MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

1
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH

I.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1:
22
22
4 4 2 2
2 2 2 2
22
3
5( ) 2 19 49
/ / 18
1/ ;2 / ;3/ ;4 /
3 35 ( ) 180
1 12
17 ( )
4 5 5
5/ ;6/ ;7 / ;8/
2 4 7 ( 1) 6
7
x y xy
x y xy x y xy
x y y x
x y xy xy x y
x y xy x y
x y x y xy
x y x y x y
x y xy xy x y xy
x y xy

  
       



   
      
    



   

     

  
       
  



44
78
97xy







2 2 3 2 3
4 ( 1) (1 1 ) 4
( )(1 1 ) 4
9/ ;10/ ;11/
14
4 ( ) ( ) 1 4
x y x y y x x x y y
x y xy
xy xy x y y x
x y x y y x xy xy xy y
       
  


  
   
       



II.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 2:
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 1 2
13 4
1/ ;2/ 2;3/ 1;4/ 2 ;5/

13 4
2 1 2
xyz x y z
xy z x y z x yz x
x x y yzt y z t
yz x y z x y zx y
ztx z t x
y y x
zx y z x y z xy z
txy t x y
  

  
      


    
  

      
    
  


    
      
  

  


3 3 2 2 2 2
3 3 2 2 2 2
2 3 2 3 2
6/ ;7 / ;8/
2 3 2 3 2
x x y x x y x y y
y y x y y x y x x
  
     
  
  
     
  
  

III.Hệ phƣơng trình đẳng cấp:
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2
2 3 9 3 2 11 1 2 9 ( )(2 3) 1
4 5 5 2 3 17 2 2 3
x xy y x xy y x y x y x y xy x y
x xy y x xy y x y xy y x xy y x y x y
    
             
    
    
              
    
    

2 2 5 5 3 3 2 2 3 3 2
5 5 2 2 3 3 2 2 2 2 2
5 7( ) 31( ) 2 2 3
6/ ;7 / ;8/ ;9 / ;10/
11( ) 3 2 1 3 1
x y x y x y x y x x y x xy y
x y x y x y xy x y xy x y x y xy x y
    
          
    
    
              
    
    

2 2 2 4 3 3 3 3 2 2
3 3 2 2 5 5 3 3 3 3 3 2
3 2 0 1 2 3 1
11/ ;12/ ;13/ ;14/ ;15/
2 2 2 2 1 0 2 3 3
x y xy x y xy y x xy x y x y
x y x y x y xy x y xy x y x y x xy y
    
           
    
    
            
    
    

IV.Hệ phƣơng trình vô tỉ:
22
2
22
22
22
30
2 8 2
4
2 2 8 2
8
128
35
128
4 2 16
x y y x
x y xy
x y x y
S P P
x y x
xy
x x y y
xy
x y S P







  
   
  
  
    

    



   


  





22
33
2 2 2 2
3
3
2(1)
2 2 5 2 7
2( ) 3( )
; ; ;
2 2 5 2 7

64
x y x y
x y x y
x y x y xy
y x y x
x y x y x y


   
      
  
   
   
      
     
   


( bp (1) )
2
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN

22
3 2 1 20 /
20
2 2 7
; ; ; ( )
3 2 23
136
0 16 /5

x y x y y x x y x y
x y x y
x y x y
xy
xy
x y x y x y x y x y


         
   
    
   

   


       







3
4
63
22
4
2

1 2 1 2
1
11
11/ ;12/ ;13/ ;14/
1 2 1 2 5 8 2 2
11
22
xy
xy
xy
xy
y x x x y y
yx
x y xy





  

  
   
   
     
  
  

  






22
2
1
11
( 3) 3
2
15/ ;16/ ;17 / ;18/
2
1
1 1 1
1
xy
x y x y
y x x
x x x y y
x y x y
x y x
xy y x
x y x y





  
  

    
   
   
   
  
    
   

  





1 7 4 9 7 4 3 3 4
2 2 3
19/ ;20/ ;21/ ;22/
3
1 7 4 9 7 4 2
x y x y x y
x y y x
x y xy
y x y x y x
  

           

   
   
  

         

  

  

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1 1 1 1 4 1 2 91 2
23/ ;24/ ;25/ ;26/
20
1
1 1 0,5 91 2
x y x y
x y y x x y x y y
x y xy
x y x y
x x y y y x x



   
           
   
   
  
   
       

   




 
 
 
 
