phương trình đường tròn- ôn thi đại học

Chuyên đề: Đường tròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
I – BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB, biết A(1; 3), B(- 3; 5).
Giải: Tâm của đường tròn đường kính AB là trung điểm I của đoạn thẳng AB. Ta có I(- 1; 4).
Bán kính của đường tròn R =
5
2
AB
=
.
Phương trình đường tròn là: (x + 1)
2
+ (y – 4)
2
= 5.
Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; - 1) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x – 3y + 5 = 0.
Giải: Bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆. Ta có
R = d(I;∆) = 4.
Phương trình đường tròn là : (x – 3)
2
+ (y + 1)
2
= 16.
Bài 3: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3), cắt đường thẳng ∆ : x + 3y - 1 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF =
2
10
.
Giải: Gọi H là trung điểm của EF. Ta có IH ⊥ EF vì vậy tam giác IEH vuông tại H.
Ta có
10
2

EF
=
, Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) =
10
.
Bán kính của đường tròn R = IE =
2 2
2 2
( , )
2 2
EF EF
IH d I
   
+ = + ∆ =
 ÷  ÷
   
20
.
Phương trình đường tròn là : (x – 2)
2
+ (y – 3)
2
= 20.
Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(3; 1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + y – 14 = 0 tại điểm
M(5; - 1).
Giải: Gọi I(a;b) là tâm đường tròn. Ta có
4 2
3 8 2
IA IM a b a
IM a b b

= − = =
  
⇔ ⇔
  
⊥ ∆ − = = −
  
. Suy ra I(2; - 2).
Bán kính của đường tròn là R = IA =
10
.
Phương trình đường tròn là : (x – 2)
2
+ (y + 2)
2
= 10.
Bài 5: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A(1; - 1), B(0; 4) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 2x – 3y – 13 = 0.
Giải: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn. Ta có
2
2 2
1733
5 7 0
3
289
| 2 3 13 |
( ; ) 2 58
( 4)
13
289
a b
a

IA IB a
v
a b
IB d I b
a b
b

− + =

= −

= =
 


⇔ ⇔
   
 
− −
= ∆ =
+ − =
 
 ÷
 
=
 



Với I(3; 2) ta có bán kính đường tròn R = IA =

13
.
Phương trình đường tròn là: (x – 3)
2
+ (y – 2)
2
= 13.
Với
1733 58
( ; )
289 289
I −
ta có bán kính đường tròn R = IA =
4208893
289
Phương trình đường tròn là :
2 2
1733 58 4208893
289 289 83521
x y
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
.
Bài 6: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm M(3; - 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆
1
: x + 2y – 17 = 0 , ∆
2
:

2x + y – 15 = 0.
Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; b). Ta có
2
2 2
1
1 2
| 2 17 |
( 3) ( 1)
5
( , )
1 79
2
( , ) ( , ) 3 77
32 3
2
a b
a b
IM d I
a a
v
a b
d I d I b b
a
b

 
+ −
− + + =

 ÷

 

= ∆
= = −

 

⇔ ⇔
   
= −

∆ = ∆ = = −
 



−


=



Với I(1; 3) ta có bán kính R = IM =
20
.
Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 1
Chuyên đề: Đường tròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
Phương trình đường tròn là : (x – 1)
2

+ (y – 3)
2
= 20.
Với I(- 79; - 77) ta có bán kính R = IM = 50
5
.
Phương trình đường tròn là : (x + 79)
2
+ (y + 77)
2
= 12500.
Bài 7: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm M(- 4; - 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆
1
: 3x – y – 25 = 0 , ∆
2
:
3x – y +15 = 0.
Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; b). Ta có
2
2 2
1
1 2
2
| 3 25 |
( , )
2
( 4) ( 1)
5
10
( , ) ( , ) 1 31

3 5
5
a
a b
IM d I
a
a b
v
d I d I b
b
b a


= −
 
− −

= ∆
=


+ + + =


 ÷
⇔ ⇔
   
 
∆ = ∆ =



 
= −
= −



Với I(2; 1) ta có bán kính đường tròn R = IM = 2
10
.
Phương trình đường tròn là : (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 40.
Với
2 31
( ; )
5 5
I − −
ta có bán kính của đường tròn R = IM = 2
10
.
Phương trình đường tròn là :
2 2
2 31
40
5 5
x y
   

