x
≤⇔≥
≤⇔≥
∀
∀


Bài 171: Giải phương trình:
()
2
x
1cosx
2

−= *

Ta có:
()
2
x
*1 cos
2
⇔= + x

Xét
2
x
ycosxtrên
2
=+ R

Ta có:
y'

x sinx=−
và
y'' 1 cosx 0 x R
=
−≥∀∈

Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R
Vậy
()
(

)
(
)
x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0


()
(
)
(
)
x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0

Do đó:

Vậy :
2
x
ycosx1x
2
=+ ≥∀∈R

Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0
Do đó
()
*x0
⇔
=•

Bài 172: Giải phương trình

sin sin sin sin
x
xx+=+
46810
x
(*)
Ta có

sin sin
sin sin
2
2
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0
xx
xx
⎧
≥
⎪
⎨
≥
⎪
⎩
48
610
⇔
sin
2

x = 1 sinx = 0 ∨
⇔
x =
±
,kxkk
π
ππ
+
∨= ∈22
2


Cách khác
(*)
sin sin sin sin
x
ha
y
xx x⇔= +=+
4246
01

sin sin
x
ha
y
x⇔=
2
01=

BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
()
−+ =
π
⎛⎞
−=+ −
⎜⎟
⎝⎠
+=
23
22 2
1. lg sin x 1 sin x 0
2. sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x
4
1
3. sin x sin 3x sin x.sin 3x
4

()
π=
+=+
−=+
sin x
2
4. cos x
5. 2 cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x
6. cos 4x cos 2x 5 sin 3x

(
)
()(
() ()
+= −
−++−
+=−
=
a2
7. sin x cos x 2 2 sin 3x
8. sin 3x cos 2x 2 sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2cos 3x 0
9. tgx tg2x sin 3x cos 2x
10. 2 log cot gx log cos x
)
=

()
π
⎡⎤
=∈
⎢⎥
⎣⎦
+=
−+ +
sin x
13 14
11. 2 cos x với x 0,
2
12. cos x sin x 1
13. cos 2x cos 6x 4 sin 2x 1 0=

(
)
+= −
+=−
−− ++
33 4
22
14. sin x cos x 2 2 cos 3x
15. sin x cos x 2 sin x
16. cos x 4 cos x 2x sin x x 3 0=

+=+
+− −+
sin x
2
22
17. 2 sin x sin x cos x
18. 3cot g x 4 cos x 2 3 cot gx 4 cos x 2 0=


Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)
CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ

Bài 173: Giải hệ phương trình:
(
)
()

2cosx 1 0 1
3
sin 2x 2
2
−=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩


Ta có:
()
1
1cosx
2
⇔
=


()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈Z

Với
xk

3
2
π
=+ π
thay vào (2), ta được
23
sin 2x sin k4
32
π
⎛⎞
=+π=
⎜⎟
⎝⎠

Với
x
3
π
=− + πk2
thay vào (2), ta được

23
sin 2x sin k4
32
π
⎛⎞
=−+π=−≠
⎜⎟
⎝⎠
3

2
(loại)
Do đó nghiệm của hệ là:
2,
3
π
=
+π∈

xkk


Bài 174: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 1
xy
3
+
=
⎧
⎪
π
⎨
+=
⎪
⎩


Cách 1:

Hệ đã cho

xy xy
2sin .cos 1
22
xy
3
+−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
+=
⎪
⎩


π−
−
⎧
⎧
=
=
⎪
⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨

π
π
⎪⎪
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩
xy
xy
2.sin .cos 1
cos 1
62
2
xy
xy
3
3


4
2
2
3
3
−
⎧
−= π
=π

⎧
⎪
⎪⎪
⇔⇔
π
⎨⎨
π
+=
⎪⎪
+=
⎩
⎪
⎩
xy
x
yk
k
xy
xy
()
2
6
2
6
π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔∈

⎨
π
⎪
=−π
⎪
⎩
xk
kZ
yk


Cách 2:
Hệ đã cho

3
3
31
sin sin 1
cos sin 1
3
22
3
3
sin 1
2
3
32
2
6
2

6
π
π
⎧
⎧
=−
=−
⎪
⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
⎛⎞
⎪⎪
+−=
+
=
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩
⎩
π
⎧
π
⎧
=−
=−
⎪

⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+
=+ π
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=− π
⎪
⎩


yx
yx
xx
x
x
yx
yx
x
x
k
xk
k
yk


Bài 175: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 2 (1)
cos x cos y 2 (2)
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩


Cách 1:
Hệ đã cho
xy xy

2sin cos 2 (1)
22
xy xy
2cos cos 2 (2)
22
+−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
+−
⎪
=
⎪
⎩

Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
xy xy
tg 1 ( do cos 0
22
−
=

không là nghiệm của (1) và (2) )

24
22
22
+π
⇔=+π
ππ
⇔+=+π⇔=−+π
xy
k
x
ykyxk

thay vào (1) ta được:
sin x sin x k2 2
2
π
⎛⎞
+−+π=
⎜⎟
⎝⎠


sin x cos x 2⇔+=


2 cos 2
4
2,

4
π
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔− = π∈
=

x
xhh

Do đó: hệ đã cho
()
2,
4
2,,
4
π
⎧
=+ π∈
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=
+− π ∈

⎪
⎩


xhh
ykhkh

Cách 2: Ta có
A
BACB
CD ACBD
=+=
⎧⎧
⇔
⎨⎨
=−=
⎩⎩
D+
−

Hệ đã cho
(
)
(
)
()()
⎧− + − =
⎪
⇔
⎨

++−=
⎪
⎩
⎧π π
⎛⎞ ⎛⎞
−+ −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎪⎝⎠ ⎝⎠
⇔
⎨
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⎪
++ +=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩
sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2sin x 2sin y 0
44
2sin x 2sin y 2 2
44
sin sin 0
44
sin sin 0
44
sin 1

4
sin sin 2
44
sin 1
4
2
42
2
42
sin sin 0
44
xy
xy
x
xy
y
xk
yh
xy
⎧π π
⎛⎞⎛⎞
−
+−=
⎜⎟⎜⎟
⎪
⎧π π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪
−+ −=

⎜⎟⎜⎟
⎪
⎪
π
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
⇔⇔+=
⎨⎨
⎜⎟
ππ
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪⎪
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎪⎪
π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⎩
+=
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩
⎧
ππ
+=+π
⎪
⎪

ππ
⎪
⇔+=+π
⎨
⎪
⎪
ππ
⎛⎞⎛⎞
−+ −=
⎜⎟⎜⎟
⎪
⎝⎠⎝⎠
⎩


π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=+ π ∈
⎪
⎩
xk2
4
yh2,h,k

4
Z


Bài 176: Giải hệ phương trình:
−− =
⎧
⎪
⎨
+=−
⎪
⎩
tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos2y 3cos2x 1 (2)




Ta có:
tgx tgy 1 tgxtgy
−
=+


()
2
1tgxtgy 0
tg x y 1
tgx tgy 0
1tgxtgy 0

1tgx 0(VN)
⎧
+=
−=⎧
⎪⎪
⇔∨−=
⎨⎨
+≠
⎪
⎩
⎪
+=
⎩

(
xy k kZ
4
π
⇔−=+π ∈
)
,
với
x, y k
2
π
≠
+π


xy k

4
π
⇔=++π,
với
x, y k
2
π
≠
+π

Thay vào (2) ta được:
cos2y 3 cos 2y k2 1
2
π
⎛⎞
+
++ π=−
⎜⎟
⎝⎠


cos 2 3s 2 1
31 1
s2 cos2 sin2
222 6
yiny
in y y y
⇔− =−
π
⎛⎞

⇔−=⇔−
⎜⎟
⎝⎠
1
2
=


()
5
222 2
66 6 6
y h hay y h h Z
ππ π π
⇔−=+π −=+π ∈


,,
62
(lọai)yhhhayyhh
ππ
⇔=+π ∈ =+π ∈


Do đó:
Hệ đã cho
()
()
5
6

,
6
xkh
hk Z
yh
π
⎧
=++π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=+π
⎪
⎩