22
1 12 ( 3 ) 2 3 5 ( 42 ) 2 4
2
27 / ;28/ ;29/
2 1 2 2
1 12 ( 3 ) 6 3 5 ( 42 ) 2
y x x y x y
xy x y x y
x y y x x y
y x y y x x


     
   
  
  
   
     







V. Giải HPT bằng pp đánh giá:
2 2 2 2
2 2 3 4 2
2 2 4 6 4 2
2 2 2
2
1
2 /(1 ) 2 /(1 )
1/ 1
2
1; 1/ 1; 2 /(1 ) ; 3 /( 1) ;
2
1/ 1
2 /(1 ) 4 /( 1)
1
12
x y yz
xy
x x y x x y
xy
z y xz
y z y z y y z y y y z
x z yx
zx
z z x z z z z x
zx
x y z







   







        
    

    

     





  


22
2

2 2 2 4 6
3 4 4 5 7
2
2
1 4 1 ( 1)
12
11
;;
11
1 2 1 4
1 2 1 4
xy z
z xy
x y x y z
x y x y z
x yz xy
x yz xy


   


    
   

   
    
  

  


  




VI. Một số HPT khác:
2 2 2 2 3 3
3
2 2 2 2 2 2
65
1/ 1/
2 ( ) 3 ( ) ) 3 7 7
; ; ; ;
21
( ) 10 ( )( ) 15 2
2
x y x y
x x y y
y x y x x y x y x x y y
x y x y
yx
x x y y x y x y x y x y
xy



  
  
       


   

    

        
  

   



22
2 2 2 2 2 2
(3 2 )( 1) 12 ( 2)(2 ) 9 ( )(1 1/ ) 5
18
6 / ; ; ;9 /
( 1)( 1) 72 4 2 8 4 6 ( )(1 1/ ) 49
x x y x x x x y x y xy
x y x y
xy x y x x y x x y x y x y
        
   
   
   
           
   

3
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 3 9 9
6 ( )( ) 45
10 / 7 ;11/ 4 9 189 189;12/ ( )( ) 63
( )( ) 54
14 3 4
x y z x u v
x y z x y x y z
xy yz zx x y z x u v y z x y z
z x x y z
x y z xz y xv u
     


      



             
   
   
   
    




5 6( ) 5 24( ) 0 1 ( ) 2

13/ 7 12( );14 / 7 24( ); 0; 5;17 / ( ) 3
3 4( ) 4( ) 0 2 ( ) 6
xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz
yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz
xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy
            
    
    
            
    
    
            
    

2 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 2 2
2 0 2 / ( 1) 1 1 3 4 11
18/ ;19 /
1
2 4 3 0 2( 1) 1 0 3 2 9 8 3
x y x y y x x x x y x y
y
x x y x y x y x y
  
          

  

   


           
  

  

22
2 2 2 2
33
22
22
1/ 1/ 1
( ) 6
20/ ;21/
18 27
2
2 2 1 2
1 1 2
xy
xy
x x y
x y x y
x y y
y
x y xy
x y xy









  

   
  

    

    







3 2 2 2 2
3
4
16 1 2
22/ , 0 8 3 4 8 2;23/
3 8 ( )(1 ) 1
x y x y x y xy
x y x y x y x y
x y x y xy xy

    
         


     


2
4
2
44
4
32 3
24/ ( 32 ) ( 32 ) 6 21 12. 12 16; 3
32 6 24
x x y
x x x x y y VT x y
x x y

    

             

   



4 3 2 2 4 3 2 2 3 3 3
42
3 2 2 2 2
1 1 1 2
0
25/ ;26 /

1
1
1 ( 1)( 1) 0 2
x x y x y x x y x y x y x y y
xx
y
xy
x y x xy xy x x y x y
  
        



  
  
    


       
  


  

22
2 2 2 2 2
2 2 2
1/ 6 / ( ) 6 6
6 3 1;2 (1/ 2;1)
27 /

2 2;1 (1;2)
1/ 5 5 2 5
15
x y x y yz z y SP
y xy x S y
Pz
x y z y S P
x y x
    

   
  
  

     
     


     


  
  


3 3 3
3 3 3 3
22
1 19 / 16/ 3
1/ 19 19

28/ ;29 /
/ 9/ 2
1/ 6 / ( ) 6
6
x y x xy x y
x y z y
xy y x
x y x y zy z y
y xy x

   

   



   

     
  





2 2 2 2
22
426
(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0
31/ ;32 / ;33/

2 1 (2 ) 0 0 2 6 0
x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x xy y x xy y
     
  
     
  
         
  

33
22
55
2 ( ) 6 3 5 34
( 1)( 1) 3
34/ ;35/ ;36 /
6 3 18
( 1)( 1) 6
30 32
x y xy x y x y z
x x y y
x y z
xy
x y xy

      

    



  

  
  





2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 1) 3 1 7
2 2 2 2
38/ ;39 / ;40/ ;41/
( ) 5 1 0 1 13
2 2 1 3 1
x x y xy x y
x y x x x y x
x y x x y xy y
x y x y xy x y xy x
     

    


   
      
     





2 2 2 2
22
22
3 2 2 2
26 5
2( ) 1 1
3
42/ ;44 / ;45/ ;46 /
24 1 1 1
2 6 1 2 3
x y y x
x y x y
x y x y xy
x y x y xy
x xy x x y


   

  

   
    
    





4
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN

2 2 2
2 2 2
2 4 2 2 0 ( 1)(2 1) 6 2 5 2 1 0
47 / ;48/ ;49/
( 1)(3 2) 2 3
3 6 3 0 4 12 12 10 0
x xy x y x y x y x xy y x y
x y x y
x xy x y x xy y x y

               


  
    
         




2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 3 3 2 0 2 2 3 0 1 13
50/ ;51/ ;52/
1 12

3 32 5 0 3 1 0
x xy y x y x xy y x xy xy x y y x
xy xy x y y x
x y xy y y

             


  
   
      




22
22
22
2 2 / (1 )
2 ( / 7)
53/ 2 0 2 / (1 ) 4 (2 / 7)
8 (4 / 7)
2 2 / (1 )
x x y y y x x
y tan a x tan k
y y z z x y z z y y z tan a y tan k
x tan a z tan k
z z x x x z z






   





            

   

   


   




22
2
22
2
22
6 ( ) 13
0 0 0 6 / 6 / 13
30
54/ 3 ( ) 5 0 0 0 6 / 6 / 10;55/

20
6 / 6 / 5
6 ( ) 5
x y z yz
x y z xy z xz y
xy y x y
y z x zx y z x xy z yz x
x xy y
z R x R y R xz y yz x
z x y xy


    
   

   

    
          
     
  


    
    

   


Khảo sát (2) ta thấy: nếu x > 1 thì y > 1 nên (1) VN.

Nếu x = 1 thì từ (2) suy ra y = 1, thỏa mãn (1). Nếu Vậy
HPT có nghdn x = y = 1.


Từ ĐK của HPT
Vậy HPT có 2 nghiệm là ( 1; 0 ) và ( -2; 3 )
2 2 4 3 2 2 2
2 2 3 2 2 2
1 1 4
1 4 1 2 1/ 2
58/ ;59 / ;60/ ;61/
( ) 2 7 2 1 2 2
6 4 6
xy
x y xy y x x y x y x x y
y x y x y x y x xy y y x y
xy

   
  
         
   
   
           
  
   
   


62/ Tìm GT của m để HPT sau có nghiệm thực:

3 2 3
2 2 2
3 3 2 0(1)
1 3 2 0(2)
x y y x
x x y y m

    


     



3 3 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
9 6 3 1
63/ ;64 / ;65/ ;
2 4 1
13
x y x y
x y x xy x y
x x y y x y
x y x y

   

     

  
  
     

    
  

22
2 4 2 2
2 2 2
22
3
1 ( ) 4 4 6 9 0
66/ ;67 / ;68/ ;
( 1)( 2) 2 22 0
1 1 4
x y xy
x y x y y x x y y
x x y y x y x y
xy

  

        
  
  
       
   






12
2 2 3 3 3
2 2 2 2 2
2
(1 4 )5 1 3
3( ) 8 27 18
69/ ;70/ 71/
7( ) 4 6
3 1/ 1 2
x y x y x y
x xy y x y x y y
x xy y x y x y x y
x y y x y
    

  

     
  
  
     
   





5
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN

22
2 2 2
33
21
4( ) 3/ ( ) 7
72/ ;73/ ;74/
2 1/ ( ) 3
22
2
x y x y
yx
x xy y x y
x x y
x y y x
y x y

  



    

  
  
  







75/
3 2 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 9 22 3 9 ( )( 9) 22 3( )(1)
1 2 ( 1 2) ( 1 2) 1(2)
x x x y y y x y x y xy x y
x y x y x y

            



       



Từ
(2) : 1 2 ; 1 2a x cosa y sina     
. Thay vào (1) ta được:
(1 )(3 2 ( ) 2 37 4) 22 3(1,5 )cosa sina cosa sina cosasina cosa sina cosa sina           

Đặt t = cosa – sina thì PT trên trở thành:
23
(1 )(1,5 (1 ) 2 2 37 4) 22 3(1,5 ) 2 39 41 0 1( 2)t t t t t t t t t               

2 ( 4) 1 2 2 2cos a a k k

   
        
HPT có 2 nghiệm:(3/2; -1/2) và (1/2; -3/2 )

VII. Biện luận hệ phƣơng trình:

1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm:
22
(1)
x y xy m
x y m
  





Giải: Đặt S = x + y; P = xy
22
& 2 2 3 0. ' 1 3 0 1/3S P m S P m S S m m m               
. Để
(1) có nghiệm thì
22
4 2 2 2 2( ) 2 2 2 3 1 0S P S P P m P m m S m S m m                 
. Để (1)
có nghiệm ta chỉ cần đk:
2 3 1 0 3 1 2 0 8m m m m m           
( do
0m 
từ pt thứ hai của hệ

2/ Giải và bl hpt:
2
2
2
2
x xy y mx
y xy x my

  


  



Giải: Trừ các vế của 2 pt ta đƣợc:
( )( 1 ) 0x y x y m    

a/
2
3 ( 1) 0 0;( 1)/3x y x m x x m       

b/
2
1 ( 1) 1 0. ( 1)( 5)y m x x m x m m m            

Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm
0; ( 1)/3x y x y m    

+/

15mm  
: hpt có nghiệm:
0; ( 1)/3x y x y m    
;
11
( ; )
22
mm    

3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
22
22
1(1)
3 2 (2)
x xy y
x xy y m

  


  



6
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN

Giải: Đặt
22
(1): ( 1) 1x ty y t t    

(3). Vì
2
10tt  
với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra:
2 2 2
( 3 2)/( 1) ( 1) (3 ) 2 0t t t t m m t m t m           
(4).
+/ m = 1: t = 1/2

hpt có nghiệm.
+/
1:m 
(4) có
3( 4)( 6)mm    
.
Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi
46m  
.

4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
1 1 3
1 1 1 1
xy
x y y x x y m

   


       




Giải: hpt đã cho tđ với:
22
3( , 0)
3
/3
( 1) ( 1)
u v u v
S
Pm
u v v u u v m
  






     


hpt có nghiệm khi
0 27/4m
.

5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất:
2 3 2
2 3 2
4

4
y x x ax
x y x ay

  


  



Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm:
00
( ; )xy
thì nó cũng có nghiệm
00
( ; )yx
do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì
32
0 0 0 0 0
50x y x x ax    
. Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì
25 4 0 25/4aa     
.
b/ đk đủ: hpt tđ với
2 3 2
22
4
( ) 3( ) 0
x y y ay

x y x xy y x y a

  



      



. Do pt
22
3( ) 0x xy y x y a      

22
( 3) 3 0x y x y y a     
có
2 2 2
( 3) 4( 3 ) 3 6 9 4 0
x
y y y a y y a y            
vì
'
12(3 ) 0
y
a   
do a > 25/4 .
Với x = y thì hpt trở thành
2
( 5 ) 0x x x a  

. Do
25/4 25 4 0aa     
nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do
đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất.
6/ Giải và biện luận hpt:
x y xy a
x y a

  






Giải: trừ các vế của hai pt ta đƣợc:
2 0 0 4 ( 0)y xy y x y y      

a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3)
b/
0a 
: hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0).

7
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN

MỘT SỐ BÀI TẬP:
1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:
22
2

4
34
x xy y k
y xy

  






2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm:
4 1 4
(13/3 7)
3
xy
m
x y m

   







3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất:
3 2 2

3 2 2
7
7
x y x mx
y x y my

  


  


có nghiệm duy nhất ( m > 16 )
4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất:
2
21
( 1)
()
x y xy m
m
xy x y m m
   



  


5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
22

22
3 2 11
59 3897 59 3897
44
2 3 17
x xy y
m
x xy y m


  





   




6/ Cho HPT:
22
( )& ( )x my m d x y x C   
. Biện luận số nghiệm của HPT theo m. Khi HPT có hai nghiệm
1 1 2 2
( ; )&( ; )x y x y
hãy tìm GT của m để GTBT
22
2 1 2 1

( ) ( )S x x y y   
đạt GTLN ( m = 1/2 )
//