+ + + =
 ÷  ÷
   
.
Bài 8: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 7 = 0 và đi qua điểm M(2; 2), N(3;1).
Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; 7 – a) ∈ d . Ta có
IM = IN ⇔ (a-2)
2
+ (5 – a)
2
= (a – 3)
2
+ (6- a)
2
⇔ a = 4.
Ta có tâm I(4; 3), bán kính R = IM =
5
.
Phương trình đường tròn là : (x – 4)
2
+ (y – 3)
2
= 5.
Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 , đi qua điểm M(3; 0) và tiếp xúc với
đường thẳng ∆: 3x + y – 13 = 0.
Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; - a – 1) ∈ d. Ta có
IM = d(I; ∆) ⇔ (a – 3)
2
+ (- a – 1)
2

=
2
| 3 1 13 |
10
a a
 
− − −
 ÷
 
⇔ a= 2 v a = - 3.
Với a = 2 ta có tâm I(2; - 3), bán kính R =
10
Phương trình đường tròn là : (x – 2)
2
+ (y + 3)
2
= 10.
Với a = - 3 ta có tâm I(- 3; 2) , bán kính R =
85
Phương trình đường tròn là : (x + 3)
2
+ (y – 2)
2
= 85.
Bài 10: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆
1
:
x + 2y – 13 = 0, ∆
2
: x + 2y – 7 = 0.

Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; 2 – a) ∈ d. Ta có
d(I, ∆
1
) = d(I, ∆
2
) ⇔ |a + 2(2 – a) – 13| = |a + 2(2 – a) – 7| ⇔ a = 1
Ta có tâm I(1; 1), bán kính R = d(I, ∆
1
) =
20
.
Phương trình đường tròn là: (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
= 20
Bài 11: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng
∆
1
: 4x + 3y – 24 = 0 , ∆
2
: 4x – 3y – 18 = 0.
Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 2a + 3) ∈ d. Ta có
d(I, ∆
1
) = d(I, ∆
2
) ⇔ |4a + 3(2a + 3) – 24| = |4a – 3(2a + 3) – 18| ⇔ a = - 1 v a =
21
4

.
Với a = - 1 ta có tâm I(- 1; 1), bán kính R = d(I, ∆
1
) = 5.
Phương trình đường tròn là : (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 25.
Với a =
21
4
ta có tâm
21 27
;
4 2
I
 
 ÷
 
, bán kính R = d(I, ∆
1
) =
15
2
.
Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 2
Chuyên đề: Đường tròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
Phương trình đường tròn là :
2 2

21 27 15
4 2 2
x y
   
− + − =
 ÷  ÷
   
.
Bài 12: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x –
4y – 15 – 0 tại điểm M(1; - 3).
Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; - a -1) ∈ d. Ta có
IM = d(I, ∆) ⇔ (a – 1)
2
+ (- a + 2)
2
=
2
| 3 4( 1) 15 |
5
a a− − − −
 
 ÷
 
⇔ a = - 2
Ta có tâm I(- 2; 1), bán kính R = IM = 5.
Phương trình đường tròn là : (x + 2)
2
+ (y – 1)
2
= 25.

Bài 13: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0 , đi qua điểm M(1;- 3) và cắt
đường thẳng ∆: x + y + 4 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF =
2
.
Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 4 – 2a) ∈ d.
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Ta có IH ⊥ EF và IM = R, IH = d(I, ∆ ), EH =
2
2
Ta có IH
2
+ HE
2
= IM
2
⇔
2
2 2
| 4 2 4 | 1
( 1) (7 2 )
2
2
a a
a a
+ − +
 
+ = − + −
 ÷
 

⇔ a = 1 v a =
35
9
.
Với a = 1 ta có tâm I(1; 2), bán kính đường tròn R = IM = 5.
Phương trình đường tròn là: (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 25.
Với a =
35
9
ta có tâm
35 34
;
9 9
I
 
−
 ÷
 
, bán kính R = IM =
725
9
.
Phương trình đường tròn là :
2 2
35 34 725
9 9 81

x y
   
− + + =
 ÷  ÷
   
.
Bài 14: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 4 = 0 , có bán kính R = 5 và tiếp xúc với
đường thẳng ∆: 4x – 3y – 27 = 0.
Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 4 – a) ∈ d. Ta có
d(I, ∆) = R ⇔
| 4 3(4 ) 27 |
5
5
a a− − −
=
⇔ a = 2 v a =
64
7
Với a = 2 ta có tâm I(2; 2), bán kính R = 5.
Phương trình đường tròn là : (x – 2)
2
+ (y – 2)
2
= 25.
Với a =
64
7
ta có tâm
64 36
( ; )

7 7
I −
, bán kính R = 5.
Phương trình đường tròn là :
2
64 36
25
7 7
x y
   
− + + =
 ÷  ÷
   
.
Bài 15: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(- 2; 2), B(5; 3), C(2; 4).
Giải: Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là (C): x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 với a
2
+ b
2
– 4c > 0.Do A, B, C ∈
(C) nên ta có hệ phương trình
4 4 2 2 0 4
25 9 5 3 0 2
4 16 2 4 0 20
a b c a
a b c b

a b c c
+ − + + = = −
 
 
+ + + + = ⇔ =
 
 
+ + + + = = −
 
Phương trình đường tròn là: x
2
+ y
2
– 4x + 2y – 20 = 0.
Bài 16: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ∆ ABC với A(- 1; 2), B(7; 2), C(- 1; 8).
Giải: Ta có
(8;0), (0;6)AB AC= =
uuur uuur
và
. 0AB AC =
uuur uuur
nên ∆ ABC vuông tại A.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm cạnh huyền BC, I(3; 5)
Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 3
Chuyên đề: Đường tròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = IB = 5.
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là : (x – 3)
2
+ (y – 5)
2

= 25.
Ta có phương trình cạnh AB là: y = 2.
Phương trình cạnh AC là: x = - 1.
Phương trình cạnh BC là: 3x + 4y – 29 = 0.
Phương trình hai đường phân giác góc A là: x + y – 1 = 0 và x– y + 3 = 0
Phương trình đường phân giác trong góc A là d
1
: x – y + 3 = 0 .
Phương trình hai đường phân giác góc B là : 3x – y – 19 = 0 và x + 3y – 13 = 0.
Phương trình đường phân giác trong góc B là d
2
: x + 3y – 13 = 0
Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC ta có J = d
1
∩d
2
.
Toạ độ điểm J là nghiệm của hệ phương trình
3 0 1
3 13 0 4
x y x
x y y
− + = =
 
⇔
 
+ − = =
 
. Suy ra J(1; 4).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r = d(J, AB) = 2.

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là : (x – 1)
2
+ (y – 4)
2
= 4.
Bài 17: Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
+ 6x + 2y – 8 = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
+ 8x + 2y + 4 = 0 .
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C
1
), (C
2
) và đi qua điểm M(2; 2).
Giải:
a) Đường tròn (C

1
) có tâm I
1
(- 3; - 1), Bán kính R
1
= 3
2
.
Đường tròn (C
2
) có tâm I
2
(- 4; - 1), Bán kính R
2
=
13
.
Ta có I
1
I
2
= 1. Vì vậy |R
1
– R
2
| < I
1
I
2
< R

1
+ R
2
.
Suy ra hai đường tròn (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
b) Phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm (C
1
), (C
2
) có dạng:
m(x
2
+ y
2
+ 6x + 2y – 8) + n(x
2
+ y
2
+ 8x + 2y + 4) = 0 , với m + n ≠ 0.
Do M ∈ (C) nên ta có 16m + 32n = 0. Suy ra chọn m = 2, n = - 1.
Ta có phương trình đường tròn (C) là: x
2
+ y
2
+ 4x + 2y – 20 = 0.
Bài 18: Cho hai đường tròn (C

1
): x
2
+ y
2
- 4x – 2y – 5 = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
- 2x - 8y + 2 = 0 .
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C
1
), (C
2
) và có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
Giải:
a) Đường tròn (C
1
) có tâm I
1
(2; 1), Bán kính R
1
=

10
.
Đường tròn (C
2
) có tâm I
2
(1; 4), Bán kính R
2
=
15
.
Ta có I
1
I
2
=
10
. Vì vậy |R
1
– R
2
| < I
1
I
2
< R
1
+ R
2
.

Suy ra hai đường tròn (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
b) Phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm (C
1
), (C
2
) có dạng:
m(x
2
+ y
2
- 4x – 2y – 5) + n(x
2
+ y
2
- 2x - 8y + 2 ) = 0 , với m + n ≠ 0.
⇔ (m + n)x
2
+ (m + n)y
2
- 2(2m + n)x – 2(m + 4n)y -5m + 2n = 0
Tâm của đường tròn là
2 4
( ; )
m n m n
I
m n m n

+ +
+ +
.
Do tâm I ∈ d nên ta có 2m + 4n = 0 Chọn m = 2, n = - 1.
Ta có phương trình đường tròn (C) là: x
2
+ y
2
– 6x + 4y – 12 = 0.
Bài 19: Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 6x – 2y – 4 = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
- 4x - 8y - 3 = 0 .
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C
1
), (C

2
) và có bán kính R = 5.
Giải:
a) Đường tròn (C
1
) có tâm I
1
(3; 1), Bán kính R
1
=
14
.
Đường tròn (C
2
) có tâm I
2
(2; 4), Bán kính R
2
=
23
.
Ta có I
1
I
2
=
10
. Vì vậy |R
1
– R

2
| < I
1
I
2
< R
1
+ R
2
.
Suy ra hai đường tròn (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 4
Chuyên đề: Đường tròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
b) Phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm (C
1
), (C
2
) có dạng:
m(x
2
+ y
2
- 6x – 2y – 4) + n(x
2
+ y
2

- 4x - 8y - 3) = 0 , với m + n ≠ 0.
⇔ (m + n)x
2
+ (m + n)y
2
- 2(3m + 2n)x – 2(m + 4n)y - 4m - 3n = 0
Bán kính của đường tròn R = 5 ⇔
2 2
3 2 4 4 3
25
m n m n m n
m n m n m n
+ + +
   
+ + =
 ÷  ÷
+ + +
   
Chọn n = - 1. Ta có 4m
3
-26m
2
+ 40m – 8 = 0 ⇔ m = 2 v m =
1
11
Với m = 2, n = - 1 .Ta có phương trình đường tròn (C) là: x
2
+ y
2
– 6x + 4y – 12 = 0.

Tương tự với m =
1
11
, n = - 1. Ta có phương trình đường tròn (C) là:
x
2
+ y
2
-
19
5
x -
43
5
y -
29
10
= 0.
Bài 20: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 4x + 4y – 5 = 0 và đường thẳng ∆: x + y – 5 = 0.
a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và đi qua điểm M(1; 2).
Giải:
a) Đường tròn (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R =
13
.
Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) =

5
2
.
Ta có d(I,∆) < R suy ra đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ với (C) có dạng .
(C’): m(x
2
+ y
2
– 4x + 4y – 5 ) + n(x + y – 5 ) = 0 với m ≠ 0.
Do M ∈ (C’) nên ta có 4m – 2n = 0 suy ra chọn m = 1, n = 2.
Phương trình đường tròn (C’) là : x
2
+ y
2
– 2x + 6y – 15 = 0.
Bài 21: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 10 = 0 và đường thẳng ∆: x + y + 5 = 0.
a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y -
3 = 0.
Giải:
a) Đường tròn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R =
15
.
Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 2
2

.
Ta có d(I,∆) < R suy ra đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ với (C) có dạng .
(C’): m(x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 10 ) + n(x + y + 5 ) = 0 với m ≠ 0.
⇔ mx
2
+ my
2
+ (- 2m + n)x + (4m + n)y – 10m + 5n = 0.
Tâm của đường tròn (C’) là
2 4
;
2 2
m n m n
I
m m
− − −
 
 ÷
 
Do I ∈ d nên ta có -6m - 3n = 0 suy ra chọn m = 1, n = - 2
Phương trình đường tròn (C’) là : x
2
+ y
2
– 4x + 2y – 20 = 0.

Bài 22: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x - 4y – 8 = 0 và đường thẳng ∆: x - y - 2 = 0.
a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và bán kính bằng 5.
Giải:
a) Đường tròn (C) có tâm I(- 1; 2), bán kính R =
13
.
Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) =
5
2
.
Ta có d(I,∆) < R suy ra đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ với (C) có dạng .
Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 5