Bài 177: Giải hệ phương trình
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)
sin x sin y cos x 0 (2)
⎧
−+=
⎪
⎨
−+=
⎪

⎩

Lấy (1) + (2) ta được:
33
sin x cos x 0
+
=

33
3
sin x cos x
tg x 1
tgx 1
xk(k
4
⇔=−
⇔=−
⇔=−
π
⇔=−+π∈Z)

Thay vào (1) ta được:
(
)
32
sin y cos x cos x cos x 1 cos x=− = −


==
2

1
cos x.sin x sin 2x sin x
2


ππ
⎛⎞⎛
=− −+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
1
sin sin k
22 4
⎞
π
⎟
⎠


π
⎛⎞
=− − + π
⎜⎟
⎝⎠
1
sin k
24


⎧

⎪
⎪
=
⎨
⎪
−
⎪
⎩
2
(nếu k chẵn)
4
2
(nếu k lẻ)
4

Đặt
2
sin
4
α=
(với
02
<
α< π
)
Vậy nghiệm hệ
()
ππ
⎧⎧
=− + π ∈ =− + + π ∈

⎪⎪
⎪⎪
∨
⎨⎨
=α+ π ∈ =−α+ π ∈
⎡⎡
⎪⎪
⎢⎢
⎪⎪
=π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈
⎣⎣
⎩⎩




x2m,m x 2m1,m
44
yh2,h y 2h,h
yh2,hyh2,h


II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG

Bài 178:
Giải hệ phương trình:
()
()
1
sin x.cos y 1

2
tgx.cotgy 1 2
⎧
=−
⎪
⎨
⎪
=
⎩


Điều kiện:
cos x.sin y 0
≠

Cách 1: Hệ đã cho
() ()
11
sin x y sin x y
22
sin x.cos y
10
cos x.sin y
⎧
+
+−=
⎡⎤
⎣⎦
⎪
⎪

⇔
⎨
⎪
−=
⎪
⎩
−


()
(
)
() ()
()
+
+−=⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
−
+
+−=⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪

⎩
sin x y sin x y 1
sin x cos y sin y cos x 0
sin x y sin x y 1
sin x y 0
−


(
)
()
+=−
⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
π
⎧
+=−+ π ∈
⎪
⇔
⎨
⎪
−=π ∈
⎩



sin x y 1
sin x y 0
xy k2,k
2
xy h,h


()
()
ππ
⎧
=− + + ∈
⎪
⎪
⇔
⎨
ππ
⎪
=− + − ∈
⎪
⎩
≠


x2kh,k,h
42
y2kh,k,h
42
(nhận do sin y cos x 0)

Cách 2:
()
sin x cos y
21
cos x sin y
⇔
=
⇔
=sin x cos y cos x sin y



() ( )
()
()
() ()(
() ()(
1
sin cos 3
2
1
cos sin 4
2
sin 1 3 4
sin 0 3 4
Thế 1 vào 2 ta được:
xy
xy
xy
xy

⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
+=− +⎧
⎪
⇔
⎨
−= −
⎪
⎩
)
)

2,
2
,
xy k k
xyhh
π
⎧
+
=− + π ∈
⎪
⇔

⎨
⎪
−=π∈
⎩




()
()
()
2
42
,
2
42
xkh
hk Z
ykh
ππ
⎧
=− + +
⎪
⎪
⇔∈
⎨
ππ
⎪
=− + −
⎪

⎩


III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ

Bài 179: Giải hệ phương trình:

()
()
23
1
3
23
cotg cotg 2
3
tgx tgy
xy
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
−
⎪
+=
⎪
⎩


Đặt

==
X
tgx, Y tgy

Hệ đã cho thành:
23 23
XY XY
33
1 1 23 Y X 23
X
Y3 YX
⎧⎧
+= +=
⎪⎪
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+
⎪⎪
+=− =−
⎪⎪
⎩⎩
3


2
23
XY
23
XY

3
3
23
XY 1
X
X10
3
X3 3
X
3
3
Y
Y3
3
⎧
⎧
+=
⎪
+=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=−
−
−=
⎩
⎪
⎩
⎧⎧

=
=−
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩

Do đó: